Die Methode von Marcq Saint Hilaire

Vor 500 Jahren navigierte Fernando de Magallan als erster Seefahrer rund um die Welt

Die Höhenmethode von Saint Hilaire ist seit 1875 bekannt und galt bis zur Einführung der Satellitennavigation als Standardmethode in der Astronavigation. Danach sollte sie eine Rückfallmethode für den Fall sein, dass Satellitennavigation aus irgend einem Grunde nicht benutzt werden kann.
Es war eine geniale Leistung von Saint Hilaire, einen Weg gefunden zu haben, die Kreislinie einer Höhengleiche fast genau im Standort durch ein Stück einer Tangente ersetzt zu haben. Von dieser Leistung hat die weltweite Seeschifffahrt mehr als ein ganzes Jahrhundert profitieren können. Auf der Grundlage dieser Methode entstanden später sogar Tabellenbücher mit vorausberechneten Daten, so dass eine Standortbestimmung ohne komplizierte Formeln erledigt werden konnte. Nach dieser Tafelmethode konnten dann auch Flugzeuge navigieren. Eine Genauigkeitsanalyse des Verfahrens ist in einen gesonderten Beitrag beschrieben.  

1 Wie sie entstand

Die Sumner Methode verbreitete sich in der zweiten Hälfte des 19. Jhd. recht schnell, war sie doch die einzig bekannte Möglichkeit, auf dem Meer ohne Landsicht die eigene Position finden zu können.

Bild 1: Die Kreuzung der Sumnerlinien wird als Standort angenommen. Der wahre Standort ist jedoch die Kreuzung der Höhengleichen.

Die Wahl zweier ganzzahliger Breiten war ein Kompromiss, der das Rechnen erleichterte, aber auch eine grafische Linienkonstruktion ohne größere Winkelfehler auf der Seekarte ermöglichte. Genau darin lag jedoch ein Nachteil der Methode. Der Abstand zwischen zwei ganzzahligen Breiten war mit 60 nm einfach zu groß und damit die Erhebung der Kreisbögen der Höhengleichen über einer Linie zu hoch. Bild 1 zeigt das in übertriebener Weise.

Kleinere Breitenabstände zu wählen war keine Lösung. Dass der Schiffsort dann nicht mehr zwischen den gewählten Breiten liegen würde, wäre nicht das Problem. Die Linien können schließlich verlängert werden und schneiden sich dann auch. Der Abstand zwischen den Punkten, an denen die berechneten Längen die gewählten Breiten schneiden, wäre dann aber so klein, dass es unmöglich wäre, ein Lineal im richtigen Winkel durch diese Punkte zu legen. Das ginge nur, wenn man das Azimut, den Peilwinkel auf den Bildpunkt, kennen würde, denn eine Standlinie und das Azimut stehen immer im rechten Winkel zueinander. Doch das Azimut kann leider nicht in der erforderlichen Genauigkeit gemessen werden. Man musste also einen anderen Weg finden, der darin bestehen muss, die Standlinien möglichst genau im Standort als Tangenten an die Höhengleiche heranzubringen. Dieses gelang schließlich dem französischen Seeoffizier Saint Hilaire, dessen Methode, eine Standlinie zu konstruieren, nachfolgend beschrieben wird.

1.1 Die Standlinie

In einem Beobachtungsort befindet sich jeder Beobachter direkt auf der Kreislinie der Höhengleiche des gerade beobachteten Gestirns. Die von ihm gemessene Gestirnshöhe ist der senkrechte Abstand h zur Kimm. Daraus folgt für den Zenitabstand s = 90° - h und der ist identisch mit der Entfernung zum Bildpunkt des beobachteten Gestirns. Was fehlt sind das Azimut, das nicht genau genug zu messen ist und eine Idee, wie der gemessene Zenitabstand auf dem Azimutstrahl abgetragen und als Standort markiert werden kann. Unter Azimutstrahl versteht man eine vom Bildpunkt in Richtung des Schiffsorts verlaufenden Linie. Ohne Kenntnis des Azimuts ist theoretisch jeder Punkt auf einem Halbkreis der Höhengleiche als Standort möglich. Bei Vormittagsbeobachtungen ist es ein nach Osten offene Halbkreis.

Bild 2: Den möglichen Schiffsorten (grüne Punkte) wird das gleiche Azimut zugeordnet wie dem Koppelort KO. Dadurch werden Höhendifferenzen Δh immer nur auf dem Azimutstrahl des Koppelortes betrachtet.

Dabei half schließlich ein genialer Trick. Es gab einen ungefähr bekannten Standort. Dieser wurde gewöhnlich durch Koppelnavigation, also unter Berücksichtigung von gefahrenem Kurs, Fahrzeit und Geschwindigkeit von einem uzuletzt bekannten Standort auf einen vermuteten Standort hochgerechnet. Dieser Ort wird als Koppelort KO bezeichnet und seine Koordinaten können angegeben werden. Für den Begriff Koppelort existieren auch andere Bezeichnungen, z. B. DR Position, (DR = Dead Reckoning) Gissort oder auch Rechenort.  Das Azimut dieses Ortes und der von dort theoretisch zu beobachtende Kimmabstand können unter Benutzung des Kosinus Seitensatzes berechnet werden. Der Berechnung muss natürlich genau dieselbe Zeit zugrunde liegen in der an Bord eine Beobachtung stattgefunden hat. Datum und Zeit liefern unter Benutzung des Nautischen Jahrbuches den Greenwichwinkel und die Deklination. Jetzt liegen also vor:

  • die gemessene Höhe bzw. die Entfernung vom Schiffsort SO zum Bildpunkt,
  • die berechnete Höhe bzw. die Entfernung vom Koppelort KO zum Bildpunkt und
  • das berechnete Azimut, der Peilwinkel vom Koppelort auf den Bildpunkt.

Das Azimut vom Schiffsort ist nicht bekannt. Was macht das aber in der Entfernungsdifferenz dieser beiden Orte zum Bildpunkt aus? Der Bildpunkt liegt sehr weit weg von beiden. Unter dieser Voraussetzung können alle Orte in der Nähe des Koppelortes auf den Azimutstrahl des Koppelortes projiziert werden, ohne dass sich dabei ihre Entfernung zum Bildpunkt merklich ändert. Diese Projektion einiger Beispielorte auf den Azimutstrahl zeigt Bild 2 auf der rechten Seite. Durch diese Modellüberlegung liegt der Abstand zwischen Schiffsort SO und Koppelort KO auf der Linie des berechneten Azimutstrahls. Diese Vereinfachtung bewirkt letztlich einen geringfügigen Fehler in der Standortberechnung, der davon abhängt, wie weit sich die Azimute von Koppelort und Schiffsort unterscheiden. Trotz dieser Näherung ist das Gleichsetzen der Azimute ein entscheidendes Merkmal der Methode. Das hat ihr letztlich sogar zur Standardmethode verholfen.

1.2 Was wurde erreicht?

Der Bezugspunkt aller weiteren Betrachtungen, man kann sogar Dreh- und Angelpunkt sagen, ist ab jetzt nicht mehr der sehr weit entfernte Bildpunkt, sondern der in der Nähe liegende Koppelort. Koppelort und Standort passen beide auf eine 2D Karte mit entsprechend übersichtlichem Maßstab. Mit großen Zenitabständen muss nicht operiert werden, denn nur ihre Differenz ist wichtig. Und außerdem ist es egal, ob das die Differenz der Zenitabstände oder die der Höhen ist. Die Differenzen sind betragsmäßig gleich:

\Delta s=(90^\circ-h_c)-(90^\circ-h_m)=90^\circ-h_c-90^\circ+h_m)=h_m-h_c=-\Delta h

Die Differenz zwischen berechneter Höhe und gemessener Höhe Δh = hc – hm kann je nach Lage des Koppelortes positiv oder negativ ausfallen. Ist sie negativ, dann ist die an Bord gemessene Höhe hm größer und damit liegt der Schiffsort näher am Bildpunkt als der Koppelort und umgekehrt, wie im Bild 2 gezeigt.
Die Differenz Δh in Bogenminuten ist zahlenmäßig identisch mit derselben Strecke in Seemeilen. Diese Strecke wird in der englischsprachigen Literatur als intercept = abschneiden bezeichnet. Der Azimutstrahl wird nämlich in der Entfernung des Intercepts längs des Azimutstrahls vor oder nach dem Koppelort im rechten Winkel von der Standlinie (ab)geschnitten. Ist das Intercept negativ, dann schneidet die Standlinie in der Entfernung Δh vom Koppelort in Richtung Bildpunkt gesehen. Ist das Intercept positiv, dann schneidet die Standlinie den Azimutstrahl im Abstand Δh vom Koppelort und in der vom Bildpunkt abgewandten Richtung. Die Standlinie ist dadurch eine Tangente direkt an der Höhengleiche und der Schiffsstandort befindet sich irgendwo auf dieser Standlinie. Die Methode ist auch als Intercept-Methode bekannt.

Das alles liefert nur eine Standlinie. Einen Standort erhält man erst aus dem Schnittpunkt von zwei Standlinien. Hilaire hat die Konstruktion einer Standlinie in einem einzigen Satz zusammengefasst. Der Originaltext dieser Zusammenfassung seiner Publikation in englischer Sprache lautet:

In summary, to calculate an observation, make the calculation of the altitude and the azimuth of the star for the DR Position and the time of observation, add or subtract the estimated altitude from the observed altitude, consider this difference as a path given by the calculated azimuth and correct the DR Position along this path.

 

2 Beispielrechnung

Die Methode lässt sich am besten an Hand eines Beispiels in allen Einzelheiten erklären. Bei einer Fahrt im westlichen Mittelmeer am 29. April 2020 wurde um 10:41:12 UTC die Sonne beobachtet. Auf dem Sextanten wird eine Höhe von 61° 32,8' abgelesen. Die abgelesene Höhe muss natürlich beschickt werden. Dazu wird ein Fehler ermittelt, der durch Refraktion und Augeshöhe entsteht und dieser wird als Korrektur dem abgelesenen Wert zugeschlagen. Zu berücksichtigen sind weiterhin, ob die Sonne mit ihrem Unterrand oder Oberrand auf den Horizont gesetzt wurde und welchen Indexfehler der verwendete Sextant hat. Gesamtbeschickung und Zusatzbeschickung, die im April null ist, können einer Tabelle im Nautischen Jahrbuch entnommen werden. Die beobachtete Höhe ergibt sich nach ihrer Korrektur mit hm1 = 61° 44,33' = 61,74°.
Als nächstes müssen wir den Koppelort schätzen und festlegen. Wir machen das ohne Berücksichtigung der Kopplung auf den letzten bekannten Standort und definieren einfach einen bekannten Ort in der Nähe mit den Koordinaten 38° 30’ N 001° 00’ E. Für die Beobachtungszeit muss jetzt die Position des Bildpunktes der Sonne, bestehend aus dem Greenwicher Stundenwinkel Grt und der Deklination ∂ aus dem Nautischen Jahrbuch herausgelesen werden. Dazu müssen die auf der entsprechenden Datumsseite des Jahrbuches gefundenen Stundenwerte mit den Zuschlagwerten für die Sekunden und Minuten, dem sog. Zuwachs addieren. Die Zuwachswerte findet man in den Schalttafeln im hinteren Teil des Buches. Für die Deklination reicht eine minutengenaue Angabe aus. Wir fassen erstmal alles zusammen:

1 Datum 29. Apr 20
2 Beobachtungszeit 10:41:12 UTC  
3 Sextantenablesung   61° 32,8' 61,55°
4 beobachtete Höhe hm1 61° 44,33' 61,74°
5 Greenwichwinkel Grt1 340° 58,2' 340,97°
6 Deklination 𝛿1 14° 40,8' 14,68°
7 Koppelortbreite 𝜆KO 38° 30' 38,50°
8 Koppelortlänge 𝜑KO 001° 00' 1,00°

Mit der Bildpunktposition, dem Koppelort und dem Nordpol haben wir jetzt ein genau definiertes nautisches Dreieck, auf der Erdoberfläche, an dem wir die notwendigen Berechnungen durchführen können.

2.1 Standlinie 1 nach erster Beobachtung

Zu berechnen sind zunächst Höhe und Azimut des Koppelortes, zum Beobachtungszeitpunkt. Das wurde schon am Ende des Beitrags die Sonne am Himmel gezeigt, so dass hier nur noch die Gleichungen angegeben werden. Mit 𝜑KO und 𝜆KO, der Position des Koppelortes, errechnen wir die Höhe der Sonne, wie sie ein Beobachter zur selben Beobachtungszeit von dort aus aus sehen würde. Dazu benutzen wir die folgende Gleichung:

(1)   \begin{equation*}h_{c1}=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta_1+\cos \varphi\cdot \cos \delta_1\cdot \cos t_1)\end{equation*}

Hierin ist t der Ortsstundenwinkel (auch LHA = Local Hour Angel). Es ist ein Stundenwinkel wie der Greenwich Stundenwinkel Grt aus dem nautischen Jahrbuch. Der Unterschied besteht nur darin, dass er nicht vom Ort Greenwich aus zählt. Er zählt von einem benannten Ort aus, hier ist es der Koppelort und er zählt ebenfalls in westliche Richtung bis zum Meridian des Bildpunktes der Sonne oder eines anderen beobachteten Gestirns. Dieser Ortsstundenwinkel wird einfach dadurch berechnet, dass Grt und die Koppelortlänge vorzeichenrichtig addiert werden. Westlängen sind bekanntlich negativ. Ist das Ergebnis größer als 360° dann werden 360° subtrahiert. Ist das Ergebnis negativ, dann werden 360° addiert. Bei Benutzung in einer Kosinusfunktion wie in der vorstehenden Gleichung können die Operationen mit den 360° weggelassen werden. Die Kosinusfunktion ist symmetrisch und periodisch und hat alle 360° sowieso immer wieder denselben Wert. Wenn wir alle bis jetzt vorhandenen Werte einsetzen, dann erhalten wir als Höhe für den Koppelort 61° 21,55’. Daraus kann jetzt das Intercept, die Differenz zwischen beobachteter Höhe und für den Koppelort berechneter Höhe ausgerechnet werden und wir erhalten

(2)   \begin{equation*}IC_1=h_{c1}-h_{m1}=61^\circ\,21,55'-61^\circ\,44,33'=-22,78'=-22,78 nm\end{equation*}

Als nächstes brauchen wir das Azimut und das bekommen wir am einfachsten aus:


(3)   \begin{equation*}Az_{c1}=\arccos \frac{\sin \delta_1 -\sin \varphi\cdot \sin h_c_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_c_1}\end{equation*}

Das Azimut ist wie ein Kurs auf den Bildpunkt der Sonne zu verstehen und zwar ebenfalls rechtweisend Nord und somit als rechtsdrehender Winkel gegenüber dem nach Norden weisenden Teil des Koppelort-Meridians. Erst am Schiffsmittag passiert die Sonne diesen Meridian des Koppelortes. Danach wird der Winkel des Azimuts größer als 180°. Genau am Schiffsmittag ist der Ortsstundenwinkel t gleich Null und steigt dann im weiteren Tagesverlauf an. Die Sonne geht theortetisch unter, wenn t den Wert von 90° überschreitet und sie geht wieder auf, wenn t den Wert von 270° erreicht. Somit gibt es für die Berechnung des Azimuts ganz einfache Regeln:

  • Az{t > 180°} = Azc (vormittags)
  • Az{t < 180°} = 360° - Azc (nachmittags)

Die nachstehende Tabelle enthält die Daten von Intercept und Azimut, für die grafische Konstruktion der Standlinie.

1 Datum 29. Apr 20
2 Beobachtungszeit 10:41:12 UTC
3 Höhe am Koppelort hc 61° 21,55’ 61,36°
4 Intercept IC1 -22,78’ -22,78 nm
5 Azimut Az 141° 20,70’ 141,35°

2.1.1 Das Zeitazimut

Anstelle dieses sogenannten Höhenazimuts wird bei Benutzung der Methode nach Saint Hilaire oft auch das sogenannte Zeitazimut verwendet. Die Gründe dafür sind nicht unbedingt nachvollziehbar. Warum sollte eine kleine Ungenauigkeit des Höhenazimuts gegenüber dem Zeitazimut eine Rolle spielen, wenn allein die Schätzung des Koppelortes das größte Fehlerpotential für eine schlecht bestimmtes Azimut in sich birgt. Außerdem machen Berechnungsfehler sowieso nur einen vernachlässigbar geringen Anteil in der Standortgenauigkeit aus, wie im Beitrag Präzision und Vergleich der Methoden dargelegt wird. 
Wir wollen dieses Zeitazimut hier auch nicht weiter verwenden, obwohl es vielfach zum Standard bei Hilaire geworden ist. Die Schritte der Umformung auf das Zeitazimut sollen deshalb nicht angegeben werden, nur die Formel selbst und auch die nur zur Information. Sie lautet:


(4)   \begin{equation*}Az_c_1=\arctan\frac{\sin t_1}{\sin \varphi\cdot\cos t_1-\tan \delta_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

Da die Arkustangens Funktion nur Werte zwischen 0° und 90° liefern kann, sind hier gleich vier Bedingungen zu beachten, um ein vollkreisiges Azimut zu erhalten.

(5)   \begin{equation*} Az = wenn\; t<,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Az_c<0\;\; dann; Az_c+360^o}\atop {wenn\; Az_c>0\;\; dann; Az_c+180^o} \right \end{equation*}

und

(6)   \begin{equation*} A_z = wenn\; t>,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; Az_c<0\;\; dann; Az_c+180^o}\atop {wenn\; Az_c>0\;\; dann;Az_c} \right \end{equation*}

 

2.2 Konstruktion der ersten Standlinie

Die fertige Konstruktion zeigt Bild 3 auf einer sogenannten Leerkarte. Als erstes wird der Koppelort als Kreuz oder Punkt markiert. Die Koordinaten dazu stehen oben in der ersten Tabelle. Durch diesen Koppelort wird jetzt der Azimutstrahl im Winkel des Azimuts gezogen. Da das Intercept negativ ist, müssen wir nur eine Linie im Winkel von 141,35° in Richtung Bildpunkt zeichnen.

Bild 3: Konstruktion einer Standlinie nach Saint Hilaire nach einer ersten Beobachtung.

Danach wird das ausgerechnete Intercept von -22,78’ auf den Zirkel genommen und vom Koppelort ausgehend in Richtung des Bildpunktes auf dem Azimutstrahl abgetragen. Den Zirkelradius stellen wir an einem Lineal ein. Wenn der Massstab 2 mm pro Winkelminute ist, dann nehmen wir eine Zirkelspanne von 45,5 mm auf. Das negative Intercept verkürzt also die Azimutlinie zwischen Bildpunkt und Koppelort. Am Ende der abgetragenen Strecke wird eine Gerade senkrecht durch den Azimutstrahl gezeichnet. Diese Gerade ist die Standlinie SL1.
Um Koppelort, Azimutstrahl, Intercept und Standlinie einzeichnen zu können, eignen sich Leerkarten am besten, die immer für die jeweilige Breite, auf der man segelt, angefertigt sein müssen. Darauf sind dann Abstände zwischen den Längengraden in der richtigen Weise festgelegt und man kann die Längenachse auch beschriften. In diesem Beispiel ist befindet sich unser Gebiet auf 38° nördlicher Breite. Die Entfernung zwischen zwei ganzgradigen Längen beträgt dort nur 0,788 mal der Entfernung zwischen zwei ganzgradigen Breiten. Die Zahl 0,788 ist der Kosinus von 38°. 

Es geht aber auch mit Millimeterpapier. Wird das benutzt, dann darf die horizontale Längenachse nicht beschriftet werden. In den Bildern 3 bis 5 werden Leerkarten benutzt, die man sich leicht selbst herstellen kann.

2.3 Versegelung

Zwischen den Beobachtungen findet normalerweise eine Ortsveränderung statt. Der Standort wird "versegelt" und weil man überhaupt nicht weiß, welcher Punkt auf der Standlinie 1 letztlich der Standort ist, muss die gesamte Standlinie versegelt werden. Versegelungen können natürlich erst berücksichtigt werden, wenn eine zweite Beobachtung erfolgt ist oder unmittelbar davor. Im Beispiel soll eine Koppelnavigation in der Zeit zwischen den Beobachtungen eine mittlere Distanz von d = 19 nm auf einem mittleren Kurs von c = 23° ergeben haben.

Bild 4: Die Standlinie 1 wird versegelt.

Daraus kann jetzt ein Versegelungsvektor gebildet werden. Das ist der blaue Pfeil im Bild 4. Dieser Pfeil startet an einem beliebigen Punkt der Standlinie 1. Anschließend wird die Standlinie 1 so weit parallel verschoben, dass sie durch die Pfeilspitze verläuft. Das Ergebnis ist die versegelte Standlinie 1. Die ursprüngliche Standlinie aus der ersten Beobachtung ist im Bild noch gestrichelt dargestellt.



Es geht aber auch einfacher, indem die Versegelung über eine Höhenanpassung berücksichtigt wird. Diese Berechnungsart ist zudem noch etwas präziser. Doch das nur mathematisch, was praktisch überhaupt nicht ins Gewicht fällt, weil der größte Fehler bei der Berücksichtigung von Versegelungen durch eine ungenaue Kopplung zustande kommt. Die Höhenänderung kann ganz einfach mit Hilfe einer Formel nach Douwes ausgerechnet werden, die in Verbindung mit dem Gauß Algorithmus schon angewendet wurde.Diese Formel lautet in der Anwendung mit den Zahlen:

(7)   \begin{equation*}\Delta h=\frac{d}{60}\cos (Az_1-c)=0,31667^\circ\cdot\,\cos (141,35^\circ-23^\circ)=-0,15035^\circ=\underline{-9,021'}\end{equation*}

Damit die Masseinheiten einheitlich sind, muss die versegelte Distanz d von nautischen Meilen in Grad umgerechnet werden, indem sie durch 60 dividiert wird. Das Ganze auszurechnen dauert dann nur ein paar Sekunden. Gebraucht wird dabei das Azimut aus erster Beobachtung, das hier sowieso schon vorliegt. Die Höhenänderung ist negativ. Durch Addition mit der Höhe hm1 erhalten wir also eine kleinere Höhe, denn wir haben uns infolge des Versegelns von der Bildpunktposition der ersten Beobachtung entfernt. Nach dieser Methode errechnet sich das Intercept als

(8)   \begin{equation*}IC_1 =h_{c1}-(h_{m1}+\Delta h) = h_{c1}-h_{m1}-\Delta h\end{equation*}

Als Ergebnis erhalten wir IC1 = -13,76’. Damit kann dann die versegelte Standlinie direkt gezeichnet werden ohne Versegelungsvektor und Parallelverschiebung.

Wir zeichnen also die Standlinie wie im Bild 3 gezeigt gleich mit dem Intercept nach Versegelung von -13,76 nm und lassen alles andere, was dann im Bild 4 gezeigt wird weg. Unsere Versegelung haben wir zum unmittelbar vor oder nach der zweiten Beobachtung festgestellt. Wir können also gleich damit beginnen, die Standlinie aus der zweiten Beobachtung zu zeichnen.

2.4 Standlinie 2 nach zweiter Beobachtung

Die erste Standlinie ist versegelt und die Daten aus der zweiten Beobachtung liegen vor. Die zweite Beobachtung der Sonne erfolgte am gleichen Tag um 14:31:33 UTC. Am Sextant wurde dabei ein Winkel von 47° 27,23' abgelesen. Wir gehen jetzt genauso vor, wie beim ersten Mal. Nach Berichtigung der Sextantenablesung erhalten wir eine beobachtete Höhe von 47° 38,40' bzw. 47,64° als Dezimalwert. Für das Datum und die Uhrzeit der Beobachtung liefert das Nautische Jahrbuch Deklination und Greenwichwinkel. Mit Grt2 wird der Ortsstundenwinkel t2 berechnet, also Grt2 und Koppelortlänge addieren. Weil t in einer Kosinusfunktion verwendet wird, kann man sich die Addition oder Subtraktion mit 360° wieder schenken, falls der Wert negativ ist oder 360° überschreitet. Die für den Koppelort berechnete Höhe bekommen wir mit folgender Gleichung:


(9)   \begin{equation*}h_{c2}=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta_2+\cos \varphi\cdot \cos \delta_2\cdot\cos t_2)\end{equation*}

Nach Einsetzen der Zahlen berechnet sich die Höhe am Koppelort mit 47° 52,92’. Damit kann jetzt auch das zweite Intercept als Differenz der Höhen berechnet werden und wir erhalten:


(10)   \begin{equation*}IC_2=h_{c1}-h_{m2}=47^\circ\,52,92'-47^\circ\,38,40'=14,52'=14,52\, nm\end{equation*}

Das Azimut wird auch hier wieder als Höhenazimut bestimmt:


(11)   \begin{equation*}Az_{c2}=\arccos \frac{\sin \delta_2 -\sin \varphi\cdot \sin h_2}{\cos \varphi\cdot \cos h_2}\end{equation*}

Nach Einsetzen aller Werte erhält man das berechnete Azimut mit 113,29°. Da die Messung am Schiffsnachmittag erfolgte, muss dieser Wert von 360° abgezogen werden und wir erhalten ein Azimut von


   Az2 = 246,71°.

In folgender Tabelle sind die Daten zusammengefasst:

1 Datum 29. Apr 20
2 Beobachtungszeit 10:41:12 UTC  
3 Sextantenablesung   47° 27,23' 27,45°
4 beobachtete Höhe hm2 47° 38,40' 47,64°
5 Höhe am Koppelort hc2 47° 52,92’ 47,88°
6 Greenwichwinkel Grt2 38° 33,80' 38,56°
7 Deklination 𝛿2 14° 43,7' 14,73°
8 Intercept IC2 14,52' 14,52 nm
9 Azimut Az2 246° 42,6' 246,71°
Bild 5: Der Standort muss aus dem Schnittpunkt von versegelter Standlinie 1 und Standlinie 2 herausgelesen werden.

Damit kann jetzt die Zeichnung vervollständigt werden. Zuerst wird wieder rechtweisend Nord, ausgehend vom Koppelort, der Azimutstrahl im Winkel von 246,7°, eingezeichnet, diesmal aber über den Koppelort hinaus, denn das Intercept ist positiv. Danach werden 29 mm auf den Zirkel genommen, was 14,52 nm entspricht. Dieses positive Intercept IC2 führt zu einer Verlängerung des Azimutstrahls und muss deshalb vom Koppelort ausgehend und vom Bildpunkt wegführend abgetragen werden. An der mit der Zirkelspanne markierten Stelle wird nun im rechten Winkel zum Azimutstrahl die zweite Standlinie SL2 eingezeichnet. Beide Standlinien, SL1V und SL2, schneiden sich jetzt im Standort SO.  

Die Methode nach Hilaire ist eine grafische Methode und der Standort muss aus der Zeichnung herausgelesen bzw. herausgemessen werden. Es kommt also darauf an, dass sehr präzise gezeichnet wird. Zum Herausmessen werden Abschnitte zu ganzgradigen Linien des Gradnetzes gewählt. Wir bekommen als senkrechten Abstand zwischen 38,0° und Standort eine Länge von 52,5 mm abgemessen. Das ergibt dann eine zusätzliche Breite von 26,25', weil der Maßstab 2 mm/ Bogenminute beträgt.
Bei Anwendung von Leekarten messen wir den Abstand der Kreuzung vom 1° Meridian und die horizontale Strecke zwischen 1,0° und 1,5°. Danach wird die über 1° hinausgehende Länge mit einem Dreisatz berechnet. Wobei natürlich auch der Maßstab zu beachten ist, der hier eine Halbierung erfordert.

Bei Verwendung von Millimeterpapier muss in der Längenbestimmung die Breite von 38° berücksichtigt werden. Wenn der Abstand zwischen dem Standort und der Länge von 1° mit 35 mm gemessen wird und der Maßstab 2 mm/ Bogenminute beträgt, dann wären das kein 17,5', sondern 17,5'/cos(38°) =22,2', die zu dem einen Grad addiert werden müssen. Unser Standort beträgt also  

38° 26,2’ N 001° 22,2’ E.

Die Abweichungen gegenüber genauerer Berechnung mit denselben Daten nach Gauß betragen -400 m in der Breite und 75 m in der Länge und das ist nicht viel. Allerdings wurden die Grafiken in diesem Beispiel mit einem 2D Zeichenprogramm angefertigt. Spitzer geht ein Bleistift nicht und genauer ist auch kein Lineal oder Winkelmesser. In der Praxis muss also mit größeren Zeichenfehlern gerechnet werden. Die Abweichungen gegenüber Gauß beruht demzufolge ausschließlich auf einer systembedingten Abweichung der Hilaire Methode, die schließlich nur eine Näherungsmethode ist. Nur wenn der Gissort bzw. Koppelort genau mit dem Standort übereinstimmen würde, dann wären die Abweichungen gegenüber dem Gauß Algorithmus auch null.

Mit dem Standort alleine kann nur der etwas anfangen, der auch über papierene Seekarten verfügt. Genauso wenig nutzt deshalb auch die auf jedem Smatphone abrufbare GPS Position. Wenn weit draußen kein Internet zum Empfangen einer Google-Maps Karte vorhanden ist, dann ist ein Punkt vor einem ansonst leeren Display wenig hilfreich. Die Mitnahme von Papierseekarten kann deshalb niemals schaden.

3 Schlussfolgerung

Das alles und noch viel mehr wird in einem Lehrgang über astronomische Navigation vermittelt. Es ist keine höhere Mathematik, aber ein dickes Paket von Anweisungen und Rechenvorschriften. Die Werkzeugkiste, die zu dem Ganzen gebraucht wird enthält

  • einen Sextanten,
  • eine Stoppuhr,
  • eine Quarzuhr als Chronometer für die UTC,
  • ein Nautisches Jahrbuch,
  • einen möglichst programmierbaren Taschenrechner,
  • eine Seekarte aus Papier,
  • Leerkarten oder Millimeterpapier und
  • Zirkel, Lineal, Winkelmesser oder Kursdreieck.

Ohne Routine kann niemand auf diese Methode zurückgreifen, wenn das mal nötig sein sollte. Als Rückfallmethode, wie das mal angedacht wurde, ist sie deshalb vollkommen ungeeignet. Auch für den Hobbynavigator, der gern klassisch mit dem Sextanten unterwegs ist, dürfte diese Art der Standortermittlung eine Herausforderung sein. Sie passt einfach nicht mehr in unsere Zeit. Die vielen hundert Euro, die so mancher Leergang auch heute noch kostet, kann man sich sparen.
In der Segelliteratur oder im Internet findet man unter dem Begriff Astronavigation stets immer nur die Methode von Saint Hilaire, sie scheint ein Synonym für Astronavigation geworden zu sein. Dabei ist sie nur die letzte von vielen in drei Jahrhunderten entwickelten Methoden. In unserer Zeit, fast drei Jahrzehnte nach Einführung der Satellitennavigation, sollte Astronavigation nur noch als historisch spannende Epoche gesehen werden. Die Arbeiten der Akteure vor ihrem geschichtlichen Hintergrund zu studieren kann indessen sehr interessant sein.
Als Rückfallmethode hat Astronavigation noch immer eine Bedeutung, jedoch nur unter der Bedingung, dass Rechnen, Zeichnen und Herumsuchen in Tabellen entfallen und auch keinerlei astronomische Kenntnisse erforderlich sind. Außerdem darf ein derartiges Backup nicht viel kosten. Ob man ein Navigations Backup tatsächlich braucht, darüber kann man streiten. Doch jedem sollte klar sein, dass kein System absolut sicher ist und Ausnahmesituationen nicht unmöglich sind.

3.1 Verwendung in einem Navigationsprogramm

Die Umsetzung der Hilaire Methode in einem Computerprogramm oder einer App ist sehr verbreitet. Doch warum sollte man ausgerechnet diese Methode digitalisieren? Es ist eine grafische Methode, die aus der Not heraus geboren wurde, weil es keine Rechenmaschinen gab. Sie ist sehr komplex und arbeitet oldschul noch mit Standlinien. Man braucht einen geschätzten Standort als Starthilfe und das Ergebnis ist nicht etwa der Standort, sondern ein Ort, der ein besserer Schätzort gewesen wäre. Außerdem ist ihre Benutzung bei Höhen von 70°, andere Autoren nennen 80°, beschränkt.

Zwar habe ich selbst Saint Hilaire in einem EXCEL Programm umgesetzt, doch das habe ich mit sämtlichen wichtigen Methoden getan, ganz einfach deshalb, um ihnen besser auf den Grund gehen zu können. Wenn es jedoch darum geht, ein Backup System an Bord zu haben, das völlig unabhängig von der Satellitennavigation funktioniert, dann eignet sich dafür nur ein Programm, das auf analytischen Methoden aus der Zeit lange vor Saint Hilaire basiert. Besonders gut geeignet ist hier der Gauß'sche Algorithmus. Mit Algorithmen dieser Art arbeitet auch die Satellitennavigation.

 

4 Navigieren mit Tafeln

Nicht zuletzt durch die aufkommende Fliegerei entstand die Notwendigkeit, den Rechenaufwand und damit die Rechenzeit mit den umständlichen Logarithmen zu reduzieren. So entstanden neben anderen die legendären Pub. No. 249 oder kurz HO 249. Diese gibt es in drei Bänden, jeweils in der Größe eines Telefonbuches. Der erste Band umfasst die Fixsterne. Die Bände 2 und 3 decken jeweils die  Breitenbereiche von 0° bis 40° bzw. von 39° bis 85° ab. Band 1 ist nicht mehr gültig, denn seit seiner letzten Ausgabe haben sich die Positionen der Fixsterne verändert. Die Bände 2 und 3 gelten immerwährend. Zur Navigation wird außerdem das Nautische Jahrbuch benötigt. Die Bücher werden nicht mehr verlegt, können aber aus dem Netz heruntergeladen werden.

Diese Methode ist die einzig Verwendbare, die ohne elektronische Hilfmittel mit vertretbarem Aufwand zu einem Ergebnis führt. Nachfolgend wird nur eine kurze Einführung gegeben, um das Prinzip aufzuzeigen. Wer sich entschließt tiefer einzusteigen der sei auf die zahlreiche Literatur darüber verwiesen. Verständlich geschrieben ist ein Buch von Bobby Schenk mit dem Titel "Astronavigation ohne Formeln-praxisnah".

Grundlage des Navigierens mit Tafeln ist die Methode von Hilaire. Dreh- und Angelpunkt dieser Methode sind bekanntlich Höhe und Azimut am Koppelort. Sobald diese Größen bekannt sind, ist es einfach, den Schiffsstandort grafisch zu ermitteln. Wenn es also gelingt, Höhe und Azimut für jeden beliebigen Ort auf der Erde in einer Tabelle unterzubringen, dann muss nicht mehr gerechnet werden.

Leider ist es nicht möglich, im Abstand von Zehntelminuten alle möglichen Koppelorte auf der Welt in einer Tabelle unterzubringen. Der Umfang wäre riesig. So ist man auf ganzgradige Größen ausgewichen. Die Präzision ist dann zwar nicht übermäßig aber immehin noch gut brauchbar. Gegenüber der original Hilaire Methode mussten einige Begriffe auf die Verwendung mit den Tafeln angepasst werden.

Koppelortbreite φ: Beim Koppelort handelt es sich um eine bloße Vermutung. Damit ist auch die darin enthaltene gegisste Breite φ nur eine Annahme der tatsächlichen Schiffsbreite. Der geschätzte Wert wird deshalb auf den nächstgrößeren oder nächstkleineren ganzzahligen Breitengrad gerundet und mit LAT bezeichnet.

Ortsstundenwinkel t: Der Ortsstundenwinkel ist ebenfalls nur eine Vermutung. Er wird so abgeändert, dass sich ein ganzgradiger Ortsstundenwinkel ergibt. Dieser wird dann mit LHA bezeichnet. Dabei muss der LHA so gewählt werden, dass er möglicht nahe am ursprünglichen Koppelort liegt.

Deklination δ: Die Deklination wird auf den nächsten ganzzahligen Breitengrad gerundet und dann als DEKLINATION bezeichnet.

Koppelort KO: Durch die letztendlich nur möglichen ganzgradigen Werte von LAT und LHA wird der ursprüngliche Koppelort obsolet. Er beruht ohnehin nur auf einer Vermutung. An seine Stelle tritt ein Rechenort, von dem aus die Standlinienkonstruktion erfolgen wird.

4.1 Beispiel

An einem Beispiel soll jetzt mit zwei Standlinien ein Standort konstruiert werden. Dabei gehen wir klassisch zu Fuß vor.  Es ist der 29. April 2019 und der Unterrand der Sonne konnte um 9:42:20 UT1 mit einer Sextantenablesung von 54° 39,8' gemessen werden. Die Augeshöhe betrug dabei 2,5 m. Wir koppeln unseren Standort an unseren letzten bekannten Standort und schätzen den Koppelort mit 38°46,50' N und 004°47,00' E.

Standlinie der Sonne mit Ho 249

Datum: 29.4.2019 Zeit: 9:55:51 UT1 KO: φ = 38° 46,50' N und λ = 004°47,00' E

Die Sextantenablesung muss beschickt werden. Dafür gibt es im NJ eine Beschickungstabelle. Die Zusatzbeschickung für den Monat April ist 0'.

Beobachtete Höhe

Sextantenablesung 56°12,20'
Indexberichtigung  -1,2'
Gesamtbeschickung 12,9'
beobachtete Höhe 56°23,9'

Als beobachtete Höhe erhalten wir schließlich 56°23,9'. Im Weiteren muss für die Zeit der Höhenfeststellung der Bildpunktwinkel Grt aus dem Nautischen Jahrbuch herausgelesen werden. Auf der Tagesseite des 29. April lesen wir für 9:00 UT1 Grt = 315°38,7'. Die Schalttafel für 55 Minuten liefert bei 51 Sekunden einen Zusatz von 13°57,8' Dieser wird dazu addiert und wir erhalten den Greenwichwinkel, die Bildpunktlänge des Koppelortes, mit Grt = 329°36,5'.

Wir befinden uns jetzt an der vermeintlich heikelsten Stelle der Navigation mit der Ho 249. Es muss eine Rechenortlänge gefunden werden, die mit dem Grt einen optimalen ganzzahligen LHA ergibt. Das geht in drei Schritten. Zuerst wird der Stundenwinkel t des Koppelortes ausgerechnet. Bekanntlich wird dazu vorzeichenrichtig die Koppelortlänge mit dem Greenwichwinkel addiert. Wir müssen addieren und erhalten:

    \begin{equation*}t=Grt + \lambda_K_O = 329^\circ 36,5'+004^\circ 47' =334^\circ 23,5'\end{equation}

Im zweiten Schritt wird das Ergebnis ganzgradig auf- oder abgerundet:

    \begin{equation*}LHA=\text{runden}\lbrace334^\circ 23,5'\rbrace = 334^\circ 00,0'}\end{equation}

Jetzt wird der Rechenort bestimmt. Dazu wird aus dem gerade gewonnenen ganzgradigen LHA der Grt entfernt. Als Ergebnis verbleibt ein Ho 249-gerechter Rechenort:

    \begin{equation*}\lambda_R_O = LHA-Grt = 334^\circ 00,0' - 329^\circ 36,5' = 004^\circ 23,5'\end{equation}

Bei westlichen Schiffslängen wird der Rechenort nicht als LHA - Grt berechnet, sondern als Grt - LHA. Wir fassen zusammen:

Ortsstundenwinkel, Rechenort

Grt aus NJ für 9:00 UT1 315°38,7'
Zuwachs für 55 min und 51 s   13°57,8'
Bildpunktlänge Grt 329°36,5'
Koppelortlänge    4°47,0'
Stundenwinkel t vom Koppelort 334°23,5'
LHA = t ganzgradig runden 334°
Rechenort = LHA - Grt    4°23,5' E

Jetzt kommen wir zur Deklination δ. Diese ist weit weniger zeitkritisch als die Stundenwinkel. Das NJ liefert für 9:00 UT1 eine Deklination von δ = 14°25,3' N. Für die noch fehlenden 55 Minuten muss eine Verbesserung Vb berücksichtigt werden. Die Sekunden spielen bei der Deklination keine Rolle.

Unterhalb der Deklinationsspalte finden wir den Wert Unt mit 0,8'. Darunter versteht man die Änderung der Deklination pro Stunde. Wir sehen, dass um 10:00 UT1 der Deklinationswert 14°26,1' beträgt und somit um 0,8' angestiegen ist. Für Unt wird kein Vorzeichen angegeben. Das muss jeder selbst daran erkennen, ob der Wert nach unten in der Spalte steigt oder fällt. In unserem Falle ist es aber positiv, weil die Sonne in Richtung Norden unterwegs ist. In der Schalttafel für 55 min findet man für Unt = 0,8 keinen Vb Wert, auch nicht in der 56 min Spalte. Wir einigen uns deshalb auf Vb = 0,5. Die abgetrennten Minutenangaben in der Breite werden später als Höhenzugabe berücksichtigt.

Deklination

δ aus Nautischem Jahrbuch 14°25,3'N
Unt 0,8'
Vb 0,5'
Deklination um 9:55 UT1 14°25,8'
Deklination gerundet 14°N
Koppelortbreite LAT gerundet 39°N

Jetzt sind alle Vorbereitungen soweit abgeschlossen, dass man in die Tafel gehen kann Wir brauchen dazu die folgenden drei Eingangswerte:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 334
Seite 2 der Pub. No. 249

Noch ein Hinweis zu der Ho 249. Dort gibt es die Seiten SAME und CONTRARY. Wenn Breite und DECLINATION auf derselben Halbkugel der Erde liegen, dann sind die Seiten mit der Bezeichnung SAME zuständig. In unserem Beispiel ist das der Fall, denn Deklination und Breite sind beides nördliche Breiten. Im Band 3 suchen wir die Seiten für LAT 39° und dort nach DECLINATION (0° - 14°) SAME. Am linken oder rechten Rand muss in der Spalte LHA die Zahl 334 zu finden sein. Unser Beispiel ist gut gewählt und wir finden die richtige Seite gleich nach dem Deckblatt auf Seite 2.

LHA = 334 steht in der Spalte auf der rechten Seite. Wir gehen von dort in die Deklinationsspalte für 14°, die gleich links daneben zu finden ist und lesen die drei Werte aus:

Hc = 56°06', d = 47 und Z = 130°

Links oberhalb und unterhalb der Tabelle sind Regeln zur Fallunterscheidung des Azimuts Z angegeben. Wir finden links oben N. LAT. {L.H.A greater then 180° ..... Zn = Z. Wir sind auf nördlicher Breite und der LHA ist größer als 180°. Damit ist das ausgelesene Z das richtige Azimut.

Als nächstes müssen wir die abgeschnittenen Minutenanteile der Deklination berücksichtigen. Dafür gibt es auf Seite 344 der Ho 249 die "TABLE 5. — Correction to Tabulated Altitude for Minutes of Declination". Mit dem in dieser TABLE 5 gelisteten Wert wird Hc korrigiert. Dazu gehen wir in der oberen Reihe auf den ausgelesenen Wert d = 47 und lesen in der Zeile der abgeschnittenen Minutenanteile, es waren 25,8' und gerundet 26', den Wert 20'. Sollte das ausgelesene d negativ sein dann muss auch der aus Tabelle 5 entnommene Wert ein negatives Vorzeichen erhalten. Dieser Wert wird wird zur ausgelesenen Höhe Hc addiert und ergibt die korrigierte berechnete Höhe. Aus 56°06' + 20' erhalten wir eine Höhe von Hc = 56°26'.

Jetzt kann die Standlinie genau so konstruiert werden, wie das im Bild 3 gezeigt wurde, denn wir haben neben dem Rechenort:

  • Hc = 56°26,0' (aus Tafel berechnete Höhe)
  • Hm= 56°23,9' (mit Sextant gemessene Höhe)
  • ΔH = Hc - Hm = -2,1' (Intercept in min bzw. nm)
  • Z = 130° (Azimut)

Die berechnete Höhe ist um 2,1' größer als die gemessene Höhe. Der eigene Standort ist also weiter weg. Das ist für die nachfolgende grafischen Konstruktion sehr wichtig zu beachten. Die Differenz aus gemessener und berechneter Höhe von 2,1' sind 2,1 nautische Meilen, die der Rechenort in Richtung des Azimutstrahls dichter am Bildpunkt der Sonne liegt. Das Resultat zeigt Bild 19 auf der linken Seite.

Ein Standort ergibt sich erst aus dem Schnittpunkt zweier Standlinien. Wir nehmen mal an, dass zwischen den zwei Sonnenschüssen nicht gesegelt wurde. Um 12:55:33 wird der Kimmabstand der Sonne zum zweiten Mal gemessen. Die folgende Tabelle fasst die in der gleichen Weise berechneten Werte zusammen.

zweite Messung

Beobachtungszeit 12:55:33 UT1
beobachtete Höhe Hm 60°37'
Bildpunktlänge Grt 14°32,3'
Stundenwinkel t vom Koppelort 19°19,3'
LHA 19°
Rechenort = LHA - Grt 4°27,2' E
Deklination um 12:55 UT1 14°28,1' N
Deklination gerundet 14° N
Koppelbreite LAT gerundet 39° N

Damit haben wir wieder alle Werte zusammen, mit denen man dann in die Tafel gehen kann:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 19°

Dort lesen wir aus: Hc = 59°55', d = 51, Z = 141. Der LHA ist kleiner als 180°, daraus folgt für das Azimut Z = 360° - 139° = 221°. TABLE 5 liefert mit d = 51 für die weggelassenen 28' der Deklination einen Korrekturwert von 24' zur Erhöhung von Hc. Wir haben jetzt:

  • Hc = 60°19' (berechnete Höhe)
  • Hm= 60°37' (gemessene Höhe)
  • ΔH = 18' (Intercept in nm)
  • Z = 221° (Azimut)

Mit diesen Werten kann jetzt eine zweite Standlinie konstruiert werden. Der Standort ist der Schnittpunkt der beiden Standlinien. Als zweite Standlinie kann auch einfach die Mittagsbreite benutzt werden. Dadurch erspart man sich die Tafel. Wenn zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen gesegelt wird, dann muss die erste Standlinie parallel um den versegelten Schlag verschoben werden. Ein nachfolgender grafischer Konstruktionsaufwand, wie im Bild 6 gezeigt, ist bei der Verwendung der Pub. Ho. 249 also zwingend.

Bild 6: Standlinienkonstruktion nach der Pub. Ho. 249 Methode; links die erste Standlinie nach der ersten Kimmabstabdsmessung und rechts nach Fertigstellung. Die Intercepte betragen 2,1 nm und 18 nm. Die blauen Markierungen kennzeichnen den Koppelort und den tatsächlichen Standort.

Im Bild sind RO1 und RO2 die beiden aus dem Koppelort erzeugten Rechenorte. Die Differenz zwischen dem ermittelten Standort und dem Standort, der sich nach den Eingaben aller Messdaten optimal errechnet beträgt etwa 1,7 nm.

Damit die Winkel der Azimute so wie berechnet eingezeichnet werden können, ist es erforderlich die Skalierung der Längengrade anzupassen. Der Abstand zwischen zwei ganzgradigen Längengraden ist das Produkt aus dem Abstand zwischen zwei ganzgradigen Breitengraden und dem Kosinus des Breitengrades LAT.

Schon früh kam man auf die Idee, die Azimute für möglichst viele Orte zu tabellieren. So entstanden in den frühen Jahren des 20 Jhd. die HO 120 und die HO 171. Die HO 249 wurden speziell für die Bombenflugzeuge im 2. Weltkrieg geschaffen. Es gab darüber hinaus auch spezielle Tafeln für die Seefahrt. Die Tafelmethode war in der Blauwasserszene recht verbreitet, weil darin keine Formeln mit den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus zur Anwendung kamen. Tafelmethoden werden heute nicht mehr benutzt.

 

5 Anfertigung von Leerkarten

Für beide Methoden, ob nach Hilaire klassisch oder mit Tafeln navigiert wird, sind Leerkarten hilfreich. Das schont die richtigen Seekarten, vor dem ständigen ausradieren der vielen Bleistiftlinien. 
Ihre Konstruktion ist einfach und im Bild 7 dargestellt. Bei der Konstruktionsart links zeichnet man zuerst die Achsen eines Koordinatensystems, wobei die senkrechte Achse rechts oder links angeordnet sein kann. Danach werden die Breiten eingezeichnet. Dabei startet man vielleicht 15’ südlich des Koppelortes. Beispielsweise liegt der gegisste Standort auf 38° 15’ N, dann startet man bei 38° und zeichnet alle 5’ eine neue Breite ein. Wenn 5 mm 1,0 Bogenminute bzw. 1,0 Seemeile sein soll, dann ist der einzuzeichnende Breitenabstand 25 mm. Man kann aber auch beliebig andere Maßstäbe wählen. Vom Ursprung aus wird jetzt eine Gerade im Anstiegswinkel der Breite eingezeichnet, für die das Mertcator-Netz gezeichnet werden soll. Im Bild ist das die blaue Linie. Jetzt wird ein Zirkel in den Koordinaten-Nullpunkt gestochen und damit die an der vertikalen Achse abgegriffene Breite in der jeweiligen Zirkelspanne auf die Schräge übertragen. Dort wo sich der Bogen mit der 38° Schräge kreuzt, wird eine senkrechte Linie eingezeichnet. Diese Linien sind Meridiane im Abstand von 5’. Auf einer Breite von 38° sind das aber nur 5 ⋅ cos 38° = 3,94 nm.

Bild 7: Konstruktion von Leerkarten


Bei der Konstruktionsart auf der rechten Seite zeichnet man ebenfalls zuerst die Achsen eines Koordinatensystems, wobei auch hier die senkrechte Achse rechts oder links angeordnet sein kann. Danach werden die Breiten eingezeichnet. Startpunkt und Abstand werden nach gleichen Gesichtspunkten vorgegeben wie auf der linken Seite. Jetzt wird die Länge der skalierten Breitenskala ausgemessen. Wenn ein Abstand von 2,5 cm pro 5’ zwischen den Linien vorgegeben ist und die Breitenskala von 38° bis 38° 30’ reicht, dann ist ihre Länge 15 cm. Jetzt wird auf der obersten Breitenlinie ein Abschnitt von B ⋅ cos 38° = 15 cm ⋅ 0,788 = 11,82 cm abgetragen. Vom Koordinatenursprung bis zu diesem Punkt wird jetzt eine Diagonale eingezeichnet. Im Bild ist das ebenfalls eine blaue Linie. An allen Stellen, wo jetzt diese Diagonale von den 5’ Breitenlinien geschnitten wird, entstehen Punkte, an denen die Meridianlinien im 5’ Abstand eingezeichnet werden.
 Beginn- oder Ende der Bemaßung der horizontalen Achse ist natürlich breitenunabhängig.


Links:

nach obenDie Sonne am HimmelMittagsbreite und ChronometerlängeGauß und das ZweihöhenproblemThomas H. Sumner, Begründer der StandliniennavigationNavigieren mit ExcelEin wenig Sextantenkunde ♦  Sextantentest Mark 25DownloadsHome

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.

*

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre mehr darüber, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden.