Standort nach C. F. Gauß

Bildpunkt und Höhengleiche

Eine gedachte Linie vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt eines Gestirns durchbricht die Erdoberfläche an dem Ort, wo dieses Gestirn im Zenit steht. Dieser Ort ist der Bildpunkt des Gestirns. Weil sich die Erde mit 15° in der Stunde dreht, bewegt sich ein Bildpunkt mit dieser Geschwindigkeit  von Ost nach West.

Bild 1: Eine Verbindungslinie vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt eines Gestirns durchbricht die Erdoberfläche im Bildpunkt. Der Bildpunkt ist Mittelpunkt von kreisrunden Höhengleichen.

Bild 1 zeigt das in einer Grafik. Der Pfeil in Richtung des beobachteten Gestirns startet im Erdmittelpunkt und endet im Mittelpunkt des beobachteten Gestirns. Für den Nautiker sind Gestirne im Zenit oder auch in Zenitnähe uninteressant. Er beobachtet vielmehr von einem Punkt längs der im Bild gestrichelt dargestellten Höhengleiche aus.  Von dort sieht er das Gestirn zwischen Zenit und Horizont stehen. Weil wir mit dem Sextanten die Höhe des Gestirns über dem Horizont bzw. seinen senkrechten Abstand  vom Horizont messen, bezeichnen wir die Höhe eines Gestirns mit dem Begriff Kimmabstand.

Bild 2: Der Horizont eines Beobachters auf der Umfangslinie der Höhengleiche ist gegenüber der Horizontebene des Bildpunktes um stets den gleichen Betrag 90° – h gekippt.

Warum aber wird ein unendlich weit entfernter Fixstern von unterschiedlichen Orten der Erde aus in unterschiedlicher Höhe gesehen? Es hat nichts mit der terrestrischen Erklärung zu tun, dass man immer höher hinaufblicken muss, je mehr man sich einem hohen Objekt nähert. Bild 2 zeigt die richtige Erklärung.

Die Erde ist eine Kugel und darum kippt der Horizont eines Beobachters gegenüber dem Horizont eines Bildpunktes um so mehr, je weiter dieser vom BP entfernt ist. Dadurch wird der Winkel h, der Kimmabstand, mit steigender Entfernung zum Bildpunkt BP immer kleiner. Die Sonne sinkt immer tiefer. Die unterbrochen dargestellte Linie ist der Umfang eines Kreises, auf dem der Horizont eines Beobachters um denselben Winkel h gegenüber dem Bildpunkt BP gekippt ist. Jeder Beobachter auf dieser Linie sieht die Sonne zur selben Zeit in derselben Höhe h über dem Horizont. Dieser Kreis ist eine Höhengleiche.

Kreise sind eindeutig definiert durch die Lage ihres Mittelpunktes und der Größe des Radius. Die Länge des Radius eines Kreises auf einer Kugeloberfläche ist nicht die Länge einer geraden Verbindung zwischen Kreislinie und Bildpunkt, sondern die kürzestmögliche Weglänge auf der gewölbten Oberfläche von der Kreislinie bis zum Bildpunkt.

Die Koordinaten des Bildpunktes der Sonne, also des Ortes auf der Erde über dem die Sonne gerade im Zenit steht, sind der Stundenwinkel und die Deklination. Zur Erinnerung: Deklination ist der Breitengrad auf dem der Bildpunkt gerade die Erde umrundet. Er bewegt sich etwa zwischen 23,5° nördlicher Breite und 23,5° südlicher Breite. Am Frühlingsanfang rast er gerade mit Höchstgeschwindigkeit den Äquator entlang. Die Delination wird mit δ bezeichnet.

Der Stundenwinkel wird mit Grt bezeichnet. Seine Zahlenangabe ist identisch mit dem Meridian, auf dem er sich gerade Bildpunkt befindet. So ist er null, wenn er den Nullmeridian überquert. Der Zeitpunkt, in dem dieser Transit stattfindet ist nicht 12:00:00 UT1, sondern kann bis 15 Minuten davor oder danach liegen. Die Ursache dafür ist die sogenannte Zeitgleichung. Würden wir uns auf 15° westlicher Länge befinden, dann wäre der Bildpunkt nur ausnahmsweise genau eine Stunde zu unserem Meridian unterwegs. Es können zwischen 1:15 h oder 0:45 h sein. Wir merken uns außerdem:

  1. Der Grt zählt immer vom Nullmeridian ausgehend in westliche Richtung.
  2. Der Grt zählt von 0° bis 360°.

Der Grt wird bei allen Höhenmessungen sekundengenau benötigt, weil sich die Erde zumindest am Äquator mit 463 Metern in der Sekunde dreht. Jede verzögerte Zeitfeststellung oder jede falsch gehende Uhr führt deshalb zu Standortabweichungen. Für die Angabe der Deklination genügt dagegen eine minutengenaue Zeitfeststellung. Die Daten von δ und Grt, die sogenannten Ephemeriden  und man findet findet sie in einem nautischen Jahrbuch. 

Bild 3: Die Differenz zwischen dem festgestellten Kimmabstand h und 90° ergibt den Zenitabstand s. Im Erdmittelpunkt angeordnet spannt der Zenitabstand s die Strecke zwischen Beobachter und Bildpunkt auf. Das ist der Radius einer Höhengleiche.

Den Mittelpunkt einer Höhengleiche haben wir jetzt also definiert und müssen nur noch den Radius bestimmen. Damit ist der Kreis einer Höhengleiche vollständig definiert. Bild 3 zeigt dazu ein Beispiel. An unserem Standort sehen wir die Sonne in einem Kimmabstand von 35° und wir wollen jetzt wissen, wie weit der Bildpunkt entfernt ist.

Dasselbe Winkelverhältnis wie an unserem Standort, ein rechter Winkel bestehend aus dem Horizontabstand h und dem Zenitabstand s, verlegen wir einfach in den Erdmittelpunkt. Wir sehen nun, dass dass der Winkel mit der Größe s = 55° auf der Erdoberfläche dieselbe Strecke mit s = 55° aufspannt. Da diese Strecke genau die Entfernung zwischen Bildpunkt und eigenem Standort ist, kann das nur der Radius der Höhengleiche sein.

Mancher fragt sich nun, warum hier Entfernungen in Grad angegeben werden und nicht in Seemeilen oder Kilometern. Das ist das Interessante an der sphärischen Trigonometrie. Längenangaben entlang von Großkreisen auf der Erdoberfläche werden vorteilhaft in Graden eines Winkels im Erdmittelpunkt angegeben, der genau diese Länge auf der Erdoberfläche aufspannt.

Beim Bogenwinkel handelt es sich um ein relatives Längenmaß, dessen Bezugsgröße der Umfang einer Kugel ist, der immer 360° beträgt. Bei der Erdkugel mit 21600 Seemeilen Umfang wäre dann jedes Grad 60 Seemeilen lang und unser Beispielradius der Höhengleiche beträgt damit 3300 nm.

Wie Bild 4 zeigt, hat jede Zeit ihre eigene Höhengleiche. Deshalb ist es auch wichtig, dass die Zeit einer Höhenmessung sekundengenau erfasst wird. In dem Bild kreuzen sich nun drei Höhengleichen, bei der die Sonne im Osten beobachtet wurde mit drei Höhengleichen bei der die Sonne im Westen beobachtet wurde in immer demselben Standort. Ein größerer Durchmesser wurde dabei mit einem kleineren Horizontabstand gemessen. Ein Standort kann somit aus zwei beliebigen Höhengleichen berechnet werden, weil sie sich immer im Standort kreuzen.

Bild 4: Drei Höhengleichen, die mit der Sonne im Osten beobachtet wurden (grün) kreuzen sich mit drei Höhengleichen die mit der Sonne im Westen beobachtet wurden (rot) im gleichen Standort. Da sie nur von einem Himmelskörper stammen, liegen alle Mittelpunkte auf der Deklinationsbreite.

 

Das Bild dient natürlich nur zur illustration des Konzeptes. Auf einer zweidimensionalen Weltkarte kann die Oberfläche der Erdkugel nur verzerrt dargestellt werden. Nur auf einem Globus können die Kreise im Bild 4 kreisrund sein.

 

Standortberechnung

Mehr astronomisches Wissen ist für eine Standortbestimmung mit der Sonne nicht nötig. Der Rest ist Mathematik und die ist bei der Gauß Idee auch ganz einfach. Um den Schnittpunkt zwischen zwei Funktionsverläufen zu erhalten, muss man diese Funktionsverläufe mathematisch beschreiben, wir brauchen also eine Gleichung, die den Verlauf der Kreislinie einer Höhengleiche im Koordinatensystem der Erde exakt beschreibt. Das hört sich jetzt kompliziert an, ist es aber nicht. Die Lösung besteht in nur einer einzigen Formel aus der spärischen Trigonometrie und die wollen wir nun herleiten.

 

Das nautisch astronomische Dreieck

Das mathematische Modell der Astronavigation ist das nautisch astronomische Dreieck, das im Bild 5 dargestellt ist. Das Dreieck ist zwischen dem eigenen Standort Z, dem nächstliegenden Pol (Nordpol oder Südpol), und dem Bildpunkt X auf der Erde aufgespannt. Wir definieren jetzt die Längen der Seiten, die allesamt Großkreisen folgen.

Bild 5: Das nautisch astronomische Dreiecke, links vor dem Schiffsmittag und rechts nach dem Schiffsmittag. Der Polwinkel P kann aus den Seitenlängen berechnet werden. Die Standortlänge ist vor dem Schiffsmittag Grt + P und nach dem Schiffsmittag Grt – P.
  1. Die Länge der Seite Z↔N ist die Differenz 90° – φ. Hierbei ist φ Standortbreite. Wie später gezeigt wird, muss die Breite φ überhaupt nicht bekannt sein.
  2. Die Länge der Seite X↔N ist die Differenz 90° – δ. Die Deklination δ wird aus dem Nautischen Jahrbuch entnommen.
  3. Die Länge der Seite Z↔X ist der Zenitabstand 90° – h. Die Höhe h wird, wie oben geschildert, mit einem Sextanten gemessen.

Wir haben jetzt alle Seiten definiert. In der folgenden Tabelle fassen wir die Ergebnisse noch einmal zusammen.

Tafel 1: Definition der Seiten des nautischen Dreiecks

Wenn in einem Dreieck die Längen aller Seiten bekannt sind, dann können seine Winkel berechnet werden. So ist der Winkel zwischen den Seiten 1 und 2 der Polwinkel P. Er gibt die Längengrade zwischen unserem eigenen Standort und dem Längengrad des Bildpunktes der Sonne an.

Im Bild 5 links sehen wir, dass unser eigener Längengrad im Standort Z die Summe von Polwinkel P und dem Greenwicher Stundenwinkel Grt ist. Das gilt aber nur, solange die Sonne östlich vom Standort gepeilt wird. Überholt uns die Sonne am Schiffsmittag, dann gilt wie im Bild 5 links gezeigt, dass der eigene Längengrad die Differenz von Grt und P ist.

Tafel 2: Regeln zur Umrechnung einer errechneten Länge in Ost- und Westlängen. Westlängen haben ein negatives Vorzeichen.

Es kommt aber noch dicker, weil die Längengrade in 180° östliche und 180° westliche Längen unterteilt sind, Grt aber von 0° bis 360° zählt. Wir müssen deshalb umrechnen, was nicht kompliziert aber etwas umständlich ist. Die Regeln dazu enthält die Tafel 2.

Wir erkennen jetzt die Bedeutung des Polwinkels P. Mit seiner Hilfe können wir unsere Standortlänge bestimmen. Dazu müssten wir mit dem Sextanten den Kimmabstand messen und P ausrechnen. Die Formel dazu liefert uns der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie aus dem Mathe-Formelbuch:

(1)   \begin{equation*}P=\arccos\frac{\sin h_m-sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

in dieser Formel sind enthalten und bekannt: Der gerade gemessene Kimmabstand hm und die Deklination δ, die wir für das aktuelle Datum und die Zeit der Kimmabstandsmessung aus dem Nautischen Jahrbuch herauslesen müssten. Nicht bekannt ist unsere Breite φ. Wüssten wir diese, dann würden wir unseren Standort sofort ausrechnen können. Dazu muss nur noch die Summe oder Differerenz mit dem Stundenwinkel Grt ausgerechnet werden und der steht ebenfalls im Nautischen Jahrbuch, genau eine Spalte vor der Deklinationt.  Das Ergebnis ist die sog. Chronometerlänge:

(2)   \begin{equation*}{\lambda=Grt\underline{+}\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Wie die Formeln hergeleitet werden ist im Anhang in einzelnen Schritten gezeigt.

Wir haben jetzt mit wenigen Worten das Ergebnis einer Jahrhundertaufgabe, das sog. Längenproblem beschrieben. Mit der Mittagsbreite, die recht einfach zu bestimmen war, konnte damit ein Standort berechnet werden. Für die Umsetzung der gaußschen Idee gehen wir noch einen Schritt weiter und berechnen für einen gemessenen Kimmabstand nicht nur die Länge für eine einzelne gegebene Breite, sondern für sämtliche Breiten, die sich im Radius der Nord-Süd Ausdehnung einer Höhengleiche befinden. Ein Computer wird damit schnell fertig. Wir nennen das die Variation der Breiten.

Variation der Breiten

Die Gleichung 2 beschreibt den Verlauf einer Höhengleiche, wenn wir die Werte von Grt, δ und hm konstant lassen und die Breite φ variieren. Natürlich gibt sie nur Ergebnisse für Breiten, die auch tatsächlich den Kreis der Höhengleiche durchqueren oder maximal tangieren. Das ist der Breitenbereich von 90° – hm + δ bis hm – 90° + δ, also der Durchmesser der Höhengleiche in ihrer Nord-Süd Ausdehnung. Wir bekommen damit allerdings nur punktweise Ergebnisse. Das ist jedoch gleichgültig, weil Rechner sehr gut damit arbeiten können. Ergebnispunkte können schließlich unendlich dicht zusammenliegen.

Wir machen das jetzt mit ganzgradigen Breiten in einem Beispiel. Am 29. April. 2019 wurde eine im Osten stehende Sonne um 9:55:51 UTC mit einer Höhe von 56° 39′ beobachtet. Als sie dann um 12:55:33 UTC im Westen gepeilt wurde, war ihre Höhe 60° 61′. Für das Datum und die Zeiten liefert und das nautische Jahrbuch die Daten der Deklinationen δ und des Stundenwinkels Grt.

Wir berechnen jetzt mit Hilfe der Gl. 2 und der Tafel 2 aus den gegebenen Daten die Kreislinien beider Höhengleichen. Die dafür verwendete EXCEL Tabelle besitzt 70 Rechenzeilen für 70 Breitengrade. Interessierte können sie sich hier heruntergeladen. Die Ergebnisse tragen wir nun in Google Earth als Ortsmarkierungen ein und verbinden die Punkte miteinander. Daraus erhalten wir dann, wie Bild 6 zeigt, einen völlig runden Kreis mit seinen Kreisringkoordinaten im Gradnetz der Erde.

Bild 6: Die Höhengleichen von zwei Sonnenständen wurden nach Gleichung 2 für ganzzahlige Breiten berechnet und in Google Earth als Ortsmarkierungen eingetragen.

In der Gleichung 2 steht ein + Zeichen. Wenn wir nur mit einem Vorzeichen rechnen, dann erhalten wir lediglich einen Halbkreis. Das jeweils andere Vorzeichen liefert die Ergänzung zu einem Vollkreis, wie es der grüne Kreis im Bild 6 zeigt. Das Plus in der Gleichung wird benutzt, wenn die Sonne im Osten steht und das Minus, wenn sie nach dem Schiffsmittag westlich peilt.

Die beiden Höhengleichen kreuzen sich im westlichen Mittelmeer und im Südatlantik. Das ist weit genug auseinander, um eine Auswahl zwischen den nun möglichen Standorten treffen zu können.

Wer sich also schon bei der Betrachtung von Bild 5 Gedanken darüber gemacht hatte, dass die Breite φ ja gar nicht genau bekannt ist, der hat hier die Lösung. Wir brauchen gar keine genaue Breitenangabe. Wir gehen einfach alle Breiten durch und das für beide Sonnenstände. Am Ende erhalten wir dann zwei Kreuzungen der Höhengleichen.

Die Rechnung haben wir mit ganzgradigen Breiten gemacht und ein Grad Breite sind immerhin 60 nm. Das Ergebnis ist also noch sehr grob gepixelt. Der Computer war aber nach wenigen Millisekunden fertig. Wenn wir für dieselbe Aufgabe Breitensekunden verwenden würden, dann läge der errechnete Schnittpunkt innerhalb von 30 Metern. Das ist hervorragend aber nicht mehr in Millisekunden zu schaffen. Der Rechner wäre eine Zeitlang unterwegs.

Berechnung des Schnittpunktes der Höhengleichen

Der genaue Schnittpunkt zweier Kreise im Gradnetz der Erde kann nur numerisch gefunden werden. Deshalb ist die nachfolgende Beschreibung in erster Linie für den Programmierer und nicht für den Navigator gedacht. Die Zeiten haben sich eben geändert und der Navigator arbeitet heute mit einem Programm. Allerdings kann es auch für den Navigator ganz interessant sein zu wissen, wie ein solches Programm die eingegebenen Daten verarbeitet. Das erfolgt in einem Algorithmus und dieser ist im Interesse einer kleinen Rechenzeit mehrstufig aufgebaut. Der Algorithmus soll nachfolgend an einem Beispiel erklärt werden.

Bild 7: Die Kreuzungen der Höhengleichen sind durch einen Vorzeichenwechsel in den Schnittpunktlängen gekennzeichnet. Der mögliche nördliche Standort liegt zwischen den Breiten 30° und 35°.

Wir betrachten dazu zwei Höhenmessungen, die erste mit der Sonne im Osten und die zweite mit der Sonne im Westen und die wurde in 60° Höhe gemessen. Damit liegen zwei Kreise vor, von denen der zweitgemessene einen kleineren Durchmeser aufweist, weil ihre Höhe größer ist. Wenn sich zwei unterschiedlich große Kreise überlappen, dann können die Kreuzungspunkte nur im Durchmesserbereich des kleineren Kreises liegen. Dieser geht von von 90° – hm + δ bis hm – 90° + δ. Zum Zeitpunkt der Messung betrug die Deklination 10°. Damit reicht der Durchmesser der kleineren Höhengleiche von 40° bis -20°, umfasst also einen Breitenbereich von insgesamt 60 °.

Um den Breitenbereich herauszubekommen, in dem sich die Höhengleichen kreuzen, wird der gesamte infrage kommende Bereich in Intervalle von 5° Breite unterteilt. Das sind hier genau 12 Intervalle und 13 Breiten im Abstand von 5°. Nun wird auf jede dieser Breiten die Gl. 2  angewendet. Wenn die Sonne im Osten beobachtet wurde (grüner Kreisbogen) gilt in der Gleichung die Addition und bei der Sonne im Westen (roter Kreisbogen) die Subtraktion.

Als nächstes berechnen wir für jede untersuchte Breite die Differenz der ausgerechneten Längen, in denen sie von der Höhengleiche gekreuzt wird. Im Bild 7 ist das die Längendifferenz zwischen den grünen und roten Punkten. Dabei stellen wir fest, dass immer dann, wenn die Höhengleichen einander kreuzen, ein Vorzeichenwechsel auftritt. Wenn für uns der nördliche Standort infrage kommt, dann liegt dieser zwischen 30° und 35°. Das sind 300 Meilen Breitendistanz, also noch sehr grob. Das war aber nur die erste Stufe unseres Algorithmus.

Bild 8: In der zweiten Stufe wird der in der ersten Stufe gefundene Breitenbereich

Jetzt nehmen wir den detektierten Breitenbereich von 30° bis 35° in eine zweite Stufe, in der wir insgesamt 10 Breitenbereiche definieren. Wir haben also 11 Breiten auf denen wir die gleiche Rechenprozedur mit der Gl. 2 und der Differenzbildung ablaufen lassen. Dabei stellen wir fest, dass der Vorzeichenwechsel zwischen 32° und 32,5° stattfindet. Außerdem existiert nur  ein Vorzeichenwechsel, weil wir uns für einen Standort entschieden haben. Danach ist der mögliche Standort zwischen zwei Breiten lokalisiert, die nur noch 30 Seemeilen auseinanderliegen.

Das gleiche Spiel könnte man noch mehrmals machen. Der Rechner bräuchte für so einen Block, wie ihn Bild 8 zeigt, vielleicht eine tausendstel Sekunde. Wir kämen so mit den nächsten Stufen spielend auf Breitendistanzen von 3 Seemeilen, dann auf 0,3 Seemeilen, 55 Meter usw.  Das macht natürlich keinen Sinn, weil Messfehler in der Höhe, der Zeit, der Sextantenbeschickung, der Versegelung usw. diese rechnerisch machbare Präzision ad absurdum führen würden. Wir können nach der dritten Stufe einfach aufhören. Unser Standort liegt dann zwischen zwei Breiten, deren Distanz 3 Seemeilen beträgt. 

Bild 9:

Bild 9 zeigt das Ergebnis, wie es aus der dritten Stufe abgeleitet wird. Die Abschnitte der Höhengleichen sehen jetzt wie Geraden aus. tatsächlich weichen diese Bögen von Geraden so gut wie gar nicht ab. Darum kann der Schnittpunkt jetzt auch als Schnittpunkt zweier Geraden berechnet werden.

Zu diesem Zweck werden folgende Geradengleichungen definiert:

φ1 = m1λ + b1 und φ2 = m2λ + b2

Der Koeffizient m = Anstieg wird dadurch gefunden, dass für zwei beliebige Breiten eines Bogens innerhalb dieses 3 Seemeilen Intervalls die Längen berechnet werden. Der Anstieg m einer Geraden ist der Quotient Δφ/Δλ. Der Offset b ergibt sich dann jeweils aus einem der gerade berechneten Wertepaare φ und λ, indem von der Breite φ das Produkt aus m und der Länge λ abgezogen wird. Die Kreuzung der beiden Geraden ist dann der Standort. Die Kreuzungslänge erhält man mit λs = (b2 – b1)/(m1 – m2) und die Kreuzungsbreite mit φs = m1λs + b1 =  m2λs+ b2.

Wir erhalten für den Standort:   32,271°N  5,890°W   bzw.  32°16,25’N  005°53,42’W

Die Herleitung der Formeln zur Berechnung des Kreuzungspunktes linearer Gleichungen ist in der Anlage gezeigt.

Wie genau ist man damit? Verglichen mit der Hilaire Methode ist die Rechengenauigkeit höher. Die Hilaire Methode ist schließlich eine Näherungsmethode. Ein Standort wird einem geschätzten Standort durch Rechnung angenähert, wobei immer eine Abweichung bleibt, die um so größer ist, je schlechter geschätzt wurde. Die rechnerischen Abweichungen können durchaus einige 100 Meter betragen. Die Gaußsche Methode arbeitet dagegen global und direkt, ohne dass ein Standort geschätzt werden muss. Ihre Rechengenauigkeit kann beliebig erhöht werden. Die hier gezeigte Variante, die bei 3 Seemeilen in der Auswahlbreite abbricht, bringt es schon auf weniger als 5 m Rechengenauigkeit. Ein großer Vorteil gegenüber anderen Methoden besteht darin, dass keine Standortschäzung nötig ist.

Die Rechengenauigkeit ist kein Kriterium für die Güte eines Programms zur Astronavigation. Die erreichbare Standortgenauigkeit hängt von anderen Faktoren ab und das sind die Genauigkeiten bei der Höhenmessung, der Zeitmessung, Fehlern in der Sextantenbeschickung und des Schätzfehler bei der Hilaire Methode. Auch die Ephemeriden sind nicht absolut präzise, sie werden in der Regel in zehntel Minuten Genauigkeit aufgeführt, also in einem Raster von knapp 200 m. Alle diese Fehlerquellen zusammen ermöglichen dann eine Standortgenauigkeit von 1 bis 2 Seemeilen bei besten Bedingungen, unabhängig von der Methode. Schon geringer Seegang kann dieses Ergebnis zunichte machen. Der richtige Umgang mit dem Sextanten ist dabei Voraussetzung. Beim Navigieren mit der Sonne kommt noch eine weitere Fehlerquelle hinzu, die Versegelung, auf die nachfolgend näher eingegangen wird.

Versegelung

Wenn nicht gerade Totenflaute herrscht, wird zwischen den Sonnenschüssen gesegelt. Nur wenn sich der Standort zwischen den Beobachtungen nicht ändert ist der Kreuzungspunkt der beiden Höhengleichen auch der Standort. Eine Standortänderung zwischen den Beobachtungen wird als Versegelung bezeichnet.

Bild 10: Versegelung einer Höhengleiche durch Nachschleppen der Höhengleiche aus der ersten Beobachtung indem ihr Mittelpunkt versegelt wird.

Bild 10 zeigt die Vorgänge einer Versegelung in einer Grafik, bei der das Verhältnis der versegelten Strecke gegenüber den Durchmessern der Höhengleichen stark übertrieben wurde. Punkt A ist der unversegelte Standort. Wenn keine Versegelung vorliegt, dann ist das der Ort, an dem beide Beobachtungen stattgefunden haben. Punkt B ist der Ort nach einer Versegelung, an dem die Höhengleiche 2 (rot) beobachtet wurde. Weil der eigene Standort immer ein Punkt auf der gerade festgestellten Höhengleiche ist, kann der Punkt A unmöglich der Ort der ersten Beobachtung sein, denn es ist ein Ort auf der roten Linie und damit ein Ort auf der Linie der zweiten Beobachtung. Der Startort, also der Ort der ersten Beobachtung ist ein Punkt auf der Linie der ersten Beobachtung und zwar der Punkt C. Er kann nur durch Zurückrechnung gefunden werden.

Das Problem der Versegelung wird dadurch gelöst, dass die Höhengleiche aus der ersten Beobachtung mitgeschleppt wird. Nur dann bleibt die Kreislinie der erstbeobachteten Höhengleiche unverzerrt bestehen und die Kreuzung mit der Höhengleiche aus der zweiten Beobachtung ist der versegelte Standort. Das wird dadurch erreicht, dass der Mittelpunkt der Höhengleiche 1 um die versegelte Strecke, also um Δφ und Δλ verschoben wird.

Die Versegelungskomponenten Δφ und Δλ zwischen den Beobachtungen müssen also ermittelt werden. In der alten Segelschiffszeit wurde zu diesem Zweck eine Koppeltafel aufgestellt, auf der die festgestellte Geschwindigkeit und der gefahrene Kurs sowie die Zeit eingetragen wurden. Nach jeder Wende, Halse, Kurs- bzw. Geschwindigkeitsänderung wurde ein neuer Eintrag vorgenommen. Früher wurde immer gekoppelt (eng. Dead Reckoning), auch über Nacht, damit eine Standortschätzung, die bei der Hilaire Methode und auch der Sumner Methode nötig ist, nicht zu weit daneben liegt. Bei der Gauss Variante muss nur zwischen den Beobachtungen gekoppelt werden. Damit sind gute Ergebnisse schon bei zwei Stunden Wartezeit auf eine neue Sonnenposition möglich.

Sextantenbeschickung

Ein von einem Sextanten abelesener Wert muss korrigiert werden. Dieser Vorgang wird als Beschickung der Sextantenablesung bezeichnet. Man unterscheidet zwischen einer Gesamtbeschickung und einer Zusatzbeschickung. Außerdem muss noch ein Indexfehler berücksichtigt werden.

Bild 11: Einfluss der Augeshöhe AH auf die Messung des Kimmabstandes h.

Die Zusatzbeschickung berücksichtigt den Fakt, dass die Höhe der Sonne entweder an ihrem Unterrand oder ihrem Oberrand gemessen wird. Richtig wäre eine Messung in der Sonnenmitte, dort hat sie aber keine Markierung. Deshalb muss der Messwert mit dem Betrag des halben Sonnendurchmessers von 16′ berichtigt werden. Infolge der elliptischen Bahn der Erde um die Sonne, ist sie der Sonne im Winter näher. Die Sonnenscheibe erscheint dann größer. Die Gesamtschwankung des Durchmessers beträgt 0,5′.

Eine Gesamtbeschickung berücksichtigt den halben Sonnendurchmesser, die Kimmtiefe und die Refraktion. Aus der Tatsache, dass man von einem höheren Standort aus weiter blicken kann, Führte zu dem Begriff Kimmtiefe. Weil die Erde rund ist, kann man über die Rundung schauen  und dort ist die Kimm dann tiefer gelegen. Eine Sextantenablesung muss deshalb entsprechend der Höhe des Teleskops über der Wasserlinie, man rechnet von der spitze eines Wellenberges, korrigiert werden. Im Bild 11

Bild 12: Einfluss der Refraktion auf die Höhenmessung.
ist zu erkennen, dass der Höhenwinkel eines Gestirns um so größer gemessen wird je höher der Standort ist. Der Einfluss der Augenhöhe kann exakt berechnet werden.

Die Refraktion lässt sich nicht so einfach durch Rechnung bestimmen.Darunter versteht man die Beugung der Lichtstrahlen, wenn sie schräge durch die Atmosphäre kommen. Wie im Bild 12 zu erkennen, wird dadurch eine zu große Höhe gemessen. Zwar gibt es Formeln, einfache und komplizierte und es gibt auch Computerprogramme, mit denen die Refraktionberechnet werden kann. Doch wenn wir uns anschauen, was dazu einzugeben ist, dann wird man schnell unsicher. Nicht nur die Lufttemperatur und der Luftdruck spielen eine eine Rolle, sondern auch, wie sich diese Werte in verschiedenen Höhen verteilen. Am bestenlassen sich deshalb Tabellen benutzen, die in den Nautischen Jahrbüchern zur Verfügung gestellt werden. Diese enthalten Mittelwerte, die über viele Jahrzehnte bis Jahrhunderte aufgestellt wurden.

Kein Sextant arbeitet fehlerfrei. Der wohl am einfachsten zu eleminierende Fehler ist sein Indexfehler. Das ist ein additiver Fehler, der über den ghesamten Messbereich gleich groß ist. Er kann deshalb einfach durch Subtraktion berichtigt werden.

Über die Sextantenbeschickung muss sich

 


Anhang

Herleitung der Formeln

Bild 20: Kugeldreieck

Bild 20 zeigt das Nautische Dreieck in allgemeiner Form. Die drei Ecken sind mit den Großbuchstaben A, B und C gekennzeichnet. Die gegenüberliegenden Seiten tragen die gleichen Bezeichnungen, nur in Kleinbuchstaben a, b, und c. Die Winkel in den Ecken werden mit griechischen Buchstaben α, β und γ bezeichnet. Die Bezeichnungen der Elemente sind somit identisch mit denen eines ebenen Dreiecks. Die drei Seiten eines Kugeldreiecks folgen jeweils Großkreisen, hier also auf der Erdoberfläche. Der Mittelpunkt eines Großkreises ist immer der Erdmittelpunkt. In einem Formelbuch finden wir für dieses Kugeldreieck den sogenannten Seiten-Kosinusatz, der aus drei Gleichungen besteht, wobei jede Gleichung eigentlich dasselbe sagt nur von einer anderen Seite aus gesehen:

 

    \begin{equation*}\cos a =\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha\end{equation}

(3)   \begin{equation*}\cos b =\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta\end{equation*}

    \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation}

Winkelfunktionenen wie sin und cos kennzeichnen im Grunde nur bestimmte Längenverhältnisse wie z. B. die Länge zur Höhe bestimmter Figuren in einem Modell. Wir ersparen es uns hier, weiter darauf einzugehen. Wir wollen die Formeln ja nur benutzen.

 

Die Chronometerlänge

Ohne Bestimmung der Länge mit Hilfe eines Chronometers wäre die Sumner Methode nicht möglich gewesen. Mathematisch geht man dazu von dem Winkel γ im Bild 20 aus. Der ist im nautischen Dreieck identisch mit dem Polwinkel P. Wir wählen die dritte Zeile des Formelsatzes und stellen diese einfach auf cos γ um:

    \begin{equation*}\cos \gamma=\frac{\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation}

Das Ergebnis ist die Kosinusfunktion des Winkels γ. Den Winkel γ selbst erhält man über die Umkehrfunktion:

    \begin{equation*}\gamma=\arccos \frac{\cos c-\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation}

Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner müsste dazu nur, wenn das Ergebnis dieser Gleichung vorliegt, die Taste mit der Bezeichnung arccos oder cos-1 gedrückt werden und man erhält den Winkel selbst. Bei manchen Rechnern erscheinen die Umkehrfunktionen erst nach Drücken einer Umschalttaste, z. B. die 2nd-Taste auf dem iPhone.

In diese Formel mit den Seiten c, a und b müssen jetzt die tatsächlichen Seiten aus dem Bild 5 eingesetzt werden, nämlich c = (90° – h), a = (90° – δ) und b = (90° – φ). Für den Winkel γ setzen wir P ein und erhalten

    \begin{equation*}P=\arccos\frac{\cos (90^o-h_m)-\cos (90^o-\delta)\cdot\cos (90^o-\varphi)}{\sin (90^o-\delta)\cdot \sin (90^o-\varphi)}\cdot\end{equation}

Weil die Höhe eine gemessene Höhe ist haben wir hm eingesetzt, m wie measure. Weiter unten findet sich eine Formel, mit der die Höhe für einen Ort berechnet wird. Dort wird die Höhe mit hc bezeichnet, c wie computed.

Sinus- und Kosinusfunktionen sind um 90° phasenverschoben. Das heißt, sin(90° – x) = cos (x) und cos (90° – x) = sin (x). Angewendet auf die vorstehende Gleichung erhalten wir dann das endgültige Ergebnis für den Polwinkel:

(4)   \begin{equation*}P=\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Die Chronometerlänge λ erhält man daraus nur für vorzugebende Beiten φ (z. B. eine Koppelbreite), indem Grt + P (Sonne im E) bzw. Grt – P (Sonne im W) gerechnet wird:

(5)   \begin{equation*}\boxed{\lambda=Grt\underline{+}\arccos\frac{\sin h_m-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}}\end{equation*}

In dieser Gleichung kennzeichnen die Werte Grt und δ den Zeitpunkt einer Beobachtung und hm ist die dabei beobachtete Höhe. Diese Werte sind die feststehenden Parameter einer Beobachtung. Auf der rechten Seite der Gleichung bleibt dann nur noch die Breite φ als Variable übrig.

Unter Verwendung aller Breiten im Bereich von 90° – h + δ bis h – 90° + δ, das ist der Durchmesser der mit hm, Grt und δ betrachteten Höhengleiche in ihrer Nord-Süd Ausdehnung, liefert die Gleichung einen Halbkreis auf der Erdkugel. Dieser Halbkreis ist nach Osten offen, wenn λ = Grt + P gerechnet wird und nach Westen offen, wenn man λ = Grt – P rechnet. Ein Ergebnis dieser Berechnung zeigt Bild 6.  Somit ist auch die Berechnung von Vollkreisen der Höhengleichen möglich, wenn mit beiden Vorzeichen nacheinander gearbeitet wird. Das wäre jedoch unnötiger Rechenaufwand, weil Schnittpunkte zweier Höhengleichen mit den jeweils richtig gewählten Halbkreisen gefunden werden.

Das Ergebnis der Gleichung berücksichtigt nicht, dass die Geographen das Gradnetz der Erde in Ost- und Westlängen aufgeteilt haben und dass der Erdumfang nur Grade von null bis 360° zulässt. Deshalb müssen nach jeder Berechnung von λ die Korrekturregeln in Tafel 2 angewendet werden.

 

Die Höhenformel

Zur Berechnung der Höhe am Koppelort wird die dritte Zeile des Kosinus-Seitensatzes ohne Änderung verwendet werden. Diese lautet:

    \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot\cos b+\sin a\cdot\sin b\cdot\cos \gamma\end{equation}

Die allgemeinen Variablen c, a und b aus Bild 19 werden jetzt durch die im nautischen Dreieck Bild 5 zu findenden Werte (90° – h), (90° – φ) und (90° – δ) ersetzt. Für h setzen wir hc ein, weil die Höhe berechnet und nicht gemessen wird. Der Winkel γ ist in diesem Zusammenhang nicht der Polwinkel P aus Gl. 6, sondern der Ortsstundenwinkel t und wir erhalten:

    \begin{equation*}\cos(90^o-h_c)=\cos(90^\circ-\varphi)\cdot \cos (90^\circ-\delta)+\sin (90^\circ-\varphi)\cdot \sin (90^\circ-\delta)\cdot \cos t\text{.}\end{equation}

Unter Berücksichtigung von sin (90° – x) = cos x und  cos (90° – x) = sin x folgt dann die bekannte Höhenformel, mit der wir die Kimmhöhe der Sonne am Koppelort ausrechnen können:

(6)   \begin{equation*}\boxed{h_c=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta+\cos \varphi\cdot \cos \delta\cdot\cos t)}\end{equation*}

 

Bild 21: Der Ortsstundenwinkel t und Azimut Az am Schiffsvormittag (links) und am Schiffsnachmittag (rechts).

Der Ortsstundenwinkel t ist ein Stundenwinkel wie der Greenwich Stundenwinkel Grt aus dem Nautischen Jahrbuch. Der einzige Unterschied besteht darin, dass er nicht vom Ort Greenwich aus zählt. Er zählt vom Rechenort aus in Richtung Westen und ebenfalls bis zum Meridian der Sonne oder eines anderen beobachteten Gestirns. Bild 21 zeigt den Ortsstundenwinkel t (auch LHA = Local Hour Angel) auf der linken Seite vor dem Schiffsmittag und rechts nach dem Schiffsmittag, wenn die Sonne den Koppelort überholt hat. Den Ortsstundenwinkel errechnet man aus den geografischen Längen des Koppelortes über folgende Beziehung:

(7)   \begin{equation*} t = Grt  \left \lbrace {+\lambda_O \text{(Ostlaengen)}}\atop { \;\;-\lambda_W \text{(Westlaengen)} \right. \end{equation*}

Sollte das Ergebnis größer als 360° sein, dann sind 360° zu subtrahieren. Ist das Ergebnis negativ, dann sind 360° zu addieren.

 

Die Azimutformel

Das Azimut ist eine Peilung auf den Bildpunkt der Sonne. Zu seiner Berechnung muss ein Standort bekannt sein, z. B. der zu bestimmende Koppelort. Wir benutzen die erste Zeile des Seiten-Kosinussatzes Gl. 2 und stellen diese auf cos α um:

    \begin{equation*}\cos \alpha=\frac{\cos a-\cos b\cdot \cos c}{\sin b\cdot \sin c}\end{equation}

Nach dem Ersatz der allgemeinen Werte a, b, c und α durch die entsprechenden Werte aus dem Nautischen Dreieck im Bild 5 daraus:

    \begin{equation*}\cos Z_c=\frac{\cos(90^\circ-\delta)-\cos (90^\circ-\varphi)\cdot\cos (90^\circ-h_c)}{\sin (90^\circ-\varphi)\cdot \sin (90^\circ-h_c)}\end{equation}

Jetzt nutzen wir wieder die Phasenverschiebung von 90° zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion, dass sin (90° – x) = cos x und cos (90° – x) = sin x ist und erhalten:

(8)   \begin{equation*}\boxed{Z_c=\arccos\frac{\sin \delta-\sin \varphi\cdot \sin h_c}{\cos \varphi\cdot \cos h_c}}\end{equation*}

Die Azimutformel berechnet immer nur den inneren Winkel zwischen den Seiten Z↔N und Z↔X des Kugeldreiecks, wie Bild 21 zeigt. Das Azimut ist rechtweisend, geht also vom Meridian des Koppelortes, also der Linie Z↔N aus. Das berechnete Azimut ist deshalb nach folgenen Regeln zu korrigieren:

  • Z{t < 180°} = Zc
  • Z{t > 180°}= 360° – Zc

Neben der vorstehend gezeigten Zenitformel wird häufig eine ander Formel benutzt, die man nach mehrfachen Umstellungen unter Verwendung des Sinussatzes der sphärischen Trigonometrie erhäl. Bei Verwendung dieser Formel wird auf die Weiterverwendung der für den Koppelort berechneten Höhe verzichtet. Stattdessen wird das Azimut unter Verwendung des Ortsstundenwinkels des Koppelortes berechnet. Die Formel ist als Zeitazimut bekannt.

(9)   \begin{equation*}\boxed{Z_c=\arctan\frac{\sin t}{\sin \varphi\cdot\cos t-\tan \delta\cdot\cos\varphi}}\end{equation*}

Da die Arkustangens Funktion nur Werte zwischen 0° und 90° liefern kann, sind hier vier Bedingungen zu beachten, um ein vollkreisiges Azimut zu erhalten.

    \begin{equation*} Z = wenn\; t<\,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Z_c<0\;\; dann\; Z_c+360^o}\atop {wenn\; Z_c>0\;\; dann\; Z_c+180^o} \right \end{equation}

und

    \begin{equation*} Z = wenn\; t>\,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Z_c<0\;\; dann\; Z_c+180^o}\atop {wenn\; Z_c>0\;\; dann\;Z_c} \right \end{equation}

 

Winkelumrechnungen

Umrechnung von Winkeln in die Dezimalschreibweise:

    \begin{equation*}\boxed{WW^\circ ww,ww^\prime = \left( WW +\frac{ww,ww}{60}\right)^\circ}\end{equation}

    \begin{equation*} \text{Beispiel:}} \qquad52^\circ23,45^\prime =\left(52+\frac{23,45}{60}\right)^\circ=\underline{\underline{52,39^\circ}} \end{equation}

Umrechnung von der Dezimalschreibweise in Winkel:

    \begin{equation*} \boxed{WW,ww^\circ = WW^\circ,(0,ww\cdot 60)^\prime} \end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad52,39^\circ = 52^\circ(0,39\cdot 60)^\prime=\underline{\underline{52^\circ23,45^\prime}} \end{equation}

Computer rechnen nicht mit Winkeln, sondern im Bogenmaß bzw. Radiant (rad) was dasselbe ist. Hierbei sind 360° = 2π approx 6,283185. Um einen Winkel, der in Dezimalgraden WW,ww° angegeben ist in das Bogenmaß (rad) umzurechnen, benutzt man folgende Formel:

    \begin{equation*} \boxed{rad\lbrace WW,ww^\circ\rbrace=\frac{2pi}{360}\cdot WW,ww^\circ}}\end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad \tiny rad\lbrace 52{,}39^\circ\rbrace=\frac{2pi}{360}\cdot 52{,}39=\underline{\underline{0{,}9144_\text{rad}} } \end{equation}

Zur Umrechnung eines im Bogenmaß angegebenen Winkels in Dezimalgrad verwendet man die Beziehung:

    \begin{equation*}\boxed{deg\lbrace W,wwww_\text{rad}\rbrace=\frac{360}{2pi}\cdot(W,wwww_\text{rad})}}\end{equation}

    \begin{equation*}\text{Beispiel:}\qquad deg\lbrace 0{,}9144_\text{rad}\rbrace=\frac{360}{2pi}\cdot0{,}9144=\underline{\underline{52,39^\circ}} \end{equation}

Eine Kennzeichnung mit „rad“, dass es sich um einen Winkel im Bogenmass handelt entfällt im Allgemeinen.

Geradenkreuzung berechnen

Die Koeffizienten einer Geradenfunktion sind m und b. Dabei kennzeichnet m den Anstieg und b den Schnittpunkt mit der y-Achse, bzw. den Offset der Funktion. Die Darstellung linearer Funktionen erfolgt am besten in einem Koordinatensystem wie im Bild 22.

Bild 22: Lineare Funktionen in einem kartesischen Koordinatensystem

Die Koeffizienten b und m einer linearen Funktion sind folgendermaßen definiert:

    \begin{equation*}y = mx+b;\;\;\;\;b=y-mx;\;\;\;\; m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\end{equation}

Zwei Funktionen in einem Koordinatensystem werden mit y1 und y2 bezeichnet und jede Funktion besitzt ihre eigenen Koeffizienten. Ein Schnittpunkt entsteht, wenn die Steigungen m unterschiedlich groß sind. Er wird berechnet  indem die Funktionen y1 und y2 gleichgesetzt und die dadurch entstandene neue Gleichung nach xs aufgelöst wird. Mit diesem xs wird dann ys berechnet. Das Ganze ist sehr einfach:

    \begin{equation*}m_1x_s+b_1=m_2x_s+b_2;\;\;\text{daraus wird}\;\;\;x_s(m_1-m_2)=b_2-b_1\end{equation}

    \begin{equation*}x_s=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2};\;\;\;\;\;\;y_s=m_1x_s+b_1=m_2x_s+b_2\end{equation}

An die Stelle von x und y treten natürlich Breiten und Längen. Bei der Berechnung von Längendifferenzen, wie hier z. B. x2 – x1,  muss gegebenenfalls beachtet werden, dass Breitenkreise zu den Polen hin immer kleiner werden. Längendifferenzen in Meilen sind deshalb immer mit dem Kosinus der zugehörigen Breite zu multiplizieren.