Mittagsbreite und Chronometerlänge

Der Beitrag behandelt die alten Methoden der Astronavigation. Es ist eine Einführung in ein Thema, das in früheren Jahrhunderten noch als Geheimwissenschaft gehandelt wurde. Ziel einer Standortbestimmung ist das Finden des Breiten- und Längengrades des eigenen Standortes. So hat James Cook im 18. Jahrhundert navigiert und die Küsten von Australien und Neuseeland ziemlich genau vermessen. Erforderliche Hilfsmittel sind ein Chronometer (Quarzuhr), ein Sextant und das Nautische Jahrbuch. Ein Chronometer stand James Cook allerdings erst auf seiner zweiten Reise zur Verfügung. Bis dahin mußte er sich mit komplizierten Berechnungen auf der Grundlage von Monddistanzen zu bekannten Fixsternen herumschlagen, um die jeweilige Zeit am Greenwich Nullmeridian bestimmen zu können.

In der Navigationsdatei basic-sun-navigator sind die Ephemeriden der Sonne, die Sextanten-Beschickungstafeln und alle Rechenhilfen für die nachfolgend beschriebenen Navigationsverfahren enthalten. Die Datei nautical-sun-almanac enthält die vorausberechneten Positionsdaten der Sonne für die Jahre 2019 bis 2025. Daraus kann die Navigationsdatei jährlich „nachgeladen“ werden. Das funktioniert ganz einfach und ist in diesem Beitrag in allen Einzelheiten erklärt.


Download:                 basic-sun-navigator-v.-3.1

Ephemeriden:            nautical-sun-almanac-2019-2025


Die Mittagsbreite

Das folgende Bild zeigt ein Screenshot der Datei. In der Eingabenmaske ganz oben muss die Augeshöhe angegeben werden. Diese wird für die drei möglichen Navigationsmethoden gleichermaßen verwendet. Darunter wird die Höhe des Sextanten Teleskops während der Messung über dem Wellenkamm verstanden. Im Programm befindet sich die Grafik unterhalb der Eingabenmaske.

Eingabemaske und Grafik des basic sun navigators

Seit Jahrhunderten gibt es auf Seeschiffen die Tradition, die Mittagsbreite zu bestimmen. Schiffsmittag ist, wenn die Sonne über demselben Meridian (Längengrad) steht wie das eigene Schiff. Sie wird dann exakt im Süden (oder Norden) gesehen. Man sollte ungefähr wissen, wann Schiffsmittag ist, um nicht so lange mit dem Sextanten auf der Lauer liegen zu müssen. Etwa 5 Minuten davor oder danach verändert sich die Höhe der Sonne nicht messbar. Man hat also fast 10 Minuten Zeit die Kulmination der Sonne beobachten zu können, kann also locker 3 Minuten Pause von Messung zu Messung verstreichen lassen. Wenn am Vormittag bereits eine Längenbestimmung mit dem Chronometer durchgeführt wurde, dann gibt das Programm den Hinweis auf die Zeit des bevorstehenden Schiffsmittags.

Die Sonne und auch wir selbst können uns auf der Nordhalbkugel oder auf der Südhalbkugel befinden. Im Laufe der Jahreszeiten pendelt die Sonne um den Äquator herum etwa 23,5 Grad nach Norden und auch nach Süden. Das nennt man Deklination und den jeweiligen Breitengrad über dem die Sonne gerade steht findet man im Nautischen Jahrbuch unter der Spaltenbezeichnung δ. Das nautische Jahrbuch brauchen wir nicht in Buchform. Wir haben es, eingeschränkt auf die Sonnenephemeriden in unserer Downloaddatei. Ohne weitere Begründung werden in der folgenden Tabelle die Regeln genannt.

Regeltabelle Mittagsbreite

Hierin ist hm (hight, measured) die beobachtete Höhe der Sonne. Dieser Wert errechnet sich als Summe aus Sextantenablesung und einem Korrekturwert, der sogenannten Sextantenbeschickung. Den Wert dafür kann man ebenfalls dem Nautischen Jahrbuch entnehmen. Unser Programm entnimmt die Gesamtbeschickung seiner Datenbank und macht alles automatisch. Südliche Deklinationen besitzen per Definition ein negatives Vorzeichen. Die Berechnungen unter Berücksichtigung aller Regeln nimmt uns unsere Programmdatei natürlich ab.

Auszug aus dem NJ

Den Kulminationspunkt der Sonne messen wir mit einem Sextanten. Im Beitrag Sextantenkunde ist beschrieben, wie das geht. Moderne Plastiksextanten liefern bei entsprechender Handhabung genau so präzise Ergebnisse wie professionelle Geräte und sind bereits für unter 300 Euro zu haben. Bei einem Plastiksextanten sollte man unmittelbar vor oder nach jeder Messung den Indexfehler neu bestimmen und der jeweiligen Messung zuordnen. Tut man das nicht, dann können schon größere Fehler entstehen, die auf Erwärmung des Gerätes in der Sonne zurückzuführen sind. Bei einem Profi-Sextanten genügt eine Feststellung des Indexfehlers einmal im Monat.

Beispielsweise beobachten wir am 17. Sep 2019 um 11:45:08 UTC die Kulmination der Sonne. Am Sextanten lesen wir 53° 17,0‘ ab. Nach Addition der Gesamtbeschickung durch das Programm und Abzug des recht großen Indexfehlers von 55′, wir verwenden einen Plastiksextanten, wird eine beobachtete Höhe von hm = 52° 34,22‘ ausgegeben. Die Sonne stand dabei im Süden, weil wir uns auf der Nordhalbkugel befinden. Daher gilt die erste Zeile der Regeltabelle. Bei einer Deklination von 2,26°, die uns das elektronische Nautische Jahrbuch auf dem Arbeitsblatt Almanac verrät, erhalten wir schließlich eine Breite von 039° 41,38′ N.

Eingabeblock zur Bestimmung der Mittagsbreite

In den Eingafeldern sind die auszufüllenden Bereiche grau hinterlegt. Im Zeitblock tragen wir Datum und mindestens die minutengenaue Zeit der Kulminationsfeststellung ein. Sextantenablesung und die Berichtigung für den festgestellten Indexfehler werden in dem darunter liegenden Block mit der Bezeichnung „Kulmination“ eingetragen. In das gelbe Feld im Ergebnisblock müssen wir eintragen, ob wir die Sonne während der Höhenmessung im Norden oder Süden gesehen haben.

Es ist ein Unterschied, ob man den Indexfehler oder die Indexberichtigung eingeben muss. Der Indexfehler ist ein additiven Fehler, der für den gesamten Messbereich des Sextanten gilt und daher vom Messergebnis wieder abzuziehen ist. Zur Indexberichtigung muss daher der negative Wert des Indexfehlers eingegeben werden. Stellen wir fest, dass sich der über den Horizontspiegel einfallende Horizont mit dem über den Indexspiegel einfallenden Horizont erst bei eingestellten 3,6 Bogenminuten deckt, dann beträgt der Indexfehler 3,6′. Einzutragen ist dann eine Indexberichtigung von -3,6′. Zulässig sind nur Bogenminuten. Bei einem Indexfehler von 1° 20,6′ beträgt die Indexberichtigung -80,6′

Die Mittagslänge

Für die Bestimmung des Längengrades gibt es zwei Methoden. Die Erste ist etwas mühselig und beruht auf einer Bestimmung des Schiffsmittags. Die Zweite modernere Methode benutzt das sogenannte PZX-Dreieck.

Am Schiffsmittag befindet sich die Sonne auf demselben Längengrad wie unser Schiff. Wir haben mal gehört, dass die Sonne in einer Stunde 15 Längengrade zurücklegt. Da könnte man den eigenen Längengrad doch einfach berechnen. Wir haben schließlich eine Quarzuhr an Bord, die uns ständig die Zeit am Nullmeridian (UTC) anzeigt. Wenn es am Schiffsmittag 13:00 UTC sein sollte, dann wären wir doch auf 15° westlicher Länge, denn um 12:00 UTC sollte die Sonne über dem Nullmeridian gewesen sein. Leider ist das nicht so.

Erstens verharrt die Sonne am Schiffsmittag Minutenlang auf scheinbar derselben Höhe. In dieser Zeit überquert sie dann zweieinhalb Längengrade, ohne dass wir dieses mit unserem Sextanten bemerken könnten und legt dabei 150 nautische Meilen zurück. Wann genau in dieser Zeitspanne ist also der Schiffsmittag?

Zweitens überquert die Sonne den Greenwicher Nullmeridian nicht um 12:00 UTC, sondern etwas davor oder danach. Die Zeit 12:00 UTC ist genaugenommen nur ein Jahresmittelwert. Die genaue Zeit des Durchgangs durch den Nullmeridian wird Transitus T genannt und ist für jeden Tag des Jahres im nautischen Jahrbuch unterhalb der Sonnenspalten Grt und δ vermerkt. In dem vorstehend gezeigten Auszug aus dem NJ steht unten links T 11:54. Die Sonne überquert an diesem Tag den Nullmeridian schon 6 Minuten früher als im Mittel.

Zeitgleichung der Sonnenephemeriden im Arbeitsblatt Almanac der Datei basic-sun-navigator. Die Kurve gibt die Zeitverschiebung eines Meridiandurchgangs gegenüber dem mittleren Meridiandurchgang an.

Die Ursachen dafür sind in der sog. Zeitgleichung beschrieben. Die Erde dreht sich nicht nur um sich selbst, sondern umrundet auf einer elliptischen Bahn auch die Sonne. Wenn der Meridian von Hamburg im Winter mittags genau in Richtung Sonnenmitte weist und die Erde würde sich nicht um sich selbst drehen, dann würde der Hamburger Meridian im Sommer am Mittag gerade weg von der Sonne weisen. In Hamburg wäre es am Mittag Nacht. Es sind also täglich kleinste zusätzliche Drehungen nötig damit ein bestimmter Meridian nach einer Drehung der Erde um sich selbst, das ist die Sternzeit, wieder genau in Richtung Sonnenmitte gerichtet ist, was dann etwas später geschieht und die Sonnenzeit ist. Dadurch passiert nun folgendes. Auf ihrer ellitischen Bahn ist die Erde in Sonnennähe, also im Winter, etwas schneller unterwegs als im Sommer. Die Sonnenzeit ist dann auch etwas länger als im Sommer, weil mehr Weg auf der Umlaufbahn auch mehr Zusatzdrehung erfordert, bis der gleiche Meridian wieder der Sonne zugewandt ist. Würde man die täglichen Unterschiede in der Sonnenzeit gegenüber der mittleren Sonnenzeit in ein Diagramm packen, dann ergäbe das ungefähr die Form einer einzelnen Sinusschwingung pro Jahr.

Ein weiterer Effekt geht auf die Ekliptik zurück. Die Erdachse taumelt nämlich. Dadurch positioniert sich mal die Nordhalbkugel und mal die Südhalbkugel mehr zur Sonne, was zu den Jahreszeiten führt. Die Taumelbewegung besitzt jedoch nicht nur diese Nickkomponente in Nord-Süd Richtung. Infolge der Ekliptik wird die Erde von der Sonne mal mehr aus westlicher und dann mal mehr aus östlicher Richtung angestrahlt und das jeweils auf jeder Halbkugel. Gegenüber der Anstrahlung eines täglich mittleren Meridians ist die Erddrehung gegenüber der Sonne mal zu groß oder zu klein. Insgesamt folgen daraus zwei sinusähnliche Schwingungsperioden pro Jahr. Im Gegensatz zu den Jahreszeiten bekommen wir diesen Effekt gar nicht mit, weil sich die Erde konstant dreht. Die Überlagerung der jährlichen Schwingungen aus der Umlaufbahn und aus der Ekliptik liefern den Verlauf der Zeitgleichung, der in dem vorstehenden Bild für das Jahr 2019 dargestellt ist.

Für die Zeitgleichung gibt es keine jährliche Periodizität. In einem Rhythmus von vier Jahren sind die Abweichungen jedoch sehr gering. Ausnahme sind dabei Schaltjahresperioden. Die Zeitgleichung ist die Grundlage für die Berechnung der nautischen Jahrbücher und somit auch der Ephemeriden in der hier verfügbaren Downloaddatei sun almanac.

Bestimmung des Kulminationszeitpunktes als Schiffsmittag

Den genauen Schiffsmittag zu finden macht zwar etwas Arbeit, übt aber im Umgang mit einem Sextanten und ist mathematisch anspruchslos, sofern man gewohnt ist, mit Stunden, Minuten, Grad und Bogenminuten genausogut rechnen zu können wie mit Dezimalzahlen. Mindestens zwei Stunden vor dem erwarteten Schiffsmittag wird die Sonnenhöhe h1 gemessen. Sextantenablesung und die sekundengenaue Uhrzeit t1 werden notiert. Etwa dieselbe Zeit nach dem Schiffsmittag versucht man durch mehrere Messungen die Zeit t2 herauszubekommen, wo die Sonne die gleiche Höhe wie bei der Vormittagsmessung hatte. Die Mitte der festgestellten Zeiten ist dann der genaue Schiffsmittag tm.

Wir rechnen das Beispiel weiter: Am selben Tag hatten wir schon um 8:10:14 UT1 die Höhe der Sonne gemessen und am Sextanten 29° 25,0‘ abgelesen. Dieser Wert wird in der EXCEL-Eingabemaske notiert. Doch jetzt kommt erst mal der Schiffsmittag, an dem wir die Sonne nochmals schießen müssen, um die Breite zu bestimmen. Etwa viertel vor 12 hatten wir die Kulmulation feststellen können. Das alles ist weiter oben schon beschrieben worden und wir hatten eine Breite von 39° 41,10′ N erhalten. Jetzt stellen wir an unserem Sextanten wieder den Wert 29° 25,0′ ein und legen uns auf die Lauer. Genau um 15:19:47 UT1 berührt die sinkende Sonne in unserem Teleskop wieder die Kimm.

Mit Papier und Bleistift müsste man jetzt rechnen: Seit der ersten Messung sind 7 Stunden, 09 Minuten und 33 Sekunden vergangen. Schiffsmittag war zur Hälfte dieser Zeit, also genau um 11:45:01 UT1. Transitus war um 11:54:34 UTC. Vom Nullmeridian bis zu unserem Meridian brauchte die Sonne also genau 9 Minuten und 34 Sekunden und das ergibt dann eine Standortlänge von 2° 23,50′.

Das Ergebnis ist die Länge am Schiffsmittag. Den aktuellen Schiffsort um 15:19 UT1 erhält man durch Koppeln unter Berücksichtigung von Kurs und gefahrener  Geschwindigkeit während der letzten dreieinhalb Stunden.

Eingabemaske zur Bestimmung der Länge nach der Mittagsmethode

Mit dieser Methode kann der Längengrad zwar relativ genau bestimmt werden, ist aber verbunden mit einer Menge Arbeit mit dem Sextanten. Man sollte auch aufpassen und sich nicht zu sehr der Sonne aussetzen. Ganz wichtig dabei ist, den Zeitpunkt t2 nicht zu verpassen. Das Rechnen beschränkt sich nur auf Grundrechenarten. Die ungewohnte Rechnerei mit Stunden Minuten und Sekunden birgt jedoch ein ziemliches Fehlerpotential. Die Unterstützung durch den basic-sun-navigator z. B. auf einem iPad ist gerade hierbei sehr hilfreich.

Wird ein Plastiksextant verwendet, dann sollte sich dieser für die Vormittagsmessung und die Nachmittagsmessung auf gleichem Temperaturniveau befinden, also nicht in der Sonne liegen lassen. Eine Korrektur unterschiedlicher Indexfehler ist bei dieser Methode nicht möglich.

Die Chronometerlänge

Sehr elegant ist die Bestimmung der Standortlänge mit Hilfe eines Chronometers, einer genauen Quarzuhr also. Diese auch PZX genannte Methode erfordert nur eine einzige Sextantenmessung am Vormittag oder am Nachmittag. Der Rest wird berechnet.

PZX-Dreieck

Wir denken uns ein Dreieck zwischen dem eigenen Standort Z, dem nächsten Pol P (Nordpol oder Südpol), und dem Punkt X auf der Erde, in dem die Sonne gerade im Zenit steht. Dieser Punkt wird als Bildpunkt bezeichnet. Zwei Seiten dieses Dreiecks sind bekannt. So haben wir die eigene Breite schon mal nach der Mittagsbreiten-Methode bestimmt. Da wir allerdings weitergesegelt sind, erhalten wir unsere aktuelle Breite nur durch Koppelnavigation. Da zwischen Äquator und Pol immer 90 Breitengrade existieren, errechnen wir die noch fehlenden Breitengrade bis zum Pol indem wir unsere gekoppelte Breite von 90° abziehen, also (90° – φ) berechnen.

Die Abstände zwischen ganzzahligen Breitengraden sind genau 60 Seemeilen lang und somit kennen wir unsere Entfernung zum Nord- oder Südpol recht genau.

Die Strecke vom Bildpunkt bis zum Pol wird genauso berechnet. Die Bildpunktbreite ist die Deklination δ und die entnehmen wir dem Nautischen Jahrbuch bzw. unserer EXCEL-Datenbank. Diese wird ebenfalls von 90° subtrahiert. Mit (90° – δ) haben wir dann auch die Breitengrade vom Bildpunkt bis zum Pol.

Jetzt fehlt noch die Dreieckseite zwischen unserem eigenen Standort Z und dem Bildpunkt X und das geht tatsächlich genauso. Wir messen die Höhe der Sonne und subtrahieren den Messwert von 90°. Das Ergebnis lautet (90° – hm) und würde mit 60 nm multipliziert die Entfernung von uns bis zum Bildpunkt der Sonne liefern. Warum das so ist wird im Kompendium der Astronavigation gleich am Anfang erklärt. In der folgenden Tabelle wird das noch einmal zusammengefasst dargestellt.

Wenn die Längen aller Seiten eines Dreiecks bekannt sind, dann sind die Winkel zwischen den Seiten fix und können berechnet werden. Der Winkel zwischen den Seiten 1 und 2 ist der Polwinkel P in der vorstehenden Abbildung. Dieser gibt schon mal die Differenz zwischen dem Längengrad unseres eigenen Standorts und dem Längengrad des Bildpunktes der Sonne zum Messzeitpunkt an.

Die erste Spalte im Nautischen Jahrbuch hat die Bezeichnung Grt (Greenwichwinkel). Dieser Winkel kennzeichnet den Meridian des Bildpunktes der Sonne. Dieser Winkel besitzt zwei Eigenschaften:

  1. Der Grt zählt immer vom Nullmeridian ausgehend in westliche Richtung.
  2. Der Grt zählt von 0° bis 360° einmal um die Erde.

Jetzt betrachten wir das vorstehend gezeigte Bild von der Erde und können erkennen, dass sich die Länge eines Schiffsstandortes einfach durch Addition oder Subtraktion von Grt und P errechnen lässt. Die Regel dafür ist einfach. Wird bei der Messung der Sonnenhöhe hm die Sonne im Osten gesehen, dann muss Grt + P gerechnet werden. Steht die Sonne dabei im Westen, dann ergibt sich die Standortlänge als Grt – P. Im gezeigten Bild müssen Grt und P addiert werden, weil die Sonne bei der Messung im Osten steht.

Außerdem ist zu berücksichtigen, dass der Grt von 0° bis 360° einmal rund um die Erde zählt. Standortlängen sind dagegen in Westlängen von 0° W bis 180° W in Sonnenlaufrichtung und Ostlängen von 0° E bis 180° E gegen die Sonnenlaufrichtung aufgeteilt. Das Ergebnis Grt + P könnte im Extremfall also zwischen -180° und 560° liegen. Deshalb müssen die in nachfolgender Tabelle angegebenen zusätzlichen Regeln berücksichtigt werden.

Regeltabelle Chronometerlänge

Eigentlich klingt alles ganz simpel und so ist es auch. Verwirrend könnten die vielen zu beachtenden Regeln sein. Diese sind aber in der EXCEL-Datei berücksichtigt und stellen somit kein Problem mehr dar.

Den Polwinkel P haben wir bisher nur verwendet. Wir haben ihn noch nicht berechnet. Das müssen wir nun nachholen. Das Programm benutzt dafür die folgende Formel:

\begin{equation*}\boxed{P=cos^-^1\,\,\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}}\end{equation}

Die Herleitung dieser Formel ist im Kompendium beschrieben. Wie man sieht sind alle drei Seiten darin enthalten, unsere Standortbreite φ, die Bildpunktbreite δ und die Sonnenhöhe hm. Wir könnten jetzt die Höhe hm mit dem Sextanten bestimmen und das Ergebnis mit einem Taschenrechner schnell zusammentippen. Das ist aber nicht nötig, weil unsere EXCEL-Datei uns diese Arbeit abnimmt. Wichtig ist nur, dass die Feststellung der Sonnenhöhe sekundengenau festgehalten und eingetragen wird.

Eingabemaske des EXCEL Programms zur Längenbestimmung mit dem Chronometer

In die EXCEL-Datei wurde noch eine Besonderheit eingebaut. So wird die eigene gegisste Standortbreite vom Programm um jeweils 20′ nach oben und unten variiert. Man hätte sich in der Breite schließlich auch verschätzen können. Für diese zusätzlich definierten Breiten werden dann die Längen für dieselbe Chronometerzeit berechnet. Überträgt man die gefundenen Kreuzungen der vorgegebenen Breiten mit den berechneten Längen auf eine Seekarte, so liegen die drei Punkte fast in einer Linie, die auch darüber hinaus verlängert werden kann. Der eigene Standort befindet sich, sollte man sich in der Breite verschätzt haben, irgendwo anders aber eben genau auf dieser Linie eventuell auf ihrer Verlängerung. Voraussetzung dafür ist natürlich eine genau gehende Uhr und eine präzise ausgeführte Höhenmessung. Diese Linie wird Standlinie genannt und geht auf den amerikanischen Kapitän Thomas Sumner (1807 bis 1876) zurück.

Plot des basic sun navigators. Der berechnete Standort liegt aufgrund der konvex nach NW gekrümmten Sumnerlinie um eine Kleinigkeit mehr in östliche Richtung versetzt, weil zur Vereinfachung mit Geraden gerechnet und die Krümmung nicht berücksichtigt wurde.

Wird diese Standlinie an einem Tag zweimal ermittelt, einmal vormittags und einmal nachmittags, oder mit zwei verschiedenen Himmelskörpern zum gleichen Zeitpunkt, so erhält man zwei sich kreuzende Linien und der Standort ist der Kreuzungspunkt der Linien. Wird in der Zeit zwischen den Messungen gesegelt, dann muss die erste Standlinie parallel verschoben werden und zwar in Kursrichtung um die gefahrene Strecke. Diese Navigationsmethode war ab der Mitte des 19. Jahrhunderts die Standardmethode zur Positionsbestimmung auf See und sogar verbindlich für die Amerikanische Marine.

Wenn mit dem Programm basic sun navigator die Mittagsbreite ermittelt wurde und z. B. schon vormittags die Chronometerlänge festgestellt wurde, dann berechnet das Programm daraus einen Standort. Das Ergebnis ist in der nebenstehenden Grafik zu sehen. Die rote unterbrochen dargestellte Linie ist die Mittagsbreite und die grüne Linie eine Sumnerlinie.

Wer sich die Grafik genau anschaut kann erkennen, dass diese Sumnerlinie in Abweichung von der traditionellen Art etwas gekrümmt ist. EXCEL berechnet nämlich für die Grafik insgesamt fünf Stützpunkte. Die Sonne wurde im Südosten gepeilt und so kann man bereits erkennen, dass die grüne Sumnerlinie ein Stück des Kreises um den Bildpunkt der Sonne ist. Für die Berechnung des Schnittpunktes wurden allerdings Geraden benutzt. Zum einen die Mittagsbreite und zum anderen die Sehne zwischen den + 20′ in der Breite entfernt liegenden Stützpunkten. Es ist eine Näherungslösung mit ausreichender Genauigkeit.

Was weiter geschah

Mit den Erscheinen des Buches „A New Method Of Finding A Ship’s Position At Sea“ von Kapitän Thomas Sumner  im Jahr 1843 begann die Ära der Standliniennavigation, dessen Wesen hier im Ansatz kurz vorgestellt worden ist. Diese Methode wurde nur etwa 25 Jahre später von dem französischen Seeoffizier Saint Hilaire weiterentwickelt. Sie war dann bis in die Neuzeit hinein weltweiter Standard zur Standortbestimmung auf See und in der Luftfahrt.  Sie wurde erst 1995 nach 10 jähriger Versuchsphase des GPS endgültig davon abgelöst und gilt seitdem als Rückfallsystem für den Fall, dass das GPS mal nicht verfügbar sein sollte.


Links:

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