Kompendium der Astronavigation

Warum sollte man heute noch astronomish navigieren? Ganz einfach, weil es auf einsamen Reisen ein schönes Hobby ist, das auch ein wenig Seefahrtsromantik enthält. Segeln ist ja schließlich ebenfalls eine nostalgische Art der Fortbewegung. Doch warum tun wir uns das überhaupt an und reisen auf so unbequeme Weise, wir könnten doch auch ins Flugzeug steigen. Segeln ist jedoch Freiheit und dieses Freiheitsgefühl ist noch größer, wenn wir unseren Weg mit Hilfe der Gestirne finden. Einen Gewinn an Sicherheit bringt Astronavigation nicht, man unterscheidet sich damit nur von anderen

Das Problem bei der Astronavigation ist und das meinen alle, dass man so viel lernen muss und dann ist sie auch noch ungenau. Letztendlich sind Sextanten auch nicht billig. Wer es schließlich doch fertiggebracht hat, mühsam mit seinem monatelang eingepaukten Wissen auf klassische Weise einen Standort zu bestimmen, der dann 30 Seemeilen daneben liegt, der sagt: das will ich nicht.

Gegen die Ungenauigkeit kann was getan werden. Die liegt fast immer daran, dass der Umgang mit Sextant und Uhr nicht beherrscht wird. Die Aversion vor der Theorie hat einen Grund. Die einschlägige Literatur ist nämlich hoffnungslos überfrachtet mit kompliziert dargestellten unwichtigen Details, die in der Praxis nie gebraucht werden. In diesem Kompendium wird deshalb ein anderer Weg beschritten. Alles was nicht gebraucht wird, bleibt weg.

Das Kompendium besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil gilt zunächst der Himmelsmechanik. Darauf aufbauend wird die Gaußsche Idee zur Standortbestimmung behandelt. Diese ist nämlich sehr einfach und bereits mit einem Smartphone lösbar. Danach wird noch beschrieben, wie die Hilaire Methode, die letzte vor dem GPS, durch eine kleine Weiterentwicklung einen richtigen qualitativen Sprung nach vorn machen kann.

 

Die Geschichte der Astronavigation ist sehr alt.

 

 

 

Zu Beginn arbeiten wir heraus, wie ein Himmelskörper, speziell die Sonne, für die Navigation auf hoher See benutzt werden kann. Eine logische Konsequenz daraus war die Circle of Position Navigation, eine Jahrtausendidee. Die Suche nach einer Anwendungsmethode scheiterte schließlich vor ziemlich genau 200 Jahren mit der Erkenntnis, dass der Rechenaufwand ihre Verwendung in der Praxis ausschließt.

Der Ausbau von Seemacht und Welthandel brauchte jedoch praktikable Navigationsmethoden. So wurden im 19. Jhd. Näherungsverfahren entwickelt, die unter den Begriff Line of Position Navigation fallen. Sie gehen auf die Arbeiten von Thomas Sumner und Saint Hilaire zurück. Die Methode von Hilaire war dann auch die letzte vor der Ablösung durch das GPS, was gerade mal 30 Jahre zurückliegt. Eine spezielle Entwicklung dieser Methode war das Navigieren mit Tafelwerken, was den mathematischen Aufwand reduzieren konnte. Mit dem GPS endete dann jegliche Weiterentwicklung der Astronavigation. Erhalten geblieben ist nur die Hilaire Methode als offizielle Alternative zum GPS.

Im Kompendium

 

 

Doch heute gibt es Computer und die Urvorstellung der Astronavigation kann neu belebt werden. Es ist die  und wird deshalb hier auch gleich steht hier am Anfang der Abhandlungen.

 

an erster Stelle.  Das tun wir hier

 

Das Kompendium besteht aus zwei Teilen, der Circle of Position Navigation und der Line of Position Navigation. Die Circle of Position Methode beruht auf einer viele jahrhunderte alten Idee. Ihre Anwendung ist allerdings nur mit Hilfe von Computern möglich. Gleichzeitig mit dem Aufkommen von Computern etablierte sich das GPS und eine Weiterentwicklung der Astronavigation fand nicht mehr statt. Die letzte Methode vor dem GPS war die Line of Position Navigation. Sie ist deshalb noch heute die offizielle alternative Navigationsmethode.

Es ist die Methode des Rechnens und Zeichnens und geht insbesondere auf die Arbeiten von Thomas Sumner und des Marcq Saint Hilaire zurück. Auf letztere aufbauend entstand das Navigieren mit Ho 249 Tafeln. erbreitet, so dass wir uns auch dieses noch anschauen werden. 

 

Die Sonne am Himmel

Grundsätzlich kann mit Hilfe aller Gestirne navigiert werden. Da eine Ortsbestimmung eine Kreuzpeilung ist, benötigt man dazu immer zwei Objekte, dessen Peilungen möglichst um 90° auseinanderliegen sollten. Sterne bieten den Vorteil, dass zwei Sterne direkt hintereinander beobachtet werden können. Ein Standort kann dadurch schnell bestimmt werden, ohne dass Fehler durch Versegelungen entstehen. Allerdings geht das nur zweimal am Tag in der Dämmerung. Im Dunkeln kann mit Sternen nicht navigiert werden, weil der Horizont fehlt. Vorsicht bei Mondschein. Ein Vollmond macht zwar hell, verschiebt aber optisch die Kimm. Segler navigieren deshalb am liebsten mit der Sonne. Die scheint den ganzen Tag und man findet fast immer zwei Momente, wo sie sich nicht hinter Wolken versteckt. Deshalb beziehen sich die folgenden Ausführungen auf die Sonnennavigation. Die Gesetzmäßigkeiten gelten jedoch für jeden Himmelskörper.

Bildpunkt und Höhengleiche

Eine gedachte Linie vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt eines Gestirns durchbricht die Erdoberfläche an dem Ort, wo dieses Gestirn im Zenit steht. Dieser Ort ist der Bildpunkt des Gestirns. Weil sich die Erde mit 15° in der Stunde dreht, bewegt sich ein Bildpunkt mit dieser Geschwindigkeit  von Ost nach West.

Bild 1: Eine Verbindungslinie vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt eines Gestirns durchbricht die Erdoberfläche im Bildpunkt. Der Bildpunkt ist Mittelpunkt von kreisrunden Höhengleichen.

Bild 1 zeigt das in einer Grafik. Der Pfeil in Richtung des beobachteten Gestirns startet im Erdmittelpunkt und endet im Mittelpunkt des beobachteten Gestirns. Für den Nautiker sind Gestirne im Zenit oder auch in Zenitnähe uninteressant. Er beobachtet vielmehr von einem Punkt längs der im Bild gestrichelt dargestellten Höhengleiche aus.  Von dort sieht er das Gestirn zwischen Zenit und Horizont stehen. Weil wir mit dem Sextanten die Höhe des Gestirns über dem Horizont bzw. seinen senkrechten Abstand  vom Horizont messen, bezeichnen wir die Höhe eines Gestirns mit dem Begriff Kimmabstand.

Bild 2: Der Horizont eines Beobachters auf der Umfangslinie der Höhengleiche ist gegenüber der Horizontebene des Bildpunktes um stets den gleichen Betrag 90° – h gekippt.

Warum aber wird ein unendlich weit entfernter Fixstern von unterschiedlichen Orten der Erde aus in unterschiedlicher Höhe gesehen? Es hat nichts mit der terrestrischen Erklärung zu tun, dass man immer höher hinaufblicken muss, je mehr man sich einem hohen Objekt nähert. Bild 2 zeigt die richtige Erklärung.

Die Erde ist eine Kugel und darum kippt der Horizont eines Beobachters gegenüber dem Horizont eines Bildpunktes um so mehr, je weiter dieser vom BP entfernt ist. Dadurch wird der Winkel h, der Kimmabstand, mit steigender Entfernung zum Bildpunkt BP immer kleiner. Die Sonne sinkt immer tiefer. Die unterbrochen dargestellte Linie ist der Umfang eines Kreises, auf dem der Horizont eines Beobachters um denselben Winkel h gegenüber dem Bildpunkt BP gekippt ist. Jeder Beobachter auf dieser Linie sieht die Sonne zur selben Zeit in derselben Höhe h über dem Horizont. Dieser Kreis ist eine Höhengleiche.

Kreise sind eindeutig definiert durch die Lage ihres Mittelpunktes und der Größe des Radius. Die Länge des Radius eines Kreises auf einer Kugeloberfläche ist nicht die Länge einer geraden Verbindung zwischen Kreislinie und Bildpunkt, sondern die kürzestmögliche Weglänge auf der gewölbten Oberfläche von der Kreislinie bis zum Bildpunkt.

Die Koordinaten des Bildpunktes der Sonne, also des Ortes auf der Erde über dem die Sonne gerade im Zenit steht, sind der Stundenwinkel und die Deklination. Zur Erinnerung: Deklination ist der Breitengrad auf dem der Bildpunkt gerade die Erde umrundet. Er bewegt sich etwa zwischen 23,5° nördlicher Breite und 23,5° südlicher Breite. Am Frühlingsanfang rast er gerade mit Höchstgeschwindigkeit den Äquator entlang. Die Delination wird mit δ bezeichnet.

Der Stundenwinkel wird mit Grt bezeichnet. Seine Zahlenangabe ist identisch mit dem Meridian, auf dem er sich gerade Bildpunkt befindet. So ist er null, wenn er den Nullmeridian überquert. Der Zeitpunkt, in dem dieser Transit stattfindet ist nicht 12:00:00 UT1, sondern kann bis 15 Minuten davor oder danach liegen. Die Ursache dafür ist die sogenannte Zeitgleichung. Würden wir uns auf 15° westlicher Länge befinden, dann wäre der Bildpunkt nur ausnahmsweise genau eine Stunde zu unserem Meridian unterwegs. Es können zwischen 1:15 h oder 0:45 h sein. Wir merken uns außerdem:

  1. Der Grt zählt immer vom Nullmeridian ausgehend in westliche Richtung.
  2. Der Grt zählt von 0° bis 360°.

Der Grt wird bei allen Höhenmessungen sekundengenau benötigt, weil sich die Erde zumindest am Äquator mit 463 Metern in der Sekunde dreht. Jede verzögerte Zeitfeststellung oder jede falsch gehende Uhr führt deshalb zu Standortabweichungen. Für die Angabe der Deklination genügt dagegen eine minutengenaue Zeitfeststellung. Die Daten von δ und Grt, die sogenannten Ephemeriden  und man findet findet sie in einem nautischen Jahrbuch. 

Bild 3: Die Differenz zwischen dem festgestellten Kimmabstand h und 90° ergibt den Zenitabstand s. Im Erdmittelpunkt angeordnet spannt der Zenitabstand s die Strecke zwischen Beobachter und Bildpunkt auf. Das ist der Radius einer Höhengleiche.

Den Mittelpunkt einer Höhengleiche haben wir jetzt also definiert und müssen nur noch den Radius bestimmen. Damit ist der Kreis einer Höhengleiche vollständig definiert. Bild 3 zeigt dazu ein Beispiel. An unserem Standort sehen wir die Sonne in einem Kimmabstand von 35° und wir wollen jetzt wissen, wie weit der Bildpunkt entfernt ist.

Dasselbe Winkelverhältnis wie an unserem Standort, ein rechter Winkel bestehend aus dem Horizontabstand h und dem Zenitabstand s, verlegen wir einfach in den Erdmittelpunkt. Wir sehen nun, dass dass der Winkel mit der Größe s = 55° auf der Erdoberfläche dieselbe Strecke mit s = 55° aufspannt. Da diese Strecke genau die Entfernung zwischen Bildpunkt und eigenem Standort ist, kann das nur der Radius der Höhengleiche sein.

Mancher fragt sich nun, warum hier Entfernungen in Grad angegeben werden und nicht in Seemeilen oder Kilometern. Das ist das Interessante an der sphärischen Trigonometrie. Längenangaben entlang von Großkreisen auf der Erdoberfläche werden vorteilhaft in Graden eines Winkels im Erdmittelpunkt angegeben, der genau diese Länge auf der Erdoberfläche aufspannt.

Beim Bogenwinkel handelt es sich um ein relatives Längenmaß, dessen Bezugsgröße der Umfang einer Kugel ist, der immer 360° beträgt. Bei der Erdkugel mit 21600 Seemeilen Umfang wäre dann jedes Grad 60 Seemeilen lang und unser Beispielradius der Höhengleiche beträgt damit 3300 nm.

Wie Bild 4 zeigt, hat jede Zeit ihre eigene Höhengleiche. Deshalb ist es auch wichtig, dass die Zeit einer Höhenmessung sekundengenau erfasst wird. In dem Bild kreuzen sich nun drei Höhengleichen, bei der die Sonne im Osten beobachtet wurde mit drei Höhengleichen bei der die Sonne im Westen beobachtet wurde in immer demselben Standort. Ein größerer Durchmesser wurde dabei mit einem kleineren Horizontabstand gemessen. Ein Standort kann somit aus zwei beliebigen Höhengleichen berechnet werden, weil sie sich immer im Standort kreuzen.

Bild 4: Drei Höhengleichen, die mit der Sonne im Osten beobachtet wurden (grün) kreuzen sich mit drei Höhengleichen die mit der Sonne im Westen beobachtet wurden (rot) im gleichen Standort. Da sie nur von einem Himmelskörper stammen, liegen alle Mittelpunkte auf der Deklinationsbreite.

 

Das Bild dient natürlich nur zur illustration des Konzeptes. Auf einer zweidimensionalen Weltkarte kann die Oberfläche der Erdkugel nur verzerrt dargestellt werden. Nur auf einem Globus können die Kreise im Bild 4 kreisrund sein.

 

Circle of Position Navigation

Mehr astronomisches Wissen ist für eine Standortbestimmung mit der Sonne nicht nötig. Der Rest ist Mathematik und die ist bei der Gauß Idee auch ganz einfach. Um den Schnittpunkt zwischen zwei Funktionsverläufen zu erhalten, muss man diese Funktionsverläufe mathematisch beschreiben, wir brauchen also eine Gleichung, die den Verlauf der Kreislinie einer Höhengleiche im Koordinatensystem der Erde exakt beschreibt. Das hört sich jetzt kompliziert an, ist es aber nicht. Die Lösung besteht in nur einer einzigen Formel aus der spärischen Trigonometrie und die wollen wir nun herleiten.

 

Das nautisch astronomische Dreieck

Das mathematische Modell der Astronavigation ist das nautisch astronomische Dreieck, das im Bild 5 dargestellt ist. Das Dreieck ist zwischen dem eigenen Standort Z, dem nächstliegenden Pol (Nordpol oder Südpol), und dem Bildpunkt X auf der Erde aufgespannt. Wir definieren jetzt die Längen der Seiten, die allesamt Großkreisen folgen.

Bild 5: Das nautisch astronomische Dreiecke, links vor dem Schiffsmittag und rechts nach dem Schiffsmittag. Der Polwinkel P kann aus den Seitenlängen berechnet werden. Die Standortlänge ist vor dem Schiffsmittag Grt + P und nach dem Schiffsmittag Grt – P.
  1. Die Länge der Seite Z↔N ist die Differenz 90° – φ. Hierbei ist φ Standortbreite. Wie später gezeigt wird, muss die Breite φ überhaupt nicht bekannt sein.
  2. Die Länge der Seite X↔N ist die Differenz 90° – δ. Die Deklination δ wird aus dem Nautischen Jahrbuch entnommen.
  3. Die Länge der Seite Z↔X ist der Zenitabstand 90° – h. Die Höhe h wird, wie oben geschildert, mit einem Sextanten gemessen.

Wir haben jetzt alle Seiten definiert. In der folgenden Tabelle fassen wir die Ergebnisse noch einmal zusammen.

Tafel 1: Definition der Seiten des nautischen Dreiecks

Wenn in einem Dreieck die Längen aller Seiten bekannt sind, dann können seine Winkel berechnet werden. So ist der Winkel zwischen den Seiten 1 und 2 der Polwinkel P. Er gibt die Längengrade zwischen unserem eigenen Standort und dem Längengrad des Bildpunktes der Sonne an.

Im Bild 5 links sehen wir, dass unser eigener Längengrad im Standort Z die Summe von Polwinkel P und dem Greenwicher Stundenwinkel Grt ist. Das gilt aber nur, solange die Sonne östlich vom Standort gepeilt wird. Überholt uns die Sonne am Schiffsmittag, dann gilt wie im Bild 5 links gezeigt, dass der eigene Längengrad die Differenz von Grt und P ist.

Tafel 2: Regeln zur Umrechnung einer errechneten Länge in Ost- und Westlängen. Westlängen haben ein negatives Vorzeichen.

Es kommt aber noch dicker, weil die Längengrade in 180° östliche und 180° westliche Längen unterteilt sind, Grt aber von 0° bis 360° zählt. Wir müssen deshalb umrechnen, was nicht kompliziert aber etwas umständlich ist. Die Regeln dazu enthält die Tafel 2.

Wir erkennen jetzt die Bedeutung des Polwinkels P. Mit seiner Hilfe können wir unsere Standortlänge bestimmen. Dazu müssten wir mit dem Sextanten den Kimmabstand messen und P ausrechnen. Die Formel dazu liefert uns der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie aus dem Mathe-Formelbuch:

(1)   \begin{equation*}P=\arccos\frac{\sin h_m-sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

in dieser Formel sind enthalten und bekannt: Der gerade gemessene Kimmabstand hm und die Deklination δ, die wir für das aktuelle Datum und die Zeit der Kimmabstandsmessung aus dem Nautischen Jahrbuch herauslesen müssten. Nicht bekannt ist unsere Breite φ. Wüssten wir diese, dann würden wir unseren Standort sofort ausrechnen können. Dazu muss nur noch die Summe oder Differerenz mit dem Stundenwinkel Grt ausgerechnet werden und der steht ebenfalls im Nautischen Jahrbuch, genau eine Spalte vor der Deklinationt.  Das Ergebnis ist die sog. Chronometerlänge:

(2)   \begin{equation*}{\lambda=Grt\underline{+}\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Wie die Formeln hergeleitet werden ist im Anhang in einzelnen Schritten gezeigt.

Wir haben jetzt mit wenigen Worten das Ergebnis einer Jahrhundertaufgabe, das sog. Längenproblem beschrieben. Mit der Mittagsbreite, die recht einfach zu bestimmen war, konnte damit ein Standort berechnet werden. Für die Umsetzung der gaußschen Idee gehen wir noch einen Schritt weiter und berechnen für einen gemessenen Kimmabstand nicht nur die Länge für eine einzelne gegebene Breite, sondern für sämtliche Breiten, die sich im Radius der Nord-Süd Ausdehnung einer Höhengleiche befinden. Ein Computer wird damit schnell fertig. Wir nennen das die Variation der Breiten.

Variation der Breiten

Die Gleichung 2 beschreibt den Verlauf einer Höhengleiche, wenn wir die Werte von Grt, δ und hm konstant lassen und die Breite φ variieren. Natürlich gibt sie nur Ergebnisse für Breiten, die auch tatsächlich den Kreis der Höhengleiche durchqueren oder maximal tangieren. Das ist der Breitenbereich von 90° – hm + δ bis hm – 90° + δ, also der Durchmesser der Höhengleiche in ihrer Nord-Süd Ausdehnung. Wir bekommen damit allerdings nur punktweise Ergebnisse. Das ist jedoch gleichgültig, weil Rechner sehr gut damit arbeiten können. Ergebnispunkte können schließlich unendlich dicht zusammenliegen.

Wir machen das jetzt mit ganzgradigen Breiten in einem Beispiel. Am 29. April. 2019 wurde eine im Osten stehende Sonne um 9:55:51 UTC mit einer Höhe von 56° 39′ beobachtet. Als sie dann um 12:55:33 UTC im Westen gepeilt wurde, war ihre Höhe 60° 61′. Für das Datum und die Zeiten liefert und das nautische Jahrbuch die Daten der Deklinationen δ und des Stundenwinkels Grt.

Wir berechnen jetzt mit Hilfe der Gl. 2 und der Tafel 2 aus den gegebenen Daten die Kreislinien beider Höhengleichen. Die dafür verwendete EXCEL Tabelle besitzt 70 Rechenzeilen für 70 Breitengrade. Interessierte können sie sich hier heruntergeladen. Die Ergebnisse tragen wir nun in Google Earth als Ortsmarkierungen ein und verbinden die Punkte miteinander. Daraus erhalten wir dann, wie Bild 6 zeigt, einen völlig runden Kreis mit seinen Kreisringkoordinaten im Gradnetz der Erde.

Bild 6: Die Höhengleichen von zwei Sonnenständen wurden nach Gleichung 2 für ganzzahlige Breiten berechnet und in Google Earth als Ortsmarkierungen eingetragen.

In der Gleichung 2 steht ein + Zeichen. Wenn wir nur mit einem Vorzeichen rechnen, dann erhalten wir lediglich einen Halbkreis. Das jeweils andere Vorzeichen liefert die Ergänzung zu einem Vollkreis, wie es der grüne Kreis im Bild 6 zeigt. Das Plus in der Gleichung wird benutzt, wenn die Sonne im Osten steht und das Minus, wenn sie nach dem Schiffsmittag westlich peilt.

Die beiden Höhengleichen kreuzen sich im westlichen Mittelmeer und im Südatlantik. Das ist weit genug auseinander, um eine Auswahl zwischen den nun möglichen Standorten treffen zu können.

Wer sich also schon bei der Betrachtung von Bild 5 Gedanken darüber gemacht hatte, dass die Breite φ ja gar nicht genau bekannt ist, der hat hier die Lösung. Wir brauchen gar keine genaue Breitenangabe. Wir gehen einfach alle Breiten durch und das für beide Sonnenstände. Am Ende erhalten wir dann zwei Kreuzungen der Höhengleichen.

Die Rechnung haben wir mit ganzgradigen Breiten gemacht und ein Grad Breite sind immerhin 60 nm. Das Ergebnis ist also noch sehr grob gepixelt. Der Computer war aber nach wenigen Millisekunden fertig. Wenn wir für dieselbe Aufgabe Breitensekunden verwenden würden, dann läge der errechnete Schnittpunkt innerhalb von 30 Metern. Das ist hervorragend aber nicht mehr in Millisekunden zu schaffen. Der Rechner wäre eine Zeitlang unterwegs.

Berechnung des Schnittpunktes der Höhengleichen

Der genaue Schnittpunkt zweier Kreise im Gradnetz der Erde kann nur numerisch gefunden werden. Deshalb ist die nachfolgende Beschreibung in erster Linie für den Programmierer und nicht für den Navigator gedacht. Die Zeiten haben sich eben geändert und der Navigator arbeitet heute mit einem Programm. Allerdings kann es auch für den Navigator ganz interessant sein zu wissen, wie ein solches Programm die eingegebenen Daten verarbeitet. Das erfolgt in einem Algorithmus und dieser ist im Interesse einer kleinen Rechenzeit mehrstufig aufgebaut. Der Algorithmus soll nachfolgend an einem Beispiel erklärt werden.

Bild 7: Die Kreuzungen der Höhengleichen sind durch einen Vorzeichenwechsel in den Schnittpunktlängen gekennzeichnet. Der mögliche nördliche Standort liegt zwischen den Breiten 30° und 35°. (na: not available)

Wir betrachten dazu zwei Höhenmessungen, die erste mit der Sonne im Osten und die zweite mit der Sonne im Westen und die wurde in 60° Höhe gemessen. Damit liegen zwei Kreise vor, von denen der zweitgemessene einen kleineren Durchmeser aufweist, weil ihre Höhe größer ist. Wenn sich zwei unterschiedlich große Kreise überlappen, dann können die Kreuzungspunkte nur im Durchmesserbereich des kleineren Kreises liegen. Dieser geht von von 90° – hm + δ bis hm – 90° + δ. Zum Zeitpunkt der Messung betrug die Deklination 10°. Damit reicht der Durchmesser der kleineren Höhengleiche von 40° bis -20°, umfasst also einen Breitenbereich von insgesamt 60 °.

Um den Breitenbereich herauszubekommen, in dem sich die Höhengleichen kreuzen, wird der gesamte infrage kommende Bereich in Intervalle von 5° Breite unterteilt. Das sind hier genau 12 Intervalle und 13 Breiten im Abstand von 5°. Nun wird auf jede dieser Breiten die Gl. 2  angewendet. Wenn die Sonne im Osten beobachtet wurde (grüner Kreisbogen) gilt in der Gleichung die Addition und bei der Sonne im Westen (roter Kreisbogen) die Subtraktion.

Als nächstes berechnen wir für jede untersuchte Breite die Differenz der ausgerechneten Längen, in denen sie von der Höhengleiche gekreuzt wird. Im Bild 7 ist das die Längendifferenz zwischen den grünen und roten Punkten. Dabei stellen wir fest, dass immer dann, wenn die Höhengleichen einander kreuzen, ein Vorzeichenwechsel auftritt. Wenn für uns der nördliche Standort infrage kommt, dann liegt dieser zwischen 30° und 35°. Das sind 300 Meilen Breitendistanz, also noch sehr grob. Das war aber nur die erste Stufe unseres Algorithmus.

Bild 8: In der zweiten Stufe wird der in der ersten Stufe gefundene Breitenbereich

Jetzt nehmen wir den detektierten Breitenbereich von 30° bis 35° in eine zweite Stufe, in der wir insgesamt 10 Breitenbereiche definieren. Wir haben also 11 Breiten auf denen wir die gleiche Rechenprozedur mit der Gl. 2 und der Differenzbildung ablaufen lassen. Dabei stellen wir fest, dass der Vorzeichenwechsel zwischen 32° und 32,5° stattfindet. Außerdem existiert nur  ein Vorzeichenwechsel, weil wir uns für einen Standort entschieden haben. Danach ist der mögliche Standort zwischen zwei Breiten lokalisiert, die nur noch 30 Seemeilen auseinanderliegen.

Das gleiche Spiel könnte man noch mehrmals machen. Der Rechner bräuchte für so einen Block, wie ihn Bild 8 zeigt, nur wenige tausendstel Sekunden. Wir kämen so mit den nächsten Stufen spielend auf Breitendistanzen von 3 Seemeilen, dann auf 0,3 Seemeilen, 55 Meter usw.  Das macht natürlich keinen Sinn, weil Messfehler in der Höhe, der Zeit, der Sextantenbeschickung, der Versegelung usw. diese rechnerisch machbare Präzision ad absurdum führen würden. Wir können nach der dritten Stufe einfach aufhören. Unser Standort liegt dann zwischen zwei Breiten, deren Distanz 3 Seemeilen beträgt. 

Bild 9:

Bild 9 zeigt das Ergebnis, wie es aus der dritten Stufe abgeleitet wird. Die Abschnitte der Höhengleichen sehen jetzt wie Geraden aus. tatsächlich weichen diese Bögen von Geraden so gut wie gar nicht ab. Darum kann der Schnittpunkt jetzt auch als Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden.

Zu diesem Zweck werden folgende Geradengleichungen definiert:

φ1 = m1λ + b1 und φ2 = m2λ + b2

Der Koeffizient m = Anstieg wird dadurch gefunden, dass für zwei beliebige Breiten eines Bogens innerhalb dieses 3 Seemeilen Intervalls die Längen berechnet werden. Der Anstieg m einer Geraden ist der Quotient Δφ/Δλ. Der Offset b ergibt sich dann jeweils aus einem der gerade berechneten Wertepaare φ und λ, indem von der Breite φ das Produkt aus m und der Länge λ abgezogen wird. Die Kreuzung der beiden Geraden ist dann der Standort. Die Kreuzungslänge erhält man mit λs = (b2 – b1)/(m1 – m2) und die Kreuzungsbreite mit φs = m1λs + b1 =  m2λs+ b2.

Wir erhalten für den Standort:   32,271°N  5,890°W   bzw.  32°16,25’N  005°53,42’W

Die Herleitung der Formeln zur Berechnung des Kreuzungspunktes linearer Gleichungen ist in der Anlage gezeigt.

Wie genau ist man damit? Verglichen mit der Hilaire Methode ist die Rechengenauigkeit höher. Die Hilaire Methode ist schließlich eine Näherungsmethode. Ein Standort wird einem geschätzten Standort durch Rechnung angenähert, wobei immer eine Abweichung bleibt, die um so größer ist, je schlechter geschätzt wurde. Die rechnerischen Abweichungen können durchaus einige 100 Meter betragen. Die Gaußsche Methode arbeitet dagegen global und direkt, ohne dass ein Standort geschätzt werden muss. Ihre Rechengenauigkeit kann beliebig erhöht werden. Die hier gezeigte Variante, die bei 3 Seemeilen in der Auswahlbreite abbricht, bringt es schon auf weniger als 5 m Rechengenauigkeit. Ein großer Vorteil gegenüber anderen Methoden besteht darin, dass keine Standortschäzung nötig ist.

Die Rechengenauigkeit ist kein Kriterium für die Güte eines Programms zur Astronavigation. Die erreichbare Standortgenauigkeit hängt von anderen Faktoren ab und das sind die Genauigkeiten bei der Höhenmessung, der Zeitmessung, Fehlern in der Sextantenbeschickung und des Schätzfehler bei der Hilaire Methode. Auch die Ephemeriden sind nicht absolut präzise, sie werden in der Regel in zehntel Minuten Genauigkeit aufgeführt, also in einem Raster von knapp 200 m. Alle diese Fehlerquellen zusammen ermöglichen dann eine Standortgenauigkeit von 1 bis 2 Seemeilen bei besten Bedingungen, unabhängig von der Methode. Schon geringer Seegang kann dieses Ergebnis zunichte machen. Der richtige Umgang mit dem Sextanten ist dabei Voraussetzung. Beim Navigieren mit der Sonne kommt noch eine weitere Fehlerquelle hinzu, die Versegelung, auf die nachfolgend näher eingegangen wird.

 

Versegelung

Wenn nicht gerade Totenflaute herrscht, wird zwischen den Sonnenschüssen gesegelt. Nur wenn sich der Standort zwischen den Beobachtungen nicht ändert ist der Kreuzungspunkt der beiden Höhengleichen auch der Standort. Eine Standortänderung zwischen den Beobachtungen wird als Versegelung bezeichnet.

Bild 10: Versegelung einer Höhengleiche durch Nachschleppen der Höhengleiche aus der ersten Beobachtung indem ihr Mittelpunkt versegelt wird.

Bild 10 zeigt die Vorgänge einer Versegelung in einer Grafik, bei der das Verhältnis der versegelten Strecke gegenüber den Durchmessern der Höhengleichen stark übertrieben wurde. Punkt A ist der unversegelte Standort. Wenn keine Versegelung vorliegt, dann ist das der Ort, an dem beide Beobachtungen stattgefunden haben. Punkt B ist der Ort nach einer Versegelung, an dem die Höhengleiche 2 (rot) beobachtet wurde. Weil der eigene Standort immer ein Punkt auf der gerade festgestellten Höhengleiche ist, kann der Punkt A unmöglich der Ort der ersten Beobachtung sein, denn es ist ein Ort auf der roten Linie und damit ein Ort auf der Linie der zweiten Beobachtung. Der Startort, also der Ort der ersten Beobachtung ist ein Punkt auf der Linie der ersten Beobachtung und zwar der Punkt C. Er kann nur durch Zurückrechnung gefunden werden.

Das Problem der Versegelung wird dadurch gelöst, dass die Höhengleiche aus der ersten Beobachtung mitgeschleppt wird. Nur dann bleibt die Kreislinie der erstbeobachteten Höhengleiche unverzerrt bestehen und die Kreuzung mit der Höhengleiche aus der zweiten Beobachtung ist der versegelte Standort. Das wird dadurch erreicht, dass der Mittelpunkt der Höhengleiche 1 um die versegelte Strecke, also um Δφ und Δλ verschoben wird.

Die Versegelungskomponenten Δφ und Δλ zwischen den Beobachtungen müssen also ermittelt werden. In der alten Segelschiffszeit wurde zu diesem Zweck eine Koppeltafel aufgestellt, auf der die festgestellte Geschwindigkeit und der gefahrene Kurs sowie die Zeit eingetragen wurden. Nach jeder Wende, Halse, Kurs- bzw. Geschwindigkeitsänderung wurde ein neuer Eintrag vorgenommen. Früher wurde grundsätzlich immer gekoppelt (eng. Dead Reckoning), auch über Nacht, damit eine Standortschätzung, die bei der Hilaire Methode und auch der Sumner Methode nötig ist, nicht zu weit daneben liegt. Bei der Gauss Variante muss nur zwischen den Beobachtungen gekoppelt werden. Damit sind gute Ergebnisse schon bei zwei Stunden Wartezeit auf eine neue Sonnenposition möglich.

 

Teil 2, klassische Methoden

Die modernen klassischen Methoden wurden erst im 19. Jhd. entwickelt. Zu ihnen zählen die Methode von Sumner und die Methode von Hilaire. Eine Methode von Gauß gab es in der Seefahrt nicht, da sie praktisch nicht anwendbar war. Die Methode von Hilaire hat sich als einzige bis in die Neuzeit erhalten, nicht weil sie besonders präzise ist, das ist sie nämlich nicht. Und auch nicht, weil sie besonders einfach ist, das ist sie nämlich auch nicht. Sie war einfach nur die letzte weltweit und massenhaft geübte Methode vor dem GPS und hat sich nur deshalb bis heute als Standard erhalten.

Bei der Hilaire Methode war es möglich Daten im voraus zu berechnen und in Tabellenbüchern bereit zu halten, so dass sich der Mathematikaufwand erheblich reduzierte. Das war besonders für die Navigation in der Fliegerei interessant. Logarithmentafeln waren nicht mehr nötig. Dafür schleppte man jetzt drei bis vier Bücher im Telefonbuchformat mit, in denen die vorgerechneten Daten enthalten waren. Bekannt sind vor allem die legendären Pub. No. 249 oder Ho 249, die es heute nur noch als Download gibt. Mit dem Aufkommen des Taschenrechners wurde das Ausrechnen der Formeln wieder einfacher, als das Rumsuchen in den Tafelwerken. Der Computer eignet sich allerdings noch besser und es gibt dafür sogar unzählige Programme. Allen liegt jedoch die Hilaire Methode zugrunde.

Zu den klassischen Methoden aus der Zeit vor dem 19. Jhd. zählen die sogenannten alten Methoden. Das sind die Bestimmung von Mittagsbreite und Chronometerlänge. Damit war es ebenfalls möglich, seinen Standort mit etwas Aufwand und Geduld zu bestimmen. Die Bestimmung der Chronometerlänge ist in den Verfahren von Sumner und Hilaire integraler Bestandteil, bei Sumner explizit und bei Hilaire implizit.

Bestimmung der Mittagsbreite

Ein globaler Standort ist bestimmt durch einen Längengrad und einen Breitengrad. Während die Bestimmung des Längengrades in früheren Zeiten erhebliche Schwierigkeiten machte, war der Breitengrad recht einfach zu bestimmen. Man musste dazu nur feststellen, in welchem Zeitpunkt die Sonne ihren höchsten Stand hat. Sie steht dann exakt im Süden (oder Norden) und Schiffsstandort und Bildpunkt befinden sich auf genau demselben Meridian. Der Zeitpunkt an dem das geschieht ist der Schiffsmittag.

Es kann recht mühsam sein ständig auf der Lauer liegen zu müssen um den Schiffsmittag und damit die Kulmination der Sonne nicht zu verpassen. Deshalb sollte schon ein Anhaltspunkt gefunden werden, wann Schiffsmittag ist. Die Downloadprogramme können diesen liefern.

Bild 9: Medianschnitt; die Mittagsbreite φ kann mit Hilfe von δ und s = (90° – h) bestimmt werden

Am Schiffsmittag ändert sich die Höhe der Sonne minutenlang überhaupt nicht und man kann in aller Ruhe die Sonnenhöhe feststellen. Der am Sextanten abgelesene Wert muss natürlich beschickt werden, denn es wird ja vorwiegend immer nur der Sonnenunterrand statt der Mitte gemessen und der Sonnendurchmesser beträgt etwa 32′. Lichtbrechung, Augeshöhe und Jahreszeiten müssen außerdem berücksichtigt werden. Man begeht keinen allzu großen Fehler, wenn man zu dem am Sextanten abgelesenen Wert einfach 13′ addiert. Die Programme in diesem Blog machen die Korrekturen automatisch und genauer.

Tafel 3: Regeln zur Bestimmung der Mittagsbreite

Wenn die Höhe festgestellt wurde, muss der Breitengrad der Sonne, ihre Deklination ermittelt werden. Diesen findet man im Nautischen Jahrbuch unter dem Formelzeichen δ oder in einem der Programme in diesem Blog.

Unsere Standortbreite φ hängt davon ab, welche Konstellation wir gerade zur Sonne haben. Wir müssen beachten, in welche Hemisphäre wir uns aufhalten. Wenn auf der Nordhalbkugel die Sonne am Mittag im Süden steht, dann errechnet sich die Standortbreite als Summe von s und δ und das wären dann (90° – hm) + δ. Dieser Fall ist in dem Medianschnitt in Bild 9 dargestellt. Für alle anderen Fälle gelten die Regeln, die in der vorstehenden Tabelle aufgeführt sind. Etwas mehr zur praktischen Anwendung ist unter https://www.yacht.de/schenk/n002/mittag.html zu finden.

 

Chronometerlänge

Die geografische Breite war also relativ einfach mit für die Seefahrt hinreichender Genauigkeit bestimmbar. Aus der Mittagsbreite wurde die aktuelle Breite einfach durch Koppeln bestimmt. Die Bestimmung der Länge war jedoch weitaus schwieriger.

Bild 10: H4, Original Nachbau des Chronometers, das James Cook auf seiner zweiten Reise benutzte

Das englische Parlament setzte deshalb im Jahre 1714 bis zu 20 000 Pfund Preisgeld für eine praktikable Lösung des Längenproblems aus. Erst zehn Jahre später beschäftigte sich John Harrison damit. Er war eigentlich Tischler, hatte aber bereits eine Uhr mit Holzzahnrädern gebaut und ihn ließ die Vision nicht mehr los, ein genau gehendes Marine-Chronometer zu bauen. Das mit der Uhr war damals keine neue Idee. Es war jedoch üblich, die Greenwich Zeit aus den Abständen zwischen dem Mond und einigen hellen Fixsternen zu bestimmen.

Bild 11: H5, ein verbesserter Exemplar, das John Harrison erst drei Jahre vor seinem Tod fertigstellte.

Mit einem ersten Uhrenexemplar von Harrison gelang eine Testfahrt nach Lissabon, bei welcher die Genauigkeit der Methode bestätigt werden konnte. Das Preisgeld wurde jedoch nicht gezahlt, weil die Testreise nicht ganz den Anforderungen entsprach. Außerdem gab es Widerstände und Bedenken. Die Zuverlässigkeit eines technischen Instrumentes wurde angezweifelt. Insbesondere vom Hofastronom des englischen Königshauses, Nevil Maskelyne, der auf die Monddistanz Methode setzte, weil die unabhängig von technischen Instrumenten ist. Hier könnte man an die jüngere Geschichte erinnert sein. Sogar der Taschenrechner hatte es einst schwer, in der Astronavigation die Logarithmen zu verdrängen.

Erst als James Cook 1775 von seiner zweiten Weltreise zurückkehrte und die gute Qualität eines heute mit H4 bezeichneten Modells eines Harrison Chronometres bestätigte, galt auch in Astronomenkreisen das Längenproblem als gelöst. Harrison wurde ein Preigeld von 10 000 £ zugesprochen. Eine Weiterentwicklung, heute mit H5 bezeichnet, wurde von König Georg III persönlich getestet. Dafür erhielt Harrison weitere 8750 £. 

Nach der H5, die damals etwa 500 £ kostete, bauten Uhrmacher die Modelle nach und die Preise sanken. Die ersten in Serie produzierten Marine Chronometer waren schon 1790 verfügbar. Welche Bedeutung sie hatten zeigt die Tatsache, dass die Beagle auf ihrer Forschungsreise gleich 22 Stück davon an Bord hatte. Mitte des 19 Jahrhunderts war jedes seegehende Schiff mit mindestens zwei Chronometern ausgestattet und der Kapitän besaß noch sein eigenes.

Die Längenbestimmung mit Hilfe eines Chronometers wurde im Teil 1 ab dem Abschnitt nautisch astronomisches Dreieck beschrieben. Sie gilt immer noch als die zuverlässigste Methode in der astronomischen Standortbestimmung.

Es existieren verschiedene Zeitbegriffe. Der in den Downloaddateien verwendete Begriff UT1 ist der Erdrotation angepasst und unterscheidet sich geringfügig von der koordinierten Weltzeit UTC. Da sich die Rotationsgeschwindigkeit der Erde stetig verlangsamt, muss die UTC alle paar Jahre an die UT1 angepasst werden, das geschieht immer dann, wenn die Differenz zwischen UTC und UT1 einen Betrag von 0,9 s erreicht hat. UT1 ist eigentlich die richtige Zeit, doch verfügbar ist meist nur UTC. 

 

Die Sumner Methode – eine vergessene Lehre

Diese Navigationsmethode ist heute kaum noch bekannt. Eigentlich sehr zu Unrecht, denn sie ist leicht verständlich und einfach zu praktizieren. Die ursprüngliche Bezeichnung war „Line of Position Method“ und geht auf eine Zufallsentdeckung des amerikanischen Kapitäns Thomas H. Sumner im Jahre 1837 zurück. Er schrieb darüber ein Buch, das 6 Jahre später unter dem Titel „A New Method of Finding a Ship’s Position at Sea“ erschien. Die Methode wurde daraufhin sogar das Standardverfahren in der US-Navi.

Gegenüber der Methode von Hilaire ist sie sehr einfach zu praktizieren. Ein Standortfehler ist vorhanden und etwas größer als bei der Hilaire Methode. Als Notfall Navigation, wenn auf Computer und Tafelmethode verzichtet werden müsste, ist sie bestens geeignet.

 

Ein Zufall kommt zu Hilfe

Am Morgen des 15. Dezember 1837 näherte sich Kapitän Sumner, er war schon 22 Tage von South Carolina kommend auf See, dem St. George Kanal zwischen Irland und Wales. Seine Reise ging nach Greenock in Schottland. Es stürmte und es war bedeckt. Er brauchte jetzt dringend Sicherheit darüber, dass ihn der Wind aus SSE nicht zu weit an die gefährlich flache und steinige Südostküste von Irland versetzt hat.

Um 10:15 riss die Wolkendecke plötzlich auf und die Sonne wurde sichtbar. Es reichte gerade für eine Messung des Kimmabstandes der Sonne. Er berechnete daraufhin die Chronometerlänge auf Basis der gekoppelten Breite. Die Berechnung ergab, dass sich sein Schiff in sicherer Entfernung von der irischen Küste befinden musste. Er war sich dessen aber nicht ganz sicher, denn durch Windversetzung konnte die Breite, die seiner Berechnung zugrunde lag ziemlich falsch sein. So rechnete er einfach mit einer um 10′ nach Norden versetzten Breite und erhielt eine Position, die um 27 Meilen weiter in Richtung ENE versetzt lag. Daraufhin berechnete er die Länge noch ein drittes Mal mit einer wiederum um 10′ nach Norden versetzten Breite und erhielt wie zuvor einen um weitere 27 Meilen nach ENE versetzten Standort.

Bild 12: Karte aus „A new Method of Finding a Ship’s Position at Sea“ von Thomas H. Sumner.

Alle drei Berechnngen beruhten auf denselben Daten, nur die Breiten waren jeweils anders. Kapitän Sumner schlussfolgerte, dass auf allen drei berechneten Positionen die Sonne in derselben Zeit in derselben Höhe zu beobachten gewesen sein musste. Er hatte somit entdeckt, wie der Verlauf einer Höhengleiche berechnet werden kann. Dass Höhengleichen eines Himmelskörpers Kreislinien um den Bildpunkt eines Gestirns sind war damals nicht neu. Neu war nur, dass erstmalig drei Punkte auf dieser Kreislinie berechnet wurden.

Wir bleiben jetzt authentisch. In seinem Buch beschreibt Kapitän Sumner dieses unter Rule I. Der folgende Text ist frei übersetzt.

  1. Wähle zwei ganzzahlige Breiten, wobei eine davon die nächst kleinere und die andere die nächstgrößere ist als die gekoppelte Breite.
  2. Finde in der üblichen Weise die Schiffslänge nach Chronometer unter der Annahme, das Schiff befände sich auf der kleineren Breite und markiere die gefundene Position als Punkt A auf der Karte.
  3. Finde in derselben Weise die Schiffsposition unter der Annahme, es befindet sich auf der größeren Breite und markiere die gefundene Position als Punkt A‘ auf der Karte.
  4. Verbinde diese zwei Punkte mit einer geraden Linie, die so lang wie nötig ist. Diese Linie ist der Bogen einer Höhengleiche und durchquert die wahre Position des Schiffes und …

Sumner war sich also durchaus bewusst, dass die gefundene Linie in Wahrheit ein Bogen ist. Die Ersetzung des Kreisbogens mit einer geraden Linie war für ihn gerechtfertigt unter der Voraussetzung, dass der Bildpunkt des beobachteten Gestirns weit genug weg ist. Bild 12 zeigt die von ihm gezeichnete Linie und die mit A bzw. A‘ bezeichneten Schnittpunkte auf den Breitengraden 51° und 52°. Die Linie AA‘ ist eine Sekante am Kreis der Höhengleiche. Sumner betont, dass eine Senkrechte von der Linie AA‘ ausgehend auf der Seite der Sonne das Azimut auf den Bildpunkt der Sonne ist.

Unter Rule. beschreibt Sumner dann die Fortsetzung für den Fall, dass eine Positionsbestimmung ohne Landsicht vorgenommen wird wobei er voraussetzt, dass die erste Höhenmessung am Vormittag und die zweite am Schiffsnachmittag erfolgen und die gleichen wie unter Rule I. gewählten Breiten zugrunde liegen. Nachfolgend wieder der Text in freier Übersetzung:

  1. Vorzugehen ist wie in Rule I. wo entsprechend der ersten Beobachtung die Linie AA‘ projiziert wurde.
  2. Gehe in exakt derselben Weise vor, um die zweite gerade Linie zu projizieren (benutze dieselben angenommenen Breiten wie zuvor) und die zweite Linie wird der zweiten Beobachtung entsprechen. Bezeichne die zwei auf den angenommenen Breiten gefundenen Positionen als B und B‘.
  3. Die zwei geraden Linien werden sich einander schneiden, meistens zwischen den angenommenen Breiten. Sollten sie das nicht tun, dann bringe sie zum Schneiden (Anm. verlängern) und der Schnittpunkt ist der Längengrad und der Breitengrad der Schiffsposition sofern der Schiffsort zwischen den Beobachtungen nicht verändert wurde.
  4. Wenn das Schiff seine Position geändert hat dann setze die zwischen den Beobachtungen gesegelte Entfernung in Kursrichtung von einem beliebigen Punkt der Linie AA‘ ab. Zeichne durch diesen Zielpunkt eine gerade Linie parallel zur Linie AA‘ bis diese sich mit der Linie BB‘ schneidet. Dieser neue Schnittpunkt mit BB‘ ist die Schiffsposition zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung.

Hier ist interessant, dass das Problem der Versegelung schon von Kapitän Sumner in exzellenter Weise gelöst worden ist.

Mit dieser Methode begründete Thomas Sumner die Standliniennavigation. Die Standlinien (Line of Position) wurden daraufhin auch als Sumnerlinien bezeichnet. Auch Saint Hilaire benutzte 40 Jahre später Geraden als Standlinien, denn es war unmöglich auf einfache Weise den Schnittpunkt zweier sich überlappender Kreise oder die Schnittpunkte von Bögen zu berechnen. So wurde übereingekommen, dass die Krümmung einer Höhengleiche, im näheren Standortbereich so gering ist, dass die Annahme von Geraden gerechtfertigt werden kann. Dadurch entstehen Standortfehler, die aber nur im Extremfall einige Meilen betragen, insbesondere dann, wenn die Höhe des beobachteten Himmelskörpers mehr als 70° beträgt.

Beispiel

Auf dem Weg nach St. Lucia bestimmte ein Segelboot am 5.12.2016 seine Mittagsbreite mit 14°24′ N. Bei einem Kurs von 270° West betrug die Fahrt rund 6 Knoten. Etwa 20 Stunden später, am Vormittag des 6. Dez. wurde um 13:8:14 UT1 die Höhe der Sonne mit 36°3′ beobachtet.

Für eine Sumnerlinie müssen zwei Breiten geschätzt werden, zwischen denen man sich befinden sollte. Das ist durch Kopplung an die letzte Mittagsbreiten-Bestimmung kein Problem. Da ständig Westkurs gefahren wurde, muss die am Vortag gefundene Mittagsbreite zwischen 14° N und 15° immer noch gelten. Das Nautische Jahrbuch liefert für Datum und Zeit der Feststellung des Kimmabstandes die Deklination δ und den Greenwichwinkel Grt.

Die Polwinkel für beide Breiten sind mit einem Taschenrechner schnell zusammengetippt. Da es Vormittag ist, müssen Polwinkel und der Grt addiert werden. Für 14° N erhält man eine Länge von 059°44′ W und für 15° N sind es 058°59′ W. Die beiden Punkte liegen weit genug auseinander, so dass die Standlinie problemlos mit einem Lineal eingezeichnet werden kann. Im Bild 13 ist das die grüne gestrichelte Linie. Der eigene momentane Standort ist irgendein Punkt auf dieser Linie.

Bild 13: Standlinienkonstruktion nach T. Sumner

Um 18:25:4 UT1 wird die Sonne nach Gesamtbeschickung mit 37°7′ beobachtet. Für diese Zeit entnehmen wir erneut die aktuellen Werte für Grt und δ aus dem Nautischen Jahrbuch und berechnen die zu den Breiten gehörenden Polwinkel. Diesmal müssen diese von Grt subtrahiert werden, da die Sonne inzwischen im Westen steht. Die Breiten von 14° N und 15° N und die berechneten Längen von 059°27,5′ W und 060°27′ W bilden wiederum Schnittpunkte, die mit einer geraden Linie zu verbinden sind. Das ist im Bild 13 die rot eingezeichnete Standlinie 2.

In der Zeit zwischen erster und zweiter Kimmabstansmessung wurde eine Strecke von 31 nm mit Kurs West gesegelt. Von irgendeinem Punkt auf der Standlinie 1 muss jetzt ein Vektor eingezeichnet, werden, der Kurs und Strecke der Versegelung angibt. Im Beispiel waren es 31 Meilen nach Westen. Der Vector ist also ein waagerechter Pfeil nach links auf der Seekarte. Die Standlinie 1 wird jetzt parallel verschoben, bis sie durch die Pfeilspitze dieses Versegelungsvektors geht. Der neue Schiffsstandort befindet sich nach der Versegelung irgendwo auf dieser verschobenen Standlinie 1 und zwar dort, wo sie von der roten Standlinie 2 gekreuzt wird.

Die Methode ist sehr einfach. Man muss eigentlich nur die Daten von Grt und δ aus dem Nautischen Jahrbuch entnehmen und den Polwinkel P für die gegisste Breite nach Gl. 1 berechnen. Das ist relativ schnell gemacht. Eine kleine Grafik zeigt dann das Ergebnis an. Abweichungen vom tatsächlichen Standort sind kleiner als 5 Meilen und hängen vor allem vom Umgang mit Sextant und Uhr ab.

 

Die Methode nach Marcq Saint-Hilaire

Die Sumner Methode verbreitete sich in der zweiten Hälfte des 19. Jhd. recht schnell, war sie doch die einzig bekannte Möglichkeit, auf dem Meer ohne Landsicht die eigene Position finden zu können.

Bild 14: Die Kreuzung der Sumnerlinien wird als Standort angenommen. Der wahre Standort ist jedoch die Kreuzung der Höhengleichen.

Die Wahl zweier ganzzahliger Breiten war ein Kompromiss, der das Rechnen erleichterte, aber auch eine genauere grafische Linienkonstruktion ohne größere Winkelfehler auf der Seekarte ermöglichte. Genau hier lag der Nachteil der Methode. Die Sumnerlinien zwischen zwei ganzzahligen Breiten waren einfach zu lang und damit die Erhebung der Höhengleichen über einer Linie zu groß. Bild 14 zeigt das in übertriebener Weise qualitativ. Kleinere Breitenabstände zu wählen war keine Lösung. Hierbei wären beim Zeichnen unweigerlich Winkelfehler entstanden, die eine noch größere Standortabweichung zur Folge gehabt hätten. Man musste also einen anderen Weg finden, die Standlinien möglichst genau im Standort als Tangente an die Höhengleiche heranzubringen.

Dieses gelang schließlich dem französischen Seeoffizier Saint Hilaire. Der Originaltext einer Zusammenfassung seiner zweiten Publikation in englischer Sprache lautet:

In summary, to calculate an observation, make the calculation of the altitude and the azimuth of the star for the DR Position and the time of observation, add or subtract the estimated altitude from the observed altitude, consider this difference as a path given by the calculated azimuth and correct the DR Position along this path.

Das Ganze ist eine Korrektur des Fehlers des Koppelortes nach folgenden Schritten:

  1. Für die gegisste Position (DR = dead reckoning) sind Höhe und Azimut für dieselbe Zeit der Beobachtung des Himmelskörpers auszurechnen.
  2. Addiere oder subtrahiere die berechnete Höhe von der beobachteten Höhe.
  3. Betrachte diese Differenz als einen Weg auf dem Azimutstrahl und korrigiere die gekoppelte Position entlang dieses Weges. 
Bild 15: Die Größe der Fehlschätzung (IC1) zwischen der Höhengleiche des Schiffsstandortes und Koppelort entlang des Azimuts erhält man aus der Differenz der Höhen an diesen Orten. Die Standlinie ist eine Tangente an der Höhengleiche und schneidet den Azimutstrahl immer senkrecht.

Mit diesen drei Punkten kann der Verlauf einer Standlinie optimiert werden. Wir bleiben bei der Sonne und stellen am Schiffsstandort ihre Höhe zum Beobachtungszeitpunkt t1 fest.

Zur Überprüfung machen wir eine Rechnung. Wir berechnen, wie hoch die Sonne zum Zeitpunkt t1 unserer Beobachtung am Koppelort gestanden haben muss. Außerdem berechnen  wir für die gleiche Zeit die Peilung vom KO zum Bildpunkt der Sonne. Diese Peilung ist das Azimut.

Jetzt bilden wir die Differenz zwischen der berechneten Höhe und der gemessenen Höhe und stellen einen Unterschied von beispielsweise 19 Winkelminuten fest. Die Entfernungen, vom Koppelort zum Bildpunkt und die vom Schiffsstandort zum Bildpunkt, unterscheiden sich also um 19 nm.

Das wird jetzt präzisiert. Ist die am Schiffsstandort gemessene Höhe kleiner als die berechnete Höhe am Koppelort, dann sind wir weiter weg von der Sonne, wir mussten nicht so hoch blicken. Der Koppelort ist damit dichter am Bildpunkt und unsere Standortschätzung war ziemlich falsch. Der wahre Standort liegt 19 nm entfernt vom Koppelort. Bild 15 zeigt das Ganze in einer Grafik.

Ein Fehler liegt darin, dass Koppelort und Standort meist gar nicht auf demselben Azimutstrahl liegen. Dieser Fehler hebt sich nahezu wieder auf, wenn wir einige Stunden später nach der zweiten Höhenbestimmung die zweite Standlinie konstruieren und diese sich dann möglichst senkrecht schneiden.

Auf diese Weise konnten wir die Standlinie als Tangente an die Höhengleiche bringen. Wir müssen jedoch ziemlich viel berechnen, nämlich Höhe und Azimut für den Koppelort. Das war damals mit Logarithmen ziemlich aufwändig. Im Bild 15 ist die Strecke von 19 nm als IC1 eingezeichnet. Die Abkürzung bedeutet Intercept, was so viel wie Abfangen heißt. Der Durchgang der Standlinie durch den Azimutstrahl wird vor oder nach den Koppelort abgefangen. Ursprünglich gab man der Hilaire Methode deshalb auch den Namen Interceptmethode.

Bild 16: Eine zweite Messung einige Stunden später, wobei in derselben Weise vorzugehen ist, liefert eine zweite Standlinie. Der Kreuzungspunkt der Standlinien ist der Schiffsstandort, sofern dieser Ort zwischen den Zeiten nicht verlassen wurde.

Vier Stunden später, zum Zeitpunkt t2, beobachten wir die Sonne erneut. Anschließend berechnen wir wieder Höhe und Azimut auf den Koppelort bezogen und für den neuen Zeitpunkt t2.  

Wir vergleichen wieder die berechnete Höhe am Koppelort mit der gemessenen Höhe am Schiffsstandort. Die am Schiffsstandort gemessene Höhe ist jedenfalls die richtige. Die für den Koppelort berechnete soll diesmal kleiner sein. Vom Schiff aus musste man höher hinauf blicken als dies ein Beobachter am Koppelort hätte tun müssen.

Das Höhendifferenz beträgt jetzt -16,9 Bogenminuten und damit ist der Schiffsstandort 16,9 nm dichter am Bildpunkt der Sonne als der Koppelort. Im Bild 16 ist diese Höhendifferenz als Intercept 2 (IC2) vermerkt. Azimutstrahl 2 und Standlinie 2 sind zur Unterscheidung von der ersten Messung rot eingezeichnet.

Bild 17: Bei Versegelungen muss die auf der ersten Höhenmessung beruhende Standlinie um Kurs und Strecke der Versegelung parallel verschoben werden.

Der Kreuzungspunkt beider Standlinien ist der Schiffsstandort, jedoch nur dann, wenn zwischen den zwei Messungen nicht gesegelt wurde. Versegelungen werden genauso behandelt wie durch Sumner vorgeschlagen. Von einem beliebigen Punkt der Standlinie 1 ausgehend werden der Kurs und die Strecke der Versegelung abgesetzt. Die Standlinie 1 wird jetzt parallel verschoben, bis sie durch den abgesetzten Zielpunkt verläuft. Wir erhalten dadurch die versegelte Standlinie 1. Der versegelte Standort, der aktuelle Standort also, ist die Kreuzung dieser Linie mit der Standlinie 2. Das Ergebnis zeigt Bild 17.

Wie das Beispiel zeigt, ist die Intercept bzw. Hilaire Methode wesentlich komplexer als die Sumner Methode. Zweimal müssen das Azimut und zweimal die Höhe für den Koppelort ausgerechnet werden.

Alternativ kann das Rechnen durch Verwendung der HO-Tafeln umgangen werden. Das Herumsuchen in diesen Tafelwerken ist aber auch keine Freude. Abschließend werden noch die Formeln angegeben, die zum Berechnen von Höhe und Azimut, auf den Koppelort bezogen, verwendet werden. Ihre Herleitung ist im Anhang erklärt.

Für die Höhe am Koppelort gilt:

(3)   \begin{equation*}{h_c=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta+\cos \varphi\cdot \cos \delta\cdot \cos t)\end{equation*}

Das Azimut vom Koppelort aus beträgt:

(4)   \begin{equation*}Z_c=\arccos\frac{\sin \delta-\sin \varphi\cdot \sin h_c}{\cos \varphi\cdot \cos h_c}\end{equation*}

In Gl. 3 ist t der sogenannte Ortsstundenwinkel LHA (Local Hour Angel). Er ist wie der Grt ein Stundenwinkel, der in westliche Richtung bis zum Meridian der Sonne zählt. Unterschiede liegen im Startmeridian. Dieser ist beim Grt der Ort Greenwich und beim LHA = t der Koppelort.

Als Azimut Z berechnet Gl. 4 nur Zc, den Innenwinkel im Astronomischen Dreieck. Das Azimut ist jedoch immer die rechtweisende Peilung auf die Sonne. Das ändert sich am Schiffsmittag. Ab da wird das Azimut zum Außenwinkel, wie es im Bild 21 auf der rechten Seite zu sehen ist.

Bild 18: Systematischer Fehler der Hilaire Methode auf Grund der Benutzung von Geraden anstelle der Höhengleichen. 

Die Hilaire Methode arbeitet sehr präzise, ist aber auch nicht fehlerfrei. Bei astronomischen Standortbestimmungen sind Fehler von 1 bis 2 Meilen Abweichungen fast normal und das allein schon auf Grund von Fehlern bei der Höhen- und Zeitbestimmung. Gerade auf Segelyachten führen Schiffsbewegungen unweigerlich zu Messfehlern in der Höhenbestimmung. Die Uhr wird ja auch nicht immer genau gehen.

Das sind jedoch nicht die einzigen Fehler. Auch die Hilaire Methode besitzt einen systematischen Fehler, der darauf beruht, dass die Kreislinien der Höhengleichen im Standortbereich als Geraden betrachtet werden. Dieser Fehler kann im Extremfall allein schon mehr als eine Seemeile betragen. Er stört beim Üben, weil man dann nicht weiß ob eine Abweichung gegenüber dem GPS auf die Methode oder auf eigene Unfertigkeit im Umgang mit Messinstrumenten zurückgeht.

Wie Bild 18 noch deutlich macht, ist der systematische Fehler davon abhängig, wie weit der Koppelort vom tatsächlichen Schiffsort entfernt liegt. Ein Computerprogramm, das auf der Hiaire Methode basiert, ist daran erkennbar, dass ein Koppelort bzw. Rechenort eingegeben werden muss. Nachdem der Standort berechnet ist, könnte dieser dann in einem zweiten Rechendurchgang als Koppelort bzw. Rechenort eingegeben werden. Danach passt das Ergebnis ziemlich genau auf die Eingaben von Zeit und Höhe.

So ein Vorgehen nennt man in der Mathematik Iteration, was soviel wie Wiederholen bedeutet. Tatsächlich ist die Hilaire Methode vom Ansatz her eine Iterationsmethode, weil ein Startwert, der Koppelort, angegeben werden muss. Dieser wird dann in nur einem einzigen Rechendurchgang lediglich verbessert. Ein berechnetes Ergebnis könnte anschließend sogar beliebig oft als Ausgangswert für weitere Rechendurchgänge eingesetzt werden, bis sich die Ergebnisse nicht mehr voneinander unterscheiden. Für die Praxis ist die Annäherung nach dem ersten Rechendurchgang ausreichend genau, sofern der Koppelort nicht allzu weit weg liegt.

Im Downloadbereich kann das Programm Hilaire pro heruntergeladen werden. Es berechnet den Standort als Standard nach der Original Saint Hilaire Methode und iterativ in drei Rechendurchläufen. Dazu wird aus dem zuerst eingegebenen Koppelort bzw. Rechenort ein vorläufiger Standort berechnet. Anschließend verwendet das Programm diesen vorläufigen Standort automatisch als neuen Rechenort und rechnet das Ganze nochmal durch und dasselbe passiert dann in einem dritten Rechendurchgang nochmal. Ein Computer hat damit ja keine Mühe.

 

Navigieren mit Tafeln

Nicht zuletzt durch die aufkommende Fliegerei entstand die Notwendigkeit, den Rechenaufwand und damit die Rechenzeit mit den Logarithmen zu reduzieren. So entstanden neben anderen die legendären Pub. No. 249 oder kurz Ho 249. Diese gibt es in drei Bänden, jeweils in der Größe eines Telefonbuches. Der erste Band umfasst die Fixsterne. Die Bände 2 und 3 decken jeweils die  Breitenbereiche von 0° bis 40° bzw. von 39° bis 85° ab. Band 1 ist nicht mehr gültig, denn seit seiner letzten Ausgabe haben sich die Positionen der Fixsterne verändert. Die Bände 2 und 3 gelten immerwährend. Zur Navigation wird außerdem das Nautische Jahrbuch benötigt. Die Bücher werden nicht mehr verlegt, können aber aus dem Netz heruntergeladen werden.

Diese Methode ist die einzig Verwendbare, die ohne elektronische Hilfmittel mit vertretbarem Aufwand zu einem Ergebnis führt. Nachfolgend wird nur eine kurze Einführung gegeben, um das Prinzip aufzuzeigen. Wer sich entschließt tiefer einzusteigen der sei auf die zahlreiche Literatur darüber verwiesen. Verständlich geschrieben ist ein Buch von Bobby Schenk mit dem Titel „Astronavigation ohne Formeln-praxisnah„.

Grundlage des Navigierens mit Tafeln ist die Methode von Hilaire. Dreh- und Angelpunkt dieser Methode sind bekanntlich Höhe und Azimut am Koppelort. Sobald diese Größen bekannt sind, ist es einfach, den Schiffsstandort grafisch zu ermitteln. Wenn es also gelingt, Höhe und Azimut für jeden beliebigen Ort auf der Erde in einer Tabelle unterzubringen, dann muss nicht mehr gerechnet werden.

Leider ist es nicht möglich, im Abstand von Zehntelminuten alle möglichen Koppelorte auf der Welt in einer Tabelle unterzubringen. Der Umfang wäre riesig. So ist man auf ganzgradige Größen ausgewichen. Die Präzision ist dann zwar nicht übermäßig aber immehin noch gut brauchbar. Gegenüber der original Hilaire Methode mussten einige Begriffe auf die Verwendung mit den Tafeln angepasst werden.

Koppelortbreite φ: Beim Koppelort handelt es sich um eine bloße Vermutung. Damit ist auch die darin enthaltene gegisste Breite φ nur eine Annahme der tatsächlichen Schiffsbreite. Der geschätzte Wert wird deshalb auf den nächstgrößeren oder nächstkleineren ganzzahligen Breitengrad gerundet und mit LAT bezeichnet.

Ortsstundenwinkel t: Der Ortsstundenwinkel ist ebenfalls nur eine Vermutung. Er wird so abgeändert, dass sich ein ganzgradiger Ortsstundenwinkel ergibt. Dieser wird dann mit LHA bezeichnet. Dabei muss der LHA so gewählt werden, dass er möglicht nahe am ursprünglichen Koppelort liegt.

Deklination δ: Die Deklination wird auf den nächsten ganzzahligen Breitengrad gerundet und dann als DEKLINATION bezeichnet.

Koppelort KO: Durch die letztendlich nur möglichen ganzgradigen Werte von LAT und LHA wird der ursprüngliche Koppelort obsolet. Er beruht ohnehin nur auf einer Vermutung. An seine Stelle tritt ein Rechenort, von dem aus die Standlinienkonstruktion erfolgen wird.

Beispiel

An einem Beispiel soll jetzt mit zwei Standlinien ein Standort konstruiert werden. Dabei gehen wir klassisch zu Fuß vor.  Es ist der 29. April 2019 und der Unterrand der Sonne konnte um 9:42:20 UT1 mit einer Sextantenablesung von 54° 39,8′ gemessen werden. Die Augeshöhe betrug dabei 2,5 m. Wir koppeln unseren Standort an unseren letzten bekannten Standort und schätzen den Koppelort mit 38°46,50′ N und 004°47,00′ E.

Standlinie der Sonne mit Ho 249

Datum: 29.4.2019 Zeit: 9:55:51 UT1 KO: φ = 38° 46,50′ N und λ = 004°47,00′ E

Die Sextantenablesung muss beschickt werden. Dafür gibt es im NJ eine Beschickungstabelle. Die Zusatzbeschickung für den Monat April ist 0′.

Beobachtete Höhe

Sextantenablesung 56°12,20′
Indexberichtigung  -1,2′
Gesamtbeschickung 12,9′
beobachtete Höhe 56°23,9′

Als beobachtete Höhe erhalten wir schließlich 56°23,9′. Im Weiteren muss für die Zeit der Höhenfeststellung der Bildpunktwinkel Grt aus dem Nautischen Jahrbuch herausgelesen werden. Auf der Tagesseite des 29. April lesen wir für 9:00 UT1 Grt = 315°38,7′. Die Schalttafel für 55 Minuten liefert bei 51 Sekunden einen Zusatz von 13°57,8′ Dieser wird dazu addiert und wir erhalten den Greenwichwinkel, die Bildpunktlänge des Koppelortes, mit Grt = 329°36,5′.

Wir befinden uns jetzt an der vermeintlich heikelsten Stelle der Navigation mit der Ho 249. Es muss eine Rechenortlänge gefunden werden, die mit dem Grt einen optimalen ganzzahligen LHA ergibt. Das geht in drei Schritten. Zuerst wird der Stundenwinkel t des Koppelortes ausgerechnet. Nach Gl. 9 im Anhang werden dazu östliche Längen addiert und westliche subtrahiert Wir müssen addieren und erhalten:

    \begin{equation*}t=Grt + \lambda_K_O = 329^\circ36,5'+004^\circ47' =334^\circ23,5'\end{equation}

Im zweiten Schritt wird das Ergebnis ganzgradig auf- oder abgerundet:

    \begin{equation*}LHA=\text{runden}\lbrace334^\circ23,5'\rbrace = 334^\circ00,0'}\end{equation}

Jetzt wird der Rechenort bestimmt. Dazu wird aus dem gerade gewonnenen ganzgradigen LHA der Grt entfernt. Als Ergebnis verbleibt ein Ho 249-gerechter Rechenort:

    \begin{equation*}\lambda_R_O = LHA-Grt = 334^\circ00,0' - 329^\circ36,5' = 004^\circ23,5'\end{equation}

Bei westlichen Schiffslängen wird der Rechenort nicht als LHA – Grt berechnet, sondern als Grt – LHA. Wir fassen zusammen:

Ortsstundenwinkel, Rechenort

Grt aus NJ für 9:00 UT1 315°38,7′
Zuwachs für 55 min und 51 s   13°57,8′
Bildpunktlänge Grt 329°36,5′
Koppelortlänge    4°47,0′
Stundenwinkel t vom Koppelort 334°23,5′
LHA = t ganzgradig runden 334°
Rechenort = LHA – Grt    4°23,5′ E

Jetzt kommen wir zur Deklination δ. Diese ist weit weniger zeitkritisch als die Stundenwinkel. Das NJ liefert für 9:00 UT1 eine Deklination von δ = 14°25,3′ N. Für die noch fehlenden 55 Minuten muss eine Verbesserung Vb berücksichtigt werden. Die Sekunden spielen bei der Deklination keine Rolle.

Unterhalb der Deklinationsspalte finden wir den Wert Unt mit 0,8′. Darunter versteht man die Änderung der Deklination pro Stunde. Wir sehen, dass um 10:00 UT1 der Deklinationswert 14°26,1′ beträgt und somit um 0,8′ angestiegen ist. Für Unt wird kein Vorzeichen angegeben. Das muss jeder selbst daran erkennen, ob der Wert nach unten in der Spalte steigt oder fällt. In unserem Falle ist es aber positiv, weil die Sonne in Richtung Norden unterwegs ist. In der Schalttafel für 55 min findet man für Unt = 0,8 keinen Vb Wert, auch nicht in der 56 min Spalte. Wir einigen uns deshalb auf Vb = 0,5. Die abgetrennten Minutenangaben in der Breite werden später als Höhenzugabe berücksichtigt.

Deklination

δ aus Nautischem Jahrbuch 14°25,3’N
Unt  0,8′
Vb 0,5′
Deklination um 9:55 UT1 14°25,8′
Deklination gerundet 14°N
Koppelortbreite LAT gerundet 39°N

Jetzt sind alle Vorbereitungen soweit abgeschlossen, dass man in die Tafel gehen kann Wir brauchen dazu die folgenden drei Eingangswerte:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 334
Tafel 4: Seite 2 der Pub. No. 249

Noch ein Hinweis zu der Ho 249. Dort gibt es die Seiten SAME und CONTRARY. Wenn Breite und DECLINATION auf derselben Halbkugel der Erde liegen, dann sind die Seiten mit der Bezeichnung SAME zuständig. In unserem Beispiel ist das der Fall, denn Deklination und Breite sind beides nördliche Breiten. Im Band 3 suchen wir die Seiten für LAT 39° und dort nach DECLINATION (0° – 14°) SAME. Am linken oder rechten Rand muss in der Spalte LHA die Zahl 331 zu finden sein. Unser Beispiel ist gut gewählt und wir finden die richtige Seite gleich nach dem Deckblatt auf Seite 2.

LHA = 334 steht in der Spalte auf der rechten Seite. Wir gehen von dort in die Deklinationsspalte für 14°, die gleich links daneben zu finden ist und lesen die drei Werte aus:

Hc = 56°06′, d = 47 und Z = 130°

Links oberhalb und unterhalb der Tabelle sind Regeln zur Fallunterscheidung des Azimuts Z angegeben. Wir finden links oben N. LAT. {L.H.A greater then 180° ….. Zn = Z. Wir sind auf nördlicher Breite und der LHA ist größer als 180°. Damit ist das ausgelesene Z das richtige Azimut.

Als nächstes müssen wir die abgeschnittenen Minutenanteile der Deklination berücksichtigen. Dafür gibt es auf Seite 344 der Ho 249 die „TABLE 5. — Correction to Tabulated Altitude for Minutes of Declination“. Mit dem in dieser TABLE 5 gelisteten Wert wird Hc korrigiert. Dazu gehen wir in der oberen Reihe auf den ausgelesenen Wert d = 47 und lesen in der Zeile der abgeschnittenen Minutenanteile, es waren 25,8′ und gerundet 26′, den Wert 20′. Sollte das ausgelesene d negativ sein dann muss auch der aus Tabelle 5 entnommene Wert ein negatives Vorzeichen erhalten. Dieser Wert wird wird zur ausgelesenen Höhe Hc addiert und ergibt die korrigierte berechnete Höhe. Aus 56°06′ + 20′ erhalten wir eine Höhe von Hc = 56°26′.

Jetzt kann die Standlinie genau so konstruiert werden, wie das im Bild 15 erklärt wurde, denn wir haben neben dem Rechenort:

  • Hc = 56°26,0′ (aus Tafel berechnete Höhe)
  • Hm= 56°23,9′ (mit Sextant gemessene Höhe)
  • ΔH = Hc – Hm = -2,1′ (Intercept in min bzw. nm)
  • Z = 126° (Azimut)

Die berechnete Höhe ist um 2,1′ größer als die gemessene Höhe. Der eigene Standort ist also weiter weg. Das ist für die nachfolgende grafischen Konstruktion sehr wichtig zu beachten. Die Differenz aus gemessener und berechneter Höhe von 2,1′ sind 2,1 nautische Meilen, die der Rechenort in Richtung des Azimutstrahls dichter am Bildpunkt der Sonne liegt. Das Resultat zeigt Bild 19 auf der linken Seite

Ein Standort ergibt sich erst aus dem Schnittpunkt zweier Standlinien. Wir nehmen mal an, dass zwischen den zwei Sonnenschüssen nicht gesegelt wurde. Um 12:55:33 wird der Kimmabstand der Sonne zum zweiten Mal gemessen. Die folgende Tabelle fasst die in der gleichen Weise berechneten Werte zusammen.

zweite Messung

Beobachtungszeit 12:55:33 UT1
beobachtete Höhe Hm 60°37′
Bildpunktlänge Grt 14°32,3′
Stundenwinkel t vom Koppelort 19°19,3′
LHA 19°
Rechenort = LHA – Grt 4°27,2′ E
Deklination um 12:55 UT1 14°28,1′ N
Deklination gerundet 14° N
Koppelbreite LAT gerundet 39° N

Damit haben wir wieder alle Werte zusammen, mit denen man dann in die Tafel gehen kann:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 19°

Dort lesen wir aus:

Hc = 59°55′, d = 51, Z = 141.

Der LHA ist kleiner als 180°, daraus folgt für das Azimut Z = 360° – 139° = 221°. TABLE 5 liefert mit d = 51 für die weggelassenen 28′ der Deklination einen Korrekturwert von 24′ zur Erhöhung von Hc. Wir haben jetzt:

  • Hc = 60°19′ (berechnete Höhe)
  • Hm= 60°37′ (gemessene Höhe)
  • ΔH = 18′ (Intercept in nm)
  • Z = 219° (Azimut)

Mit diesen Werten kann jetzt eine zweite Standlinie konstruiert werden. Der Standort ist der Schnittpunkt der beiden Standlinien. Als zweite Standlinie kann auch einfach die Mittagsbreite benutzt werden. Dadurch erspart man sich die Tafel. Wenn zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen gesegelt wird, dann muss die erste Standlinie parallel um den versegelten Schlag verschoben werden. Ein nachfolgender grafischer Konstruktionsaufwand, wie im Bild 19 gezeigt, ist bei der Verwendung der Pub. Ho. 249 also zwingend.

Bild 19: Standlinienkonstruktion nach der Pub. Ho. 249 Methode; links die erste Standlinie nach der ersten Kimmabstabdsmessung und rechts nach Fertigstellung. Die Intercepte betragen 2,1 nm und 18 nm. Die blauen Markierungen kennzeichnen den Koppelort und den tatsächlichen Standort.

 

Im Bild sind RO1 und RO2 die beiden aus dem Koppelort erzeugten Rechenorte. Die Differenz zwischen dem ermittelten Standort und dem Standort, der sich nach den Eingaben aller Messdaten optimal errechnet beträgt etwa 1,7 nm.

Damit die Winkel der Azimute so wie berechnet eingezeichnet werden können, ist es erforderlich die Skalierung der Längengrade anzupassen. Der Abstand zwischen zwei ganzgradigen Längengraden ist das Produkt aus dem Abstand zwischen zwei ganzgradigen Breitengraden und dem Kosinus des Breitengrades LAT.

Resümee

Schon auf den ersten Blick erscheinen die im Teil 2 dargestellten klassischen Methoden ziemlich sperrig. Es müssen Daten berechnet werden, die erst im Verlauf einer grafischen Konstruktion zu einem Ergebnis führen. Doch anders ging es in Ermangelung elektronischer Rechenhilfsmittel im 19. und 20. Jhd. nicht. Damit zurechtzukommen, meist sogar in beengter Umgebung und vielleicht noch unter Einfluss von Müdigkeit und Seekrankheit, ist heute kaum vorstellbar. Die Genauigkeit der Tafelmethode liegt etwa zwischen Sumner und original Hilaire.

Die Methode von Sumner konnte sich letzlich nicht durchsetzen, weil die Methode von Hilaire genauer war und Gauß hatte auch keine Chance. Seine Idee war zu aufwändig. Hilaire hätte es nie gegeben, wenn man damals Computer gehabt hätte. Doch nur seine Lösung war genau genug und machte es möglich, Höhe und Azimut für viele Standorte auf der Welt sogar im voraus zu berechnen, was Logarithmen überflüssig machte. Seine Methode war die letzte vor dem GPS und wird deshalb auch heute noch am häufigsten angewendet. Schließlich gibt es noch sehr viele Navigatoren, die damit beruflich unterwegs sein mussten.

Ein großer Fortschritt kam mit dem Taschenrechner, speziell den programmierbaren Modellen. Doch erst der Computer machte es möglich, auf den zusätzlichen grafischen Arbeitsprozess ganz verzichten zu können. Er lieferte den Standort als Zahl, der sofort in der Seekarte markiert werden kann.

Es war eine geniale Leistung von Hilaire, der es fertig brachte den Kreis einer Höhengleiche fast genau im Standort durch eine Gerade zu ersetzen. Ohne diese Genialität bestreiten zu wollen ist aber genau das heute überflüssig. Moderne Rechenhilfsmittel stehen überall und ausreichend zur Verfügung. Man kann direkt mit den Kreislinien rechnen und braucht Verrenkungen dieser Art nicht mehr. Der Idee, Gauß wieder aufzugreifen, oder Sumner zu modernisieren steht eigentlich nichts im Wege.

Wer heute das astronomische Navigieren erlernen will oder muss, der wird oftmals mit unsäglich komlizierten Darstellungen des Himmelsgewölbes malträtiert. Für die Astronomen mag das ja alles in Ordnung sein, denn die kümmern sich ja um den Himmel. Der Nautiker befindet sich aber auf der Erde. Deshalb habe ich im Teil 1 die Astronomie auf die Erde geholt. Die Darstellungen sind dadurch insbesondere für Einsteiger in die Materie sehr viel verständlicher. Außerdem betrachten wir hier nur die Navigation mit der Sonne, was alles noch viel einfacher macht und für die Sportschifffahrt ausreicht.

 

Sextantenbeschickung

Ein von einem Sextanten abelesener Wert muss korrigiert werden. Dieser Vorgang wird als Beschickung der Sextantenablesung bezeichnet. Man unterscheidet zwischen einer Gesamtbeschickung und einer Zusatzbeschickung. Außerdem muss noch ein Indexfehler berücksichtigt werden.

Bild 11: Einfluss der Augeshöhe AH auf die Messung des Kimmabstandes h.

Die Zusatzbeschickung berücksichtigt den Fakt, dass die Höhe der Sonne entweder an ihrem Unterrand oder ihrem Oberrand gemessen wird. Richtig wäre eine Messung in der Sonnenmitte, dort hat sie aber keine Markierung. Deshalb muss der Messwert mit dem Betrag des halben Sonnendurchmessers von 16′ berichtigt werden. Infolge der elliptischen Bahn der Erde um die Sonne, ist sie der Sonne im Winter näher. Die Sonnenscheibe erscheint dann größer. Die Gesamtschwankung des Durchmessers beträgt 0,5′.

Eine Gesamtbeschickung berücksichtigt den halben Sonnendurchmesser, die Kimmtiefe und die Refraktion. Aus der Tatsache, dass man von einem höheren Standort aus weiter blicken kann, Führte zu dem Begriff Kimmtiefe. Weil die Erde rund ist, kann man über die Rundung schauen  und dort ist die Kimm dann tiefer gelegen. Eine Sextantenablesung muss deshalb entsprechend der Höhe des Teleskops über der Wasserlinie, man rechnet von der spitze eines Wellenberges, korrigiert werden. Im Bild 11

Bild 12: Einfluss der Refraktion auf die Höhenmessung.
ist zu erkennen, dass der Höhenwinkel eines Gestirns um so größer gemessen wird je höher der Standort ist. Der Einfluss der Augenhöhe kann exakt berechnet werden.

Die Refraktion lässt sich nicht so einfach durch Rechnung bestimmen.Darunter versteht man die Beugung der Lichtstrahlen, wenn sie schräge durch die Atmosphäre kommen. Wie im Bild 12 zu erkennen, wird dadurch eine zu große Höhe gemessen. Zwar gibt es Formeln, einfache und komplizierte und es gibt auch Computerprogramme, mit denen die Refraktionberechnet werden kann. Doch wenn wir uns anschauen, was dazu einzugeben ist, dann wird man schnell unsicher. Nicht nur die Lufttemperatur und der Luftdruck spielen eine eine Rolle, sondern auch, wie sich diese Werte in verschiedenen Höhen verteilen. Am bestenlassen sich deshalb Tabellen benutzen, die in den Nautischen Jahrbüchern zur Verfügung gestellt werden. Diese enthalten Mittelwerte, die über viele Jahrzehnte bis Jahrhunderte aufgestellt wurden.

Kein Sextant arbeitet fehlerfrei. Der wohl am einfachsten zu eleminierende Fehler ist sein Indexfehler. Das ist ein additiver Fehler, der über den ghesamten Messbereich gleich groß ist. Er kann deshalb einfach durch Subtraktion berichtigt werden.

Über die Sextantenbeschickung muss sich

 


Anhang

Herleitung der Formeln

Bild 20: Kugeldreieck

Bild 20 zeigt das Nautische Dreieck in allgemeiner Form. Die drei Ecken sind mit den Großbuchstaben A, B und C gekennzeichnet. Die gegenüberliegenden Seiten tragen die gleichen Bezeichnungen, nur in Kleinbuchstaben a, b, und c. Die Winkel in den Ecken werden mit griechischen Buchstaben α, β und γ bezeichnet. Die Bezeichnungen der Elemente sind somit identisch mit denen eines ebenen Dreiecks. Die drei Seiten eines Kugeldreiecks folgen jeweils Großkreisen, hier also auf der Erdoberfläche. Der Mittelpunkt eines Großkreises ist immer der Erdmittelpunkt. In einem Formelbuch finden wir für dieses Kugeldreieck den sogenannten Seiten-Kosinusatz, der aus drei Gleichungen besteht, wobei jede Gleichung eigentlich dasselbe sagt nur von einer anderen Seite aus gesehen:

 

    \begin{equation*}\cos a =\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha\end{equation}

(5)   \begin{equation*}\cos b =\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta\end{equation*}

    \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation}

Winkelfunktionenen wie sin und cos kennzeichnen im Grunde nur bestimmte Längenverhältnisse wie z. B. die Länge zur Höhe bestimmter Figuren in einem Modell. Wir ersparen es uns hier, weiter darauf einzugehen. Wir wollen die Formeln ja nur benutzen.

 

Die Chronometerlänge

Ohne Bestimmung der Länge mit Hilfe eines Chronometers wäre die Sumner Methode nicht möglich gewesen. Mathematisch geht man dazu von dem Winkel γ im Bild 20 aus. Der ist im nautischen Dreieck identisch mit dem Polwinkel P. Wir wählen die dritte Zeile des Formelsatzes und stellen diese einfach auf cos γ um:

    \begin{equation*}\cos \gamma=\frac{\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation}

Das Ergebnis ist die Kosinusfunktion des Winkels γ. Den Winkel γ selbst erhält man über die Umkehrfunktion:

    \begin{equation*}\gamma=\arccos \frac{\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation}

Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner müsste dazu nur, wenn das Ergebnis dieser Gleichung vorliegt, die Taste mit der Bezeichnung arccos oder cos-1 gedrückt werden und man erhält den Winkel selbst. Bei manchen Rechnern erscheinen die Umkehrfunktionen erst nach Drücken einer Umschalttaste, z. B. die 2nd-Taste auf dem iPhone.

In diese Formel mit den Seiten c, a und b müssen jetzt die tatsächlichen Seiten aus dem Bild 5 eingesetzt werden, nämlich c = (90° – h), a = (90° – δ) und b = (90° – φ). Für den Winkel γ setzen wir P ein und erhalten

    \begin{equation*}P=\arccos\frac{\cos (90^o-h_m)-\cos (90^o-\delta)\cdot\cos (90^o-\varphi)}{\sin (90^o-\delta)\cdot \sin (90^o-\varphi)}\cdot\end{equation}

Weil die Höhe eine gemessene Höhe ist haben wir hm eingesetzt, m wie measure. Weiter unten findet sich eine Formel, mit der die Höhe für einen Ort berechnet wird. Dort wird die Höhe mit hc bezeichnet, c wie computed.

Sinus- und Kosinusfunktionen sind um 90° phasenverschoben. Das heißt, sin(90° – x) = cos (x) und cos (90° – x) = sin (x). Angewendet auf die vorstehende Gleichung erhalten wir dann das endgültige Ergebnis für den Polwinkel:

(6)   \begin{equation*}P=\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Die Chronometerlänge λ erhält man daraus nur für vorzugebende Beiten φ (z. B. eine Koppelbreite), indem Grt + P (Sonne im E) bzw. Grt – P (Sonne im W) gerechnet wird:

(7)   \begin{equation*}\boxed{\lambda=Grt\underline{+}\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}}\end{equation*}

In dieser Gleichung kennzeichnen die Werte Grt und δ den Zeitpunkt einer Beobachtung und hm ist die dabei beobachtete Höhe. Diese Werte sind die feststehenden Parameter einer Beobachtung. Auf der rechten Seite der Gleichung bleibt dann nur noch die Breite φ als Variable übrig.

Unter Verwendung aller Breiten im Bereich von 90° – h + δ bis h – 90° + δ, das ist der Durchmesser der mit hm, Grt und δ betrachteten Höhengleiche in ihrer Nord-Süd Ausdehnung, liefert die Gleichung einen Halbkreis auf der Erdkugel. Dieser Halbkreis ist nach Osten offen, wenn λ = Grt + P gerechnet wird und nach Westen offen, wenn man λ = Grt – P rechnet. Ein Ergebnis dieser Berechnung zeigt Bild 6.  Somit ist auch die Berechnung von Vollkreisen der Höhengleichen möglich, wenn mit beiden Vorzeichen nacheinander gearbeitet wird. Das wäre jedoch unnötiger Rechenaufwand, weil Schnittpunkte zweier Höhengleichen mit den jeweils richtig gewählten Halbkreisen gefunden werden.

Das Ergebnis der Gleichung berücksichtigt nicht, dass die Geographen das Gradnetz der Erde in Ost- und Westlängen aufgeteilt haben und dass der Erdumfang nur Grade von null bis 360° zulässt. Deshalb müssen nach jeder Berechnung von λ die Korrekturregeln in Tafel 2 angewendet werden.

 

Die Höhenformel

Zur Berechnung der Höhe am Koppelort wird die dritte Zeile des Kosinus-Seitensatzes ohne Änderung verwendet werden. Diese lautet:

    \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot\sin b\cdot\cos \gamma\end{equation}

Die allgemeinen Variablen c, a und b aus Bild 19 werden jetzt durch die im nautischen Dreieck Bild 5 zu findenden Werte (90° – h), (90° – φ) und (90° – δ) ersetzt. Für h setzen wir hc ein, weil die Höhe berechnet und nicht gemessen wird. Der Winkel γ ist in diesem Zusammenhang nicht der Polwinkel P aus Gl. 6, sondern der Ortsstundenwinkel t und wir erhalten:

    \begin{equation*}\cos(90^o-h_c)=\cos(90^\circ-\varphi)\cdot \cos (90^\circ-\delta)+\sin (90^\circ-\varphi)\cdot \sin (90^\circ-\delta)\cdot \cos t\text{.}\end{equation}

Unter Berücksichtigung von sin (90° – x) = cos x und  cos (90° – x) = sin x folgt dann die bekannte Höhenformel, mit der wir die Kimmhöhe der Sonne am Koppelort ausrechnen können:

(8)   \begin{equation*}\boxed{h_c=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta+\cos \varphi\cdot \cos \delta\cdot\cos t)}\end{equation*}

 

Bild 21: Der Ortsstundenwinkel t und Azimut Az am Schiffsvormittag (links) und am Schiffsnachmittag (rechts).

Der Ortsstundenwinkel t ist ein Stundenwinkel wie der Greenwich Stundenwinkel Grt aus dem Nautischen Jahrbuch. Der einzige Unterschied besteht darin, dass er nicht vom Ort Greenwich aus zählt. Er zählt vom Rechenort aus in Richtung Westen und ebenfalls bis zum Meridian der Sonne oder eines anderen beobachteten Gestirns. Bild 21 zeigt den Ortsstundenwinkel t (auch LHA = Local Hour Angel) auf der linken Seite vor dem Schiffsmittag und rechts nach dem Schiffsmittag, wenn die Sonne den Koppelort überholt hat. Den Ortsstundenwinkel errechnet man aus den geografischen Längen des Koppelortes über folgende Beziehung:

(9)   \begin{equation*} t = Grt  \left \lbrace {+\lambda_O \text{(Ostlaengen)}}\atop { \;\;-\lambda_W \text{(Westlaengen)} \right. \end{equation*}

Sollte das Ergebnis größer als 360° sein, dann sind 360° zu subtrahieren. Ist das Ergebnis negativ, dann sind 360° zu addieren.

 

Die Azimutformel

Das Azimut ist eine Peilung auf den Bildpunkt der Sonne. Zu seiner Berechnung muss ein Standort bekannt sein, z. B. der zu bestimmende Koppelort. Wir benutzen die erste Zeile des Seiten-Kosinussatzes Gl. 2 und stellen diese auf cos α um:

    \begin{equation*}\cos \alpha=\frac{\cos a-\cos b\cdot \cos c}{\sin b\cdot \sin c}\end{equation}

Nach dem Ersatz der allgemeinen Werte a, b, c und α durch die entsprechenden Werte aus dem Nautischen Dreieck im Bild 5 daraus:

    \begin{equation*}\cos Z_c=\frac{\cos(90^\circ-\delta)-\cos (90^\circ-\varphi)\cdot\cos (90^\circ-h_c)}{\sin (90^\circ-\varphi)\cdot \sin (90^\circ-h_c)}\end{equation}

Jetzt nutzen wir wieder die Phasenverschiebung von 90° zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion, dass sin (90° – x) = cos x und cos (90° – x) = sin x ist und erhalten:

(10)   \begin{equation*}\boxed{Z_c=\arccos\frac{\sin \delta-\sin \varphi\cdot \sin h_c}{\cos \varphi\cdot \cos h_c}}\end{equation*}

Die Azimutformel berechnet immer nur den inneren Winkel zwischen den Seiten Z↔N und Z↔X des Kugeldreiecks, wie Bild 21 zeigt. Das Azimut ist rechtweisend, geht also vom Meridian des Koppelortes, also der Linie Z↔N aus. Das berechnete Azimut ist deshalb nach folgenen Regeln zu korrigieren:

  • Z{t < 180°} = Zc
  • Z{t > 180°}= 360° – Zc

Neben der vorstehend gezeigten Zenitformel wird häufig eine ander Formel benutzt, die man nach mehrfachen Umstellungen unter Verwendung des Sinussatzes der sphärischen Trigonometrie erhäl. Bei Verwendung dieser Formel wird auf die Weiterverwendung der für den Koppelort berechneten Höhe verzichtet. Stattdessen wird das Azimut unter Verwendung des Ortsstundenwinkels des Koppelortes berechnet. Die Formel ist als Zeitazimut bekannt.

(11)   \begin{equation*}\boxed{Z_c=\arctan\frac{\sin t}{\sin \varphi\cdot\cos t-\tan \delta\cdot\cos\varphi}}\end{equation*}

Da die Arkustangens Funktion nur Werte zwischen 0° und 90° liefern kann, sind hier vier Bedingungen zu beachten, um ein vollkreisiges Azimut zu erhalten.

    \begin{equation*} Z = wenn\; t<\,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Z_c<0\;\; dann\; Z_c+360^o}\atop {wenn\; Z_c>0\;\; dann\; Z_c+180^o} \right \end{equation}

und

    \begin{equation*} Z = wenn\; t>\,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Z_c<0\;\; dann\; Z_c+180^o}\atop {wenn\; Z_c>0\;\; dann\;Z_c} \right \end{equation}

 

Winkelumrechnungen

Umrechnung von Winkeln in die Dezimalschreibweise:

    \begin{equation*}\boxed{WW^\circ ww,ww^\prime = \left( WW +\frac{ww,ww}{60}\right)^\circ}\end{equation}

    \begin{equation*} \text{Beispiel:}} \qquad52^\circ23,45^\prime =\left(52+\frac{23,45}{60}\right)^\circ=\underline{\underline{52,39^\circ}} \end{equation}

Umrechnung von der Dezimalschreibweise in Winkel:

    \begin{equation*} \boxed{WW,ww^\circ = WW^\circ,(0,ww\cdot 60)^\prime} \end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad52,39^\circ = 52^\circ(0,39\cdot 60)^\prime=\underline{\underline{52^\circ23,45^\prime}} \end{equation}

Computer rechnen nicht mit Winkeln, sondern im Bogenmaß bzw. Radiant (rad) was dasselbe ist. Hierbei sind 360° = 2π approx 6,283185. Um einen Winkel, der in Dezimalgraden WW,ww° angegeben ist in das Bogenmaß (rad) umzurechnen, benutzt man folgende Formel:

    \begin{equation*} \boxed{rad\lbrace WW,ww^\circ\rbrace=\frac{2pi}{360}\cdot WW,ww^\circ}}\end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad \tiny rad\lbrace 52{,}39^\circ\rbrace=\frac{2pi}{360}\cdot 52{,}39=\underline{\underline{0{,}9144_\text{rad}} } \end{equation}

Zur Umrechnung eines im Bogenmaß angegebenen Winkels in Dezimalgrad verwendet man die Beziehung:

    \begin{equation*}\boxed{deg\lbrace W,wwww_\text{rad}\rbrace=\frac{360}{2pi}\cdot(W,wwww_\text{rad})}}\end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad deg\lbrace 0{,}9144_\text{rad}\rbrace=\frac{360}{2pi}\cdot0{,}9144=\underline{\underline{52,39^\circ}} \end{equation}

Eine Kennzeichnung mit „rad“, dass es sich um einen Winkel im Bogenmass handelt entfällt im Allgemeinen.

Geradenkreuzung berechnen

Die Koeffizienten einer Geradenfunktion sind m und b. Dabei kennzeichnet m den Anstieg und b den Schnittpunkt mit der y-Achse, bzw. den Offset der Funktion. Die Darstellung linearer Funktionen erfolgt am besten in einem Koordinatensystem wie im Bild 22.

Bild 22: Lineare Funktionen in einem kartesischen Koordinatensystem

Die Koeffizienten b und m einer linearen Funktion sind folgendermaßen definiert:

    \begin{equation*}y = mx+b;\;\;\;\;b=y-mx;\;\;\;\; m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{equation}

Zwei Funktionen in einem Koordinatensystem werden mit y1 und y2 bezeichnet und jede Funktion besitzt ihre eigenen Koeffizienten. Ein Schnittpunkt entsteht, wenn die Steigungen m unterschiedlich groß sind. Er wird berechnet  indem die Funktionen y1 und y2 gleichgesetzt und die dadurch entstandene neue Gleichung nach xs aufgelöst wird. Mit diesem xs wird dann ys berechnet. Das Ganze ist sehr einfach:

    \begin{equation*}m_1x_s+b_1=m_2x_s+b_2;\;\;\text{daraus wird}\;\;\;x_s(m_1-m_2)=b_2-b_1\end{equation}

    \begin{equation*}x_s=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2};\;\;\;\;\;\;y_s=m_1x_s+b_1=m_2x_s+b_2\end{equation}

An die Stelle von x und y treten natürlich Breiten und Längen. Bei der Berechnung von Längendifferenzen, wie hier z. B. x2 – x1,  muss gegebenenfalls beachtet werden, dass Breitenkreise zu den Polen hin immer kleiner werden. Längendifferenzen in Meilen sind deshalb immer mit dem Kosinus der zugehörigen Breite zu multiplizieren.

 

Verwendete Abkürzungen und Formelzeichen

Zeichen
Bezeichnung Maßeinheit
BP Bildpunkt Breite/ Länge
b Offset einer Geradenfunktion  
c Index für berechnete Größe z. B. hm
δ Deklination Grad
DECLINATION Eingangsgröße in der Ho 248 Grad
Grt Greenwicher Stundenwinkel Grad
h Kimmabstand Grad
Hc Kimmabstand in der Ho 249 Grad
Ho 249            

 

Pub. No. 249, Zahlentafel für            

Höhe und Azimut gradzahliger Orte

 
IC Intercept nm, sm
φ geografische Breite Grad
KO Koppelort Breite/ Länge
λ geografische Länge Grad
LAT            

 

Latitude            

Eingangsgröße in der Ho 249

Grad            

 

LHA            

 

Ortsstundenwinkel            

Eingangsgröße in der Ho 249

Grad            

 

m            

 

1. Anstieg einer Geradenfunktion            

2 Index für gemessene Größe

z. B. Δφ/Δλ            

z. B. hc

NJ Nautisches Jahrbuch  
P Polwinkel Grad
RO Rechenort Breite/ Länge
s Zenitabstand Grad
t            

 

Zeit            

Stundenwinkel

hh:mm:ss            

Grad

UT1 Universalzeit hh:mm:ss
UTC koordinierte Weltzeit hh:mm:ss
X Bildpunkt Breite/ Länge
Z            

 

Azimut
Zenit, Standort
Grad            

 

Links:

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