Die frühen Methoden

Der Mathematiker und Seemann Jean-Charles de Borda bei der Vermessung des Vulkangipfels auf Teneriffa.

Unter diesen Begriff fallen all jene Methoden, die vor der Entdeckung von Sumner entstanden sind, also auch die getrennte Bestimmung von Breitengrad und Längengrad, die insbesondere nach der Erfindung des Schiffschronometers populär wurde. Das änderte sich, als die Sumner Methode bekannt wurde. Insbesondere die Franzosen sprachen von einer neuen Astronomie. Heute sieht man mit dem Aufkommen der Methoden von Sumner und dem 30 Jahre später publizierten Höhenverfahren von Hilaire den Beginn der Ära der modernen Astronavigation. Doch schon lange vorher gab es Ansätze, das Zweihöhenproblem zu lösen. Der wohl interessanteste soll nachfolgend beschrieben werden.

Borda 1771

Um das Zweihöhenproblem lösen zu können, wäre es nötig, die Breite jederzeit aus dem Stand der Sonne bestimmen zu können und nicht nur am Schiffsmittag. Der Niederländer Cornelis Douwes hatte das um 1750 zu einer seiner Hauptaufgaben gemacht. Man wusste, dass die Höhe der Sonne und die Zeit mit der Breite zusammenhängen müssen. Im Sommer beschreibt die Sonne in der gleichen Zeit einen viel längeren Bogen als im Winter, was auf ihre Deklination zurückzuführen ist. Doch auch dann, wenn man sich im Winter südlichen Breiten nähert, wird der tägliche Bogen der Sonne höher und länger. Der Breitengrad, auf dem man sich gerade befindet muss also bestimmbar sein, wenn man die Deklination der Sonne kennt und ihre Höhe bestimmen kann.

Das Nautische Dreieck, wie im Bild 1 zu sehen,  hilft hier weiter. Will man den Polwinkel bzw. Stundenwinkel 𝜏 berechnen, dann braucht man dazu die Höhe der Sonne und ihre Deklination. Außerdem braucht man die Breite, auf der man sich befindet und die wäre jetzt zu schätzen. Da man die letzte Mittagsbreite noch kennt oder gerade erst bestimmt hat und mit der Fahrzeit und Geschwindigkeit gekoppelt hat, fällt diese Schätzung nicht allzu schwer. Wir beobachten also die Sonne zum Beobachtungszeitpunkt t1 und stellen ihre Höhe h1 fest. Unter Verwendung von 𝛿1 aus dem Almanach und der Schätzung von 𝜑1 liefert der Kosinus Seitensatz einen Stundenwinkel, das wäre bei richtiger Breitenschätzung die Meridiandifferenz zwischen Schiff und Bildpunkt für eine erste Beobachtung:

(1)   \begin{equation*}\tau_1=\cos^{-1}\frac{\sin h_1-\sin \delta_1\cdot\sin \varphi_1}{\cos \delta_1\cdot\cos \varphi_1}\end{equation*}

In der Formel wurden gleich die Komplemente der drei bekannten Seiten, also ihre Ergänzungen zu 90° eingesetzt, wodurch der Kosinus zum Sinus und umgekehrt wird. Wir nehmen zunächst mal an, dass Flaute herrscht und das Schiff seinen Standort nicht verändert. Nachdem die Sonne einige Zeit später einen anderen Stand hat, wird ihre Höhe zum Zeitpunkt t2 ein zweites Mal gemessen und ein zweiter Stundenwinkel ausgerechnet:

(2)   \begin{equation*}\tau_2=\cos^{-1}\frac{\sin h_2-\sin \delta_2\cdot\sin \varphi_1}{\cos \delta_2\cdot\cos \varphi_1}\end{equation*}

Jetzt fassen wir wir beide Stundenwinkel mit der nachstehenden Formel zusammen und rechnen den erhaltenen Wert in Zeit um, indem wir ihn durch 15°/h dividieren. Das ist die Geschwindigkeit der Sonne, mit der sie die 360° des Erdumfangs in 24 Stunden umrundet. Das Ergebnis ist die Zeit, in der die Sonne die beiden berechneten Stundenwinkel durchquert und die bekommt das Formelzeichen Θ1.

(3)   \begin{equation*}\Theta_1=\frac{\lvert\tau_1\pm\tau_2\rvert}{15^\circ/h}\end{equation*}

Die Stundenwinkel aus zwei Beobachtungen können nicht immer addiert werden. Deshalb wurden in dieser Gleichung die Betragsstriche verwendet. Der Grund liegt ganz einfach in den Beobachtungszeiten. Die Zusammenfassung der Stundenwinkel muss folgendermaßen geschehen:

    • X1 vormittags, X2 vormittags:       \tau_1-\tau_2
    • X1 vormittags, X2 nachmittags:     \tau_1+\tau_2
    • X1 nachmittags, X2 nachmittags:   \tau_2-\tau_1

Eigentlich sollte jetzt die errechnete Zeit Θ1 mit der von der Uhr angezeigten Zeitdifferenz 𝛥t zwischen den Beobachtungen übereinstimmen.

Bild 1: Diejenige Breite ist die Standortbreite \varphi, bei der die Summe der Stundenwinkel \tau_1 und \tau_2 geteilt durch 15°/h genauso groß ist wie \Delta t.

Wir stellen jedoch eine Diskrepanz fest, was daran liegt, dass in den Berechnungen nur eine geschätzte Breite verwendet wurde. Wäre die geschätzte Breite gleich der wahren Standortbreite, dann müsste die Summe der zusammengefassten Stundenwinkel, dividiert durch 15°/h exakt die Zeitdifferenz zwischen den Beobachtungen ergeben. Für diese Feststellung braucht man kein Chronometer, eine normale Schiffsuhr reicht dafür schon aus und darüber verfügte man im Jahre 1771 bereits. Die genauen Koordinaten der Sonne zu kennen, war nicht nötig. Die Kenntnis der Deklination reichte aus und die gab es als Jahrestabellen bereits in ausreichender Genauigkeit.
Es war das Jahr, als der Chevalier de Borda (S. 340), während seiner Reise auf der Flora, einem Forschungsschiff der französisch-königlichen Marineakademie eben diese Diskrepanz feststellte. Er empfahl, in diesem Fall die Berechnung mit einer anderen Breite so oft zu wiederholen, bis die richtige Breite gefunden ist. Aus den Zwischenergebnissen wäre dann immer zu erkennen, ob die Breite zu vergrößern oder zu verkleinern ist.

Zur damaligen Zeit hätte das aber einen erheblichen Rechenaufwand erfordert und dazu war kaum jemand in der Lage. Heute wären wir damit schnell fertig. Ein Computer müsste nur die Breite 𝜑 für die folgende Bedingung berechnen, wobei 𝛥t als sekundengenaue Zeit zu betrachten ist:

(4)   \begin{equation*}\boxed{\varphi=\varphi \lbrace \Theta=\Delta t\rbrace}\end{equation*}

In Worten:

Diejenige Breite ist die wahre Standortbreite, wenn der in Zeit ausgedrückte Stundenwinkel zwischen zwei Sonnenständen genauso groß ist, wie die zwischen den Beobachtungen verstrichene Zeit.

Die Berechnung kann mit einem Computer in einer Iterationsschleife ablaufen, ohne dass vorher eine Breite geschätzt werden muss. Man beginnt mit der Breite \varphi=\delta oder ein Grad darunter und berechnet \frac{\Theta}{15}-\Delta t. Daraufhin wird dieselbe Rechnung nach Erhöhung der Breite um jeweils 1° so oft wiederholt, bis das Ergebnis ein anderes Vorzeichen bekommt. Damit wird das 1°-Intervall gefunden, in dem die richtige Breite liegt. Dieses Intervall wird jetzt in derselben Weise durchsucht. Doch die Breite wird diesmal nach jedem Schleifendurchlauf nur um ein Bogenminute erhöht. Sobald auch hier ein Vorzeichenwechsel erfolgt, wird das gefundene Minutenintervall in Schritten von Breitensekunden überprüft. Bei einem Vorzeichenwechsel steht mit der unmittelbar davor eingesetzten Breite die Standortbreite fest. Der hierbei angefallene Wert von \tau_1 wird ebenfalls abgespeichert, weil dieser Wert, mit dem Grt addiert oder davon subtrahiert, die Standortlänge liefert.
Die Aufgabe ist aber auch mit EXCEL leicht lösbar. Man muss dazu wenigstens drei Tabellen mit z. B. jeweils 60 Zeilen anlegen. Die erste Tabelle löst in Schritten von je 2 Grad auf und die weiteren in 2’ und 2’’. Die daraus gefundene Breite sollte dann auf wenige hundert Meter genau stimmen. Voraussetzung ist natürlich eine genaue Kenntnis bzw. Angabe der Deklination. Diese wird im Nautischen Jahrbuch auf 0,1′ genau genau angegeben und das sind 0,1 nm oder 185,2 Meter. Es gibt keine simplere Methode als diese, um einen Standort auf See zu berechnen.

Eine Versegelung kann nach dem Verfahren von Douwes ebenfalls recht einfach gelöst werden, indem die Höhe aus der ersten Beobachtung an den Standort der zweiten Beobachtung angepasst wird. Ein versegelter Standort wird nicht mit h1 gefunden, sondern mit h1V, dazu ist allerdings das Azimut erforderlich:

(5)   \begin{equation*}h_{1V}=h_1+d\cdot\cos (Az_1-c)\end{equation*}

Hierin sind d die versegelte Distance mad good und c der versegelte Course made good, also die resultierenden Werte einer Fahrt über Grund, die durch Koppelnavigation ermittelt werden müssen. Das Azimut sollte berechnet und nicht geschätzt werden, was aber für einen Rechner kein Problem ist. Die Formel dafür lautet:

(6)   \begin{equation*}Az^*=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi_{uv}\cdot \sin h_1}{\cos \varphi_{uv}\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Das Azimut hat den mit dieser Formel berechneten Wert, wenn die Höhe vormittags gemessen wurde. Bei einer nachmittags gemessenen Höhe muss das Rechenergebnis erst von 360° abgezogen werden. Das Rechenprogramm lässt man zweimal durchlaufen, das erste Mal mit der Höhe h1, um damit eine unversegelte Breite 𝜑uv zu berechnen, mit der das Azimut bestimmt wird und dann gleich nochmal mit der angepassten Höhe h1V, um die Standortbreite nach der Versegelung zu erhalten.

Diese Höhenanpassung geht auf das Jahr 1750 zurück, ist also noch 20 Jahre älter als die Methode von Borda. Natürlich konnte damals unmöglich mit dieser Methode gearbeitet werden. Der Rechenaufwand wäre nicht zu bewältigen gewesen. Da wir heute über Quarzuhren verfügen, kann jetzt auch ganz leicht die Länge berechnet werden. Dazu muss man nur die im letzten Rechendurchgang mit der Gl. 4 festgestellten Stundenwinkel festhalten, weil sie mit der richtigen Standortbreite berechnet wurden. Der Arcus Kosinus des Bruches mit der Höhe der ersten Beobachtung liefert den Stundenwinkel \tau_1, der mit dem Greenwicher Stundenwinkel Grt1 addiert oder von diesem subtrahiert die Länge abbildet. Abbildet deshalb, weil das errechnete Ergebnis dem Regime des weltumspannenden Grt folgt:

(7)   \begin{equation*}\boxed{\lambda^\ast=Grt_1\pm \tau_1\lbrace\varphi\rbrace}\end{equation*}

In einem ersten Schritt müssen eventuelle Überträge entfernt werden. Ist das Ergebnis negativ, dann müssen 360° addiert werden. Ist es größer als 360°, dann müssen 360° subtrahiert werden. In einem zweiten Schritt ist zu prüfen, ob ein Winkel zwischen 0° und 180° vorliegt. Ist das der Fall, dann liegen Westgrade vor. Liegt der Winkel zwischen 180° und 360°, dann ist dieser Winkel von 360° zu subtrahieren und das Ergebnis sind Ostgrade.
Das mag sich vielleicht kompliziert anhören, ist aber nach einigem Nachdenken ganz einfach zu verstehen und auch in EXCEL mit der WENN-Funktion leicht zu lösen. Obwohl das die am leichtesten zu verstehende Methode ist – mit Logarithmen ist damit ein Standort nur mit allergrößtem Aufwand zu finden. Ein Rechner schafft das hingegen in Millisekunden.

Die Methode von Borda gehört zu den sogenannte alten Methoden, die von der sogenannten neuen Astronomie mit den Methoden von Sumner und Hilaire verdrängt worden ist. Heute ist sie völlig vergessen und das ist sehr schade. Borda wollte das Zweihöhenproblem auf analytischem Wege, das heißt ausschließlich durch Berechnungen lösen. Damals konnte das nicht optimal gelingen, weil eine Lösung nur auf numerischem Wege erreicht werden kann. Die Menschen hatten zwar eine beeindruckende Vorstellungskraft, doch es fehlten die Werkzeuge wie genau gehende Uhren und Computer. Heute verfügen wir über Computer und damit ist eine Standortberechnung nach Borda ein Nichts. Das Tolle an der Methode ist ihre Eingängigkeit, wodurch sie problemlos von jedem erfasst werden kann. Außerdem ist die erreichbare Präzision besser als die des Höhenverfahrens von Hilaire.

 

Lalande 1793

Im Jahre 1793 veröffentlichte der französische Astronom Jerome Lalande (S. 68), eine Arbeit, in der er eine Linearität zwischen den zu schätzenden Breiten und den abgelaufenen Zeiten zwischen den Beobachtungen voraussetzte. Lalande war Professor und Mitglied an mehreren wissenschaftlichen Akademien, so in Paris, London und Petersburg und bekleidete darüber hinaus noch zahlreiche weitere Ämter. Seine Ansichten zur Navigationsidee von Borda hatten also Gewicht und wurden auch später noch von anderen Autoren erwähnt und versucht anzuwenden. Er schrieb sinngemäß:

„Diejenige Breite muss die richtige sein, mit welcher die beiden, aus den Höhen berechneten Stundenwinkel einen Unterschied ergeben, der ebenso groß ist, wie die beobachtete verflossene Zeit. Wenn man daher mit zwei angenommenen Näherungswerten für die Breite die Stundenwinkel berechnet und so ihre Unterschiede kennt, dann lässt sich daraus über einen Dreisatz die wahre Breite finden.“

Der erste Satz beschreibt das von Borda angewendete Prinzip. Der zweite Satz besagt, dass die Stundenwinkel nur ein zweites Mal und zwar mit einer anderen geschätzten Breite berechnet werden müssten. Dabei sind dieselben Höhen und dieselben Deklinationen zu benutzen. Verwendet wird nur eine zweite Schätzbreite. Wir erhalten:

(8)   \begin{equation*}\tau'_1=\cos^{-1}\frac{\sin h_1-\sin \delta_1\cdot\sin \varphi_2}{\cos \delta_1\cdot\cos \varphi_2}\end{equation*}

und

(9)   \begin{equation*}\tau'_2=\cos^{-1}\frac{\sin h_2-\sin \delta_2\cdot\sin \varphi_2}{\cos \delta_2\cdot\cos \varphi_2}\end{equation*}

Die Stundenwinkel werden in der Weise wie oben beschrieben zusammengefasst und bekommen das Formelzeichen Θ2.

(10)   \begin{equation*}\Theta_2=\frac{\lvert\tau'_1\pm\tau'_2\rvert}{15^\circ/h}\end{equation*}

Jetzt verfügen wir über drei Zeitdifferenzen:

  • die gemessene Differenzzeit \Delta t = t2 – t1 zwischen den Beobachtungen
  • die Summe Θ1, die auf der Grundlage der Breite 𝜑1 berechnet wurde
  • die Summe Θ2, die auf der Grundlage der Breite 𝜑2 berechnet wurde

Daraus soll jetzt ein Dreisatz aufgestellt werden, der einen Wert zur Breitenkorrektur liefert. Dazu betrachten wir Bild 2. Es zeigt, dass sich ein Dreieck mit denselben Seitenlängen h1 und h2 immer mehr spreizt, je kleiner die zur Berechnung der Stundenwinkel angesetzte Breite ist. Das Dreieck, welches mit der größeren Breite 𝜑1 berechnet wurde, hat eine Basis von 𝛩1 und das Dreieck, welches mit der kleineren Breite 𝜑2 berechnet wurde, hat eine Basis von 𝛩2.

Bild 2: Zur Erklärung der Idee von Lalande

Es existiert also ein direkter Zusammenhang zwischen einer Änderung der Breite und den in Zeit ausgedrückten Differenzen der Stundenwinkel. Wir wissen allerdings nicht, ob dieser Zusammenhang linear ist. Linear würde bedeuten, dass das Verhältnis (\Theta_2-\Theta_1)/(\varphi_1-\varphi_2) konstant ist. Dann müsste eine nur halb so große Änderung der Stundenwinkeldifferenz auch genau aus einer halb so großen Differenz der Breiten folgen. Um es gleich vorweg zu sagen, eine Linearität ist nicht gegeben.

Doch Lalande setzte eine solche voraus, wohl auch in dem Wissen, dass sie gar nicht vorhanden ist. Die Genauigkeitsanforderungen schienen ihm nicht ganz so wichtig. Wichtiger war wohl, dass überhaupt eine einigermaßen richtige Breite gefunden werden konnte. So hat er einfach postuliert, dass das Verhältnis der in Zeit ausgedrückten Differenz der Stundenwinkel (\Theta_2-\Theta_1) zur Differenz der beiden geschätzten Breiten \Delta\varphi=(\varphi_1-\varphi_2) genauso groß sein müsste, wie die Differenz der Zeit zwischen den Beobachtungen 𝛥t und einer daraus zu erhaltenden Breitenänderung:

(11)   \begin{equation*}\frac{\Theta_2-\Theta_1}{\Delta\varphi}=\frac{\Delta t-\Theta_1}{\varphi_x}\end{equation*}

Anders ausgedrückt, wenn man anstelle von 𝛩2 die wahre verflossene Zeit zwischen den Beobachtungen einsetzt, dann ändert sich die Standortbreite gegenüber 𝜑1 um einen Betrag von 𝜑x. Man muss also nur diesen Korrekturbetrag von 𝜑1 subtrahieren um die wahre Standortbreite zu erhalten. Wenn wir das machen, erhalten wir schließlich das endgültige Ergebnis:

(12)   \begin{equation*}\boxed{\varphi=\varphi_1-\Delta \varphi\; \frac{\Delta t-\Theta_1}{\Theta_2-\Theta_1}}\end{equation*}

Darin ist die Breitenkorrektur, also das Dreisatzergebnis 𝜑x, der Subtrahend in dieser Gleichung. Lalande führt dazu aus:

“Diese Methode würde mehr bewirken einfacher und kürzer sein als strenge Methoden. Es gibt auch spezielle Tabellen für dieses Problem.”

Mit strengen Methoden wurden die Borda-Berechnungen gemeint. Diese Methode ist nicht anderes als eine einfache lineare Interpolatiion und dazu gedacht, die vielen Berechnungen von Borda zu vermeiden, damit eine Lösung schneller gefunden wird. Heutigen Anforderungen wird diese Lösung nicht gerecht. Sie ist zu ungenau, weil der in der Gl. 11 links vom Gleichheitszeichen stehende Quotient nicht konstant ist. Die Differenz der in Zeit ausgedrückten Stundenwinkel ändert sich, wie das Diagramm im Bild 3 mit seiner schwarzen Linie zeigt, in einem leichten Bogen. Die Kurve wird dadurch berechnet, dass 𝜑1 konstant bleibt und 𝜑2 von null bis 𝛥𝜑 variiert wird. Sie wurde hier aus vielen mit einem Computer ausgerechneten Punkten gebildet.

Bild 3: Wirkungsweise der Breitenbestimmung nach Lalande auf einer Breite von 40° N und einer Differenz der Schätzbreiten von 2°.

Die grüne Linie ist eine Waagerechte, weil sie die Differenz zwischen der wahren verflossenen Zeit zwischen den Beobachtungen und dem in Zeit ausgedrückten Stundenwinkel 𝛩1 ist. Dieser Stundenwinkel ist konstant, da er sich im Diagramm auf die konstante Ausgangsbreite 𝜑1 bezieht. Der Korrekturwert zum Erhalt der wahren Breite wäre damit aus dem Schnittpunkt der schwarzen Kurve mit der grünen Waagerechten abzuleiten. Der tatsächliche Korrekturwert wird allerdings aufgrund der angenommenen Proportionalität als Schnittpunkt mit der gestrichelten Linie berechnet. Durch nur zwei Schätzbreiten gibt es nur einen Anfangs- und einen Endwert, die mit einer gedachten Geraden verbunden sind. So kann auch nur die Kreuzung der grünen Linie mit der gestrichelten Linie den Korrekturwert abgeben.

Die Fehler sind aus diesem Grund auch recht hoch und betragen in diesem Beispiel bis zu 8,5 nm. Der Fehler ist am größten, wenn die Standortbreite ungefähr genau in der Mitte der geschätzten Breiten liegt. Je kleiner die Differenz der geschätzten Breiten ist und je dichter die wahre Standortbreite an einer der Schätzbreiten liegt, desto genauer ist das Ergebnis. Bei Schätzbreiten, die nur 0,5° auseinanderliegen, sind die Abweichungen meist kleiner als 0,5 nm. Es kam also auf eine genaue Schätzung der Breiten an.

Das Verfahren arbeitet analytisch ist aber von vielen Unwägbarkeiten umgeben, so dass es für eine Verwendung in einem Computerprogramm nicht zu empfehlen ist. Das Beispiel im Bild 3 orientiert sich an einer Standortbreite von etwa 40° N und einer Deklination von mehr als 20° N. Aus der Breite könnte jetzt auch die Länge berechnet werden, wenn der Greenwicher Stundenwinkel bekannt ist. Das geht auch hier mit der Gl. 4. Auch Versegelungen sollen hier nicht weiter besprochen werden, weil sie ebenso zu behandeln wären, wie vorstehend bei der Borda Methode schon beschrieben wurde.

Trotzdem ist diese Methode erwähnenswert, weil sie in der alten Literatur mehrfach mit angebrachten Verbesserungen auftaucht. Sie wurde sogar als analytische Variante der 50 Jahre später von Kapitän Sumner gefundenen grafischen Methode bezeichnet. Es ist jedoch sicher, dass Sumner diese Methode nicht kannte, denn zu seiner Methode haben ganz andere Umstände geführt. Auch die Versegelung hat Sumner grafisch gelöst. Bemerkenswert ist jedoch, dass nicht nur der Rechenaufwand derselbe ist, sondern es werden auch exakt dieselben Formeln benutzt. Das allerdings zu ganz anderen Zwecken und in anderer Reihenfolge. Von einer analytischen Variante der Sumner Methode kann deshalb überhaupt keine Rede sein.

 

Borda Navigation

Eine Excel Datei, die nach dem hier Beschriebenen funktioniert, steht unter dem Namen borda-navigation-1.2 zum Download zur Verfügung. Mit dieser Datei etwa 200 kB großen Datei kann selbstverständlich auch praktisch navigiert werden, indem man sie auf sein Tablet oder Smartphone lädt. Darauf muss natürlich die EXCEL App installiert sein. Einschränkend gilt bei dieser Datei, dass beide Beobachtungen auf maximal zwei Tage verteilt ausgeführt werden können.

Die Datei ist mit dem Kennwort change geschützt, damit Zellen mit Formelinhalten nicht durch versehentliche Eingaben überschrieben werden. Nach Eingabe des Kennwortes kann die Datei verändert und dem persönlichen Geschmack angepasst werden. Die ausgeblendeten Zellen müssen dazu wieder eingeblendet werden. Mit Excel sollte man sich dazu aber ein wenig auskennen. Im Zellenbereich K5 bis S18 erfolgt die Sextantenbeschickung, so dass man in den Eingaben nur den auf dem Sextanten abgelesenen Winkel eingeben muss. Gegenüber der Vorgängerversion wurde die Berechnung der Peilrichtungen neu gestaltet. Die entsprechenden Berechnungen sind in den Feldern U22 bis X41 ausgeführt. Sie sind jetzt komplexer gestaltet, berücksichtigen aber die sphärische Erdoberfläche, so dass auch Messungen kurz vor und nach dem Schiffsmittag keine Fehler mehr verursachen. 
In K22 bis R52 werden die Koordinaten des Bildpunktes der Sonne berechnet, was ein Nautisches Jahrbuch ersetzt. In Z5 bis AN59 erfolgen schließlich die Suche nach der Standortbreite durch Iterationen in vier Tabellen, wobei auch eine Versegelung berücksichtigt wird und eine Längenberechnung. Der Zellenbereich AP5 bis AX59 ist schließlich eine Wertetabelle, die ausschließlich dazu dient, die Grafik zu erstellen. 

Aufgrund der integrierten Ephemeridenrechnung ist eine rechnerische Standortabweichung von bis zu 0,5 Seemeilen zu erwarten. Das ist ein geringerer Wert, als er im Mittel infolge der Angabe eines Gissortes bei der Zweihöhenmethode entsteht. In einer Gesamtstandortabweichung von 2 Seemeilen, die ein geübter Navigator mit einem Sextanten auf wenig oder nicht schwankendem Boden erreichen kann, macht eine rechnerische Abweichung von 0,5 Seemeilen statistisch nur einen Anteil von weniger als 5% aus. Weitere Ausführungen dazu findet man hier.

Im oberen blau umrandeten Block müssen einige Einstellungen gemacht werden. Das sind die Indexberichtigungen des verwendeten Sextanten, Augeshöhe und ob man die Sonne am Unterrand oder am Oberrand beobacht hat. Die Indexberichtigung ist der negative Wert eines festgestellten Indexfehlers. Dieser sollte bei Verwendung von Plastiksextanten nach jeder Beobachtung neu ermittelt und eingegeben werden, weil Plastiksextanten sehr temperaturabhängig sind. Unter Standortwahl ist N oder S einzugeben. Damit wird angegeben, ob man sich nördlich oder südlich der Deklinationbreite befindet.

Unter Messung 1 und 2 sind die Beobachtungsdaten einzutragen, also nur Datum, Uhrzeit und der auf dem Sextanten abgelesene Winkel. Als Versegelung werden die Distanz und der Kurs über Grund eingetragen. Diese Werte müssen durch Kopplung bestimmt werden. Nach vollständiger Eingabe wird der Standort berechnet und ausgegeben. Ein Gissort, also ein geschätzter Standort wie es beim Höhenverfahren üblich ist, muss nicht angegeben werden. Nach der Eingabe von zwei Beobachtungen wird auch die Zeit des Schiffsmittags angezeigt, die Zeit des Meridiandurchgangs. Dabei ist es egal, ob diese Messungen beide am Vormittag oder am Nachmitag oder davor und danach durchgeführt werden.

Das Navigieren mit diesem Tool ist denkbar einfach. So sind neben einigen einmaligen Grundeinstellungen lediglich die Beobachtungsdaten Sextantenablesung und Beobachtungszeit anzugeben. Rechnen und Zeichnen muss keiner und ein Nautisches Jahrbuch ist auch nicht nötig. Das kann jeder auch ohne einen Lehrgang in Astronavigation besucht zu haben. Einen Sextanten sollte man aber handhaben können.

Analytische Methoden wie die hier beschriebene  von Borda oder der Gauß-Algorithmus bringen zwar mit einem Computerprogramm bessere Ergebnisse als grafische Verfahren, wie das Zweihöhenverfahren von Saint Hilaire, doch ihre Anwendung setzt eine Programmiertätigkeit voraus. Nun sind die meisten aber keine Programmierer. Mit Excel steht jedoch eine Tabellenkalkulation zur Verfügung, die fast jeder auf seinem heimischen Computer besitzt und auch nicht schwerer zu handhaben ist wie ein programmierbarer Taschenrechner. Darauf erstellte Programme können dann auf dem Smartphone oder Tablet draußen auf dem Meer zur Navigation benutzt werden. Das vorstehende Borda Navigationsprogramm ist eine Möglichkeit. Leider ist damit nur eine aufwendige numerische Lösung möglich. Viel besser geeignet ist zu diesem Zweck der Gauß’sche Algorithmus. Der Programmaufbau dazu ist hier genau beschrieben.


Links:

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