Die Sonne am Himmel

Die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne

 

Die Navigation mit der Sonne hatte schon immer die größte Bedeutung in der astronomischen Navigation. Mit Sternen kann nur in der Dämmerung oder am Tage navigiert werden. Nachts ist eine Navigation mit Sternen nicht möglich, weil man zu deren Höhenmessung mit dem Sextanten den Horizont sehen muss. Mondlicht macht in der Nacht zwar eine Horizontlinie sichtbar, die ist jedoch eine optische Täuschung. Mond und Sterne können als Navigationsgestirne nur am Tag gut verwendet werden, wenn sie überhaupt sichtbar sind. Eine Navigation mit Sternen in den kurzen Zeiten der Dämmerung hat den Vorteil, dass man einen Standort sofort erhält, ohne versegelunge berücksichtigen zu müssen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass man sich etwas höher stehende Sterne aussuchen kann, wodurch der Einfluss der Parallaxe nicht ganz so groß ist.
Alles in Allem, die Bedeutung der Astronavigation liegt heute neben einer Notfallnavigation nur noch in der Ausübung eines Hobbys. Man will auch genauso navigieren können, wie die alten Seefahrer es einst taten. Für diese Zwecke ist eine Navigation mit der Sonne allgemein ausreichend genug. Auch in früheren Zeiten haben die Seeleute am liebsten am Tag mit der Sonne navigiert.

 

1 Bildpunkt und Höhengleiche

In der terrestrischen Navigation verwenden wir zur Orientierung die in den Seekarten eingezeichneten bekannten Positionen von Türmen, Gebäuden oder Bergen. Auf hoher See stehen uns diese nicht zur Verfügung. Dafür haben wir dort die Sterne und tagsüber die Sonne. Die Positionen der Gestirne sind jedoch nicht fest und was ist überhaupt die Position eines Gestirns? Die Gestirne stehen jedoch am Himmel und sind praktisch unendlich weit entfernt. Wie sollen da Positionen auf der Erde angegeben werden können, wie z. B. die Position eines Leuchtturms? Wie bekommt man also eine Position von der Sonne auf die Erdoberfläche?
Die Lösung ist der Bildpunkt. Das ist der Punkt, an dem eine gerade Linie zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Mittelpunkt eines Gestirns, in unserem Fall der Sonne, die Erdoberfläche durchbricht. Es ist genau der Ort, an dem die Sonne gerade im Zenit steht.

Bild 1: Bildpunkt und Höhengleiche

Erschwerend ist jedoch, dass dieser Punkt infolge der Erdrotation mit Überschallgeschwindigkeit von Ost nach West rast. Terrestrische Orientierungspunkte bleiben im Gegensatz dazu immer am selben Ort. Eine zusätzliche und ganz wichtige Komponente bei der astronomischen Navigation ist deshalb die Zeit. Die Position eines Bildpunktes gilt nämlich nur für einen Augenblick, praktisch nur für eine Sekunde.

Der Navigator beobachtet die Sonne selten im Zenit, sondern sieht sie vielmehr in einer bestimmten Höhe h über dem Horizont. In dieser Höhe, die auch als Horizontabstand bezeichnet wird, würde die Sonne in derselben Sekunde von allen Beobachtern gesehen werden können, die sich auf der im Bild 1 dargestellten grünen Linie befinden. Diese Linie hat deshalb den bezeichnenden Namen Höhengleiche. Im englischen wird sie Circle of Position (Positionskreis) genannt, weil die Position unseres Schiffes irgendwo, aber genau auf dieser Kreislinie sein muss. Auf einem Globus und damit auf der Erdoberfläche wäre die Linie kreisrund mit dem Bildpunkt als Mittelpunkt.

Wir machen jetzt ein Gedankenexperiment. Wir sind auf Sizilien und sehen die Sonne bereits im Westen. Ihr Bildpunkt befindet sich, wie auf dem Bild gezeigt, schon im Atlantik. Die Sonne wandert weiter nach Westen, ihr Bildpunkt entfernt sich von uns und ihre sichtbare Höhe h nimmt ab. Wir können uns leicht vorstellen, dass der Positionskreis dadurch immer größer wird. Bald geht er sogar über den Nordpol hinweg. Größer als der Erddurchmesser kann er jedoch nicht werden und das ist dann der Punkt, wo die Sonne, wenn man den Parallaxenfehler außer Acht lässt, zur Hälfte im Meer versunken ist.

Bild 2: Die Höhe h der Sonne über dem Horizont ist ein Maß dafür, wie weit ihr Bildpunkt von uns entfernt ist. Subtrahiert man diesen Höhenwinkel von 90° und multipliziert diese Differenz mit 60 nm/Grad, so erhält man die Entfernung in Seemeilen.

Wenn sich der Bildpunkt der Sonne unter unseren Füßen befinden würde, dann stände sie gerade im Zenit und der Positionskreis hätte einen Durchmesser von null. Sobald die Sonne von uns aus gesehen im Meer versinkt, hat der Durchmesser des im Bild grünen Positionskreises den Erdumfang angenommen. Von uns bis zu seinem Mittelpunkt und immer der Erdkrümmung entlang ist es dann genau die Strecke eines Viertels des Erdumfangs, also 90 Grad. Daraus leiten wir eine sehr wichtige Erkenntnis ab. Zwischen Bildpunkt und Höhe der Sonne über dem Horizont besteht ein enger Zusammenhang.
Dieses wird im Bild 2 noch deutlicher. Die Sonnenstrahlen fallen überall auf der Erde parallel ein, an unserem Standort wie auch in Richtung Erdmittelpunkt. Ein Viertel des Erdumfangs von 90° ist auch genau der Winkel zwischen Horizont und Zenit. Diesen Winkel kann man aufteilen in Horizontabstand h, und Zenitabstand s. Bild 2 zeigt, dass die Entfernung von uns bis zum Bildpunkt gleich dem Zenitabstand ist. Wir können den Zenitabstand nicht direkt messen, weil der Himmel im Zenit keine Markierung hat. Wir können aber den Horizontabstand messen und wenn wir diesen von 90° subtrahieren, dann haben wir den Zenitabstand. Man sagt dazu, dass der Zenitabstand das Komplement des Horizontabstandes ist.

 

2 Das Nautische Jahrbuch

In früheren Jahren bis etwa in die Mitte des 20. Jahrhunderts hinein verwendete man zur astronomischen Längenbestimmung die GMT (Greenwich Mean Time). Das war die Zeit am Nullmeridian, der (fast) genau durch die Sternwarte im Londoner Stadtteil Greenwich verläuft. Seit der Erfindung des Schiffschronometers wurden Längen dadurch festgestellt, dass die Uhrzeit am Nullmeridian an Bord verfügbar sein musste. So konnte man mit dem Lauf der Sonne navigieren. Die Sonne lief aber, von der Erde aus gesehen, im Gegensatz zu einer gleichmäßig laufenden Uhr höchst ungleichmäßig, mal schneller und mal langsamer und so brauchte man eine Korrekturtabelle. Diese enthielt für jeden Tag die Anzahl der Minuten und Sekunden, mit denen die Chronometerzeit korrigiert werden musste, damit wieder Synchronität mit dem Lauf der Sonne hergestellt war. Diese Tabelle wird Zeitgleichung genannt. 
Winkel, die aus der berechneten Höhe berechnet wurden, hat man erst mal in Zeiten umgerechnet und mit diesen Zeiten wurde dann weitergerechnet. Am Ende musste die Ergebniszeit dann wieder in den Winkel, den Längengrad, umgerechnet werden. Dieser Aufwand konnte vermieden werden, indem man anstelle der Greenwich Mean Time einen Greenwich Hour Angel (GHA) einführte. Das hatte außerdem den Vorteil, dass die Zeitgleichung automatisch auf die Stunden des Tages aufgeteilt war. Das war auch nötig, weil die Schiffschronometer immer genauer wurden.

Diese Jahrbücher enthalten die Positionen der Bildpunkte von Sonne, Mond, Planeten und Fixsternen. Die Positionen, auch Ephemeriden genannt, werden als Greenwichwinkel Grt (engl. GHA) und als Deklination \delta für jede Stunde eines Tages im Jahr angegeben. Der Grt, historisch aus der Zeit entstanden, folgt dem Lauf der Sonne nach Westen. Es ist der sogenannte Ortsstundenwinkel für den Ort Greenwich. Die Deklination ist identisch mit der geografischen Breite der Bildpunktposition. Zur Angabe der Bildpunktpositionen gibt es für jeden Tag eine Seite. In der oberen Hälfte links findet man die stündlichen Positionswerte der Sonne. Für die Minuten und Sekunden einer Beobachtungszeit gibt es am Ende des Buches sog. Schalttafeln. Der dort gefundene Zuwachswert für Grt bzw. VB-Wert für δ muss jeweils addiert werden. Das Ergebnis ist die sekundengenaue Position des Bildpunktes der Sonne zum gegebenen Zeitpunkt.  

Obere Halbseite eines nautischen Jahrbuches des BSH. Die untere Halbseite enthält die Ephemeriden der Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.

Die Positionen in jeder Sekunde eines Jahres sind nicht gleich mit denen derselben Sekunde des nächsten Jahres. Das liegt schon daran, dass unser Kalender nicht genau auf ein Jahr passt und wir deshalb sogar gezwungen sind alle vier Jahre einen Schalttag einzubauen. Doch auch alle vier Jahre sind die Positionen nicht gleich, wie die nachstehende Tabelle zeigt.

1. Jan - 00:00:00 UT1 Schaltjahr plus 1 plus 2 plus 3
          2020 179° 13,7' 179° 8,5' 179° 10,5' 179° 12,1'
          2024 179° 13,8' 179° 8,4' 179° 10,0' 179° 11,9'
          2028 179° 13,5' 179° 8,0' 179° 9,9' 179° 11,6'
          2032 179° 13,5' 179° 8,4' 179° 10,1' 179° 12,0'
          2036 179° 13,6' 179° 8,1' 179° 10,1' 179° 11,8'

Die Tabellenwerte geben den Greenwichwinkel Grt um 00:00:00 UT1 an. Der Ort liegt an der Datumsgrenze in der Nähe der Fidschi Inseln. Die Schwankungen betragen etwa 0,5', was auch etwa 0,5 nm sind. Für den Notfall könnte man also im Abstand von jeweils vier Jahren mit demselben NJ navigieren. 

Das BSH hat den Druck und den Vertrieb des Nautischen Jahrbuchs eingestellt, weil dieses Buch für die Großschiffahrt nicht mehr ausrüstungspflichtig ist. Für die Sportschiffahrt bestehen allerdings weniger Möglichkeiten eine Ersatznavigation zu aktivieren, sollte dieses einmal nötig werden. Außerdem ist die Navigation mit einem Sextanten ein aufregendes und schönes Hobby. Mit Hilfe einer Tabellenkalkulation ist es jedoch kein Hexenwerk, sich den Greenwichwinkel und die Deklination für die Sonne selbst auszurechnen - und wer unbedingt noch grafisch unterwegs sein will, auch auszudrucken. Der Link für das kleine EXCEL_Sheet ist dieser: hundertjährige-Ephemeriden.
Die geschützte Datei kann für eigene Modifikationen mit dem Passwort change entsperrt werden. Es ist ein einfaches Programm, das nach dem Kepler Modell nur die Massen von Erde und Sonne berücksichtigt. Die Einflüsse der Massen von Mond und Planeten bleiben dagegen unberücksichtigt. Die Abweichungen von amtlich herausgegebenen Daten liegen meist zwischen 0' und 0,2'. Der Grt kann auch mal 0,5' daneben liegen, was allerdings selten vorkommt. Wie diese Berechnungen durchgeführt werden, wird im Beitrag Ephemeridenrechnung gezeigt. Die Auswirkungen auf Standortabweichungen bei der Verwendung dieser selbst berechneten Ephemeriden ist in einen gesonderten Beitrag beschrieben.  
Abweichungen von einer halben Seemeile als Bildpunktfehler dürften in der praktischen Navigation nur eine untergeordnete Rolle spielen. Gerade auf schwankenden Segelbooten muss man froh sein, eine Standortabweichung von weniger als 2 Seemeilen erreichen zu können und da sind Abweichungen von 0,5' in der Angabe des Grt fast ohne Bedeutung. Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz addieren sich Einzelfehler nicht arithmetisch sondern pythagoreisch, d. h. ein Gesamtfehler ist die Wurzel aus den Quadraten der Einzelfehler. Dazu ein Beispiel:

Einzelfehler entstehen beispielsweise durch:

  • Seegang 2 nm
  • Zeitmessung 1 nm
  • Methode 0,5 nm
  • Beschickungsfehler 1 nm
  • Grafikfehler 0,5 nm
  • Bildpunktfehler 0,5 nm
  • ….

Der statistisch zu erwartende Gesamtfehler errechnet sich aus:

    \[F_{gesamt}=\sqrt{ F_1^2+F_2^2+F_3^2+F_4^2+ ...}\]

Wenn wir alle hier genannten Fehler, die ja positiv oder negativ sein können, in diese Formel eintragen, dann errechnet sich daraus ein Gesamtfehler von 2,60 nm. Lassen wir den Bildpunktfehler weg, weil wir ein super genaues nautischen Jahrbuch verwenden, dann kommen wir auf einen Gesamtfehler von 2,55 nm. Das ist ein statistischer Unterschied von gerade mal 100 Metern, obwohl die Angabe der Bildpunktposition fast 1000 Meter daneben liegt. Eine Abweichung von 0,5’ bzw. nm in der Angabe der Position des Bildpunktes macht also nicht viel aus, weil einfach noch andere Fehlerarten im Spiel sind. Wer das übertrieben findet, der kann dazu eigene Zahlen einsetzen.

 

3 Die Zeitgleichung

Die obige Abbildung der Seite vom 1. Mai 2019 aus dem Nautischen Jahrbuch gibt unterhalb der Grt-Spalte mit T  11:57 den Transitus an. Das ist die Universalzeit UT1, in welcher der Bildpunkt der Sonne den Nullmeridian passiert. Durch Blättern in einem Nautischen Jahrbuch stellt man dann auch schnell fest, dass die Sonne den Nullmeridian im Laufe eines Jahres zu ganz unterschiedlichen Zeiten zwischen etwa 15 Minuten vor oder nach 12:00 UT überschreitet und nur 4-mal im Jahr genau um 12:00 UT. Aus diesem Grunde wird die Zeit eines Chronometers oder einer Atomuhr in Bezug auf die Sonnenzeit als mittlere Zeit bezeichnet. Die Zeitgleichung ist die Differenz zwischen der wahren und mittleren Sonnenzeit. Es ist keine Gleichung, wie man sie aus der Mathematik kennt, sondern meist eine Tabelle oder auch Grafik, die einen Zeitbetrag angeben, der zur mittleren Sonnenzeit hinzugezählt werden muss, um die wahre Sonnenzeit zu erhalten. Es gibt zwei Hauptursachen für das Zustandekommen der Zeitgleichung, die nachstehend diskutiert werden.

 

3.1 Stellung der Erdachse zur Ekliptikachse

Betrachtet man die Himmelskugel in einer geozentrischen Darstellung, dann liegen die Flächen von Erdäquator und Himmelsäquator in einer Ebene und die Erdachse steht senkrecht zu diesen Ebenen. Die Ekliptik, die Ebene auf der die Planeten die Sonne umrunden, ist  um \epsilon = 23,44° zur Äquatorebene schief gestellt. Diese Darstellung zeigt Bild 3. Wie kommt es aber zu den Unterschieden zwischen mittlerer und wahrer Zeit?
Für eine Analyse betrachten wir den Lauf der Sonne nach Passieren des Frühlingspunktes an der Himmelskugel. Das ist der Punkt, an dem sich die Ekliptikbahn mit dem Himmelsäquator kreuzt. Das geschieht zweimal im Jahr und zwar am Frühlingsanfang und am Herbstanfang. Zu diesen Zeitpunkten befindet sich die Sonne genau in einem dieser Kreuzungspunkte und ihr Bildpunkt trifft genau den Äquator der Erde. Die wahre Sonne S umkreist innerhalb eines Jahres die Erde auf ihrer Ekliptikbahn. Dabei ist sie im Nordsommer sogar ein klein wenig langsamer als im Südsommer, aber darauf kommen wir später zurück.
Zunächst stellen wir uns die Ebene des Himmelsäquators als Ziffernblatt einer Uhr vor und der Zeiger dieser Uhr ist ein Punkt Z. Diese Uhr soll völlig gleichmäßig laufen, so genau wie eine Atomuhr und die wahre Sonne S und der Zeiger Z treffen jedesmal nach Ablauf eines Jahres am Frühlingspunkt aufeinander.
in der Mitte dieser Himmelskugel rotiert die Erde mit absolut konstanter Geschwindigkeit in 23 h, 56 min und 4,091 einmal um sich selbst. Diese Zeitspanne ist ein Sterntag und wird deshalb so bezeichnet, weil der Erdmeridian, der am Vortag dem Frühlingspunkt genau gegenüber stand, nach einem Sterntag wieder direkt auf den Frühlingspunkt und somit auf dieselben unendlich weit entfernten Fixsterne zeigt. 

Bild 3: Die Erde in der Himmelskugel

Sobald die Sonne S und der virtuelle Zeiger Z ihren Umlauf auf ihren Bahnen gleichzeitig im Frühlingspunkt beginnen, nimmt die Sonne S ihren Weg längs der Schiefe der Ekliptik, während der Zeiger Z den Himmelsäquator entlangläuft. Die Sonne vollführt dabei einen Weg nach oben, wobei ihr Bildpunkt die Erde zunehmend auf nördlicherer Deklinationsbreite trifft. Betrachtet man den Projektionspunkt am Himmelsäquator, das ist der Punkt an dem der gestrichelt gezeichnete Himmelsmeridian der Sonne den Himmelsäquator trifft, dann ist zu sehen, dass der Zeiger Z diesem Projektionspunkt um den Betrag g davoneilt.

Dadurch werden auf der Erde Kulminationen, die beispielsweise auf dem Greenwicher Nullmeridian den Mittag eines Tages definieren, erst dann beobachtet, wenn die Uhr eine Zeit nach 12:00 UT anzeigt. Die Kulminationen erfolgen verspätet. Die täglichen Verspätungen, beginnend mit anfangs mehr als 20 s summieren sich mit den Tagen dann zu Minuten.
Diese Verspätungen nehmen jedoch ab, wenn die Kurve der Ekliptik mit steigender Höhe zunehmend paralleler zum Äquator verläuft. Dadurch gewinnt die Sonne gleich zwei Vorteile gegenüber dem Zeiger Z. Sie kann die Himmelsmeridiane immer senkrechter schneiden, weil die Schräge der Ekliptik zunehmend flacher wird. Außerdem liegen die Himmelsmeridiane im Norden enger zusammen und können von der Sonne in schnellerer Folge passiert werden. Dieselben Meridiane haben am Äquator einen größeren Abstand zueinander, der dann von dem Zeiger Z nicht so schnell überwunden werden kann. Das hat zur Folge, dass der Abstand g zwischen dem Zeiger Z und dem Projektionspunkt abnimmt und am Tag So der Sommersonnenwende sogar null wird. Die Kulmination würde an diesem Tag sogar genau um 12:00 Uhr UT stattfinden, wenn die Umlaufbahn ein Kreis und keine Ellipse wäre.
Ab der Sonnenwende läuft das Ganze rückwärts. Der Vorteil, den die Sonne gerade hat, bleibt zunächst erhalten. Ihr Bildpunkt kann die im Norden enger zusammenliegenden Meridiane fast noch senkrecht und in schnellerer Folge passieren. Kulminationen auf einem Meridian, also der Mittag an einem Ort, würde bei angenommener Kreisbahn schon vor 12 Uhr UT sein, weil der Projektionspunkt den Zeiger Z überholt hat und diesem zunächst davoneilt. Aufgrund der zum Herbst hin abnehmenden Deklination steigt jedoch der Abstand zwischen den Meridianen und auch die Schräge fällt steiler ab. Am Ende, genau zum Herbstanfang hat dann der Zeiger Z den Projektionspunkt der Sonne auf dem Äquator wieder eingeholt.

Bild 4: Abweichung des Greenwich Stundenwinkels GRT vom Nullmeridian um 12:00 UT1 Aufgrund der Schräge der Erdachse.

Dieser ganze Vorgang spielt sich in der zweiten Jahreshälfte in analoger Weise genauso ab. Das Bild zeigt auch, wie die Jahreszeiten entstehen. Im Sommer kreist die Sonne oben auf der Himmelskugel, so dass die Nordhalbkugel mehr bestrahlt wird. Im Winter bekommt die Südhalbkugel der Erde mehr Licht und Wärme. Die Betrachtungen erfolgten an einem geozentrischen Weltbild. Die Sonne umkreist die Erde, obwohl es gerade umgekehrt ist. Doch mathematisch macht es keinen Unterschied, ob man ein geozentrisches Weltbild oder ein heliozentrisches Weltbild benutzt. Mathematische Formeln würden in jedem Fall dieselbe Himmelsmechanik beschreiben, ob man die nun von der Erde oder von der Sonne aus betrachtet oder von sonst irgendwo im Raum.
Die Zeitgleichung ist nach Bild 3 offenbar die zeitliche Differenz zwischen dem Uhrzeiger Z auf der äquatorialen Bahn und dem Projektionspunkt, an dem der wahre Sonnenmeridian den Äquator trifft. Diese Differenz ist im Bild 3 mit g bezeichnet und berechnet sich als \alpha_m-\alpha. Die Größe g ist hier als Winkel zu betrachten. Doch jeder Winkel auf der Umlaufbahn in Grad ergibt mit 4 multipliziert eine Zeit in Minuten. Der Winkel in Abhängigkeit vom Jahresverlauf ist in dem Diagramm im Bild 4 dargestellt. Als gepunktete Linie zeigt das Diagramm auch die Deklinationskurve.

 

3.2 Elliptizität der Erdbahn

Gemäß dem ersten Keplerschen Gesetz umkreist die Erde die Sonne entlang einer elliptischen Bahn, und die Sonne befindet sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse. Die Form der Ellipse weicht nicht wesentlich von einem Kreis ab, denn ihre Exzentrizität ist mit 0,0167 recht gering. Im Nordwinter kommt die Erde der Sonne am nächsten. Dann erscheint ihre Scheibe auch etwas größer. Im Sommer hat sie zur Sonne den größten Abstand. Der kleinste und der größte Abstand zur Sonne sind der Aphel und der Perihel und bilden die Enden der Haupachse der Ellipse. Sie stimmen jedoch nicht exakt mit den Sonnenwenden überein. An den Sonnenwenden hat die Sonne ihre größte nördliche bzw. größte südliche Höhe über dem Horizont. Der Perihel wird gegenwärtig am 2. Januar erreicht, während die Sonne auf der Nordhalbkugel ihren niedrigsten Stand bereits am 21. Dezember, also einige Tage davor hat. Der Perihel ändert sich in 60 Jahren um etwa einen Tag.

Bild 5: Zum ersten und zweiten Keplerschen Gesetz

Am Perihel ist die Massenanziehung zwischen Erde und Sonne am größten. Damit die Erde dadurch nicht in die Sonne stürzt, erhöht sie zum Ausgleich der zunehmenden Gravitationskraft ihre Bahngeschwindigkeit und damit ihre Fliehkraft. Das hat Kepler in seinem zweiten Gesetz exakt beschrieben: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
Bild 5 zeigt das schematisch. Die Flächen A1 und A2 sind gleich groß und werden von einem Fahrstrahl zwischen Erde und Sonne in einem gleichgroßen Zeitintervall t überstrichen. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist bei dieser Betrachtung dann am größten, wenn in der Zeit t eine längere Strecke zurückgelegt wird.

Diese unterschiedlichen Geschwindigkeiten wirken sich auf die Zeitgleichung aus. Die Erde dreht sich sehr gleichmäßig und eine Drehung der Erde um sich selbst dauert, wie oben bereits gesagt, 23 Stunden, 56 Minuten und 4,091 Sekunden. Nach Ablauf dieser Zeit kulminieren im Zenit eines jeden Erdmeridians wieder die gleichen unendlich weit entfernten Fixsterne. Deshalb wird dieses Zeitintervall als Sterntag bezeichnet. Die Sonne ist zwar auch ein Fixstern. Im Unterschied zu anderen Fixsternen wird sie aber von der Erde umrundet. Innerhalb eines Sterntages hat sich die Erde zwar einmal komplett gedreht, aber die Sonne ist auf ihrer Ekliptikbahn im Bild 3 eine Tagesetappe weitergekommen. Damit die Sonne an jedem Folgetag auf dem gleichen Erdmeridian kulminiert, muss die Erde nachdrehen und zwar etwa 4 Minuten lang, was einem Grad entspricht. Auf diese Weise entsteht die Länge eines Sonnentages, der von Kulmination zu Kulmination der Sonne etwa 24 Stunden lang ist.

Bild 6: Abweichung des Greenwich Stundenwinkels GRT am Mittag am Nullmeridian.

Im Nordwinter, wo die Sonne auf ihrer Bahn schneller unterwegs ist, muss sie immer ein paar Sekunden mehr als 4 Minuten nachdrehen, um eine Kulmination auf demselben Meridian zu erreichen. Im Sommer hingegen ereignen sich die Kulminationen immer einige Sekunden vor Ablauf der 4 Minuten Nachdrehzeit. Das sind pro Tag immer nur einige Sekunden, weniger als 20 s, die sich aber im Laufe des Jahres auf  jeweils fast 8 Minuten oder 2 Grad summieren.

Bild 6 zeigt, wie sich diese wenigen Sekunden im Laufe eines Jahres summieren. Die gestrichelt dargestellte Deklinationskurve gibt dabei die Jahreszeiten an. Vom Winter zum Sommer, wenn also die Deklination nördlicher wird, verringern sich die Nachdrehzeiten während sie vom Sommer zum Winter wieder zunehmen und im Winter besonders groß sind.

Die Erde dreht sich also jeden Tag im Jahresdurchschnitt um etwa 1 Grad zusätzlich, was auch etwa 4 Minuten täglich ausmachen. Dabei steigen die Nachdrehungen zum Nordwinter anund nehmen zum Sommer wieder ab. Durch Addition dieser 4 Minuten zur Sternzeit ergibt sich die Länge eines durchschnittlichen Sonnentages mit 24 Stunden. Das hat seinen Grund in zwei unterschiedlichen Effekten, die zum einen auf der Schiefe der Ekliptik und zum anderen auf den schwankenden Umlaufgeschwindigkeiten der Erde aufgrund der elliptischenn Umlaufbahn beruhen.

 

3.3 Summierung der Effekte

Die beiden beschriebenen Effekte haben vollig unabhängige Ursachen und können deshalb einfach addiert werden. Da der Kalender nicht genau auf ein Jahr passt und deshalb von Zeit zu Zeit mit Schalttagen der Umlaufbahn der Erde angepasst werden muss, sind die Daten der Maxima und Minima, die in den Kurven angegeben werden in jedem Jahr etwas verschieden. Hinzu kommt, dass  sich auch die Elliptizität der Erdbahn und die Lage der geneigten Erdachse im Laufe der Zeit ändern. Das macht es nicht gerade einfach, wenn ein nautisches Jahrbuch erstellt werden soll. Zwar beginnt jedes neue Jahr mit dem 1.Januar 00:00 Uhr, doch der Bildpunkt der Sonne befindet sich nie auf derselben Position wie zu Beginn des Vorjahres.

Das Problem ist, dass die Erde auf exakt einer Umlaufbahn um die Sonne keine ganzzahlige Anzahl von Umdrehungen um sich selbst vollführt. Da bleibt immer ungefähr ein viertel Tag übrig. Wenn es wenigstens genau ein viertel Tag wäre, dann könnte man mit den Schalttagen zurecht kommen. Es sind dann aber noch etwa 11 Minuten übrig. So unterscheidet sich der Beginn eines jeden Jahres vom Beginn des nächsten. Wann ein Jahr beginnt, ist mit einem Tageskalender nicht in Einklang zu bringen und wird deshalb vom julianischen Kalender aus dem Jahr 45 v. Chr. abgeleitet. Der Name geht auf Julius Cäsar zurück. Im Jahre 1582 wurde der julianische Kalender von Papst Gregor reformiert. Zunächst um 10 Tage und eine etwas andere Schaltjahresregel weil die 11 Minuten im Laufe der Jahrhunderte  den Frühlingsanfang auf den 11. März verschoben hatten. Heute beträgt die Differenz der Tage zum julianischen Kalender aufgrund der neuen Schaltregel 13 Tage.

Die Berechnung des Bildpunktes der Sonne jeweils ab dem 1. Januar 00:00 Uhr eines jeden neuen Jahres ist eine Fortschreibung aller Jahre vom Beginn des julianischen Kalenders an. So ist auch der Beginn der jährlichen Zeitgleichung nicht auf den 1. Januar des aktuellen bzw. angegebenen Jahres bezogen, sondern ebenfalls eine Fortschreibung sämtlicher Jahre vom Beginn des julianischen Kalenders an.

Bild 7: Die Addition der Ursachen Elliptizität (grün gestrichelt) und Schrägstellung der Erdachse (blau gestrichelt) ergibt die Zeitgleichung (rote Kurve).

Die Wirkung der Zeitgleichung wurde den Menschen erst bewusst, als es gleichmäßig gehende Uhren gab. Die wichen mit Ihrer Zeit von den Zeiten der bis dahin üblichen Sonnenuhren ab. Die zeigen nämlich die wahre Sonnenzeit an. Mechanische Uhren taugen also erstmal nicht, um mit dem Lauf der Sonne zu navigieren, es sei denn, man definiert die von einer mechanischen Uhr angezeigte Zeit als mittlere Zeit und korrigiert diese mit der Zeitgleichung.

Die Ordinate der Kurve im Bild 7 gibt mit den Winkeln eine Korrektur dafür an, wo die Sonne kulminiert, wenn die Uhrzeit in Greenwich 12:00 UT1 beträgt, am 11.2.2020 also auf Grt von etwa 360° - 3,5° = 356,5°. In Zeiten umgerechnet, also mit 4 multipliziert, sind das Korrekturzeiten, mit denen die mittlere Greenwicher Zeit GMT bzw. UT1 korrigiert werden muss, um die wahre Sonnenzeit zu erhalten, mit der dann auch navigiert werden kann. Im Greenwichwinkel GRT ist diese Korrekturzeit allerdings bereits berücksichtigt. Eine Korrektur der Chronometerzeit mit der Zeitgleichung war allerdings nur in älteren Navigationsverfahren nötig, als es noch keine nautischen Jahrbücher gab.

Die Zeitgleichung ist das Resultat der im Bild 3  gezeigten Differenz \alpha_m-\alpha die das Formelzeichen g erhalten hat. Wenn man diesen Winkel g ausrechnet, dann liefert die folgende Formel den Greenwicher Stundenwinkel:

    \begin{equation*}Grt=15\cdot(h\pm12)+\alpha_m-\alpha\end{equation}

 

Hierin ist h die Zielstunde des Tages von 0 bis 23. Mit 12 ist die Zeit angegeben, die die Sonne von 180° E bis 0° dem Greenwicher Nullmeridian braucht. Ist das Ergebnis größer als 360° dann muss h - 12 gerechnet werden.

 

3.4 Deklination

Im Bild 3 ist schön zu erkennen, wie die Deklination zustande kommt. Der Abstand längs eines Meridians zwischen der Sonne auf ihrer Bahn in der Ekliptik und der Äquatorebene ändert sich ständig. Dadurch weicht der Bildpunkt der Sonne auf der Erde mal südlich und mal nördlich zum Äquator gesehen aus. Das ist die Deklination. Geometrisch haben wir es hier mit einem rechtwinkligen sphärischen Dreieck zu tun, wobei der rechte Winkel zwischen Meridianlinie und Äquatorlinie besteht. Wir können es zwar nicht mit dem Lehrsatz des Pythagoras ausrechnen sondern mit einer viel einfacheren Formel. Die besagt, daß der Sinus einer Kathete gleich dem Produkt aus dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels und dem Sinus der Hypothenuse ist. Mit Formelbuchstaben geschrieben bedeutet das

    \begin{equation*}\sin \delta=\sin \epsilon\cdot\sin \Lambda\end{equation}

Mit der Sinus-Umkehrfunktion, das ist auf dem Taschenrechner die Taste sin-1 erhält man daraus dann den Breitengrad. Wenn der im Bogenmaß vorliegen sollte, was bei Berechnungen auf dem Computer meist der Fall ist, muss dieser Wert dann noch mit 180°/\pi multipliziert werden und man erhält schließlich

    \begin{equation*}\delta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\cdot\end{equation}

Natürlich können diese Berechnungen von Grt und \delta nur ausgeführt werden, wenn die Größen von \Lambda\,, \alpha_m und \alpha für die betreffende Stunde eines Jahres bekannt sind. Diese Rechnung soll auch nur das prinzipielle Vorgehen zur Berechnung der Bildpunktkoordinaten aufzeigen. Wer in diese Sache tiefer eindringen möchte, der kann sich den Beitrag Ephemeridenrechnung anschauen.

 

4 Berechnungen

Praktische Astronavigation, Mathematik und Rechnen gehörten bisher immer zusammen. Durch Entwicklungen in der Computertechnik ist das allerdings immer weniger bis überhaupt nicht mehr erkennbar. Der Computer kann nämlich sämtliche Aufgaben mit Hilfe seiner Programme übernehmen, so dass am Ende nur noch die auf dem Sextanten abgelesenen Höhen eingegeben werden müssen. Die Ephemeriden werden ebenfalls gleich vom Programm berechnet oder aus einer Datenbank gezogen, ebenso wie die Sextantenbestückung. Ausgaben erfolgen grafisch auf einem Display mit einer Seekarte, in die man auch bequem hineinzoomen kann und darüber hinaus auch als Zahlenausgaben. Das entspricht der heutigen Arbeitsweise und das ist okay. Astronavigation soll Spass machen und keine Belastung sein.

Bild 8: Nautisches Dreieck

Langweilig, sagt der Eine und purer Anachronismus. Wer wie die alten Seefahrer navigieren will, der soll auch genauso arbeiten und rechnen. Anstelle der Logarithmentafel wird die Benutzung des Taschenrechners gerade noch zugestanden.

Prima sagt der Andere, da kann ich endlich mit dem Sextanten navigieren, so wie das früher üblich war und endlich ohne Rechenstress. Diese romantische Navigationart gehört einfach zum Segeln dazu und ich kann sie jederzeit benutzen, ohne einen Astro-Lehrgang besuchen zu müssen. Außerdem kann ich mich dann problemlos auch ohne GPS auf dem Meer zurechtfinden falls doch mal was ausfällt.

Auch wenn der Computer, beispielsweise mit einer mobile App komplett alles übernimmt, kann es recht spannend sein, sich mit der Geschichte der Astronavigation, mit ihren Methoden und ebenso mit der dazugehörigen Mathematik auseinanderzusetzen.
Einen Hafen auf einer fernen Insel nur mit dem Sextanten und der Natur zu erreichen, kann auch für den verwöhnten GPS-Segler ein Erfolgserlebnis sein. Doch worauf gründen sich die Theorien der astronomischen Navigation?

Das mathematische Modell des Navigators ist das nautische Dreieck, das im Bild 8 dargestellt ist. Z kennzeichnet den Punkt, von dem aus wir die Sonne X am Vormittag in der östlichen Hemisphäre mit dem Sextanten beobachten. Das Dreieck besteht immer aus den drei Eckpunkten Standort, Bildpunkt und Pol (Nordpol oder Südpol). Natürlich gibt es auch andere Konstellationen, aber uns interessieren im Moment nur diese, mal mit der Sonne im Osten und dann im Westen. Im Bild ist alles Wichtige eingetragen. Horizont und Nullmeridian auf 0°. Unsere Standortbreite φ und die Deklination δ der Sonne bezeichnen die jeweiligen Entfernungen längs eines Meridians bis zum Horizont. Grt ist der Greenwicher Stundenwinkel und unter \tau versteht man den Polwinkel, den Meridianunterschied zwischen Standortmeridian und Bildpunktmeridian. Wenn die Sonne im Westen beobachtet wird, ist die Polwinkel nach heutigem Verrständnis der Ortsstundenwinkel. Mit der Sonne im Osten erhält man den Ortsstundenwinkel als Ergänzung dieses Winkels zu 360° Weiter unten aber mehr dazu.  

 

4.1 Mathematische Betrachtungen

In meinen Beiträgen zur astronomischen Navigation gibt es einige mathematische Abhandlungen. Viele schrecken gleich davor zurück. Mathematik und Formeln sind nicht jedermanns Sache.
Mathematik ist eigentlich nichts weiter als eine Kurzsprache, mit der viele Dinge in Natur und Technik exakter beschrieben werden können als mit vielen Worten. Das Auflösen und Umstellen von Gleichungen ist die Grammatik dieser Sprache. Bei genauem Hinsehen wird in allen Beiträgen eigentlich nur eine einzige Formel eingesetzt, und das ist der weiter unten beschriebene Kosinus Seitensatz, mit dem ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche berechnet wird. Man muss sich also nur an diese ein Formel gewöhnen und an eine Umstellung davon und hat dann eigentlich keine Verständnisprobleme mehr. Gewöhnen muss man sich auch daran, dass alle Winkel und Distanzen mit Sinus oder Kosinus benannt werden. Das ist in der sphärischen Geometrie einfach so.

Rechnen ist dagegen eine ganz andere Disziplin, bei der man sich fürchterlich verheddern kann. So hört es sich einfach an, Winkel von Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalgrade umzurechnen oder umgekehrt, aber ohne eine in Fleisch und Blut übergegangene Routine treten gerade dabei die meisten Probleme auf. Seekrankheit und Müdigkeit führen dann sogar zum Komplettausfall. Auf See soll und will heute niemand mehr rechnen.

 

4.2 Das Kugeldreieck

Unter Kugeldreiecken versteht man Dreiecke auf der Oberfläche einer Kugel. Die Erde ist eine Kugel und somit ist das nautische Dreieck im Bild 8 ein Kugeldreieck. Mit dieser geometrischen Figur wollen wir uns jetzt erstmal ganz allgemein auseinandersetzen und das ist tatsächlich einfacher als mancher denkt.

Bild 9: Kugeldreieck

Wie bei einem Dreieck in der Ebene werden die drei Ecken mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. Die den Ecken gegenüberliegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnet. Die Winkel tragen schließlich die Bezeichnungen α, β und \gamma. Das Dreieck besteht somit aus sechs Elementen, drei Winkeln und drei Seiten. Bild 9 zeigt dieses Dreieck auf einer Kugeloberfläche.
Wie bei Dreiecken in der Ebene gilt auch bei einem Kugeldreieck, dass sich jedes fehlende Element berechnen lässt, sobald drei Elemente bekannt sind. Die Summe der Innenwinkel beträgt jedoch nicht 180 Grad, wie bei einem ebenen Dreieck, sie ist stets größer als 180 Grad.
Die Seiten von echten Kugeldreiecken sind Abschnitte auf Großkreisen. Im Gradnetz der Erde sind nur die Längenkreise und der Äquator Großkreise. Meridiane sind von Pol zu Pol laufende halbe Großkreise und ihre Länge beträgt 180°. Vom Äquator bis zum Pol sind es dann immer 90°. Auf einer Kugel ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten immer eine Strecke, die einem Großkreis folgt. Wenn wir ein Gestirn beobachten, dann sehen wir es auf der kürzestmöglichen Verbindung. Der Blick durch das Fernrohr des Sextanten geht also immer in Richtung eines Großkreises.

Bild 10: Die Seiten eines Kugeldreiecks besitzen die Länge, die der Mittelpunktswinkel der Kugel auf der Kugeloberfläche aufspannt.

Breitenkreise außer dem Äquator sind Kleinkreise weil ihr Umfang zu den Polen hin abnimmt. Abschnitte darauf können also keine Seiten unseres Kugeldreiecks sein. Wenn eine Peilung immer nur einen Großkreis entlang möglich ist, dann folgt daraus im Umkehrschluss, dass man in Richtung Osten oder Westen gar nicht wirklich peilen kann, es sei denn, man befindet sich auf dem Äquator.
Peilungen nach Ost oder West sind tatsächlich nur in einem begrenzten Sicht-Umkreis eines Beobachters möglich. Direkt am Nordpol sitzend hätte ein Breitenkreis nur wenige Meter Durchmesser und da wird es dann klar, dass eine Ost- oder Westpeilung einem Bogen folgen muss und somit unmöglich ist.

Bei Kugeldreiecken gibt es die Besonderheit, dass sowohl die Seiten als auch die Winkel in Grad gemessen werden. Auf der Erde werden schließlich alle Entfernungen in einem Gradnetz betrachtet, was alles ungemein vereinfacht. Umrechnungen sind nur immer dann nötig, wenn man ein Ergebnis unbedingt in Meilen haben will. Bezugsgröße auf der Erdkugel ist der Erdumfang mit 360°, was genau 21 500 nm sind. Dann sind 1° = 60 nm und 1' = 1 nm oder Seemeile. Letztendlich dürfte es uns egal sein, wie Längern gemessen werden, in Kilometern Meilen oder Grad. Am Ende muss man sich entscheiden, ob umzurechnen ist.
Ein Kugeldreieck bei dem Seiten und auch Winkel einheitlich in Grad gemessen werden, ist sogar noch einfacher zu berechnen als ein Dreieck in der Ebene wo die Winkel in Grad und die Seiten in Metern zu unterscheiden sind. Doch wie ist das zu erklären, dass auch die Seitenlängen in Grad gemessen werden? Bild 10 eröffnet einen Blick ins Innere der Erdkugel. Da ist der Erdradius mit r angegeben und der Winkel mit b. Dieser Winkel spannt auf der Erdoberfläche einen Bogen auf, der aufgrund dieser Verwandschaft ebenfalls die Länge b besitzt. Damit wird der Zusammenhang klar.

In den Formeln, die wir noch kennenlernen, kommen Seiten und Winkel nur als Sinus oder Kosinus vor. Das ist ungewohnt, aber wir sollten das erstmal einfach hinnehmen. Mit sin(z) und cos (𝛾) kann man genauso umgehen, wie mit x und y. Wenn wir eine Seite oder einen Winkel ausrechnen wollen, dann bekommen wir deshalb auch immer nur den Sinus oder den Kosinus geliefert. Das macht aber gar nichts. Wir benutzen in diesem Fall einfach die Umkehrfunktion und schon haben wir die Seite oder den Winkel selbst. Wenn das Formelergebnis, beispielsweise die Länge einer gewünschten Seite q nur als cos q = 0,2618 erscheint, dann tippen wir auf unserem wissenschaftlichen Taschenrechnern auf die Taste mit der Bezeichnung cos-1 und schon erscheint als Ergebnis q = 15°. Auf der Erdoberfläche sind das q = 900 nautische Meilen.
Anstelle von cos-1 wird in Formeln meist die Funktion arccos benutzt, was genau dasselbe wie cos-1 ist. Analog dazu sind dann auch arcsin und sin-1 bzw. arctan und tan-1 dasselbe. Die Umkehrfunktionen liefern zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel. In einem Kugeldreieck rechnet man also nicht die Länge einer Seite oder den Betrag eines Winkels aus, sondern den Kosinus einer Seite oder den Sinus eines Winkels oder umgekehrt. Das soll uns nicht stören. Wir benutzen anschließend einfach die Umkehrfunktion und erhalten dadurch den Betrag von Seite oder Winkel. Die Seitenlänge ist dann allerdings auch in Grad zu verstehen, aber das ist ja so üblich im Gradnetz der Erde wo ein Grad auf einem Großkreis 60 nm sind.

In allen Beiträgen zur Astronavigation, ob zur Bestimmung der Chronometerlänge, zur Standortbestimmung nach C. F. Gauß, zur Standortbestimmung nach T. H. Sumner und auch zur Standortbestimmung nach Saint Hilaire werden wir nur eine einzige Formel gebrauchen. Die gesamte Astronavigation, wie sie in mehr als zwei Jahrhunderten entwickelt wurde, beruht tatsächlich nur auf dem im Bild 8 gezeigten nautischen Dreieck. Um das zu berechnen braucht man eigentlich nur eine einzige Formel und das ist der Kosinus Seitensatz. Diese eine Formel könnte man sich, weil ein Dreieck drei Seiten und drei Winkel besitzt, in sechs Varianten vorstellen. Tatsächlich benutzt man aber nur zwei Varianten, für einen Winkel oder eine Seite und wechselt nur die Bezeichnungen, wenn der Winkel oder die Seite von einer anderen Ecke aus gesehen werden soll.

An einem Kugeldreieck wie im Bild 9 beschreibt dieser Formelsatz die Beziehung zwischen drei Seiten und einem Winkel.  Das Verhältnis wird mit folgender mathematischer Gleichung beschrieben:

(1)   \begin{equation*}\cos a =\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha\end{equation*}

In Worten kann man das folgendermaßen ausdrücken:

Der Kosinus einer Seite ist gleich dem Produkt der Kosinusse der anderen beiden Seiten vermehrt um das mit dem Kosinus des Zwischenwinkels multiplizierte Produkt der Sinusse dieser beiden Seiten.

Übertragen auf die Seiten b und c muss dann geschrieben werden:

(2)   \begin{equation*}\cos b =\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta\end{equation*}

(3)   \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation*}

Das sind keine neuen Formeln. Es ist immer dieselbe Formel, nur von einer anderen Ecke des Dreiecks aus gesehen und deshalb mit den jeweils zuständigen Buchstaben geschrieben. Diese drei Formeln, stehen unter der Bezeichnung Kosinus Seitensatz in jedem besseren Formelbuch. Will man jetzt keine Seite, sondern einen Winkel ausrechnen, dann muss die Gleichung umgestellt werden. Das ist für Leute mit mathematischen Kenntnissen überhaupt kein Problem. Aufgrund der Bedeutung dieser Gleichung für sämtliche Navigationsmethoden soll das hier für Nicht-Mathematiker etwas ausführlicher geschehen.

Alle drei Seiten sollen bekannt sein und wir wollen den Winkel \gamma im Bild 8 ausrechnen. Wir wählen die Gl. 3, weil dort das \gamma schon geschrieben steht. Da es sich um Gleichungen handelt, muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer das Gleiche gemacht werden. Zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten das Produkt \cos a\cdot\cos b. Dadurch hebt es sich auf der rechten rechten Seite auf und bleibt auf der linken Seite als Subtrahend stehen:

    \begin{equation*}\cos c -\cos a\cdot \cos b=\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation}

jetzt müssen wir \cos \gamma freistellen. Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch \sin a\cdot\sin b. Die Folge ist, dass sich dieser Term auf der rechten Seite rauskürzt und links als Nenner bleibt:

    \begin{equation*}\frac{\cos c -\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}=\cos \gamma\end{equation}

Schließlich wenden wir gleich noch die Umkehrfunktion an und machen aus dem Kosinus des Winkels \gamma gleich den Winkel \gamma:

(4)   \begin{equation*}\gamma=\arccos \frac{\cos c -\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation*}

Auch in dieser Form wird uns der Kosinus Seitensatz begegnen und zwar immer dann, wenn ein Winkel ausgerechnet werden muss, wie z. B. das Azimut, die Peilung auf den Bildpunkt eines Gestirns.

 

4.2.1 Komplementwinkel

Wenn wir jetzt den Winkel \tau im Bild 8 berechnen wollten, dann müssten für die Dreieckseiten die Ausdrücke 90° - φ, 90° - δ und 90° - h eingesetzt werden, wodurch die Formel recht lang wird. Zur Erinnerung, δ ist die Deklination der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt und h die beobachtete Höhe. Die eigene Standortbreite φ kennen wir nur ungefähr, z. B. aus der letzten Mittagsbreite oder der letzten Nordsternbreite nach einer durchgeführten Koppelnavigation. Hier werden jetzt die Komplementwinkel oder einfach Komplemente verwendet. Ein Komplementwinkel ist seine Differenz zu 90°. Das hatten wir schon im Bild 2 kennengelernt. Dort gibt es die gemessene Höhe h = 90° - s und den Zenitabstand s  = 90° - h. Die Höhe h ist also das Komplement zum Zenitabstand s und umgekehrt. Analog trifft das dann für alle anderen Seiten ebenfalls zu. Das Komplement von 90° - φ ist φ und das Komplement von 90° - δ ist δ. In der nachfolgenden Tabelle sind die Seitenlängen der Dreiecke zusammengefasst:

Definitionen im nautischen Dreieck
Größe Komplement Entfernung zwischen Seite
90° - Standortbreite φ φ Standort <> Pol b
90° - Deklination δ δ Bildpunkt <> Pol p
90° - beobachtete Höhe h h Standort <> Bildpunkt s

Das kommt daher, weil die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion um 90° in der Phase verschoben sind, wie im Bil 11 zu sehen ist und daher gilt:

    • \sin \alpha= \cos (90^\circ-\alpha)
    • \cos \alpha= \sin (90^\circ-\alpha)

Unter Anwendung der Komplementwinkel kehrt sich also die Sinusfunktion eines Winkels in die Kosinusfunktion des Komplementwinkels und umgekehrt. Das werden wir bei allen Methoden der Standortberechnung wiederfinden und ist deshalb an dieser Stelle besonders erwähnt. Wenn wir jetzt also die Gleichung 4 nehmen, mit der wir gerade den Winkel \gamma berechnet haben, um damit jetzt den Winkel \tau im Bild 8 zu berechnen, dann lautet diese Gleichung ohne Benutzung der Komplemente:

    \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\cos (90^\circ-h) -\cos (90^\circ-\delta)\cdot \cos (90^\circ-\varphi)}{\sin (90^\circ-\delta)\cdot \sin (90^\circ-\varphi)}\end{equation}

Nutzen wir jetzt die Komplementwinkel, dann drehen sich sin in cos und (90° - a) in a und alles sieht einfacher aus:

(5)   \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\sin h -\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Die Summe aus diesem Winkel \tau und dem Stundenwinkel Grt ist direkt die Standortlänge \lambda.

Bild 11: Sinusfunktion grün und Kosinusfunktion rot sind um 90° in ihrer Phase gegeneinander verschoben. Die Kosinusfunktion ist bezüglich 0° symmetrisch und das bedeutet cos (x) = cos (-x).

Hier ist jedoch noch einiges zu beachten, weil Grt von 0 bis 360° in Westrichtung um die ganze Erde zählt, das Gradnetz der Erde aber schon vor mehr als 2000 Jahren in 180 Westgrade und 180 Ostgrade aufgeteilt worden ist, was in einigen Fällen noch einer kleinen Korrektur bedarf.

 

 

 

 

4.2.2 Das Azimut

Das Azimut ist die rechtweisende Peilung auf den Bildpunkt der Sonne und ist im Bild 8 als Az eingezeichnet. So wie vorstehend der Winkel \tau berechnet wurde kann jetzt auch das Azimut Az berechnet werden, also mit genau dem gleichen Formelaufbau, der sich jetzt nur entgegen der Uhrzeigerrichtung um einen Winkel bzw. eine Seite weiterdreht. Wir erhalten für diesem Fall:

(6)   \begin{equation*}A^*_z=\arccos \frac{\sin \delta -\sin \varphi\cdot \sin h}{\cos \varphi\cdot \cos h}\end{equation*}

Die Kennzeichnung des Azimuts in dieser Gleichung mit einem Stern hat folgenden Hintergrund. Das Azimut wird hier als rechtweisend Nord angegeben (ganz selten findet man auch eine Angabe als rechtweisend Süd). Das bedeutet, dass es der Winkel zwischen dem Nordmeridian b und der Peilung s in Richtung Sonne sein muss und zwar als rechtsdrehender Winkel. Genauso wie Kursangaben.

Bild 12: Sobald die Sonne den eigenen Standort überholt, ist das Azimut der Außenwinkel an den Seiten b und s.

Das bedeutet dass nach dem Schiffsmittag, wenn die Sonne den Standortmeridian überholt hat, die Seite s von Ost nach West umschlägt, wie das im Bild 12 rechts zu sehen ist. Der Kosinus Seitensatz berechnet jedoch nur immer die Innenwinkel in dem Dreieck. Nach dem Schiffsmittag ist das Azimut entsprechend seiner Definition jedoch der Außenwinkel. Das ist kein Problem. Wir müssen in dem Fall, wenn der Schiffsmittag vorbei ist, den berechneten Winkel von 360° subtrahieren, um das Azimut zu erhalten. Das Azimut wird u. A. gebraucht, um Versegelungen zu berücksichtigen, wenn also zwischen den Höhenmessungen  zur Standortbestimmung Ortsveränderungen auftreten.

In der Methode nach Saint Hilaire spielen das Azimut und die rechnerische Höhe für einen geschätzten Standort die zentrale Rolle. Das mit der Gl. 6 gezeigte Azimut ist das sogenannte Höhenazimut. Es wird berechnet, indem die Höhe h gemäß der nachfolgenden Gl. 7 eingesetzt wird. Im Höhenverfahren nach Hilaire wird jedoch gern das sogenannte Zeitazimut eingesetzt. Diese Formel ist etwas komplizierter und das Ergebnis muss dann nicht nur hinsichtlich Ost oder West sondern hinsichtlich aller Quadranten eingeordnet werden. Dieses Vorgehen ist nicht ganz verständlich, weil bei der Berechnung des Höhenazimuts für einen bekannten Standort keine Messwerte eingesetzt werden.

 

4.2.3 Die Höhenformel

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, für einen bekannten Ort, dessen Länge und Breite vorliegen, auszurechnen, wie hoch die Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt dort über dem Horizont steht. Die Höhe h ist das Komplement der Seite s. Um die auszurechnen, braucht man also drei bekannte Elemente des PZX-Dreiecks. Bekannt sind schon mal die Seiten p und b. Man bräuchte jetzt am besten den davon eingeschlossenen Winkel \tau. Doch der ist nicht direkt zu haben. Die Lösung dafür ist im Bild 13 zu erkennen. Dort haben wir einen Winkel t eingeführt.

Bild 13: Die vier möglichen Konstellation eines Standortes gegenüber der Sonne. Auf den Norpol gesehen. Westliche Hemisphäre: Sonne vor und nach dem Ort ; östliche Hemisphäre: Sonne vor und nach dem Ort

Dieser Winkel t ist der Ortsstundenwinkel (engl. LHA = Local Hour Angle). Es ist der Stundenwinkel eines beliebigen Ortes und zählt in westliche Richtung gehend vom Meridian des benannten Ortes bis zum Meridian des Bildpunktes der Sonne. Der Greenwicher Stundenwinkel Grt ist somit der Ortsstundenwinkel des Ortes Greenwich. Im Bild 13 in b) und c) ist dieser Winkel identisch mit \tau. In a) und d) ist er die Ergänzung zu 360°.

Um die Seite s im Bild 12 ausrechnen zu können, würden wir die Gl. 3 wählen. Dort wird der Kosinus des Polwinkels benutzt. Die Kosinusfunktion ist, wie Bild 11 zeigt, symmetrisch zur Ordinate, also zu 0° und liefert deshalb alle 360° vor oder zurück immer wieder denselben Wert. So ist es nicht nötig, den Winkel t bzw. LHA explizit ausrechnen zu müssen. Wir können bereits die Summe von Grt und λ verwenden. Grt + λ ist nicht gleich t, aber cos(Grt + λ) ist gleich cos (t). Wenn die entsprechenden Werte in die Gl. 3 eingesetzt werden, erhält man:

    \begin{equation*}\cos s =\cos p\cdot \cos b+\sin p\cdot \sin b\cdot \cos \tau\end{equation}

Nach Ersetzen der Seiten durch die Komplementwinkel und \tau mit  Grt + \lambda folgt weiter:

    \begin{equation*}\sin h =\sin \delta\cdot \sin \varphi+\cos \delta\cdot \cos \varphi\cdot \cos (Grt+\lambda)\end{equation}

Schließlich erhalten wir die bekannte Höhenformel:

(7)   \begin{equation*}h=arcsin[ \sin \delta\cdot \sin \varphi+\cos \delta\cdot \cos \varphi\cdot \cos (Grt+\lambda) ]\end{equation*}

In der Literatur steht anstelle cos (Grt + λ) meist \cos t.

Eigentlich ist das, was hier im Abschnitt 4 an Mathematik gezeigt wurde, alles was man braucht, um sämtliche bekannten Navigationsmethoden verstehen zu können. Ob das die Lösung der Zweihöhenmethode nach Gauß oder die Hilaire Methode ist, mehr als die hier gezeigten Gleichungen werden darin nicht benutzt. Die dahinter stehende Mathematik ist also sehr übersichtlich. In der Praxis treten Schwierigkeiten meist immer dann auf, wenn Zahlen in die Formeln eingesetzt werden müssen. Die Umrechnung von Grad und Minuten in Dezimalgrade oder ins Bogenmass und zurück birgt doch erhebliches Verwirrungspotential. Wer darin keine Routine hat, der kann schon leicht verzweifeln, weil es einfach nicht gelingt, zu einem vernünftigen Ergebnis zu kommen.


Links:

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3 thoughts on “Die Sonne am Himmel”

  1. Sehr geehrter Herr Hoffrichter,
    ich bin soeben durch den Hinweis eines Freundes hier gelandet. Noch bevor ich angefangen habe die Inhalte zu studieren, bin ich begeistert von der Darstellung. Nach vielen Jahren der Beschäftigung mit der Mathematik sehe ich hier zum ersten Mal eine technisch, fachlich und grafisch(!) überzeugende Darstellung. Wie oft werden Grafiken stiefmütterlich und pixelig erstellt, mit furchtbaren Schriften, Symbolen, Pfeildicken. Man spürt unmittelbar die Liebe zum Detail, die Darstellungen laden zum vertieften Studium auf das ich mich nun gerne einlasse. Ich vermute den Einsatz von Inkscape und LaTeX (PStricks oder TikZ)?

  2. Hallo Herr Hoffrichter!
    Ich bin durch Zufall auf Ihre Seite gestossen, weil ich eine mathematische Lösung für folgendes Problem suche - vielleicht können Sie mir helfen?
    Gegeben ist Azimut und Elevation zu einem bestimmten Zeitpunkt (also von wo genau die Sonne auf meinen Lichtsensor trifft).
    Gesucht ist der Einfallswinkel auf dem Lichtsensor, der exakt senkrecht montiert und nach Süden ausgerichtet ist.

    Hintergrund der Frage: je nach Einfallswinkel der Lichtstrahlen auf dem Lichtsensor ist das Ergebnis der Messung unterschiedlich (näherungsweise nimmt der gemessene Wert linear ab, senkrecht einfallende Lichtstrahlen 100%, 90 Grad einfallende Lichtstrahlen 0%).
    Wenn ich aus Azimut und Elevation den Einfallswinkel berechnen könnte, dann könnte der Messfehler mathematisch korrigiert werden.

    Können Sie mir bitte mit einer Formel helfen?
    Schöne Grüße, Martin Gross

    1. Hallo Herr Gross,

      Ist Ihr Sensor nun senkrecht zur Horizontalebene ausgerichtet oder igendwie schräg davon nach Süden? Beides gleichzeitig geht ja nicht.
      Wenn er also zum Zenit zeigt (= Normalenvektor), also die Sensorfläche parallel zur Horizontalebene ist, so ist der Winkel zwischen Normalenvektor und Richtungsvektor zur Sonne 90°-h, wenn h der Höhenwinkel (Elevation) der Sonne ist. Für die Strahlungsleistung auf die Sensorfläche GH gilt dann in Bezug auf die Strahlungsleistung G auf die Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Sonne: GH = G sin h.

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