Mit dem Sextanten unterwegs

Astronavigation hat ihren besonderen Reiz. Auf längeren Fahrten bleibt der Kartenplotter einfach aus und das Ziel wird mit der Sonne gefunden. Das ist ein ungleich größeres Erlebnis, als ständig den Kurs auf dem Bildschirm des Kartenplotters verfolgen und justieren zu müssen. In Ziel Nähe kann der Plotter ja wieder in Betrieb gehen.

Viele hatten das sogar mal vor, wie die alten Seefahrer auf dem neuen Boot mit der Sonne zu navigieren. Der Schock kam dann mit der Theorie und spätestens nach der ersten Saisonpause war alles mühsam Erlernte wieder vergessen. Der einst mit gutem Vorsatz gekaufte Sextant fristet seitdem sein Dasein irgendwo tief unten in einer Backskiste.

Nachfolgend stelle ich zwei von mir entwickelte Programme für das Notebook oder das Handy vor, mit denen jeder astronomisch mit der Sonne navigieren kann. Voraussetzung ist, dass man einen Sextanten, eine Seekarte (auch elektronisch) und eine Stoppuhr an Bord hat und damit umgehen kann.

Navigation mit Saint Hilaire pro

Der zunehmende Welthandel im 19. Jhd. erforderte Maßnahmen, die zur Verbesserung der Navigation auf den Schiffen führen. Den Breitengrad konnte man schon lange ganz gut feststellen. Mit der Entwicklung des Schiffschronometers wurde es dann auch möglich den Längengrad genau zu bestimmen. Aus den zwei getrennten Messungen ergab sich dann der Standort als Kreuzung von zwei Koordinatenlinien des Gradnetzes der Erde.

Carl Friedrich Gauß gelang 1808 erstmals die direkte Berechnung eines Standortes aus dem Schnittpunkt der Höhengleichen zweier beobachteter Sterne (siehe Bild 4). Die Mathematik dazu war jedoch viel zu aufwändig für den Bordgebrauch.

Bild 1: Eingabemaske des Programms

Erst drei Jahrzehnte später gab es den ersten Durchbruch, als der Amerikaner Thomas Sumner die Standliniennavigation begründete. Seine Standlinien waren Sekanten an den Höhengleichen aus zwei Gestirnsbeobachtungen, die sich im Standort kreuzten. Das Verfahren war relativ einfach und sogar recht genau.

1875 veröffentlichte der französische Seeoffizier Saint Hilaire eine Methode zur Konstruktion von Standlinien, die noch genauer war. Seine Methode hielt sich bis zur Ablösung durch das GPS und gilt seitdem als Rückfallmethode, sollte GPS mal nicht verfügbar sein.

Doch so, wie das immer noch gelehrt wird, mit Taschenrechner, Zeichenutensilien und Nautischem Jahrbuch, wollen wir hier nicht arbeiten. Die nachfolgend vorgestellte Version ist eine Rekonstruktion der Hilaire Methode, damit ihre Verwendung auf Computern und Mobilgeräten möglich wird. Eine Benutzung dieser modernisierten Hilaire Methode erfordert keine Kenntnisse in Astronomie und Mathematik. Ein Nautisches Jahrbuch ist ebenfalls überflüssig, weil die Positionsdaten der Sonne und die Beschickungstafeln in elektronischen Datenbanken vorhanden sind.

Die Methode von Hilaire bestimmt einen Standort aus der Kreuzung zweier linearer Standlinien (Line of Position Navigation). Die Standlinie wird als Tangente an der beobachteten Höhengleiche konstruiert und der eigene Standort ist irgendein Punkt auf dieser Linie. Durch die Kreuzung zweier Standlinien treffen diese Punkte im berechneten Standort aufeinander.

 

Einstellungen

Bild 1 zeigt die Eingabemaske des Programms. In dem blau umrahmten Block werden die Einstellungen erfasst:

Sonnenrand

Mit „Sonnenrand“ wird dem Programm mitgeteilt, ob das Bild der Sonnenscheibe im Fernrohr des Sextanten mit ihrem Unterrand oder ihrem Oberrand auf den Horizont gesetzt wird. Das ist individuell verschieden und muss deshalb angegeben werden.

Augeshöhe

Darunter wird der Abstand zwischen dem Fernrohr des Sextanten und dem Kamm des höchsten Wellenberges verstanden. Bei hoher Dünung sollte eine Beobachtung final immer von der größten Höhe einer Welle aus gelingen. Hinter dem Ganzen steckt der Begriff Kimmtiefe, denn je höher man steht desto weiter kann man sehen, gleichzeitig aber auch tiefer, weil die Erdkugel gekrümmt ist. Der Abstand zwischen Sonne und Kimm wird dadurch größer gemessen als er ist, was durch die Angabe der Augeshöhe korrigiert wird.

Indexfehler

Das ist ein Winkelfehler jedes Sextanten, der additiv über den gesamten Messbereich wirkt. Als Indexberichtigung ist deshalb der negative Wert des Indexfehlers einzutragen. Um diesen Fehler festzustellen, werden alle Schattengläser aus dem Strahlengang genommen oder nur ein einziges schwaches Filter eingeschwenkt und die Alhidade wird auf null gestellt. Wird damit der Horizont oder eine weit entfernte Insel beobachtet, dann sieht man zwei übereinanderliegende Konturen. Diese werden dann mit der Trommel in Deckung gebracht. Der danach abzulesende Winkel ist der Indexfehler, der in Bogenminuten mit umgekehrtem Vorzeichen einzutragen ist.

Beispiel: bei einem festgestellten Indexfehler von 1° 6’ wird eine Indexberichtigung von -66’ eingetragen. Plastiksexanten sind sehr temperaturabhängig. Bei Ihnen sollte der Indexfehler nach jeder Beobachtung der Sonne neu festgestellt und eingetragen werden.

 

Koppelort

Das Prinzip der Hilaire Methode besteht darin, dass ein Standort geschätzt und dieser Schätzort durch die Anwendung der Methode verbessert wird. Andere Namen für den Schätzort sind Gissort, Rechenort oder DR Position. Nach Anwendung der Methode bleibt immer ein Restfehler und der ist umso größer, je weiter der eigene Standort tatsächlich vom Schätzort entfernt liegt. Dieser Fehler geht im Allgemeinen im Rauschen aller anderen Fehler, wie Zeitfehler Höhenfehler, Beschickungsfehler usw. unter. Das geschieht aber nur dann, wenn der Koppelort genau genug geschätzt werden konnte.

Bei nur einer Standortbestimmung am Tag muss deshalb unter Einberechnung von Kursen und Geschwindigkeiten eine Koppelnavigation auch über Nacht erfolgen. Die kann sogar ziemlich aufwändig werden, wenn gekreuzt werden muss. Darauf wollen wir gerne verzichten, denn wir besitzen ja einen Computer oder ein Smartphone.

Wenn die Hilaire Methode geeignet ist, aus einem geschätzten Standort einen Standort zu berechnen, der unserem tatsächlichen Standort recht nahe kommt, dann können wir die ganze Rechnung doch wiederholen. In der Wiederholung wird das Ergebnis einer vorhergehenden Standortberechnung als Koppelort eingesetzt.

Diese Wiederholungen können sinnvoll fünfmal hintereinander gemacht werden, so dass sechs Rechendurchläufe erfolgen. In der Mathematik bezeichnet man dieses Vorgehen als Regula Falsi, sukzessive Approximation oder einfach Iteration.

Unser Standortergebnis wird dadurch nicht unbedingt genauer, denn das hängt, wie oben schon beschrieben von anderen Faktoren ab. Insbesondere ist da viel Übung und Können gefragt, um auf einem schaukelnden Schiff die Höhe der Sonne genau feststellen zu können. Wir sind aber die Bürde los, von einem Tag auf den anderen koppeln zu müssen.

Es hat sich gezeigt, dass bei sechs Rechendurchläufen der Koppelort bis zu 1000 Seemeilen danebenliegen kann und immer noch derselbe Standort berechnet wird, wie bei einem nur 10 Seemeilen entfernt liegenden Koppelort. Übertreiben sollte man aber auch nicht und den Koppelort gleich auf die andere Seite des Ozeans legen, weil dann die Iterationen divergieren. Anstelle von schrittweisen Annäherungen mit jeder Iteration entstehen gewaltige Fehlberechnungen, die sich z. B. in dreistelligen Breitengraden äußern können. Das EXCEL Programm im Downloadbereich führt allerdings nur drei Iterationen durch. Der Koppelort kann dadurch schon bis zu fünf Graden danebenliegen. Eine Testversion, die mit 6 Rechendurchläufen arbeitet kann schon hier heruntergeladen werden.            

Download Hilaire Navigator pro 6-fach: DOWNLOAD

Warum dann aber Minutenangaben beim Koppelort, wenn man doch locker um mehrere ganze Grade danebenliegen kann? Das ist ein weiterer Vorteil von Iterationen. Wir können als Koppelort ein Ziel eingeben, das einige hundert Meilen entfernt sein kann. Nachdem wir dann unsere zweite Beobachtung eingetragen haben, bekommen wir nicht nur unseren Standort, sondern auch noch Kurs und Distanz zu diesem Ziel mitgeteilt. Eine weiterer Vorteil ist, dass wir den Koppelort jederzeit ändern können, auch nach der zweiten Beobachtung. Das Programm rechnet dann sofort mit sechs Durchläufen Kurs und Distanz zu einem anderen Ziel aus.

Der Zusatz „pro“ im Programmnamen weist genau auf diese Eigenschaft hin, dass die Hilaire Methode in Iterationen verwendet wird und dadurch der Koppelort sehr hemdsärmelig eingegeben werden kann und eine Zielnavigation über mehrere hundert bis tausend Meilen möglich ist.

 

Messung 1

Für eine Messung müssen Sonne und Horizont gut sichtbar sein und auch das Wasser sollte nicht allzu sehr in der Sonne glitzern. Man braucht ein auf UTC synchronisiertes Chronometer und eine Stoppuhr. Diese wird zu einer vollen Minute oder sogar Stunde des Chronometers gestartet.

Bild 2: Nach Eintragen der ersten Beobachtung werden die erste Standlinie, der vorgegebene Koppelort und der Azimutstrahl vom Koppelort auf den Bildpunkt angezeigt.

Jetzt kann in aller Ruhe die Sonne beobachtet werden. Besitzer von Plastiksextanten sollten zunächst den Indexfehler ihres Sextanten feststellen und notieren. Erst danach kann die Höhe der Sonne gemessen werden. Dabei ist die Hilfe eines Mitseglers sehr wertvoll, wenn dieser auf Zuruf die Stoppuhr anhält.

Danach begibt man sich in seine Navigationsecke, um Stoppuhr und Sextant abzulesen. Die Stoppuhrzeit wird zur Startzeit addiert. War die Startzeit z. B. 9:33:00 UTC und die Stoppuhr zeigt 12’:23’’:94, dann ist die Beobachtungszeit 9:45:24 UTC. Diese Zeit wird unter Uhrzeit UT1 eingetragen. An Bord haben wir die Zeit UT1 kaum zur Verfügung. UT1 und die Atomuhrzeit UTC unterscheiden sich maximal nur um 0,9 Sekunden, was vertretbar ist. Jetzt tragen wir das Datum, die Beobachtungszeit und den am Sextanten abgelesenen Höhenwinkel ein.

Nur zur Erinnerung: Datum und Zeit benötigt das Programm, um aus seiner Datenbank „Almanac“ den Ort auf der Erde herauszulesen, an dem die Sonne zu genau dieser Sekunde im Zenit stand, den sogenannten Bildpunkt. Die gemessene Höhe liefert uns die Entfernung zum Bildpunkt und der Koppelort gibt schließlich einen Anhaltspunkt für die Peilung auf den Bildpunkt. Diese kann bei sechs Rechendurchläufen ziemlich danebenliegen und ist nur wichtig bei Benutzung der Originalversion. Daraus berechnet das Programm eine Tangente, die am Kreis der Höhengleiche anliegt, die sogar genau durch unseren Standort laufen würde, wenn Koppelort und Schiffsort die gleiche Peilung zur Sonne hätten.  

Bild 2 zeigt das erste Zwischenergebnis. Die grün gestrichelte Linie ist eine erste grob geschätzte Standlinie. Die vom Koppelort ausgehende Linie ist der Azimutstrahl in Richtung Sonne. Die Linie endet senkrecht auf der Standlinienmitte. In der Grafik kann von einem rechten Winkel allerdings keine Rede sein, was jedoch daran liegt, dass die Diagrammachsen unterschiedlich skaliert sind. Durch Änderung des darzustellenden Längenbereichs kann ein rechter Winkel optisch erzeugt werden.

Nach der ersten Messung gibt das Programm die ungefähre Zeit des Schiffsmittags aus. Diese Zeit ist umso genauer, je genauer der Koppelort geschätzt wurde. Durch Variation des Koppelortes kann die Zeit des kommenden Schiffsmittags relativ genau bestimmt werden. Alternativ kann mit einem zweiten Vormittagsbesteck ein momentaner Standort berechnet werden, nur um diesen zur Bestimmung des Schiffsmittags als Koppelort eintragen zu können. Anschließend kann der Kopelort wieder auf ein Ziel gestellt werden.

Wenn die Zeitdifferenz zwischen den beiden Vormittagsbestecken zu klein ist, dann schneiden sich die Standlinien sehr spitz. Ein so berechneter Standort kann ungenau sein, was allerdings weniger auf die dadurch ermittelte Zeit für den Schiffsmittag zutrifft. Die Zahlen eines zweiten Vormittagsbestecks können jederzeit überschrieben werden. Man kann sie auch in den Block „Messung 1“ übernehmen, falls man der Meinung ist, dass die Sonne bei der zweiten Messung besser geschossen wurde.

 

Versegelung

Ein Nachteil der Astronavigation mit der Sonne ist, dass zwischen den zwei Beobachtungen eine bestimmte Zeit vergehen muss, bis die Sonne einen anderen Stand hat. Dafür hat man aber auch den ganzen Tag zur Verfügung und nicht nur die kurzen Momente in der Dämmerung, wo es im ungünstigsten Fall auch noch bewölkt sein könnte. Das Ziel sind zwei Standlinien, die sich nicht allzu spitz schneiden. Die erforderliche Zeitdifferenz sollte ungefähr drei Stunden betragen, so dass eine Messung am Vormittag und eine zweite am Nachmittag gemacht werden. In dieser Zeit wird natürlich eine Strecke gesegelt, die dann als Versegelung einzutragen ist. Es ist also eine Koppelnavigation über den Zeitraum von etwa drei Stunden vonnöten, die am Tage jedoch relativ einfach bewerkstelligt werden kann.

 

Messung 2

Bild 3: Standortgrafik nach Eingabe von Messung 2 und Versegelung

Das Nachmittagsbesteck sollte nicht genau am Schiffsmittag erfolgen. Mindestens eine halbe Stunde danach ist es günstiger, am besten ist eine Zeit am früheren Nachmittag. Dabei wird genauso vorgegangen wie beim Vormittagsbesteck.

Nachdem die Versegelung und alle Messwerte eingetragen worden sind, gibt das Programm den aktuellen Standort sowie Kurs und Distanz zum Koppelort aus. Informationshalber wird auch der nach Original Hilaire berechnete Standort ausgegeben, der natürlich von der Lage des Koppelortes abhängt.

Die Grafik im Bild 3 zeigt jetzt die Standlinie 1, die nach den Iterationen jetzt ihre richtige Lage hat und parallel dazu die versegelte Standlinie 1 als durchgezogene grüne Linie. Die Standlinie 2 aus der zweiten Beobachtung ist rot dargestellt, der Versegelungsvektor blau und die direkte Linie zum Koppelort schwarz.  

 

 

 

Navigation mit Carl Friedrich Gauß

Bild 4: Zwei Höhengleichen schneiden sich im Standort

Eine Methode nach Gauß hat es in der Seefahrt nie gegeben, weil die Berechnungen mangels Computer in der erforderlichen Zeit nicht durchführbar gewesen wären. Als Computer verfügbar waren, hatte auch niemand ein Interesse daran, diese Methode aus dem Jahre 1808 wieder aufzugreifen. Hilaire machte keine Probleme, war Standard und das GPS war inzwischen stark auf dem Vormarsch. Die Gauß Methode wird heute gern als Einleitung in die Astronavigation verwendet, weil sie die Zusammenhänge sehr gut erklären kann. Zwei Beobachtungen liefern zwei Höhengleichen, die sich an zwei Stellen schneiden und ein Schnittpunkt davon ist der eigene Standort.

Die Schnittpunktberechnung ist allerdings so kompliziert, dass auf Geradenmodelle ausgewichen wurde, die dann recht komplex wurden, aber mit weniger komplizierten Berechnungen zurechtkamen.

Nachfolgend wird ein Programm vorgestellt, das nach der Idee von Gauss den Standort berechnet. Die Theorie, auf der das Programm beruht ist unter „Standort nach neuer Methode“ beschrieben. Dabei wird ein Standort aus der Kreuzung zweier Kreise bestimmt, die sich in der Überlappung an zwei Stellen kreuzen (Circle of Position Navigation). Ein derartiger Kreis ist eine gedachte Kreislinie, von der aus die Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt in gleicher Höhe beobachtet werden kann, eine sogenannte Höhengleiche.

Einstellungen

Bild 5 zeigt auf der linken Seite die Eingabemaske des Programms, das ebenfalls aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden kann. In dem blau umrahmten Block werden wieder die Einstellungen erfasst.

Für Sonnenrand, Augeshöhe und Indexberichtigung gilt das Gleiche, was bereits oben bei Hilaire pro genannt worden ist. Neu ist der Begriff Operationsbreite. Weil zwei sich überlappende Kreise zwei Schnittpunkte besitzen, muss ein Schnittpunkt ausgeschlossen werden. Das erfolgt ganz einfach durch Angabe der Breite, in der gesegelt wird. Diese Angabe muss nicht einmal genau gemacht werden und kann auch ganz zum Schluss erfolgen, nachdem vielleicht auffällt, dass man auf der Nordhalbkugel segelt, der ausgerechnete Standort aber ein Ort auf der Südhalbkugel ist.

Bild 5: Eingabemaske des Navigationsprogramms nach C. F. Gauß links, rechts die Standortgrafik mit Versegelung Die Grafik ist um 90° nach rechts gekippt, so dass die Breitenachse waagerecht dargestellt ist.

 

Für Messung 1, Versegelung und Messung 2 gelten ebenso die bereits oben bei der Hilaire Navigation gemachten Angaben. Das Programm berechnet die Höhengleichen komplett und stellt diese auch in der Grafik dar. Schon nach Eingabe der Daten der ersten Messung erscheint der Kreis der Höhengleiche in einem Diagramm.

Bild 6: Die globale Grafik zeigt die Kreise der Höhengleichungen, links nach der ersten Beobachtung und rechts nach der zweiten Beobachtung. Dort wo sich die Kreise kreuzen sind die möglichen Standorte. Aufgrund der unterschiedlichen Achsenskalierung und der zweidimensionalen Darstellung sind die Kreise verzerrt.

 

In der Grafik gibt es zwei Einschränkungen zu beachten. Das Diagramm ist um 90° nach rechts gekippt, was einmal daran liegt, dass Liniendiagramme in EXCEL nicht gedreht werden können und zum anderen aus mathematischen Gründen die Breitengrade als Argumente auf der Abszissenachse angeordnet sein müssen. Eine Höhengleiche ergibt nur auf einem Globus einen exakten Kreis. In der zweidimensionalen Darstellung ist das nicht möglich. Außerdem sind die beiden Achsen für die Längen- und Breitengrade unterschiedlich skaliert, so dass mehr oder weniger Eier das Ergebnis sind.

Die eine Hälfte eines solchen Eies ist durchgezeichnet. Das ist die Linie, auf der sich der eigene Standort befindet. Sie ist vormittags nach Osten und nachmittags nach Westen geöffnet. Die unterbrochene Linie ist die gespiegelte Kreishälfte und kann keinen Schnittpunkt liefern.

 

Zusammengefasst

Beide Programme arbeiten auf EXCEL-Basis. Im Downloadbereich ist genau beschrieben, wie diese auch auf ein mobiles Gerät übertragen werden können. Die Benutzung der Programme erfordert weder Kenntnisse über die astronomischen Zusammenhänge noch in Mathematik. Was bleibt ist, dass der Umgang mit den Instrumenten Sextant und Uhr geübt werden muss, denn ein Standort kann nur so genau berechnet werden, wie genau die Angaben von Zeit, Höhenwinkel und Versegelung gemacht worden sind und das ist letztendlich auch ein Sport.

Die Gauß Methode benötigt keinen Koppelort und bestimmt den Standort lediglich aus zwei Höhen. Bei der Hilaire Methode muss ein Koppelort angegeben werden. Die hier vorgestellte pro-Version arbeitet jedoch mit Iterationen, so dass eine Koppelortangabe um viele hundert Meilen falsch sein kann, ohne dass dadurch das Standortergebnis beeinflusst wird. Das ist ein gravierender Unterschied zur Lehrbuchvariante und eröffnet die Möglichkeit einer Zielnavigation, indem als Koppelort einfach ein weit entferntes Ziel eingegeben wird. Jede Standortberechnung liefert dann nebenbei gleich noch den Kurs und die Distanz zu diesem Ziel.

Inzwischen sind Mobilgeräte auch wasserdicht und stoßfest geworden, was von Taschenrechnern und Büchern nicht gerade gesagt werden kann. Dadurch und dass die hier beschriebenen Programme narrensicher und ohne Kenntnisse in der Theorie benutzbar sind, bekommt der Begriff „Back up System“ in der Navigation gleich eine andere Bedeutung. 

Die theoretischen Grundlagen beider Methoden sind im Kompendium der Astronavigation bechrieben.


Links:

nach oben ♦ Mittagsbreite und Chronometerlänge  ♦ Kompendium der Astronavigation

Ein wenig Sextantenkunde ♦ Sextantentest Mark 25Downloads

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