Das Zweihöhenproblem

Bereits im 16. Jahrhundert beschrieb der Portugise Pedro Nunes (1502 - 1578) ein Prinzip, wonach die geografische Breite aus den Höhen der Sonne bestimmt werden kann, wenn diese Höhen in einem angemessenen Zeitabstand von ein paar Stunden gemessen werden. Von dem dänischen Astronom Tycho Brahe (1546 - 1601) ist bekannt, dass die Position eines unbekannten Sterns aus der Position zweier bekannter Sterne abgeleitet werden kann. Man weiß aber, dass Positionen von Himmelskörpern identisch sind mit ihren Bildpunkten auf der Erdoberfläche. Demzufolge definiert auch die Position eines Schiffes einen Zenit und ist gleichzeitig der Bildpunkt dieses Zenits. Aus dieser Überlegung heraus muss es also möglich sein, die unbekannte Position eines Schiffstandortes aus der Position der Bildpunke zweier bekannter Himmelskörper abzuleiten.

Diese Aufgabe, das Finden einer Schiffsposition aus der Position zweier bekannter Himmelskörper, ging fortan als Zweihöhenproblem in die Geschichte der Astronavigation ein. Ein Problem war es deshalb, weil lange Zeit niemand eine Lösung dafür anbieten konnte, wie die Idee in der Praxis verwendet werden soll. Auf diese Weise hätte man auch lediglich die Breite eines Schiffsortes finden können. Den Längengrad musste man bis weit ins 19. Jahrhundert hinein noch mittels der Monddistanzen Methode finden, bis endlich genügend Schiffschronometer produziert waren, dass jedes Schiff damit ausgerüstet werden konnte. Die astronomische Aufgabe, die Breite oder Polhöhe eines Ortes zu finden, galt damals unstreitig als eine der wichtigsten in der Geografie und Navigation. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts wurde das im Bild 1 dargestellte Modell als eines der wichtigsten in der Schifffahrt gesehen:

Bild 1: Modell einer Breitenbestimmung aus zwei Sonnenhöhen.

Darin ist Z der Zenit des Schiffsortes, P der Pol, hier der Nordpol und X bzw. X' sind die Bildpunkte der Sonne in den Zeiten ihrer Beobachtung. Werden alle diese Punkte mit küzesten Verbindungen, also mit Großkreisabschnitten verbunden, dann entstehen insgesamt vier Dreiecke, drei innere und ein umfassendes Äußeres. Das umfassende und das innere Dreieck besitzen als gemeinsame Grundseite die Verbindungslinie q zwischen den beiden Sonnenbildpunkten.
Der Meridianabstand \theta der beiden Sonnenbildpunkte ergibt sich dabei als die in Grad verwandelte Zwischenzeit der Beobachtungen. Meridianabstand und Länge der Seite q als Großkreisabschnitt unterscheiden sich in ihrer Länge. Deshalb muss die Länge von q entlang der im Bild dargestellten Großkreislinie gesehen werden, während der Meridianabstand die Längendifferenz entlang eines in der Regel längeren Breitenkreises ist, auf dem sich der Bildpunkt der Sonne bewegt.
Die übrigen Seiten des umfassenden Dreiecks sind die Bögen p und p'. Das sind die Komplemente der Deklinationen \delta und \delta'. Die übrigen Seiten des zentralen inneren Dreiecks sind die Zenitabstände s und s' und gleichsam die Komplemente der gemessenen Höhen h und h'. Die Länge der Seite b ist das Komplement der zu bestimmenden Breite \varphi=90^\circ -b. Es kommt letztlich also darauf an, die Seite b zu berechnen.
Alle Dreiecke sind sphärische Dreiecke bzw. Kugeldreiecke. Dafür existieren verschiedene Berechnungsmöglichkeiten. Am übersichtlichsten scheint hier eine Anwendung des Kosinus Seitensatzes zu sein. Dieser ist in zwei Varianten verwendbar:

  1. bekannt sind zwei Seiten und der davon eingeschlossene Winkel - berechnet wird die dritte Seite.
  2. Bekannt sind alle drei Seiten - berechnet wird ein beliebiger Winkel.

Um die Seite b zu berechnen, würde folgende Reihenfolge an Berechnungen zum Ziel führen:

  • Nach I. wird mit den Seiten des umfassenden Dreiecks und dem davon eingeschlossenen Winkel \theta zunächst die Seite q berechnet.
  • Damit sind von diesem Dreieck alle Seiten bekannt und der Winkel \sigma kann nach II. bestimmt werden.
  • Da ebenfalls alle Seiten des zentralen inneren Dreiecks bekannt sind, kann in derselben Weise nach II. auch der Winkel \zeta bestimmt werden.
  • Jetzt braucht nur noch die Winkeldifferenz \psi=\sigma -\zeta ausgerechnet werden. Das ist der Winkel gegenüber der gesuchten Seite b.
  • Da die Seiten s und p bekannt sind und nun auch der davon eingeschlossene Winkel \psi, kann die Seite b nach I. ausgerechnet werden und die liefert mit \varphi=90^\circ -b die gesuchte Breite.

Diese Abfolge von Berechnungen hätte mit Logarithmen ausgeführt werden müssen. Das aber war für die seemännische Praxis viel zu mühsam und zeitaufwändig und darum nicht zu gebrauchen. Um die Berechnungen zu erleichtern und abzukürzen, hat man kürzere Annäherungsmethoden gesucht die ebenso sicher zum Ziel führen sollten.

Die Lösung astronomischer Probleme war für die seefahrenden Nationen von großer Bedeutung und so wurden für entsprechende Ergebnisse auch Preise ausgelobt. An einem Preisausschreiben der Pariser Akademie im Jahr 1727 nahm unter anderen auch der, heute besonders als Strömungsphysiker bekannte, Daniel Bernoulli teil und präsentierte eine Lösung unter Benutzung von drei Sonnenhöhen. Ein anderer berühmter Name in diesem Zusammenhang ist Leonhard Euler.
Nicht nur in Folge des Pariser Preisauschreibens, sondern ganz allgemein war die Periode bis weit ins 19. Jahrhundert hinein geprägt vom Erscheinen sehr vieler Arbeiten zu diesem Thema und besonders in Europa. Viele Lösungen verwendeten drei Sonnenhöhen und andere versuchten das Problem der Sphärik durch mathematische Tricks zu umgehen.

Spezieller waren die Arbeiten des Niederländers Cornelis Douwes. Als Direktor der Seefahrtsschule in Amsterdam konnte er sehr gut beurteilen, dass derartige Berechnungen nicht zum Handwerk eines Seemannes passten. So schuf er auf Basis des im Bild 1 gezeigten Modells eine Berechnungsmethode, die sich in Tafeln unterbringen lies. Niederländische und britischen Seeleute fuhren nach dieser Tafelmethode, bis diese von der Methode des amerikanischen Kapitäns T. Sumner abgelöst wurden. Eine Beitenbestimmung mit den Douwes Tafeln erfordert eine vorherige Standortschätzung und lieferte dann mit einer einigermaßen überschaubaren Berechnung die Standortbreite in damals ausreichender Genauigkeit.

Die Möglichkeit der Breitenbestimmung außerhalb des Schiffsmittags war ohne Frage eine nützliche Angelegenheit. Sie ermöglichte, sofern man schon im Besitz eines Schiffschronometers war, die Positionsbestimmung zu einer beliebigen Tageszeit. Damit galt das Zweihöhenproblem theoretisch als gelöst. Praktisch blieb der Nachteil eines für die damalige Zeit höchst mühsamen Rechenaufwandes.

Berechnungen

Im Weiteren wollen wir uns mit der Ausführung der dazu nötigen Berechnungen im einzelnen befassen. Dabei werden die Gleichungen in der heute üblichen Form dargestellt. Außerdem wird gezeigt, wie neben der Standortbreite auch gleich die Länge bestimmt werden kann. Auch dazu werden die heute üblichen Parameter wie Grt bzw. GHA verwendet. In früheren Zeiten, ohne ein Nautisches Jahrbuch, hätte man an dieser Stelle die GMT (Greenwich Mean Time) und die Zeitgleichung verwendet und in Winkelgrade umwandeln müssen. Eine verbale Beschreibung des Lösungsweges mit Hilfe des Kosinus Seitensatzes erfolgte bereits weiter oben. Deshalb werden wir gleich in die mathematische Beschreibung einsteigen. Zur Orientierung dazu dient das folgende Modell im Bild 2.

 
Bild 2: Modell zur Standortberechnung nach der Zweihöhenmethode

Berechnung der Breite

Eine mathematische Lösung mit dem Kosinus Seitensatz, der im Beitrag "Die Sonne am Himmel" ausführlich vorgestellt wurde, führt hier schnell zum Ziel. Vor einer Anwendung sind auch die weiter oben genannten Anwendungsregeln hilfreich. Das Ziel der Breitenbestimmung ist, wie bereits ausgeführt, die Berechnung der Seite b. Betrachtet man die rechte Seite von Bild 2, dann ist b, wenn der Winkel \psi bekannt ist, über die Regel I. zu bestimmen, denn die den Winkel einschließenden Seiten sind bekannt. Der Winkel \psi ist die Differenz der Winkel \sigma -\zeta, die ebenfalls vom Bildpunkt X ausgehen. Von X aus sieht man sowohl das große Dreieck X'XP als auch das kleine Dreieck X'XZ. Beide Winkel \sigma und \zeta gehen ebenfalls von der gemeinsamen Grundlinie q der Dreiecke aus. Aus diesem Grund muss q als erstes berechnet werden. Nach dem Kosinus Seitensatz ist der Kosinus einer Dreieckseite die Summe aus dem Produkt der Sinusse der anderen Seiten und dem Produkt der Kosinusse der anderen Seiten, welches außerdem mit dem Kosinus des davon eingeschlossenen Winkels multipliziert wird. Auf das große Dreieck angewendet ergibt sich dann

    \begin{equation*}\cos q=\cos p\cdot\cos p'+\sin p\cdot\sin p'\cdot\cos \theta\cdot\end{equation}

Unter Anwendung der Komplementbeziehungen sin x = cos (90° - x) und cos x = sin (90° - x) auf die Deklinationen p = 90^\circ - \delta und p' = 90^\circ - \delta' folgt daraus

    \begin{equation*}\cos q=\sin \delta\cdot\sin \delta'+\cos \delta\cdot\cos \delta'\cdot\cos \theta\cdot\end{equation}

Daraus liefert die Umkehrfunktion die Länge der Strecke q als

(1)   \begin{equation*}q=\cos^{-1} (\sin \delta\cdot\sin \delta'+\cos \delta\cdot\cos \delta'\cdot\cos \theta)\cdot\end{equation*}

Einen Winkel in einem Kugeldreieck bekommt man nach der Regel II. dann, wenn alle Seiten des Dreiecks bekannt sind. Das trifft jetzt sowohl für das umfassende große Dreieck als auch für das zentrale kleinere innere Dreieck zu. Die anzuwendende Rechenvorschrift dafür lautet, dass von der dem Winkel gegenüber liegende Seite, das Produkt der Kosinusse der anderen Seiten abgezogen und das dadurch erhaltene Ergebnis durch das Produkt der Sinusse der anderen Seite dividiert wird. Dafür schreiben wir für das umfassende Dreieck.

    \[\cos \sigma= \frac{\cos p'-\cos p\cdot\cos q}{\sin p\cdot\sin q}\cdot\]

Unter Anwendung der Komplementbeziehungen und der Umkehrfunktion folgt

(2)   \begin{equation*}\sigma=\cos^{-1}\frac{\sin \delta'-\sin \delta\cdot\cos q}{\cos \delta\cdot\sin q}\cdot\end{equation*}

Analog gilt dann für den Kosinus von \zeta im kleineren Dreieck

(3)   \begin{equation*}\zeta=\cos^{-1}\frac{\sin h'-\sin h\cdot\cos q}{\cos h\cdot\sin q}\cdot\end{equation*}

Daraus kann jetzt der Winkel \psi=\sigma -\zeta berechnet werden und der liefert nach Aussage der Regel I. die Standortbreite mit

    \[\cos b=\cos p\cdot\cos s+\sin p\cdot\sin s\cdot\cos (\sigma-\zeta)\cdot\]

Nach Anwendung der Komplementbeziehungen und der Kosinus Umkehrfunktion folgt schließlich:

(4)   \begin{equation*}\boxed{\varphi=\sin^{-1}\bigr [\sin \delta\cdot\sin h+\cos \delta\cdot\cos h\cdot\cos (\sigma-\zeta)\bigr ]}\end{equation*}

Bild 2 zeigt auf seiner linken Seite, dass auch ein alternativer Standort Y möglich ist. Dieser ist dann zu berechnen, wenn der eigene Standort südlich von der aktuellen Deklinationsbreite liegt, die Sonne am Schiffsmittag also nördlich beobachtet wird. Zur Unterscheidung des nördlichen vom südlichen Standorts, müssen die in den Gleichungen eingesetzten Deklinationen und die errechnete Breite mit einem Faktor P multipliziert werden. Dabei wird mit P = 1 der nördliche und mit P = -1 der südliche Standort berechnet. In den Gleichungen 1 bis 4 ist also immer nur P\cdot\delta, P\cdot\delta' und P\cdot\varphi zu verwenden.

Berechnung der Länge

Die Länge 𝜆 wird wie eine Chronometerlänge berechnet. Wir kennen die Zeiten, in denen die Beobachtungen durchgeführt wurden. Nach Bild 2 ist die Standortlänge die Summe aus dem Stundenwinkel bzw. Polwinkel \tau und Grt. Das gilt allerdings nur, wenn die erste Beobachtung am Vormittag erfolgte. Wird sie erstmalig am Nachmittag beobachtet, dann muss Grt - \tau gerechnet werden. Die Aufgabe besteht also zunächst darin, den Stundenwinkel \tau auszurechnen. Das geht wieder nach dem bekannten Prinzip einer Winkelberechnung, wenn alle Seiten bekannt sind. Für den Polwinkel erhalten wir an dieser Stelle

    \[\cos \tau=\frac{\cos s-\cos p\cdot\cos b}{\sin p\cdot\sin b}\cdot\]

Nach Ersetzen der Seiten mit ihren Komplementen und Anwendung der Umkehrfunktion folgt

    \[\tau=\cos^{-1}\frac{\sin h-\sin \delta\cdot\sin \varphi}{\cos \delta\cdot\cos \delta}\cdot\]

Die Standortlänge müssen wir nun mit der folgenden Gleichung ermitteln:

(5)   \begin{equation*}\boxed{\lambda^\ast=Grt\pm \tau\;=\;Grt\pm \arccos\frac{\sin h-\sin \delta\cdot\sin \varphi}{\cos \delta\cdot\cos \varphi}}\end{equation*}

Dieser zunächst mit einem Sternchen gekennzeichnete Längengrad verläuft vom Nullmeridian beginnend westwärts bis 360°. Eventuell müssen Ergebnisüberträge behandelt werden. Dazu werden bei einem negativen Ergebnis 360° addiert. Ist das Ergebnis größer als 360° dann werden 360° subtrahiert. Anschließend kann mit der folgenden Gleichung eine Normierung auf Westgrade und Ostgrade erfolgen.

(6)   \begin{equation*}\lambda=\left\lbrace\quad-\lambda^\ast&\quad\;\;\;\text{wenn}\quad\;\;\; 0^\circ<\lambda^\ast<180^\circ\atop360^\circ-\lambda^\ast&\;\text{wenn}\quad 180^\circ<\lambda^\ast<360^\circ\end{equation*}

Abschließend stellt sich noch die Frage, ob in der Gl. 5 addiert oder subtrahiert werden soll. Wenn beide Beobachtungen am selben Tag stattfinden, dann wird addiert, wenn die erste Beobachtung am Vormittag erfolgt ist. Analog dazu wird subtrahiert, wenn die erste Beobachtung nachmittags  stattfand.

Versegelung

Wenn mit der Sonne navigiert wird, muss zwischen den Beobachtungen eine angemessene Zeit verstreichen. Dabei kommt es, wenn nicht gerade Totenflaute herrscht, zu einer Ortsveränderung. Die während der ersten Beobachtung beobachtete Höhe gilt nicht mehr und muss auf den Ort der zweiten Beobachtung hochgerechnet werden. Das kennt eigentlich jeder. Je näher man sich z. B. an ein Bauwerk annähert, um so steiler hinauf muss der Blick gehen. Genau so ist es auch mit der Sonne. Man nähert oder entfernt sich ihr zwar nicht, aber man bewegt sich auf der Rundung der Erdkugel in Richtung Sonne oder weg davon und dabei neigt sich der eigene Beobachtungshorizont mit demselben Ergebnis.

Nach einer Ortsveränderung, die als Versegelung bezeichnet wird, befindet sich ein Beobachter am Standort Z und die Höhe der wahren Sonne wird mit h’ gemessen, woraus sich ein Zenitabstabd von s’ = 90° - h’ ergibt. Die Sonne X steht dabei unverändert auf der mit Grt und \delta angegebene Position, wie zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung. Wenn zwischen den Beobachtungszeiten keine Ortsveränderung erfolgt ist, kann der Standort mit s = 90° - h, wie oben beschrieben, berechnet werden. Wurde in der Zwischenzeit jedoch gesegelt und Z ist jetzt ein anderer Standort wie zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung, dann muss die Höhe der Sonne X auf den neuen Standort angepasst werden. Das geschieht in der Weise, dass der Radius s des Höhenkreises der ersten Beobachtung so vergrößert oder verkleinert wird, dass er jetzt wieder genau auf den veränderten Standort Z passt. Es muss praktisch ein Zustand hergestellt werden, als würde man beide Sonnen, die echte und die eingebildete aus der ersten Beobachtung, zur selben Zeit beobachten. Wie das zu berechnen ist, stammt von Cornelis Douwes, den man zu seiner Zeit zurecht als "Mathematical Seamen" betitelte. Es gilt nämlich

(7)   \begin{equation*}hs=h+\frac{d}{60}\cdot\cos (z-c)\cdot\end{equation*}

Hierin ist d die Distanz der Ortsveränderung über Grund in nautischen Meilen und c der über Grund gefahrene resultierende Kurs. Die Distanz d in NM muss bei dieser Rechnung in Grad verwandelt werden, was dadurch geschieht, dass d durch 60°/NM dividiert werden muss. Halsen, Wenden und Abdriften durch Strom und Wind sind mit einer Koppelrechnung (Dead Reckoning) zu berücksichtigen. Das in dieser Gleichung verwendete Azimut z ist das zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung. Für die meisten Ansprüche würde hier sogar eine Kompasspeilung ausreichen. So würde man am Standort Z zuerst die versegelte hs nach der vorstehenden Gl. 7 ausrechnen und in den Gleichungen 3 und 4 anstelle der Höhe h verwenden. Die Gln. 4 und 5 liefern dann sofort Breitengrad und Längengrad des versegelten Standortes.

Will man das Azimut jedoch genau ermitteln, was beispielsweise in Frage kommt, wenn eine Navigationssoftware nach dieser Zweihöhenmethode geplant ist, dann muss folgende Formel angewendet werden:

(8)   \begin{equation*}z=\left\lbrace\;\;\;\;\;\;\;\quad\arccos\frac{\sin \delta-\sin \varphi\cdot \sin h}{\cos \varphi\cdot \cos h}\text{wenn}\quad Grt-\lambda^\ast>180^\circ\atop360^\circ-\arccos\frac{\sin \delta-\sin \varphi\cdot \sin h}{\cos \varphi\cdot \cos h}\text{wenn}\quad Grt-\lambda^\ast<180^\circ\end{cases}\end{equation*}

Hierin ist Grt-\lambda^\ast der Ortsstundenwinkel LHA. Sein Wert liegt immer zwischen 0° und 360°.  Das Azimut ist die Peilung auf die Sonne und überschreitet deshalb am Schiffsmittag den Wert von 180°. Der Arkus des Kosinus kann aber nur Werte bis 180° liefern. Deshalb muss der ab dem Schiffsmittag abnehmende Arkus des Kosinus von 360° abgezogen werden und damit nimmt das Azimut wieder zu. Aus diesem Grunde gelten für das Azimut zwei Formeln, eine für vormittags und eine für Beobachtungen am Nachmittag.

Da wir \lambda^\ast von Gl. 5 geliefet wird, ist sie mit der Höhe h berechnet. Der Längengradwo nach Versegelung kann deshalb nur dadurch berechnet werden, indem mit hs in die Gl. 3 eingestiegen und die gesamte Berechnung bis zur Gl. 6 erneut durchlaufen wird.

 

Logarithmische Berechnung

Die Berechnung eines Standortes konnte im 18. Jahrhundert nur mit Logarithmen erfolgen. Damit werden Multiplikationen zu Additionen. Es gab zahlreiche Tafelwerke mit Zahlentabellen über Logarithmen von Zahlen und allen Winkelfunktionen. Um damit besser arbeiten zu können, wurden einige Gleichungen für eine Bearbeitung mit Logarithmen extra umgestellt. Wir wollen jetzt die Standortbreite an einem Beispiel logarithmisch berechnen. Dazu müssen wir die Gln. 2 und 3 erstmal in die entsprechende Form bringen. In der Gl. 2 subtrahieren wir auf beiden Seiten eine 1 und erhalten

    \begin{equation*}\cos \sigma -1=\frac{\sin \delta' -\sin \delta\cdot \cos q}{\cos \delta\cdot \sin q}-\frac{\cos \delta\cdot \sin q}{\cos \delta\cdot \sin q}\cdot\end{equation}

Auf einen Nenner gebracht folgt daraus

    \begin{equation*}\cos \sigma-1=\frac{\cos \delta' -(\sin \delta\cdot \cos q+\cos \delta\cdot \sin q)}{\cos \delta\cdot \sin q}\cdot\end{equation}

Ein Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen lautet:

    \begin{equation*}\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta+\cos \alpha\cdot \sin \beta \end{equation}

Damit vereinfachen wir den Klammerausdruck im Zähler und erhalten:

    \begin{equation*}\cos \sigma -1=\frac{\sin \delta'-\sin (\delta +q)}{\cos \delta\cdot \sin q}\cdot\end{equation}


Der Zähler dieser Gleichung wird jetzt mit einer der Verwandlungsformeln der Kreisfunktionen umgestellt. Diese Verwandlungsformel lautet:

    \begin{equation*}\sin \alpha-\sin \beta=2\cdot\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\end{equation}


Angewendet auf die vorhergehende Gleichung kommt eine andere Fassung des Kosinus Seitensatzes heraus:

    \begin{equation*}\cos \sigma -1=\frac{2\cdot\cos \frac{\delta'+\delta+q}{2}\cdot\sin \frac{\delta'-\delta-q}{2}}{\cos \delta\cdot \sin q}\end{equation}

Wenn jetzt noch für die Funktionen im Nenner die Secans Funktion sec x =1/cos x und die Kosekans Funktion csc x =1/sin x angewendet wird, dann folgt schließlich:

(9)   \begin{equation*}\boxed{\cos \sigma -1=2\cdot\sec \delta\cdot \csc q\cdot\cos \frac{\delta'+\delta+q}{2}\cdot\sin \frac{\delta'-\delta-q}{2}}\end{equation*}

Die Gl. 3 bekommt die gleiche Form. Dabei werden nur \delta gegen h und \delta' gegen h' ausgetauscht:

(10)   \begin{equation*}\boxed{\cos \zeta -1=2\cdot\sec h\cdot \csc q\cdot\cos \frac{h'+h+q}{2}\cdot\sin \frac{h'-h-q}{2}}\end{equation*}

Mit Hilfe von Logarithmen werden wir nun eine Standortbreite berechnen. Die Deklinationen und die berichtigten Höhen sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt. Die  Beobachtungen erfolgten um 9:28:53 GMT und 12:1:23 GMT, woraus sich eine Zwischenzeit von 2:32:30 h errechnet. Diese Zeit in Grad verwandelt liefert einen Winkel \theta von 38,15°. Die Tabelle enthält zusätzlich die entsprechenden Winkel im Bogenmaß.

Bez. Grad Radiant Bez. Grad Radiant
\delta 21,5° 0,3744 \delta' 21,4° 0,3741
h 55,9° 0,9753 h' 69,2° 1,2086
\theta 38,1° 0,6654      

Legen wir also los und berechnen zunächst q, wozu die Gl. 1 in ihrer ursprünglichen Form auch für eine Lösung mit Logarithnen benutzt wird. Für die Berechnung von \sigma und \zeta benutzen wir die Gl, 10 und 11, weil die Originalformeln 3 und 4 in einer logarithmischen  Verwendung doch einige Schwierigkeiten verursacht hätten. Die nachfolgenden Zahlenwerte sind im Bogenmaß angegeben.

*) negative Zahlen haben keinen Logarithmus. Wenn Faktoren negativ sind, wie hier ein Sinus, dann ist der Logarithmus des positiven Faktors zu bilden. Nach dem Delogarithmieren ist das Ergebnis so oft mit -1 zu multiplizieren, wie negative Faktoren vorhanden waren.

 

Die logarithmische Berechnung ist dann doch schon recht mühsam. Man muss etwa 30-mal in eine Tafel gehen, Zahlen heraussuchen und interpolieren. Nebenbei fallen auch noch etwa 15 Additionen bzw. Subtraktionen an. Nach dieser ganzen Rechnerei, die schon eine Stunde dauern kann, weiß man nicht, ob das Ergebnis auch richtig ist und die Länge des Standortes ist auch noch nicht bekannt. Die Längenberechnung mittels Logarithmen soll jetzt aber nicht mehr vorgeführt werden.

 

Resümee

Nach der vorstehend beschriebenen Lösung des Zweihöhenproblems kann ein astronomischer Standort mit hoher mathematischer Präzision ausgerechnet werden. Die Modelle in den Bildern 1 und 2 werden ganz dem Ausspruch gerecht: "Ein Bild ist die Sprache des Ingeneurs". Die Zeichnungen sind klar und übersichtlich und der einzuschlagene Weg sowohl für die Berechnung des Breitengrades als auch des darauf folgenden Längengrades kann in allgemein verständlicher Weise daran erklärt werden.

Es gibt jedoch einige Dinge auf dem Lösungsweg, die man verstehen muss und die zu beachtet sind. Da ist einmal die Wahl des zu berechnenden Standortes, denn nach Bild 2 rechts sind zwei Standorte möglich. Bei der Sonne als Navigationsgestirn muss man wissen, ob nördlich oder südlich von der Deklinationsbreite gesegelt wird. Wenn südlich, dann sind Vorzeicheneingriffe bei den Deklinationen und dem Ergebnis der Breite nötig.

Ein zweiter Punkt ist die Festlegung der Peilrichtung. Im Bild 2 erfolgt die erste Beobachtung an einem Vormittag und die zweite an einem Nachmittag. Der Standort Z kann aber auch westlich des Bogens p' liegen, dann erfolgen beide Beobachtungen vormittags. Liegt der Punkt Z östlich des Bogens P, dann erfolgen beide Beobachtungen am Nachmittag. Die Peilrichtung zu wissen, ist zur späteren Berechnung der Länge wichtig.

Bei Anwendung dieses Rechenweges, der, wenn er programmiert erfolgt, bekommt man stets beste Ergebnisse in Bezug auf die Ergebnisqualität. Eine Höhenbegrenzung in der Beobachtung nach oben, wie bei den grafischen Verfahren üblich, gibt es nicht. Ein weiterer Vorteil dürfte sein, dass keine vorherige Standortschätzung nötig ist. Also nur Vorteile. Doch leider waren diese Vorteile gegen Ende des 18. Jahrhunderts nicht nutzbar. Als Rechenhilfen gab es nur Logarithmentafeln und unter den meisten Schiffsbesatzungen war kaum jemand in der Lage, diese Berechnungen auszuführen.


Links:

nach obenDie Sonne am HimmelMittagsbreite und ChronometerlängeDie Methode des Marcq Saint HilaireThomas H. Sumner, Begründer der StandliniennavigationNavigieren mit Excel ♦  Ein wenig Sextantenkunde ♦ Sextantentest Mark 25DownloadsHome  

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.

*

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre mehr darüber, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden.