Standort nach neuen Methoden

Eines der ersten von mir entwickelten EXCEL Navigationsprogramme auf einem iPad mini.

 

Das Konzept der Astronavigation beruht auf der Ermittlung der Schnittpunkte von mindestens zwei Höhengleichen von Gestirnen und ist im Bild 1 dargestellt. Dem größten deutschen Mathematiker Johann Carl Friedrich Gauß gelang 1808 eine direkte Berechnung der Schnittpunkte nach der Beobachtung von zwei Sternen. Der mathematische Aufwand war immens. Als Rechenhilfen standen gerade mal Logarithmentafeln zur Verfügung. Eine praktische Anwendung dieser Methode schied deshalb aus.

Bild 1: Zwei Höhengleichen aus Messungen der Sonnenhöhe schneiden sich an zwei Stellen. Ein Schnittpunkt ist der Beobachtungsort.

Die Seefahrt brauchte jedoch dringend praktikable Navigationsmethoden. So entstanden die Näherungsmethoden des amerikanischen Kapitäns Thomas Sumner und des französischen Seeoffiziers Saint Hilaire. Beide Methoden ersetzen die Höhengleichen im Standortbereich durch Geraden.

Sumner hatte als erster diese Idee und gilt damit als Begründer der Standliniennavigation. Das Verdienst von Hilaire war es, eine Methode entwickelt zu haben, mit der die Genauigkeit der Berechnung einer Standlinie erheblich verbessert werden konnte. Sumner und Hilaire sind die Pioniere der modernen Astronavigation. Übrig geblieben ist jedoch nur die Methode von Hilaire.

Auch heute, im Zeitalter des GPS, gibt es noch Gründe astronomisch zu navigieren. Einen großen Gewinn an Sicherheit bringt das zwar nicht, man unterscheidet sich damit nur von anderen. Leider braucht man dazu einen Sextanten und der kostet Geld. Letztendlich muss man auch noch diese schreckliche Theorie erlernen. 

Das ist vorbei. Lernen müssen nur noch diejenigen, die eine Prüfung ablegen müssen. Alle anderen können die Programme aus dem Downloadbereich für ihr Mobilgerät herunterladen. Damit kann jeder mit der Sonne navigieren ohne je etwas über die Theorie der Astronavigation gelernt zu haben. Bald wird auch eine App für das Smartphpone zur Verfügung stehen bei der die Höhengleichen direkt auf dem Google-Globus im Display erscheinen, und in den Standort hineingezoomt werden kann. Dazu müssen lediglich die Uhrzeit und der auf dem Sextanten abgelesene Winkel eingegeben werden.

Dem Gebrauch der Astronavigation auf dem eigenen Segelboot steht damit keine sperrige Theorie mehr im Wege, außer dass man einen Sextanten braucht und lernen, besser sogar üben muss, damit umzugehen. 

 

Verwendung der Programme

Die Navigationsprogramme im Downloadbereich arbeiten auf EXCEL Basis. Das hat den Vorteil, dass sie auf allen Geräten benutzt werden können, auf denen die EXCEL-App installiert ist, also vom PC bis zum Smartphone. Die EXCEL App ist auf Android Geräten bis zu einer Displaygröße von 10,1 Zoll kostenlos. Apple bietet eine Familienfreigabe für bis zu 6 Familienmitglieder, wenn MS Office oder EXCEL einmal gekauft wurde.

Wenn die Navigationsdateien mit einem PC von der Downloadseite heruntergeladen und auf Mobilgeräten genutzt werden sollen, dann sollten sie in einer Cloud gesichert werden, die auch eine Offline-Bearbeitung ermöglicht. Das ist bei z. B. bei Dropbox oder OneDrive möglich, weil diese einen synchronen Speicher auf dem Mobilgerät halten. Noch besser ist es, diese Dateien im Mobilgerät separat abzuspeichern. Dafür bietet Apple ab iOS11 die Dateien App und Android den Datei Manager. Darin können auch tägliche Kopien abgelegt werden. Diese Speicher sollten auch benutzt werden, wenn die Navigationsdateien mit dem Browser des Mobilgerätes heruntergeladen wurden. Auf jeden Fall sollte anschließend die Offline Bearbeitung geprüft werden, indem auf dem Gerät der Flugmodus eingeschaltet wird. Auf der Downloadseite werden weitere Hinweise für die Verwendung auf iOS Geräten gegeben. Diese eignen sich in der Praxis besser als Notebooks oder PC's, sobald die Displaybreite größer als etwa 7 cm ist.

 

Navigieren mit Gauß

Die klassische Lösung besteht aus einer ganzen Abfolge schwer zu vermittelnder Formeln und Gleichungen in sphärischer Trigonometrie. Dieses original Gaußsche Zwei-Höhen-Verfahren wollen wir deshalb nicht weiter vertiefen, denn wir haben Computer. Die können zig-tausende Berechnungen in Millisekunden ausführen. Damit haben wir die Möglichkeit einer numerischen Lösung desselben Problems über einen völlig neuen Ansatz. Wie das praktisch umsetzbar ist, wollen wir nachfolgend behandeln.

Numerischer Ansatz

Schritt 1

Vom Nordpol bis zum Südpol gibt es 180 ganzzahlige Breitengrade und unser Standort befindet sich irgendwie zwischen zwei Breitengraden. Wie bekommen wir nun heraus, zwischen welchen Breitengraden, die nicht unbedingt ganzgradig sein müsen, wir gerade sind? Wir werden sehen, das ist verblüffend einfach.

Bild 2: Vom Standort bzw. Beobachtungsort aus erscheint ein Gestirn nicht im Zenit, wie vom Bildpunkt aus. Auf einem Kreis um den Bildpunkt herum würde jeder das Gestirn zur selben Zeit in der gleichen Höhe sehen. Der Kreis ist eine Höhengleiche.

Wir beobachten die Sonne und stellen ihre Höhe h fest. Bild 2 zeigt, dass eine Höhe h einfach dadurch erklärt ist, dass der Horizont an unserem Standort gegenüber dem Horizont des Bildpunktes BP der Sonne gekippt ist. Die Erde ist ja eine Kugel. Zu genau derselben Zeit sind die Horizonte aller gedachten Beobachter auf der Linie der sogenannten Höhengleiche um den gleichen Betrag h gekippt. Diese Linie ist ein exakter Kreis mit dem Bildpunkt der Sonne als Mittelpunkt. Der Bildpunkt ist der Ort auf der Erde an dem ein Gestirn, in diesem Fall die Sonne, im Zenit steht.

Jetzt berechnen wir für alle Breiten, die den Kreis der Höhengleiche durchlaufen und diese schneiden, die kreuzenden Längengrade.

Die Aufgabe lautet also: Der Breitengrad y wird von einer Höhengleiche geschnitten. An welchem Längengrad x erfolgt dieser Schnitt.

Das funktioniert nur mit den Breiten, die den Kreis der Höhengleiche durchqueren. Wir müssen also gar nicht vom Nordpol bis zum Südpol alle Breiten betrachten. Für die am Kreis der Höhengleiche vorbeilaufen Breiten würden wir sowieso kein Ergebnis bekommen. Die nördlichste bzw. südlichste Breite einer Höhengleiche wird mit den folgenden Gleichungen ermittelt:

    \begin{equation*}\varphi_N_R=(90^\circ-h)+\delta;\;\;\;\;\;\varphi_S_R=(h-90^\circ)+\delta\end{equation}

Hierin sind  φNR  und φSR die Breitengrade des Nordrandes und des Südrandes einer Höhengleiche also die Nord-Süd Erstreckung ihres Durchmessers und δ ist die Deklination der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt.

Auf diese Weise haben wir den Breitenbereich schon mal eingeschränkt. Diesen Bereich teilen wir nun in z. B. 150 gleichgroße Breitenabstände ein. Das alles macht aber das Programm. Der Programmierer kann dafür auch eine andere Zahl wählen. Im Bild 2 sind der Übersicht halber nur fünf derartige Breitenabstände zu sehen und die durchlaufenden Breiten sind rot eingefärbt. Für jeden Schnittpunkt einer jeden der 150 durchlaufenden Breiten mit der Höhengleiche wird jetzt der genaue Längengrad berechnet. Im Bild 2 wären das die Längengrade durch die roten Punkte.

Bild 3: Aus dem Messwert einer beobachteten Höhe kann für jeden Breitengrad diejenige Länge berechnet werden, an der er von der Höhengleiche gekreuzt wird. 

Für die Berechnung benutzen wir eine Formel, deren Herleitung im Kompendium gezeigt wird. Dieselbe Formel wurde schon im 18. Jhd. verwendet, um die sogenannte Chronometerlänge zu bestimmen.

Die Formel arbeitet mit zwei Parametern. Das sind erstens die Koordinaten des Bildpunktes zum Beobachtungszeitpunkt, also der Stundenwinkel Grt und die Deklination δ der Sonne. Diese Werte erhält man aus einem Nautischen Jahrbuch oder einer Computerdatenbank. Als zweites benötigt man den Radius der Höhengleiche und den erhält man durch eine einzige Messung mit dem Sextanten.

In der Formel gibt es nur eine Veränderliche und das ist die Breite. So gibt man die Breiten zwischen Nordrand und Südrand des Kreises einer Höhengleiche nacheinander ein und erhält als Ergebnis die Längen an denen die eingegebenen Breiten von der Kreislinie der Höhengleichen geschnitten werden. Das alles macht der Computer automatisch.

Wenn die Sonne nach ein paar Stunden einen anderen Stand hat, wird wiederum ihre Höhe gemessen. Darauf folgt dann die gleiche Rechenprozedur mit denselben 150 definierten Breiten. Jetzt liegt genau der Fall vor, der im Bild 1 zu sehen ist. Wir haben zwei Höhengleichen, die sich überlappen und an zwei Stellen kreuzen. Der Computer berechnet allerdings nur Halbkreise und zwar die, in denen die Kreuzungen tatsächlich liegen. Eine dieser Kreuzungen ist der gesuchte Standort. Wir zoomen jetzt in eine dieser Kreuzungen hinein und erhalten eine Darstellung, wie sie im Bild 3 mit ganzgradigen Breiten gezeigt wird.

Dort kreuzen sich zwei Höhengleichen im Breitenbereich zwischen 7° N bis 11° N. Für jede dieser Breiten sind die Längen berechnet, an denen sie von den zwei Höhengleichen geschnitten werden. Das sind die roten und grünen Punkte. Wir berechnen jetzt einfach für jeden einzelnen Breitengrad die Differenz der sie schneidenden Längen. Im Bild 3 sind das für jeden Breitengrad die Länge am roten Punkt minus der Länge am grünen Punkt. Tritt bei einem bestimmten Breitengrad ein Vorzeichenwechsel auf, dann liegt die Kreuzung der beiden Höhengleichen zwischen diesem und dem genau vorher betrachteten Breitengrad. In unserem Beispiel findet der Vorzeichenwechsel von 9°N zu 8°N bzw. von 8°N zu 9°N statt. Unser Standort befindet sich also zwischen dem 8-ten und 9-ten nördlichen Breitengrad.

Schritt 2

Für eine Standortangabe ist das alles noch viel zu grob. Deshalb machen wir in der gleichen Weise weiter. Anstatt der 150 Breitengrade durch den Kreis der Höhengleiche teilen wir nun den Abstand zwischen den zwei herausgefundenen Breiten in Abstände von jeweils Δφ = 15 Breitensekunden und starten die gleiche Rechenprozedur erneut.

Bild 4: Die Höhengleichen aus erster (grün) und zweiter (rot) Beobachtung können bei genügend kleinem Breitenabstand Δφ als lineare Funktionen angenommen werden.

Das liefert uns die Zahlen von zwei Breiten φ1 und φ2, die nur noch Δφ = 463 Meter auseinanderliegen und zwischen denen sich unser Standort befindet. Jede dieser Breiten wird von jeder Höhengleiche einmal geschnitten. Außerdem schneiden sich die Höhengleichen selbst genau zwischen diesen Breiten und genau dort ist unser Standort. Das Ergebnis ist im Bild 4 zu sehen.

Dasselbe machen wir anschließend auch mit dem zweiten Schnittpunkt, der einige tausend Meilen entfernt liegen kann.

Eigentlich könnten wir jetzt wahllos eine der zwei Breiten und irgend eine der vier ausgerechneten Längen des zutreffenden Schnittpunktes zu unserem Standort erklären und wären dann nur etwa einen halben Kilometer vom Beobachtungsort entfernt, viel dichter, als die Genauigkeit eines Sextanten dies erlauben würde. Wir könnten damit ganz zufrieden sein. Vor allem ist es unglaublich, dass wir nur mit einer einzigen relativ einfachen Formel dahin gekommen sind. Das ist aber nur möglich, weil der Computer die bis dahin mehr als 1000 notwendigen Formelberechnungen in Millisekunden schafft. Ein menschlicher Rechner mit Logarithmentafeln würde dafür vielleicht 100 Stunden brauchen. 

Hier liegt der Vorteil numerischer Berechnungen. Komplizierte Zusammenhänge werden vereinfacht und dann mit einer großen Anzahl einfacher und möglichst gleicher Rechenschritte gelöst. Der Computer, aber selbst schon ein Smartphone, machen das möglich. Begriffe wie Azimut, Ortsstundenwinkel, Höhengleichung  und gegisster Standort bzw. Koppelort kommen in dieser Methode überhaupt nicht mehr vor.

Schritt 3

In einem letzten Schritt werden nur noch die Koordinaten der Kreuzung der zwei Geraden im Bild 4 ausgerechnet. Das ist recht einfach und für Interessierte im Anhang des Kompendiums erklärt.

Der geringe Abstand von nur 463 Metern berechtigt durchaus, mit Geraden rechnen zu können. Die Krümmung einer Höhengleiche über eine Gerade von 1 Meile Länge macht gerade mal einige Zentimeter aus. Damit werden mit dieser Methode Genauigkeiten erreicht, bei denen die Eingaben von Sextantenablesungen, Zeiten, Augeshöhe und Indexfehler metergenau matchen, ohne dass wir einen Koppelort eingeben mussten. Im Computer laufen die Schritte 1 bis 3 natürlich nahtlos hintereinander ab und selbst ein Smartphone liefert das Ergebnis promt nach der letzten Eingabe. Der tatsächliche Standortfehler hängt jedoch von anderen Faktoren ab. Neben den unvermeidlichen Meßfehlern ist auch die Beschickung einer Sextantenablesung ein kritischer Punkt. Auch die wird automatisch ausgeführt, einige Bemerkungen dazu sollten aber nicht fehlen.

Gesamtbeschickung - eine Fehlerquelle

Eine Gesamtbeschickung berücksichtigt den halben Sonnendurchmesser, die Kimmtiefe und die Refraktion, das ist die Brechung des Lichtes nach Eintritt in die Erdatmosphäre. Die Kimmtiefe kann exakt berechnet werden und der Sonnendurchmesser ist bekannt. Probleme gibt es, wenn die Refraktion durch Berechnung bestimmt werden soll. Hier spielt nicht nur die Lufttemperatur und der Luftdruck eine Rolle, sondern auch, wie sich diese Werte in verschiedenen Höhen verteilen. Die verschiedenen Klimazonen tun ein Übriges dazu. Es existieren eine Menge zugeschnittener Größenformeln, die aber allesamt nicht diejenigen Werte treffen, die in den Gesamtbeschickungstafeln der neueren Nautischen Jahrbücher abgedruckt sind. Deutschsprachige Tafeln aus den letzten Jahrzehnten unterscheiden sich zudem noch und international besteht auch keine Einigkeit.

Da sich kein präziser Berechnungsweg finden ließ, wurde auf Tafeln zurückgegriffen. Doch welche sollte man wählen? Die Tafeln in den nautischen Jahrbüchern des BSH sind mit ihren 2 m Augeshöhen-Intervallen bis 40 m auf die Großschifffahrt abgestellt. Doch gerade im Bereich bis zu 4 m, der für Segler interessant ist, haben die Daten die stärksten Änderungen. Einfach 2 m oder 4 m wählen? Ohne Interpolation gibt es keine Zwischenwerte. Das würde bei den nachfolgend gezeigten Beispielen zu Unterschieden im Standort von 1,5 nm in der Breite und 0,25 nm in der Länge führen.

Eine Interpolation zwischen 1 m Schritten liefert natürlich genauere Ergebnisse als zwischen 2 m Schritten. Eine Tafel mit 1 m Schritten konnte im U-BOOT Archiv gefunden werden. Logisch, denn die Brücken von U-Booten im 2. Weltkrieg waren niedriger als die von Großschiffen und deshalb ist diese Tafel für Segelboote besser geeignet. Seltsamerweise sind alle Werte der Tafel z. B. im Nautischen Jahrbuch 2019 des BSH mit den Werten in der U-Boot Tafel identisch. Die U-Boot Tafel wurde deshalb in die nachfolgend beschriebenen Navigationsprogramme als Datenbank integriert, allerdings im Umfang beschränkt auf eine Augeshöhe bis zu 6 m. Diese reduzierte Tabelle ist hier als PDF abgelegt.

Jede Eingabe einer Augeshöhe als Dezimalzahl bis 6 m wird im Programm zweidimensional interpoliert, also in Richtung der benachbarten Augeshöhen und in Richtung der benachbarten Höhen. Eine Standortabweichung aufgrund grober Tafelwerte wird dadurch auf ein Minimum reduziert.

 

Gauss Lösung mit neuer Methode

Carl Friedrich Gauß hatte keinen Computer, mit dem er die Lösung numerisch hätte finden können. Er hatte aber dieselbe Aufgabe zu lösen und deshalb habe ich dem Programm den Namen gauss-navigator gegeben. Es kann aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden.

Bild 5: Eingabemaske des Navigationsprogramms gauss-navigator

Die Eingabemaske des Programms, das in einer EXCEL Kalkulationstabelle untergebracht ist, zeigt Bild 5. Eingaben sind nur in den grau hinterlegten Feldern möglich. Die fixen Parameter ändern sich in der Regel nicht. Die Augeshöhe hängt von der Höhe des Schiffsdecks ab. Es ist die Höhe zwischen Wellenkamm und Sextantenfernrohr während einer Beobachtung.

Indexberichtigung ist der negative Wert des festgestellten Indexfehlers. Bei Verwendung eines Plastiksextanten kann sich der Indexfehler infolge von Temperaturänderungen zwischen den Messungen ändern. Deshalb gibt es bei Benutzung von Plastiksextanten die Möglichkeit, ihn für jede Kimmabstandmessung neu festzustellen und einzugetragen. Bei Metallsextanten sollte man den Indexfehler alle paar Wochen überprüfen.

In den Blöcken "Messung 1" und "Messung 2" folgen die Eintragungen von Datum und Uhrzeit der Sonnenbeobachtungen. Einzutragen sind nur die Sextantenablesungen. Die Beschickung erfolgt automatisch.

Unter Versegelung werden Kurs und zurückgelegte Strecke zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen angegeben. Der Versegelungsvektor erscheint als blauer Pfeil in der Grafik. Das ist die einzige Stelle, an der noch gerechnet werden muss. Alternativ könnte in einer anderen Programmversion anstelle der Strecke die mittlere Geschwindigkeit eingegeben werden. Meinungen dazu könnten unten in einem Kommentar abgegeben werden.

Sobald alles eingegeben ist berechnet das Programm die zwei Schnittpunkte, von denen der Zutreffende auszuwählen ist. Meist liegen diese auf beiden Halbkugeln der Erde verteilt. Die Auswahl dürfte daher nicht schwer fallen.

Hinweis: Im Block Auswahl und Ergebnis sollten die Auswahlfelder ganz rechts zunächst leer sein. Am besten beide richtig löschen und dann erst auswählen, denn auch ein Leerzeichen gilt als Auswahlzeichen und könnte zu Irritationen führen.

Das Gauß-Programm liefert zwei Grafiken, eine Standortgrafik und eine globale Grafik. Diese zeigt Bild 6.

Bild 6: Das Bild zeigt links die Standortgrafik mit dem Schiffsstandort im Zentrum und rechts die globale Grafik mit den zwei Schnittpunkten der Höhengleichen.

Die Farbe grün ist der ersten Kimmabstandsmessung zugeordnet und die Farbe rot der zweiten. Die grün gestrichelte Linie ist die Standlinie 1, die versegelt wurde. Ein blauer Pfeil zeigt die versegelte Strecke an. In der Senkrechten entspricht eine Bogenminute einer Seemeile. Da die Breitenkreise zu den Polen hin immer kürzer werden ist die Länge einer Breitenminute das Produkt aus einer Seemeile und dem Kosinus des Standort-Breitengrades. In der Standortgrafik links ist der Standort in der Mitte angeordnet. Das ist beim Abschätzen von Strecken zu beachten.

Die globale Grafik zeigt die beiden Höhengleichen der Sonne zu den angegebenen Zeiten. Das Diagramm ist um 90° nach rechts gekippt, weil es mathematischen Regeln*) folgen muss. Für die eingetragenen Daten kommt nur der Schnittpunkt auf der Nordhalbkugel in Frage. Der grüne Bogen ist in Richtung Osten offen, weil bei der ersten Messung die Sonne im Osten gepeilt wurde.

Bild 7: Ausgegebene Tabelle mit einigen zusätzlichen Daten

Nur der Halbkreis des größeren gemessenen Kimmabstandes wird vollständig berechnet. In diesem Beispiel ist es der rot dargestellte. Der andere Halbkreis mit größerem Radius wird nur im selben Breitenbereich berechnnet. Die Bögen sind in dieser kartesischen Koordinatendarstellung mit unterschiedlicher Achsenskalierung natürlich verzerrt. Nur auf einem Globus wären sie kreisrund.

Bild 6 im Kompendium zeigt das Ergebnis auf einem Globus. In der Abbildung wurde auch der grüne Halbkreis bis zur maximal möglichen Breite gezeichnet.

Angaben sollten mit großer Sorgfalt erfolgen, um Tippfehler zu vermeiden. Bei vielen Fehleingaben erscheinen Hinweise, aber nicht alle Fälle können abgedeckt werden. Im Untersched zu früheren Versionen muss die Peilrichtung der Sonne nun nicht mehr eingegeben werden. Dadurch wird die Benutzung der Programme extrem einfach.

 

Gekrümmte Sumnerlinien

Die vorstehend gezeigte Methode erfasst die halbe Erdkugel, speziell die von der Sonne beschienene Seite. Nach der Berechnung muss man sich dann für einen der Schnittpunkte entscheiden. Das erscheint irgendwie zuviel des Guten. Schließlich weiß man ziemlich genau, in welchen Breiten man sich gerade aufhält. Eine Schätzung der eigenen Breite innerhalb eines 4° Bereiches kann jedem normal gebildeten Menschen zugetraut werden, einem Skipper erst recht. Das macht die Sache einfacher. Ansonsten ist das Rechenverfahren identisch mit dem vorstehend Beschriebenen.

Ein entsprechendes Programm unter dem Namen computersumner kann aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden. Kapitän Sumner hat als erster den Verlauf einer Höhengleiche mit drei Punkten berechnen können und wusste, dass diese einem Kreis folgen würden. Letztendlich musste er sich aber entscheiden. Die Kreislinie eines Kreises von vielleicht 5000 Meilen Durchmesser war mathematisch oder grafisch nicht zu beherrschen. So entschied er sich, von jeder Höhengleiche nur zwei Punkte auf nebeneinanderliegenden gangradigen Breiten zu berechnen und diese dann mit Geraden kreuzweise zu verbinden. Der Kreuzungspunkt der Geraden war dann der Standort. Die dafür gewählten Breiten waren die nächst größere und die nächst kleinere seiner Koppelbreite. Er hatte keinen Computer und musste so vorgehen. Das war analog der Darstellung im Bild 4. Dort geschieht das aber dank Computer mit Breitenabständen von 15 Breitensekunden statt mit 60 Seemeilen.

Bild 8: Eingabemaske des Navigationsprogramms Computersumner

Wir können den Verlauf einer Höhengleiche mit Computerunterstützung in beliebig vielen Punkten genau verfolgen und wir können die Kreuzung zwischen den so entstehenden Bögen beliebig genau ausrechnen. Hätte Kapitän Sumner einen Computer gehabt, dann würde er es so gemacht haben.

Die Eingabemaske dieses Programms ist mit der vorhergehenden Gauß Maske vergleichbar. Sie wird im Bild 8 gezeigt.

Ganz oben ist die Breite des eigenen Standortes einzugeben. Der Wert kann unverändert bleiben, solange der Toleranzbereich von 4° nicht verlassen wird. Innerhalb dieses Breitenbereiches wird jeder Standort genau berechnet.

Darunter sind wieder die fixen Parameter, wie oben bereits beschrieben, einzutragen.

In den Blöcken "Messung 1" und "Messung 2" werden Datum, sekundengenaue Uhrzeit der Feststellung der Kimmabstände und der am Sextanten jeweils abgelesene Höhenwinkel der Beobachtungen eingetragen.

In der Zeile Versegelung werden Kurs und zurückgelegte Strecke zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen angegeben. Der Versegelungsvektor erscheint wieder als blauer Pfeil in der Grafik Bild 9. In dieser Grafik liegt der berechnete Standort im Zentrum.

Bild 9: Grafikausgaben des Programms computersumner

Die rechte Grafik zeigt den Verlauf der Höhengleichen über einen Bereich von 4 Grad Breite. Deutlich erkennbar ist der gekrümmte Verlauf der Linien. Der Schnittpunkt wird exakt und metergenau als Schnittpunkt der gekrümmten Linien berechnet. Natürlich ist das nur die Mathematik doch das ist auch schon mal was.

Bild 10: Ausgegebene Tabelle mit einigen zusätzlichen Daten

Auch hier ist die rechte Grafik um 90 Grad nach rechts gekippt. Die  Achsen in der linken Grafik sind in Bogenminuten  unterteilt, die Achsen in der rechten Grafik in Grad.  Zu beachten ist, dass die Entfernungen zwischen den Längengraden zu den Polen hin immer kürzer werden.

Das Programm gibt außerdem eine kleine Tabelle mit zusätzlichen Daten heraus, die im Bild 10 dargestellt ist.

Damit sich die Höhengleichen nicht zu spitz schneiden, sollte zwischen den Messungen der Kimmabstände eine entsprechend große Zeit vergehen. Mehr als zwei Stunden sind auf jeden Fall günstig. Die Messungen können entweder beide am Vormittag oder beide am Nachmittag erfolgen. Am besten ist es jedoch, wenn die erste Messung am Vormittag und die zweite am Nachmittag gemacht werden. Messungen in der Nähe des Schiffsmittags sollten vermieden werden, weil dann die Höhengleichen fast parallel zu den Breitengraden verlaufen. Jeweils eine Stunde vor oder nach dem Schiffsmittag kann problemlos gemessen werden. Zur Kontrolle wird der Schiffsmittag angegeben, allerdings erst nach Ausführung einer Standortberechnung.

 

Saint Hilaire pro

Die Navigationsmethode des französischen Seeoffiziers Marcq Saint Hilaire gilt aktuell immer noch als Standardmethode in der astronomischen Navigation und ist sogar offizieller Lehrstoff in allen Ausbildungen. Die Methode ist nicht exakt. Außerdem ist sie ziemlich komplex und erfordert, damit sie im Kopf bleibt, ständige Routine. Als Notfall Methode ist sie deshalb nicht die beste Wahl. Eine Computer App ist dann schon hilfreich.

Doch wenn Computer, dann auch richtig. Die Methode von Hilaire ist eine Näherungsmethode. Ein Standort wird geschätzt und in einem Rechendurchgang angenähert. Das ist meist genau genug. Doch ein Computer kann mehr. Näherungsrechnungen können allgemein als Iteration (von lat. iterare = wiederholen) verwendet werden, wodurch das Ergebnis bis zur Konversion getrieben werden kann. Theoretisch sind Abweichungen dann unendlich klein, aber auch nur mathematisch betrachtet.

Die Hilaire Methode liefert zwar nach einem Rechendurchgang ganz brauchbare Ergebnisse. Das gilt aber nur, wenn der geschätzte Standort, der Koppelort, nicht allzu weit weg ist. Doch das ist nicht immer gewährleistet. Im Notfall könnte das Schätzen des Koppelortes ein Problem werden.

Bild 11: Korrekturen zwischen beobachteter Höhe und berechneter Höhe ermöglichen das Anlegen einer Tangente genau an den Kreis der Höhengleiche. Diese Tangente als neue Standlinie geht am Beobachtungsort vorbei, wenn sich dieser nicht auf demselben Azimutstrahl wie der Koppelort befindet (rechts).

Bevor wir zum Rechenprogramm kommen, schauen wir uns die Methode genauer an. Hilaire geht von einem Koppelort aus, der erstmal eine reine Standortvermutung ist. Demzufolge besteht ein Unterschied zwischen der Sonnenhöhe hc, die für den Koppelort berechnet wurde und der tatsächlich mit dem Sextanten gemessenen Höhe hb. Letztere muss allerdings richtiger sein, denn sie wurde vom Schiff aus gemessen.

Im Bild 11 beträgt die Differenz hb – hc = IC. Eine Korrektur kann jedoch nur längs des Azimutstrahls von KO in Richtung BP erfolgen, denn nur dieses Azimut Z kann auch berechnet werden. Dadurch wird es möglich, eine Tangente an den Kreis der Höhengleiche ziemlich genau in dem Punkt anzulegen, wo sie vom Azimutstrahl gekreuzt wird. Die Tangente ist eine Gerade und gilt fortan als Standlinie. Sie ersetzt die Höhengleiche als Standlinie, weil mit Geraden besser umgegangen werden kann als mit Kreisen. Ein Fehler entsteht, wenn Koppelort KO und Schiffsort BO nicht auf demselben Azimutstrahl liegen. Dann verpasst die Standlinie den tatsächlichen Standort, wie Bild 11 auf der rechten Seite zeigt. 

Jetzt schauen wir uns im Bild 12 an, wie ein Standort aus zwei Beobachtunge bestimmt wird, wobei die erste (grün) am Vormittag und eine weitere (rot) am Nachmittag erfolgen.

Bild 12: Die Kreuzung von zwei Tangenten als Standlinienersatz ist ein Ort, der dem tatsächlichen Standort sehr nahe kommt und als neuer Koppelort in einem weiteren Rechendurchgang den Schiffsstandort sehr genau wiedergeben könnte.

Nach der ersten Messung bringt die Korrektur mit IC1 die Standlinie 1 als Tangente an die Höhengleiche 1. Der östlich davon liegende Beobachtungsort BO, der Schiffsort, liegt jedoch auf der Höhengleiche 1. Die Tangente als neu definierte Standlinie SL1 geht deshalb daran vorbei.

Nach der Messung am Nachmittag bringt die Korrektur mit IC2 eine Tangente an die Höhengleiche 2. Diesmal von innen nach außen. Die Tangenten sind die neuen Standlinien und schneiden sich im berechneten Standort, der mit Ergebnis 1 bezeichnet ist. Das ist zwar nicht der Standort, liegt aber wesentlich näher dran als der ursprüngliche Koppelort. Die erreichte Genauigkeit genügt im allgemeinen. Abweichungen betragen in der Praxis weniger als zwei Meilen, aber nur dann, wenn der Koppelort nicht so weit weg vom Beobachtungsort liegt. Weiterhin scheint wichtig zu sein, dass sich die Standlinien bzw. Höhengleichen möglichtst rechwinklig schneiden. 

Wenn der Koppelort aus irgend einem Grund nicht nahe genug bestimmbar ist, dann kann ein zweiter Rechendurchgang nützlich sein, in dem das Ergebnis 1 als neuer Koppelort verwendet wird. Das Programm Hilaire pro macht das jedoch automatisch und insgesamt 3-mal hintereinander. Der Koppelort kann deshalb viel hemdsärmliger angegeben werden. Ganzgradige Längen und Breiten genügen völlig. Selbst Koppelorte, die zwei oder drei ganze Grade daneben liegen führen dann immer noch zu recht genauen Resultaten.

Es darf jedoch nicht übersehen werden, dass eine Standortberechnung, so präzise die Mathematik auch sein mag, letztendlich nicht den Schiffsort liefert, sondern nur den Ort für den die Eingaben von Zeit, Sextantenablesung, Indexfehler, Ausgeshöhe, Beschickung und sogar Genauigkeit der Bildpunktkoordinaten matchen. Die Programme im Downloadbereich arbeiten deshalb mit Koordinaten, deren Minutenangaben vierstellig ausgerechnet sind. Alleine das ergibt gegenüber den zweistelligen Minutenangaben im Nautischen Jahrbuch des BSH höhere Genauigkeiten von bis zu 0,25 nm. Man ist also bei präzise rechnenden Programmen vor allem selbst verantwortlich für auftretene Standortabweichungen, die dann nicht mehr auf die Methode geschoben werden können. Mit den Instrumenten professionell arbeiten zu können ist deshalb sehr wichtig.

Die Downloaddatei hilaire-navigator-pro ersetzt den eingegebenen Koppelort intern zweimal automatisch hintereinander durch eigene Standortergebnisse. Sie ist dadurch nicht nur mathematisch hochgenau, sondern toleriert auch höchst ungenau eingegebene Koppelorte. Dadurch unterscheidet sie sich von der Standard Methode, die keine Iterationen vorsieht.  Das ist der Vorteil, den hier ein richtig programmierter Computer bringen kann. Bild 13 zeigt die Eingabemaske des Programms. Ausgaben erscheinen sofort nach Bestätigung mit der Eingabetaste.

Bild 13: Eingabenmaske des Programms Hilaire pro

Im Block "fixe Parameter"  müssen die  Indexberichtigung für den verwendeten Sextanten und die Augeshöhe eingetragen werden. Bei Verwendung eines Plastiksextanten sollte der Indexfehler unmittelbar vor oder nach jeder Messung neu festgestellt werden. Er unterliegt stärkeren Schwankungen bei Temperaturänderungen.

In der Zeile "Koppelort" wird ein bekannter Ort eingetragen. Eine nächstliegende Kreuzung eines ganzgradigen Längen- und Breitengrades genügt völlig. Eine Verschätzung bis zu drei Graden ergibt immer noch genaue Ergebnisse. Möglich ist natürlich auch die Eintragung eines Zielortes, wenn das Ziel nicht allzu weit entfernt liegt. Dann liefert der Ergebnisblock in der dritten Reihe Kurs und Entfernung zum Ziel.

In den Blöcken "Messung 1" und "Messung 2" werden das Datum, die Zeiten der Kimmabstandsfeststellungen und die Sextantenablesungen für die Sonne mit Unterrand auf dem Horizont eingetragen. Die Beschickung macht das Programm selbst.

Bild 14: Grafikausgabe des Navigationsprogramms hilaire-pro

Der zwischen den Zeiten gesegelte Schlag sollte richtig eingeschätzt werden und wird in der Zeile "Versegelung" eingetragen. Das Ergebnis erscheint sofort. In der Ergebniszeile "Ohne Iteration" wird die Standortberechnung nach der original Hilaire Methode, so wie sie heute noch aktuell ist, ausgegeben. Der mathematische Unterschied in diesem Beispiel beträgt in der Breite 0,42 nm und in der Länge 0,78 nm. Mit Iteration sind die Ergebnisse mit den Programmen nach Gauß und Sumner identisch.

Die Hilaire Methode ermöglicht eine Zielnavigation, indem als Koppelort ein nicht zu weit entferntes Ziel, Richtwert 100 nm, eingegeben wird. Im Ergebnisblock erhält man dazu die Strecke und den zu segelnden Kurs direkt auf das Ziel.

Die Grafik zeigt jetzt alle Details. Die Standlinie 1 erscheint nach der Versegelung als gestrichelte Linie, die um Kurs und Strecke der Versegelung parallel verschoben ist. Schließlich hätte jeder Punkt der Standlinie 1 auch Startort gewesen sein können. Azimut und Standlinie der zweiten Messung werden in der Farbe rot dargestellt. Ein blauer Pfeil zeigt die versegelte Strecke an und ein schwarzer Pfeil ist der Vektor vom Standort auf den Rechenort.

Eine Tabelle beinhaltet einige Daten, wie Azimut und Intercept. Damit könnte man auch eine Grafik in der Seekarte konstruieren, wie es in der klassischen Navigation üblich war. Die Grundlagen dazu sind im Kompendium dargelegt.

Bild 15: Ausgegebene Datentabelle

 

Versegelung

Wenn mit der Sonne navigiert wird, dann vergeht zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen immer eine Zeit von mehreren Stunden. In dieser Zeit wird eine Strecke zurückgelegt, die durch Koppeln ermittelt werden muss. Der mittlere Kurs und die geschätzte Strecke müssen den Programmen mitgeteilt werden.

Eine Regel, wie damit umzugehen ist, stammt von Kapitän Sumner aus dem Jahre 1843. Er arbeitete damals grafisch und ersetzte die kreisförmigen Höhengleichen im Standortbereich durch Geraden, die sogenannten Sumnerlinien. Um den Standort nach einer Versegelung bestimmen zu können wurde die nach dem ersten Sonnenschuss konstruierte Standlinie um Kurs und Strecke der Versegelung entlang des Azimuts verschoben. Ihr Schnittpunkt mit der Standlinie aus der zweiten Höhenmessung ist dann der versegelte Standort.

Bei Hilaire muss das Azimut extra berechnet werden. Es ist das auf den Koppelort bezogene Azimut. Bei den hier gezeigten neuen Methoden wird wieder auf Sumner zurückgegriffen. Die im Bild 4 gezeigte grüne Linie wird entsprechend verlängert und um Kurs und Strecke der festgestellten Versegelung parallel verschoben. Dadurch hebt oder senkt sie sich um einen Breitenbetrag von

    \begin{equation*}\Delta\varphi=Strecke\frac{\cos (Azimut-Kurs)}{\cos (Azimut}\cdot\end{equation}

Der versegelte Standort ist der Schnittpunkt dieser verschobenen Linie mit der Höhengleiche aus der zweiten Beobachtung. Ein Fehler aufgrund der rechnerischen Vereinfachung, weil eine Geradenfunktion verwendet wird, ist unbedeutend. Koppelfehler aufgrund wechsender Geschwindigkeiten und evtl. Kurswechseln sind dagegen größer. In den Methoden unterscheidet sich ein Standort nach Versegelung zwischen Hilaire und Gauss bzw. Sumner geringfügig. Das liegt am unterschiedlichen Bezug des Azimut und in der Verwendung von zwei Geradenfunktionen bei Hilaire. Deshalb liefern die neuen Methoden auch hier etwas genauere Rechenergebnisse, was allein nicht ins Gewicht fällt.

 

Fazit

Mit den neuen Methoden wird Astronavigation zum Kinderspiel. Auch ihre Theorie ist völlig simpel. Begriffe wie Ortsstundenwinkel, Azimutstrahl, Koppelort und Intercept kommen überhaupt nicht mehr vor, nicht mal in der Theorie. Ein Standort ergibt sich nach zweimaliger Beobachtung der Sonne, wobei die Zeit einer Beobachtung den Mittelpunkt einer Höhengleiche liefert und die dabei festgestellte Höhe ihren Radius. Alles andere ist Mathematik, die der Computer erledigt.

An einer Weiterentwicklung der Astronavigation hat seit der Einführung des GPS außer einer kleinen Gruppe niemand mehr ein Interesse. Abschaffen will sie aber auch niemand, denn sollte das GPS mal nicht verfügbar sein dann wäre Astronavigation die einzige Alternative. Nach wie vor werden nautische Jahrbücher verlegt und nach wie vor steht astronomische Navigation international in den Lehrplänen angehender Nautiker.

Die Methodik der astronomischen Navigation sollte deshalb weiterentwickelt und dabei unserer jeweiligen Arbeitsweise angepasst werden. Geschieht das nicht, dann bleibt sie auf dem Niveau eines Brauchtums mit all seinen Riten zurück, die letztlich nur von wenigen beherrscht werden. Wie dieser Beitrag zeigt, kann die richtige Anwendung von Computern die Astronavigation stark vereinfachen, so dass es jedem möglich wird mit dem Sextanten unterwegs zu sein oder im Notfall damit auch etwas anfangen zu können.

 


 

*) Eine mathematische Funktion ist eine Menge geordneter Zahlenpaare x-y, wobei jedem Element x nur ein Element y zugeordnet ist. Ein Kreis in einem kartesischen Koordinatensystem ist keine mathematische Funktion, weil einem x-Wert zwei y-Werte zugeordnet werden können. Ein nach oben oder unten offener Halbkreis ist eine mathematische Funktion. Ein Halbkreis mit Öffnungen zur Seite ist keine mathematische Funktion.

Links:

nach oben Mittagsbreite und Chronometerlänge  ♦ Kompendium der Astronavigation

Ein wenig Sextantenkunde ♦ Sextantentest Mark 25Downloads

2 thoughts on “Standort nach neuen Methoden”

  1. Sg. Helmut Hoffrichter, ich habe eben das Selbststudienbuch von Burch durchgearbeitet und bin von der klaren Darstellung auf deiner Site begeistert. Tolle Programme, feine Seite! Kompliment und viele unfallfreie Meilen! lg Martin Kühnl

  2. Danke für die Blumen. Segeln ist eine romantikbehaftete Art der Fortbewegung und wer dann auch romantikbehaftet navigieren will, der bekommt es gleich mit unromantischer Literatur zu tun. Das will ich mit meiner Seite ändern. Beste Grüße Helmut Hoffrichter
    (Bald will ich auch eine App herausgeben)

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