Navigationsprogramm selbst gemacht

Standort mit Sextant, Handy oder Tablet – ganz unaufgeregt, kein Nautisches Jahrbuch, nie mehr Rechnen oder Zeichnen, kein Schätzort und mathematisch exakt

 

In diesem Beitrag wollen wir ein Excel Sheet erstellen mit dem Standorte auf hoher See nach dem Algorithmus von Gauß bestimmt werden. Gerade die alten Ideen haben ihren Reiz darin, dass man sie sehr gut auf Computern benutzen kann. Excel und Word von Microsoft sind weit verbreitete Büroprogramme, die fast jeder auf seinem heimischen Computer hat.

Als es noch keine Computer gab, waren grafische Methoden die einzige Möglichkeit, ohne allzu großen Rechenaufwand ein Ergebnis zu erzielen. Fundamental für die Entwicklung grafischer Methoden zur Standortbestimmung auf See war die Erfindung der Standlinie, in der Mitte des 19. Jahrhunderts. Diese Methoden wurden allgemein akzeptiert und haben sich rasch verbreitet. Heute haben wir Computer und da ist es natürlich Unfug, auf umständlichem Wege erst Standlinien zu berechnen um diese dann kreuzen zu können, was zum Standort führt. Mit fast demselben Rechenaufwand kann ein Standort auch direkt aus den Höhengleichen berechnet werden, so wie Gauß das vorgeführt hat, oder indirekt auf numerischem Wege, wie es Borda schon 1772 gezeigt hat.

Das geht sinnvoll nur mit einem Rechenprogramm, also mit Tabellenkalkulationen, programmierbaren Taschenrechnern oder richtigen PC-Programmen bzw. Apps. Die Ergebnisse sind rechnerisch außerordentlich präzise. Zum Vergleich: Das Höhenverfahren kann nur angewendet werden, wenn vorher ein Standort geschätzt wird. Das Verfahren liefert als Ergebnis nicht etwa den Standort, sondern einen Ort, der ein viel besserer Schätzort gewesen wäre. Der Gauß Algorithmus berechnet den Standort exakt und ohne vorherige Schätzung auf den Punkt genau, natürlich nur auf Grundlage der mehr oder weniger sicheren Eingaben. Der zulässige Höhenbereich geht von 10° bis theoretisch 90° ohne Berechnungsfehler, während beim Höhenverfahren bei 70°, andere geben 80° an, Schluss sein sollte.

Unsere Excel-Navigationsdatei soll folgende Funktionen beinhalten:

  • Breitenbestimmung nach Carl Friedrich Gauß (1809)
  • Längenbestimmung als Chronometerlänge (1772 bis 1875, James Cook bis Saint Hilaire)
  • Berücksichtigung einer Versegelung nach Douwes (um 1750)
  • automatische Sextantenbeschickung ab Höhen von 10°
  • Berechnung des Greenwichwinkels Grt und der Deklination \delta
  • übersichtliche Eingabenmaske
  • Standortgrafik

Bei Benutzung dieser Navigations-Datei erfolgt die Sextantenbeschickung automatisch und auch die Sonnenephemeriden werden im Hintergrund berechnet. Wir brauchen also kein nautisches Jahrbuch. Ein Anwender muss nichts von astronomischer Navigation wissen. Das ist auch gut so, denn ein Notfall verursacht Stress und in dem Zustand ist wohl niemand mehr in der Lage, Standlinien zu berechnen, wie er das vielleicht Jahre vorher mal lernen musste. Wir beschränken uns auf das Navigieren mit der Sonne, denn die kann mit keinem anderen Navigationsgestirn verwechselt werden. Einen Sextanten müsste man aber noch handhaben können und auch eine Uhr ablesen. Dann erhält man einen Standort, dessen Genauigkeit nur vom Geschick im Umgang mit diesen Meßgeräten abhängt.

Man könnte meinen, dass ein derartig selbst gemachtes Programm ohne Nautisches Jahrbuch nicht genau rechnet. Doch das ist Unsinn. Das Programm rechnet genauer als das üblicherweise genutzte und weit verbreitete Zweihöhenverfahren nach Saint Hilaire. Ein Standort muss dazu nicht geschätzt werden.

Bild1: Rechnerische Abweichungen eines Standortes mit selbst berechneten Grt und \delta gegenüber einem fehlerfrei berechneten Standort.

Bild 1 zeigt die im Jahr 2021 zu erwartenden rechnerischen Standortabweichungen, die allein auf Abweichungen des Greenwichwinkels Grt und der Deklination \delta zurückzuführen sind. Sie sind niemals größer als eine halbe Meile. Was bedeutet das? Ein guter Navigator bringt es in der astronomischen Standortbestimmung auf einem nicht oder nur wenig schwankenden Deck auf eine Standortabweichung von 2 nm. Nach nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz addieren sich Einzelfehler geometrisch.

(1)   \begin{equation*}F_{ges}^2=F_1^2+F_2^2\end{equation*}

Bei einer Standortabweichung von Fges = 2 nm, die bei einem Fehler in der Berechnung von F1 = 0,5 nm zustande gekommen ist, beträgt danach die Summe aller übrigen Fehler

(2)   \begin{equation*}F_2=\sqrt{2\,nm^2-0,5\,nm^2}=\underline{1,94\,nm}\end{equation*}

Der Rechenfehler von 0,5 nm verursacht also nur einen Fehleranteil von weniger als 5% in der Gesamtabweichung von 2 nm. Andere Fehlerursachen haben im Mix eine viel größere Wichtung. Dieser geringe Anteil sinkt sogar drastisch, sobald die Gesamtabweichung auf Grund anderer Fehler steigt. Ein Berechnungsfehler von 0,5 nm hat demnach keine praktische Bedeutung. Das Höhenverfahren von Saint Hilaire besitzt in der Regel einen noch größeren Rechenfehler, nicht durch fehlerhafte Ephemeriden, sondern durch die Ungenauigkeit einer Standortschätzung. Da mag es vielleicht ein wenig hilfreich sein, wenn die Daten eines amtlichen nautischen Jahrbuchs noch ein klein wenig genauer sind, als die selbst berechneten.

Interessant ist die Welligkeit der gezeigten Kurven. Der höherfrequente Anteil der Welligkeit in der Längenabweichung ist durch die Mondzyklen bedingt. Der niederfrequente Anteil, der in beiden Diagrammen zu beobachten ist, zeigt die Annäherung der Erde auf ihrer jährlichen Umlaufbahn um die Sonne an die großen Planeten, deren Umlauf um die Sonne wegen ihrer großen Masse einige tausende Jahre betragen kann. Diese große Welle, wie im Bild 1 links, werden wir in den nächsten Erdjahren also immer in denselben Monaten beobachten. Als Referenzprogramm diente der Gauß’sche Algorithmus mit Sonnenephemeriden, in denen der Fehlereinfluss von Mond und Planeten herausgerechnet wurde. Weil das einen wesentlich höheren Rechenaufwand erfordert, praktisch aber keine Relevanz besitzt, wurde in dieser Excel Variante darauf verzichtet.

Die Berechnungen selbst sind ziemlich anspruchslos, denn die Formeln liegen ja vor und müssen nur einmal eingegeben werden. Schwieriger ist schon die Gewöhnung an die Notation von Excel. Die hier beschriebene Datei hat nur eine Größe von 62 KB und kann hier als

excel-COP-navigation

heruntergeladen werden. Das Kennwort, das zur Bearbeitung gebraucht wird lautet change. Das Passwort dient nur zum Schutz, damit während der Benutzung keine Formeln mit irgend welchen Werten überschrieben werden. So kann sich jeder die Datei verändern und wenn es nur die Ausblendung nicht benötigter Zellen und Funktionen betrifft, damit auf einem kleinen Display nur noch die zu einer Navigation benötigten Inhalte zu sehen sind. Näheres dazu ist am Ende des Beitrages beschrieben.

 

Eingabenmaske

Wer ein derartiges Projekt plant, sollte als erstes eine Eingabenmaske anlegen, damit er weiß, was alles zu erledigen ist. Ein Beispiel dafür ist im Bild 2 gezeigt. Der größte Arbeitsanteil dürfte dabei auf die Rahmengestaltung und Textformatierung entfallen.

Bild 2: Displayanzeige der Eingabenmaske der Excel Datei excel-cop-navigation

Für Eingaben und Ausgaben wurden fünf Blöcke angelegt. Die Felder mit dem grauem Hintergrund sind nicht geschützt. Wird nämlich das ganze Arbeitsblatt mit einem Passwort geschützt, dann bleiben diese Felder für einzugebende Daten beschreibbar. Alle anderen sind dann nicht mehr beschreibbar und somit vor unbeabsichtigter Veränderung gesichert.
Im obersten Block werden Einstellungen vorgenommen. Indexberichtigungen können für jede Beobachtung getrennt vorgenommen werden. Das ist bei Verwendung von Plastiksextanten von Vorteil, weil diese sehr temperaturabhängig reagieren. Bei Metallsextanten wird in beide Felder die gleiche Zahl eingetragen. Eine Überprüfung, ob die Werte noch aktuell sind, sollte monatlich erfolgen. Auch der Sonnenrand kann für jede Beobachtung extra angegeben werden. Es könnte ja sein, dass für eine der beiden Beobachtungen der obere oder untere Rand der Sonne von einer Wolke verdeckt ist. Mit Standortwahl wird festgelegt, ob man nördlich oder südlich von der Deklinationsbreite segelt. In unseren Breiten und dazu zählt auch der gesamte Mittelmeerraum, steht dort immer ein N.
In den Feldern Messung 1 und Messung 2 werden Datum, Zeit und Sextantenablesung eingetragen. Eine durch Koppelnavigation festgestellte Ortsveränderung in der Zeit zwischen der ersten und den weiteren Beobachtungen wird unter Versegelung eingetragen. Die im Bild 2 vorgenommenen Eintragungen sind als Beispiel zu verstehen, auf das im Folgenden immer wieder mal Bezug genommen wird.

Der Standort wird sofort nach Eintragung von Werten unter Messung 2 berechnet und als Ergebnis angezeigt. Darunterstehend wird auch die Zeit des Schiffsmittags ausgegeben. Diese steht allerdings erst nach einer zweiten Beobachtung zur Verfügung.

Sextantenbeschickung

Ein Wert, der an Gradbogen und Trommel eines Sextanten abgelesen wird ist nicht der Kimmabstand bzw. die beobachtete Höhe. Diese erhält man erst durch Addition von Korrekturwerten, die zum Ausgleich von Kimmtiefe und Refraktion dienen. Weitere Korrekturen betreffen den Ausgleich des unterschiedlichen Durchmessers der Sonnenscheibe, die ist nämlich im Winter größer. Das ist dann die sogenannte Zusatzbeschickung. Außerdem ist eine Korrektur eines Indexfehlers des verwendeten Sextanten erforderlich.

Bild 3: Rechenmodul zur Sextantenbeschickung

Bild 3 zeigt das Sextantenbeschickungs-Modul. Wie in Tabellenkalkulationen üblich, können die Zellen nicht nur Werte, sondern vor allem auch Ergebnisse von Formeln anzeigen. So enthält die Zelle M7 die Formel =G14+H14/60. Das ist die vom Gradbogen abgelesene Gradzahl addiert mit der an der Trommel abgelesenen und durch 60 dividierten Anzahl der Bogenminuten und damit die dezimale Sextantenablesung. Das war jetzt ganz einfach. Zelle M8 sieht schon komplizierter aus:

=16-(55*TAN(BOGENMASS(90-M7))/60-55/1000*(TAN(BOGENMASS(90-M7)))^3/60+
1,777*WURZEL(G8))

Das ist die Summe der folgenden beiden nachstehenden Formeln in Excel Schreibweise, die für eine Gesamtbeschickung gebraucht werden, nämlich

(3)   \begin{equation*}R^\circ=55^{''}\cdot \tan (90^\circ-h) - 0,055^{''}\cdot \tan^3 (90^\circ-h)\end{equation*}

(4)   \begin{equation*}KT^\circ = 1,777\cdot\sqrt{h}\end{equation*}

Diese Summe wird von 16’ subtrahiert, denn das ist der halbe mittlere Sonnendurchmesser. Bei einer Beobachtung wird die Sonne meist mit ihrem Unterrand auf den Horizont gesetzt und nicht mit ihrer Mitte und das muss mit den 16’ berücksichtigt werden. Für die Zusatzbeschickung wird eine Datenbank-Auszugsfunktion gebraucht, denn die zu verwendenden Werte sind in einer Tabelle von R6 bis S18 tabelliert und wir brauchen einen Auszug daraus. Diesen erhalten wir mit der Funktion

DBAUSZUG(Datenbank;Datenbankfeld; Suchkriterien).

Darin ist Datenbank der Zellenbereich der gesamten Tabelle. Datenbankfeld ist die Tabellenspalte, aus der wir einen Wert erhalten wollen, also hier die zweite Spalte. Dort kann man eine 2 eintragen oder den Namen der Tabellenspalte „UR“, der für Unterrand steht. Suchkriterien sind zwei übereinander anzuordnende Zellen, wobei die obere den Namen der Suchspalte angibt und die untere die Suchzeile. Gewählt wurden die zwei Zellen K15 und K16. Darin werden der Spaltenname Monat und darunter die Zeile mit dem Monat angegeben. In die Zelle K16 wird die Formel =MONAT(G12) eingetragen. Dadurch steht dort immer der Monat, in dem die Beobachtung erfolgt. In unserem Beispiel ist es eine 4 für den Monat April, so dass in der Tabelle in der Monatszeile 4 in der zweiten Spalte der Wert 0,0′ als Datenbankauszug gefunden wird.

In den Feldern H6 und H7 konnte angegeben werden, ob die Sonne mit dem Unterrand oder dem Oberrand auf den Horizont gesetzt wurde. Wird der Oberrand benutzt, dann muss der Sonnendurchmesser von 32′ subtrahiert werden. Die Datenbankfunktion muss also mit einer WENN – DANN Funktion verknüpft werden. Das sieht für die erste Beobachtung so aus:

=WENN(H6=„U”;DBAUSZUG(R6:S18;2;K15:K16);
WENN(H6=”O”;-(32+DBAUSZUG(R6:S18;2;K15:K16));#NV))

Für die zweite Beobachtung wird nur H6 gegen H7 ausgetauscht. Die beobachtete Höhe ist jetzt die Summe aller drei berechneten Zellen plus der Indexberichtigung des Sextanten. Das Ergebnis wird in den Zeilen 11 und 13 als Gradmaß und als Bogenmaß ausgegeben. Die Excel-Namen sind hm für gemessene Höhe und den Folgebuchstaben a und b für erste und zweite Beobachtung, also hma und hmb bzw. hma° und hmb°. Die auf diese Weise vorgenommene Sextantenbeschickung stimmt mit den Daten aus den Nautischen Jahrbüchern des BSH aus den vergangenen Jahren ab einer Höhe von 10° bis auf 0,1’ Abweichung überein. Die Variable #NV steht für “nicht verfügbar”, wenn also anstelle von “O” oder “U” irgend etwas anderes eingetragen wurde.

 

Sun Almanac

Wer astronomisch navigiern will, der braucht ein Nautisches Jahrbuch, aus dem er die Position des Bildpunktes des beobachteten Gestirns entnehmen kann. Das sind die Positionen, an denen die Sonne gerade im Zenit steht. Das nautische Jahrbuch wurde in Deutschland vom BSH das letzte Mal für das Jahr 2020 herausgegeben. Damit ging eine alte Tradition zu Ende. Es ist aber kein Hexenwerk, sich diese Daten zumindest für das Navigationsgestirn Sonne selbst zu berechnen. Dazu benötigt man die Bahnelemente des Umlaufs der Erde um die Sonne. Diese sind nach Angaben der Astronomen:

numerische Exzentrizität:         e=0,016709-\frac{0,000042}{36525}\cdot d

Schiefe der Ekliptik:                 \epsilon=23+\frac{26}{60}+\frac{21}{3600}-\frac{46,82}{3600\cdot 36525}\cdot d

Länge des Perihels in Grad:     \varpi=282,94+\frac{1,7192}{63525}\cdot d

mittlere Länge in Grad:            \L=280,4656+\frac{36000,769}{36525}\cdot d

Das sind alles lineare Funktionen der Zeit in der Form y = mx + b. Die Variable d bezeichnet die gebrochenen Tage seit dem 1. Januar 2000 12:00 UT. Eine Angabe von d = 2000,5 sind dann 2000 Tage und 12 Stunden. Damit sind die Zahlen vor dem Bruch bzw. Koeffizienten der Tage die jeweiligen Werte der Erdbahn an diesem Referenzdatum um 12:00 UT. Alle diese Werte ändern sich mit Ausnahme von \alpha_m nur sehr langsam über Jahrzehnte oder Jahrhunderte. Genaueres darüber findet man in der speziellen Literatur. So erreichte damals die Erde den Perihel, die kürzeste Verbindung zwischen Sonne und Erde, nach einem Umlauf von 282,94°, wobei der Startpunkt des Umlaufs der Frühlingspunkt ist. Heute liegt der Perihel in der Umlaufbahn der Erde um 0,365394° weiter.

Bild 4: Modul zur Berechnung der stündlichen Positionen des Sonnenbildpunktes

Die Berechnung erfolgt in zwei Tabellen. In den Feldern K24 und K26 stehen die jeweiligen Stunden, in denen die Beobachtungen erfolgt sind. Die Zahl darunter ist die darauffolgende Stunde. In der d-Spalte stehen die Dezimalwerte der Tage, in denen die Erde seit dem Referenzzeitpunkt 01.01.00 12:00:00 UT unterwegs ist. Die Werte in den folgenden Spalten der oberen Tabelle sind die Lösungen der oben angegebenen Bahngleichungen. Man sieht hier keine Veränderungen, weil die Anzahl der Nachkommastellen dafür viel zu gering ist. Excel arbeitet mit 30 Stellen nach dem Komma, so dass man Unterschiede in den nur fünf ausgegebenen Nachkommastellen nicht erkennen kann.
Die entsprechenden Excel-Formeln in der Zeile 24 mit der darin angegebenen Stunde lauten:

Zeit d:                                   =280,4656+(36000,769/36525)*L24

numerische Exzentrizität e:      =0,0167089-(0,000042/36525)*L24

Schiefe der Ekliptik 𝜖°:             =23+26/60+21/3600-(46,82/3600/36525)*L24

Länge des Perihels in Grad 𝜛°: =282,94+(1,7192/36525)*L24

mittlere Länge in Grad L:         =280,4656+(36000,769/36525)*L24

In den Zeilen 25 bis 27 ist dann in den Formeln L24 gegen L25, L26 und L27 auszutauschen. Dazu sind die Formelfelder zu markieren und nach unten zu ziehen.
Mit Hilfe der unteren Tabelle werden die Positionen des Bildpunktes der Sonne ausgerechnet. In den ersten vier Spalten erfolgen die Berechnunen im Bogenmaß bzw. Radiant (rad: 2𝜋 ≙ 360°). Mrad ist dabei der verkürzte Winkel der mittleren Länge L abzüglich des Perihels. Weil L die Gesamtzahl der seit dem Referenzdatum zurückgelegten Grade vom Frühlingspunkt ausgehend angibt, müssen von der errechneten Differenz so viele Gesamtumläufe der Sonne von jeweils 360° abgezogen werden, bis ein Wert zwischen null und 360 herauskommt. Die Excel Formel lautet dann:

=BOGENMASS((P24-O24)-360*GANZZAHL((P24-O24)/360))

Die Formel für \epsilon_{rad} ist einfach die Bogenmaßangabe für die Schiefe der Ekliptik:

=BOGENMASS(N24)

Lrad ist die mittlere Länge des Sonnenweges im Bogenmaß, wobei auch hier volle Umläufe vorher abzuziehen sind:

=BOGENMASS(P24-360*GANZZAHL(P24/360))

Aus der mittleren Länge erhält man die auf die Äquatorebene projizierte wahre Länge \Lambda_{rad}, indem die Mittelpunktsgleichung C addiert wird. Diese Gleichung beschreibt den Einfluß der Elliptizität der Erdbahn um die Sonne. Man kann C über eine Reihenentwicklung erhalten. (Gl. 8)

=GRAD((2 * M24-M24^3/4+5 * M24^5/96) * SIN(K31)+

(5 * M24^2/4-11 * M24^4/24) * SIN(2 * K31)+(13 * M24^3/12-43 * M24^5/64) * SIN(3 * K31)+

SIN(4 * K31) *103 * M24^4/96+1097 * M24^5 * SIN(5 * K31)/960)

Schließlich erhält man mit g den Betrag der Zeitgleichung für die Stunde des angegebenen Tages in Grad mit (Gl. 10):

=GRAD(ARCTAN((TAN(M31)-TAN(N31)COS(L31))/(1+TAN(M31)TAN(N31)*COS(L31))))

Die Zeitgleichung in Grad ist die Abweichung des Ortes der Kulmination der Sonne vom Nullmeridian. Mit -0,808° und einer Bildpunktgeschwindigkeit von 15°/h ist das ein Zeitgleichungsbetrag von -3,23 Minuten. Jetzt kann der Greenwichwinkel Grt für die angegebe Zeit leicht ausgerechnet werden. Nach Gl. 1, wobei \alpha_m - \alpha = g ist, gilt:

=WENN((15(K24+12)+P31)>360;15(K24-12)+P31;15*(K24+12)+P31)

Die Deklination kann jetzt ebenfalls ganz einfach mit Hilfe der Gl. 2 ausgerechnet werden:

=GRAD(ARCSIN(SIN(BOGENMASS(N24))*SIN(N31)))

Alle in Zeile 31 eingefügten Formeln werden jetzt markiert und bis zur Zeile 34 heruntergezogen. Bei den Ergebnissen handelt es sich zunächst nur um Stundenwerte, wie sie auch im Nautischen Jahrbuch auf den vordern Tagesseiten angegeben werden. Weitere Erläuterungen hierzu finden sich im Beitrag Ephemeridenrechnung.

Bild 5: Rechenmodul zur zeitgenauen Bestimmung von Greenwichwinkel und Deklination

Die sekundengenauen Bildpunktpositionen erhält man nach Interpolation, was in dem Modul nach Bild 5 in den Zellen T22 bis W38 erfolgt. Hierin ist Diff 1 die Differenz des Grt bzw. der Deklination in den vollen aufeinanderfolgenden Stunden, in denen eine Beobachtung erfolgte, also für Diff 1 z. B. in V23:

=R32-R31

Dabei kann es beim Grt zu Überträgen kommen, also Winkeln von mehr als 360°. Dann beginnt der 360° Kreis von vorn und es müssen 360° subtrahiert werden. Auch negative Winkel können entstehen, dann sind 360° zu addieren. Das wird durch die WENN – DANN Funktion unter Diff 2 in der Zelle V24 erledigt:

=WENN(V23<0;V23+360;WENN(V23>360;V23-360;V23))

Aus der angefallenen Zeit in der Beobachtungsstunde wird der sekundengenaue Wert für den Zuwachs errechnet:

=(MINUTE(G13)+SEKUNDE(G13)/60)*V24/60

Dieser wird dann nur noch zum Greenwichwinkel der Startstunde addiert, was den sekundengenauen Grt ergibt:

=R31+V25

Dasselbe erfolgt für beide Beobachtungen  gleichermaßen. Bei der Deklination ist es ein wenig einfacher, weil Diff 2 entfällt. In den Zellen rechts daneben sind die Namen grt und dek mit einem nachfolgenden Buchstaben angegeben und zwar a für die erste Beobachtung und b für die zweite Beobachtung.

Man sieht schon hier, dass mit einem Computer und den richtigen Formeln alles ganz schnell und einfach erledigt werden kann. Ein Nautisches Jahrbuch, mit den Tabellen für die Sextantenbeschickung, den Tagesseiten für die Ephemeriden und den Schalttafel-Seiten entfällt und wird durch kleine tabellarische Berechnungen ersetzt.

 

Peilrichtung

Zu jeder Höhenmessung mit dem Sextanten muss angegeben werden, ob die Sonne in der östlichen oder westlichen Hemisphäre beobachtet wurde. Dadurch wird bestimmt, ob in der Gleichung zur Längenberechnung

(5)   \begin{equation*}\lambda^*=Grt_1\pm\tau\end{equation*}

der Stundenwinkel \tau zum Greenwichwinkel Grt addiert oder von diesem subtrahiert werden muss. Außerdem ist die Kenntnis der Peilung wichtig, damit das Azimut berechnet werden kann, das zur Berechnung einer Versegelung gebraucht wird. In der Zeit um den Schiffsmittag herum dürfte es sogar schwierig werden, die richtige Peilung angeben zu können und das erst recht, wenn die Sonne in südlicheren Gegenden ohnehin schon hoch steht.

Bild 6: Die verschieenen Arten der Sonnenpeilung

Ein Computerprogramm, muss die Peilungen automatisch erkennen können. Beim Gauß’schen Algorithmus sind die Peilrichtungen mit Hilfe zweier Winkeldifferenzen leicht und sicher festzustellen. Bild 6 zeigt das Prinzip. Ein Standort Z kann sich westlich oder östlich der Sonnenmeridiane p1 oder p2 bzw. der Sonnenpositionen X1 und X2 befinden, oder genau dazwischen. Befindet er sich östlich von p1, dann ist die Differenz \sigma-\zeta negativ. Diesen Zustand zeigt Bild 6 mit seiner rechten Darstellung. In der mittleren Darstellung wird die Sonne bei jeder Beobachtung in der östlichen Hemisphäre gesehen, da \alpha-\beta negativ ist. Schließlich zeigt die linke Darstellung den Fall, dass beide Differenzen positiv sind. Die erste Beobachtung erfolgte dann vor dem Schiffsmittag und damit östlich und die zweite nach dem Schiffsmittag und westlich. 
Die Winkel \sigma und \zeta müssen zur Bestimmung der Breite ohnehin berechnet werden, was mit den weiter unten angegebenen Gln. 10 und 11 geschieht und sogar die Differenz \sigma-\zeta steht in AB18 schon zur Verfügung. Zur Berechnung wurden dort die Komplemente benutzt, wie in den Bildern 8 und 9 angegeben, also \cos p1 = \sin (90^\circ -\delta'_1.   Was man gerade benutzt ist eigentlich egal, man muss nur die jeweils richtige Kreisfunktion sin oder cos verwenden.
Die Winkel auf der Westseite \alpha und \beta müssen allerdings noch berechnet werden. Der Formelaufbau bei diesen Winkeln ist derselbe. Man muss hier die der Westseite zugehörigen Variablen benutzen und erhält:

(6)   \begin{equation*}\alpha=arccos\frac{\cos p_1-cos\, p_2\cdot\cos q}{\sin p_2\cdot\cos q}\end{equation*}

und

(7)   \begin{equation*}\beta=arccos\frac{\cos s_1-cos \,s_2\cdot\cos q}{\sin s_2\cdot\cos q}\end{equation*}

In Excel lauten diese Gleichungen:

=ARCCOS((COS(_p1)-COS(_p2)*COS(AB15))/SIN(_p2)/SIN(AB15))        ( für \alpha)

=ARCCOS((COS(_s1)-COS(_s2)*COS(AB15))/SIN(_s2)/SIN(AB15))         ( für \beta)

Bild 7 zeigt den Block zur Bestimmung der Peilrichtungen. In den Zellen W7 und W8 stehen die Kopien der in den Zellen AB16 und AB17 bereits berechneten Winkel. In den Zellen W10 und W11 stehen die beiden vorstehenden Excel-Formeln. Die Zellen W9 und W12 enthalten die Winkeldifferenzen, die mit einem negativen Vorzeichen angeben, dass die Sonne in beiden Beobachtungen westlich (WW) oder östlich (EE) gestanden hatte.

Bild 7: Logiktabelle zur Bestimmung der Peilrichtung aus zwei Beobachtungen

In den Zellen V14 und V15 wird die logische Auswertung vorgenommen. Wenn der Betrag in Zelle W9 positiv ist, dann war die erste Beobachtung östlich. Wenn der Betrag in Zelle W12 positiv ist, dann war die zweite Beobachtung westlich.

Eines gibt es aber noch zu beachten, wenn nämlich die erste Beobachtung vor 00:00:00 UT und die zweite nach 00:00:00 UT erfolgt, dann ist das ein Datumswechsel und der hat eine Besonderheit. Solange der Zeitabstand zwischen den Beobachtungen unabhängig von einem Datumswechsel klein genug ist, z. B. nicht größer als 12 Stunden, dann gelten die in den Zellen V14 und V15 stehenden Angaben. Ist diese Zeitspanne jedoch größer, so dass eine Nacht dazwischen liegt, dann kommt die Sonne am folgenden Morgen im Osten auf. In diesem Fall liegt die Höhengleiche der ersten Beobachtung westlich von der Höhengleiche der zweiten Beobachtung, also genau umgekehrt als normalerweise. Es gelten jetzt die umgekehrten Peilrichtungen. Erst nachdem die Sonne den Standort überholt hat, liegt die Höhengleiche der zweiten Beobachtung wieder westlich von jener aus der ersten Beobachtung vom Vortag.

Obwohl es der Genauigkeit nicht zuträglich ist, Beobachtungen über zwei oder mehrere Tage zu strecken, kann das ausnahmsweise mal nötig werden, wenn sich die Sonne einfach nicht blicken lässt. Das muss dann aber entsprechend berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck wurde der Begriff Zeitdistanz eingeführt, der die Kennung 0 oder 1 annehmen kann und mit dem Wert 1 eine Umkehr der normalen Peilrichtiungen bewirken soll. Es gilt offensichtlich mit BZ1 und BZ2, den Tageszeiten der Beobachtungen:

(8)   \begin{equation*}\text{wenn}\;BZ_2<BZ_1 \vee BZ_2-BZ_1>12\, h, \text{dann Peilrichtungsumkehr}\end{equation*}

Wenn also die angegebene Tageszeit einer zweiten Beobachtung kleiner als die Tageszeit einer ersten Beobachtung ist, was einem Datumswechsel entspricht, dann muss gleichzeitig die Zeitdifferenz zwischen den Beobachtungen 1 und 2 größer als 12 Stunden sein, damit eine Peilrichtungsumkehr erfolgen kann. Ist die Zeitspanne zwischen den Beobachtungen kleiner als 12 h, erfolgt also keine Peilrichtungsumkehr. Die Umkehr der Peilrichtungen gilt solange, bis die Tageszeit eines Folgedatums wieder größer ist, als das Tagesdatum der ersten Beobachtung. In Excel wird dafür folgende Formel eingesetzt:

=WENN(UND(_oz1>_oz2;TG=0);#NV;WENN(UND(_oz2<_oz1;_oz1-_oz2<0,5);1;0))

Darin sind _oz1 und _oz2 die in Excel verwendeten Variablen für die Beobachtungszeiten. Da Excel die Zeit in Bruchteilen eines Tages misst, ein Tag hat also den Betrag von 1 und eine Stunde den Betrag von 1/24, dann sind 12 h als 0,5 Tage angegeben. Die Formel besteht aus zwei Teilen. In ihrem ersten Teil wird mit #NV (nicht verfügbar) ausgeschlossen, dass die Tageszeit einer zweiten Beobachtung einfach kleiner ist als die Tageszeit einer ersten Beobachtung. In der Eingabenmaste im Feld F20 muss in diesem Fall eine Zahl >0 für “plus Tage :” eingegeben werden.

 

Standort

Einer Standortberechnung nach dem Gauß’schen Algorithmus liegt das Dreiecksmodell im Bild 8 zugrunde. Die Strategie besteht in der Berechnung der Seite b, die wegen \varphi=90^\circ-b, das Komplement der Standortbreite ist. Ist \varphi berechnet, dann kann anschließend auch die Länge als Chronometerlänge bestimmt werden.

Bild 8: Dreiecksmodell des Gauß’schen Algorithmus für die Nordhalbkugel.

Grundsätzlich lassen sich die fehlenden Elemente eines jeden Dreiecks berechnen, wenn drei Elemente bekannt sind. Die Strecke b wird also dadurch bestimmt, dass zunächst in dem großen Dreieck X1 X2 N die Seite q zwischen den Sonnen und der Winkel \sigma berechnet werden. Anschließend wird im Dreieck X1 X2 Z der Winkel \zeta ausgerechnet, um daraus mit \sigma-\zeta den Winkel \psi im Dreieck X1 N Z zu erhalten. Danach kann die Seite b und damit die Standortbreite \varphi  bestimmt werden.
Aus der Breite \varphi, dem Stundenwinkel \tau und dem Greenwichwinkel Grt1 kann dann die Standortlänge \lambda berechnet werden.

Die Berechnungen erfolgen in einer Tabelle, die im Bild 9 gezeigt wird. In der Zelle AC6 wird mit dem Unterscheidungsparameter P eine Vereinbarung getroffen. Der Parameter hat den Wert 1, wenn ein Standort nördlich der Deklinationsbreite berechnet werden soll. Bei einem Wert von -1 wird der südliche Schnittpunkt der Höhenkreise aus beiden Beobachtungen berechnet. Der Wert 1 oder -1 wird aus der Eingabe in der Zelle C8 hergeleitet, die “N” oder “S” sein kann. Mit diesem Parameter werden die Deklinationen deka und dekb und ebenso die berechnete Breite multipliziert. Das wirkt dann so, als ob die Erde auf den Kopf gestellt wird.

Die Tabelle hat vier Spalten. In der ersten Spalte stehen die in den mathematischen Gleichungen verwendeten Bezeichnungen. Die zweite Spalte enthält die Gradwerte aller berechneten Komponenten. Diese werden ausschließlich als Umrechnung von den in der Spalte 3 berechneten Werte erhalten. Spalte 3 ist die eigentliche Rechenspalte, in der die Ergebnisse der Gleichungen stehen. Schließlich nennt die vierte Spalte die Rechenvorschrift oder die verwendete Gleichung, mit welcher der Wert in der Spalte 3 berechnet wurde.

Bild 9: Berechnung des Standortes, links ohne Versegelung und rechts nach einer Versegelung

Gemäß der einleitenden Beschreibung sind hintereinander die Werte von q, \sigma, \zeta, (\sigma-\zeta), \psi und schließlich b zu berechnen. Die Seite b des nautischen Dreiecks N Z X1 ist das Komplement der Standortbreite \varphi, woraus dann auch gleich die Standortlänge \lambda berechnet werden kann. Die dazu erforderlichen Formeln lauten:

(9)   \begin{equation*}q=arccos (\cos p_1\cdot\cos p_2+\sin p_1\cdot\sin p_2\cdot\cos \vartheta)\end{equation*}

 

(10)   \begin{equation*}\sigma=arccos\frac{\cos p_2-cos\, p_1\cdot\cos q}{\sin p_1\cdot\cos q}\end{equation*}

und

(11)   \begin{equation*}\zeta=arccos\frac{\cos s_2-cos \,s_1\cdot\cos q}{\sin s_1\cdot\cos q}\end{equation*}

 

(12)   \begin{equation*}\varphi=P\cdot\arcsin\bigr [\sin \delta'_1\cdot\sin h_1+\cos \delta'_1\cdot\cos h_1\cdot\cos (\sigma-\zeta)\bigr ]\end{equation*}

Diese Formeln stehen in der Excel Notation in den entsprechenden Zellen der Spalte 3. Beispielsweise steht in AB19 für die Gl. 12:

=P*ARCSIN(SIN(_dek1)*SIN(hma)+COS(_dek1)*COS(hma)*COS(AB18))

Zur Längenberechnung braucht man jetzt den Stundenwinkel und den Greenwichwinkel. Ist es ein westlicher Stundenwinkel, dann wird er mit dem Greenwichwinkel der ersten Beobachtung addiert. Ein östlicher Stundenwinkel wird vom Grt subtrahiert. Um zwischen Addition und Subtraktion zu unterscheiden, braucht man die Variable dira. Zunächst berechnen wir den Stundenwinkel:

(13)   \begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin h_1-\sin \delta'_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta'_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

In Excel schreibt sich das mit der Breite 𝜑 in AB19 als:

=ARCCOS((SIN(hma)-SIN(deka)*SIN(AB19))/COS(deka)/COS(AB19))

Mit der WENN – DANN Funktion in Excel addieren oder subtrahieren wir diesen Stundenwinkel mit oder von Grt, was dann so aussieht:

=grta+WENN(dira=”E”;1;-1)*AB20

zum Schluss muss diese Länge auf Überträge geprüft werden. Der Wert darf 360° nicht übersteigen und darf auch nicht negativ werden. Im ersten Fall werden 360° bzw. 2\pi subtrahiert und im zweiten Fall 2\pi addiert. Sollte danach das Ergebnis größer als 180° bzw. \pi im Bogenmaß sein, dann sind es Ostlängen. Ist das nicht der Fall, dann sind es Westlängen und die bekommen als Dezimalgrade ein negatives Vorzeichen. Als Excel-Formel sieht das dann so aus:

=WENN(AB21<0;ABS(AB21);WENN(AB21>2*PI();-
(AB21-2*PI());WENN(UND(AB21>PI();AB21<2*PI());2*PI()-AB21;-AB21)))

Wir haben jetzt einen Standort berechnet, ohne zu berücksichtigen, dass zwischen den Beobachtungen eventuell oder in fast allen Fällen sicher eine Ortsveränderung stattgefunden hat. Diese Ortsveränderung heißt Versegelung und sollte in jedem Fall berücksichtigt werden.

 

Versegelung

Die Versegelung muss analytisch bestimmt werden, was nach Douwes durch eine sogenannte Höhenanpassung realisiert wird. Dazu wird die während der ersten Beobachtung festgestellte Höhe der Sonne X1 auf die Höhe des versegelten Standortes hochgerechnet. Das ist dann so, als würde die Sonne, wie sie zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung am Himmel stand, immer noch als eingefrorene Sonne dort stehen. Vom Ort der zweiten Beobachtung aus würde man zwei Sonnen zur gleichen Zeit beobachten können, so als hätte  eine Ortsveränderung gar nicht stattgefunden.

Dazu müssen Kurs und Distanz der Versegelung von einem geeigneten Punkt des Höhenkreises aus der ersten Beobachtung abgesetzt werden. Danach wird der Radius des Höhenkreises so verändert. dass die Kreislinie durch das Ziel der abgesetzten versegelten Strecke verläuft.  Der geeignete Punkt zum Absetzen des sog. Versegelungsvektors ist ohne Zweifel der Punkt, in dem der Azimutstrahl eines dem Standort naheliegenden Ortes die Kreislinie des Höhenkreises kreuzt. Ein naheliegender Ort ergibt sich aus der erstgemessenen Höhe und einer angenäherten Breite. Dazu genügt die Breite \varphi_m, die stumpf aus den beiden gemessenen Höhen bereits errechnet wurde. Das ist eine Breite, die irgendwo zwischen Anfang und Ende der Versegelung liegt. Damit erhalten wir das Azimut über die folgende Gleichung:

(14)   \begin{equation*}Az^*=\cos^{-1}\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi_m\cdot \sin h_1}{\cos \varphi_m\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Das Sternchen weist darauf hin, dass das mit der Gl. 14 berechnete Azimut nur halbkreisig ist.
Nur wenn die Sonne im Osten gepeilt wird, also vor dem Schiffsmittag, dann ist der mit dieser Gleichung berechnete Wert das richtige Azimut. Bei Beobachtung der Sonne im Westen, muss der berechnete Wert von 360° subtrahiert werden, um das richtige Azimut zu erhalten. Die Peilrichtung wurde bereits ermittelt und könnte benutzt werden. Da wir inzwischen die Standortlänge kennen, kann auch der Ortsstundenwinkel LHA zu diesem Zweck verwendet werden. Das ist der Stundenwinkel zwischen Standortlänge und Bildpunktlänge in westliche Richtung zählend. Er ist null, wenn der Bildpunkt den Standort gerade überholt und wächst dann bis auf 360° an, wo der Bildpunkt den Standort am Folgetag zum zweiten Mal überholen wird. Von LHA = 0° bis 180° liegt der Bildpunkt im Westen und danach im Osten. Wir verwenden hier den LHA, den wir auch noch benötigen werden, um die Zeit des Schiffsmittags zu bestimmen. Der LHA wird folgendermaßen ausgerechnet

  • LHA = Grt – westliche Standortlänge
  • LHA = Grt + östliche Standortlänge

Ist bei einer dieser Rechnungen das Ergebnis negativ, dann werden 360° addiert, ist es größer als 360°, dann werden 360° subtrahiert. Damit lautet die Excel Formel für das vollkreisige Azimut:

=WENN(LHA>PI();
ARCCOS((SIN(deka)-SIN(hma)*SIN(AB19))/(COS(hma)*COS(AB19)));
(2*PI()-ARCCOS((SIN(deka)-SIN(hma)*SIN(AB19))/(COS(hma)*COS(AB19)))))

In dieser etwas längeren Formel steckt die Gl. 14 zweimal drin, nämlich in der WENN – DANN Funktion: WENN dira = „E“ ist, dann ist das Azimut = Az* und wenn nicht, dann ist das Azimut 360° – Az*. Gerechnet wird jedoch im Bogenmaß, wo 360° = 2\pi sind und dafür wird in Excel 2*PI() geschrieben. Damit kann die Höhenanpassung jetzt durchgeführt werden. Douwes hat dafür um 1750 folgende Formel angegeben:

(15)   \begin{equation*}h_{1V}=h_1+d\cdot\cos (Az-c)\end{equation*}

Darin ist h1v die Höhe der Sonne X1 am Ort der zweiten Beobachtung. Sie steht in den Zellen AA29 und AB29, im Gradmaß und als Radiant.

Es hilft nichts, die Berechnung von Breite und Länge des Standortes muss ab der Berechnung von \zeta wiederholt werden, wobei anstelle von h1 jetzt die versegelte Höhe h1v zu benutzen ist. Die entsprechenden Formeln lauten dann:

(16)   \begin{equation*}\zeta=arccos\frac{\sin h_2-sin \,h_{1v}\cdot\cos q}{\cos h_{1v}\cdot\sin q}\end{equation*}

(17)   \begin{equation*}\varphi=P\cdot\arcsin\bigr [\sin \delta'_1\cdot\sin h_1_v+\cos \delta'_1\cdot\cos h_1_v\cdot\cos (\sigma-\zeta)\bigr ]\end{equation*}

Diese Formeln stehen in der Excel Schreibweise in der Spalte 3. So steht in AB33 für die Gl. 16:

=P*ARCSIN(SIN(_dek1)*SIN(hmav)+COS(_dek1)*COS(hmav)*COS(AB32))

Zur Längenberechnung braucht man jetzt den versegelten Stundenwinkel. Dafür gilt:

(18)   \begin{equation*}\tau_v=\arccos\frac{\sin h_{1v}-\sin \delta'_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta'_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

In Excel schreibt sich das mit der versegelten Breite \varphi_v  in AB33 als:

=ARCCOS((SIN(hmav)-SIN(deka)*SIN(AB33))/COS(deka)/COS(AB33))

Mit der WENN – DANN Funktion in Excel addieren oder subtrahieren wir diesen Stundenwinkel mit Grt, was dann so aussieht:

=grta+WENN(dira=”E”;1;-1)*AB34

zum Schluss muss diese Länge, wie oben bereits gesagt, auf Überträge geprüft werden.  Als Excel-Formel sieht das dann wie folgt aus:

=WENN(AB35<0;ABS(AB35);WENN(AB35>2*PI();-(AB35-2*PI());
WENN(UND(AB35>PI();AB35<2*PI());2*PI()-AB35;-AB35)))

Mit diesem teilweisen doppelten Durchlauf durch den Algorithmus von Gauß hat ein Computer überhaupt keine Mühe. Möglichkeiten zur Vermeidung existieren zwar, machen aber bei einer programmierten Anwendung keinen Sinn.

 

Schiffsmittag

Der Ortsstundenwinkel LHA wurde bereits berechnet. Das ist der Längengradunterschied vom Standortmeridian in westliche Richtung gehend bis zum Meridian des Bildpunkts. Rechnet man 360° – LHA, dann ist das umgekehrt der Längengradabstand, den die Sonne bis zum Schiffsort noch hat. Teilen wir diesen Wert durch 15°/h, dann ist das die Zeit, bis der Bildpunkt den Schiffsort erreicht. Diese Zeit des Durchgangs der Sonne durch den Standortmeridian ist der Schiffsmittag. Man muss an Bord also immer (360° – LHA)/15° Stunden warten, bis Schiffsmittag ist. Daraus folgt dann, dass die Zeit des Schiffsmittags die aktuelle Uhrzeit plus dieser Wartezeit ist.

Mit Zeiten kann in Excel unterschiedlich kompliziert umgegangen werden. Weil dort per Definition 24 h = 1 d (Tag) sind, kann eine Tageszeit ganz einfach auch als Dezimalzahl formatiert werden. So steht in unserem Beispiel in der als Zeit formatierten Zelle G13 der Wert 10:12:08, die Zeit der ersten Beobachtung. Jetzt könnte man einfach diese Zelle per Mausklick auswählen und als Standardzahl formatieren (rechte Maustaste – Zellen formatieren … – Zahlen – Standard). Dann steht in dieser Zelle die Zahl 0,42509. Das ist ebenfalls eine Zeitangabe und bedeutet 0,42509 d.

Bild 10: Nach Auswahl einer Zelle kann deren Inhalt durch Drücken der rechten Maustaste formatiert werden

Wollen wir die Wartezeit bis zum Mittag haben, dann müssen wir rechnen: (380 – LHAa)/15/24 = 0,04107272 d. Die zusätzliche Division durch 24 macht aus den Stunden Tage. Jetzt wird einfach die Beobachtungszeit von 0,42509 d addiert und wir erhalten 0,4661653 d. Daran anschließend wird die Zelle als Zeit formatiert und zeigt uns 11:11:17. Das ist die Zeit des Schiffsmittags in UTC. In Excel und in unserem Beispiel gilt also die Formel für die Mittagszeit am Schiffsort:

=(360-LHA)/15/24+_oz1

Man kann den Schiffsmittag auch mit folgender Formel aus der zweiten Beobachtung berechnen und erhält:

=(360-LHAb)/15/24+_oz2

Hierin sind _oz1 und _oz2 die jeweils benutzten Beobachtungszeiten und LHAa bzw. LHAb, die zugehörigen Ortsstundenwinkel. Standardmäßig erhält man eine Dezimalzahl. Diese muss dann formatiert werden. Dazu: rechte Maustaste – Zellen formatieren … – Zahlen – Uhrzeit und dann die Auswahl “13:30:55” anklicken.

 

Namen und Formelzeichen

Die Symbole aus der Mathematik können nicht einfach in Excel übernommen werden. Beispielswese wird die Höhe aus zweiter Beobachtung in einer mathematischen Gleichung als h2 bezeichnet. Excel versteht darunter jedoch die zweite Zeile in der Spalte H. So muss man für fast alle mathematischen Symbole Excel-Namen festlegen und diesen dann bestimmte Zellen zuweisen. So kann man in den Zellenfunktionen einfach diese Namen verwenden und muss die Bezüge zu diesen Zellen nicht mehr als absolut definieren. Eine Aufstellung der Namen, Symbole, Bezeichnung und den Zellbezug der hier beschriebenen Navigationsdatei ist in der nachstehenden Tabelle aufgeführt.

 

Name in Excel math. Symbol Bezeichnung Zelle
_c c distance made good H17
_d d course made good C17
_dek1 d’1 P x Deklination 1. Beobachtung AB8
_dek2 d’2 P x Deklination 2. Beobachtung AB9
_oz1 t1 Zeit der ersten Beobachtung G13
_oz2 t2 Zeit der zweiten Beobachtung G21
_p1 p1 Distanz Sonne 2 bis Pol AB10
_p2 p2 Distanz Sonne 1 bis Pol AB11
_s1 s1 Zenitabstand erste Beobachtung AB12
_s1v s1v Zenitabstand erste Beobachtung nach Versegelung AB30
_s2 s2 Zenitabstand zweite Beobachtung AB13
aza Az Azimut zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung B26
azb Azimut zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung AB39
deka d1 Deklination 1. Beobachtung W29
dekb d2 Deklination 2. Beobachtung W38
Dgrt 𝜗 Differenz der Greenwichwinkel in Grad V9
dira Richtung der zweiten Beobachtung (E oder W) X9
dirb Richtung der ersten Beobachtung (E oder W) X10
grta Grt1 Greenwichwinkel 2. Beobachtung W28
grtb Grt2 Greenwichwinkel 1. Beobachtung W237
H H Kreisabschnitt v10
hma h1 Höhe aus erster Beobachtung M13
hma° h2 Höhe aus erster Beobachtung M11
hmav h1v angepasste Höhe aus erster Beobachtung nach Versegelung AB29
hmb h2 Höhe aus zweiter Beobachtung O13
hmb° h2 Höhe aus zweiter Beobachtung in Grad O11
LHAa LHA1 Ortsstundenwinkel aus ersiter Beobachtung AA29
LHAb LHA2 Ortsstundenwinkel aus zweiter Beobachtung AA40
P P Unterscheidungsparameter AC6
Ra s1 Zenitabstand erste Beobachtung in Grad V6
Rb s2 Zenitabstand zweite Beobachtung in Grad V7
Rmax größter Zenitabstand in Grad V8
t 𝜗 Differenz der Greenwichwinkel AB14
vb vl versegelte Breite Grafik O5
vl vb versegelte Länge Grafik O6

 

Zusatzinformationen

Beim praktischen Gebrauch dieses Tools muss niemand mehr wissen, was die Begriffe Deklination, Greenwichwinkel oder Ortsstundenwinkel bedeuten.

Bild 11: Tabelle mit Zusatzinformationen

Ebenso unwichtig ist es zu wissen was ein Azimut ist oder worin der Unterschied zwischen der Sextantenablesung und einer beobachteten Höhe besteht. Trotzdem werden diese Werte in einer kleinen Tabelle ausgegeben, die im Bild 12 dargestellt ist. Für den einen oder anderen ist es vielleicht interessant, wenn er diese Daten zu sehen bekommt.

Die Angaben in dieser Tabelle erfolgen alle, genau wie bei der Ergebnisanzeige in den Zellen C25 bis H25, in Grad  und Minuten. Diese Angaben werden aus dem errechneten Dezimalgrad gewonnen. Dieser kann wie bei der Deklination in Zelle V29 der Beispieldatei 5,477° betragen. Ganzzahlige Grade erhält man in Excel nicht mit der Funktion GANZZAHL(). Die liefert für 5,477 die Zahl 4 und für -5,477 die Zahl -5. Man muss also in der Zelle C31 die Funktion

=ABRUNDEN(V29;0)

benutzen, um den Betrag des Dezimalwinkels zu erhalten. Die Null hinter dem Semikolon bedeutet null Nachkommastellen. Diese Formel würde bei einer Deklination von -5,477° den ganzzahligen Wert mit -5 liefern. Soll anstelle des negativen Vorzeichens die entsprechende Himmelsrichtung W oder S in Anwendung kommen, dann muss das Vorzeichen durch Anwendung der Funktion ABS(x) vermieden werden. Die Minutenangabe erhält man in jedem Fall über die folgende Formel:

=(ABS(V29)-ABS(C31))*60

Der Nachkommabetrag wird also mit 60 multipliziert und das sind dann die Minuten.

 

Warnmeldungen

Manchmal kann es unbeabsichtigt zu Falscheingaben kommen. Wird das nicht sofort erkannt, dann kann es schon eine Menge Zeit rauben, bis der Fehler gefunden wird. Fehlerausschriften  können hier ganz hilfreich sein. Wenn bei der Standortwahl statt N oder S fälschlicherweise W oder E eingegeben wird, dann erscheint im Feld C9 die Warnausgabe “N oder S eingeben“. Wird ein falscher Sonnenrand eingegeben, so z. B. H oder L dann erscheint im Feld H5 das wort “ERROR“. die Excel Formeln für diese Zellen lauten für die Zelle C9:

=WENN(ODER(C8=”N”;C8=”S”);” “;”N oder S eingeben”)

und für die Zelle H5:

=WENN(ODER(UND(H6=”O”;ODER(H7=”O”;H7=”U”) );

UND(H6=”U”;ODER(H7=”O”;H7=”U”) ))=WAHR;” “;”ERROR”)

Weitere Fehlerausschriften gibt es auch, wenn eine Uhrzeit falsch eingegeben wurde.

 

Grafik

Der Gauß’sche Algorithmus liefert als Ergebnis nur die Standortkoordinaten als Zahlen. Wenn man eine Grafik haben möchte, dann müsste man den errechneten Standort mittels zusätzlicher Software als Schiffsymbol in eine elektronische Vektorkarte übertragen, so wie das in der Satellitennavigation gemacht wird. In Excel kann man leider keine Karte einbringen. Da gibt es nur die Möglichkeit, Grafiken in kartesischen Koordinaten darzustellen. Aber auch das kann interessant sein. Für die Grafik wurde ein zweites Arbeitsblatt verwendet. Die Datei besteht also aus zwei Arbeitsblättern “Navigation” und “Grafik” zwischen denen links am unteren Bildschirmrand umgeschaltet werden kann.

Eine Grafik kann erzeugt werden, indem unter Verwendung aller Höhen, also der Höhen aus beiden Beobachtungen und der durch Versegelung angepassten Höhe und Variation der Breite um die Standortbreite herum Stücke der Höhenkreise berechnet werden. Dazu werden in einer Wertetabelle für jede Breite die zugehörigen Längen unter Verwendung der entsprechenden Höhen berechnet und in ein kartesisches zweidimensionales Diagramm gebracht. Nachteilig ist, dass dabei die Nord-Süd Achse nur horizontal dargestellt werden kann. Das Diagramm ist also um 90° nach rechts gekippt.

Bild 12: Grafiken aus dem Beispiel, von links nach rechts eingestellter Breitenbereich: 1°, 5°, 30°

In den Grafiken nach Bild 12 wurden verschiedene in der Datei einstellbare Breitenbereiche gewählt. Man kann deutlich sehen, dass der Algorithmus keine Standlinien verwendet, sondern direkt mit den Höhenkreisen arbeitet. Nur im rechten Bild könnte man annehmen, dass Standlinien im Spiel sind. Die Abschnitte der Kreislinien sind nur zu kurz, um eine Krümmung mit bloßem Auge erkennen zu können. Diese Tatsache war im 19. Jahrhundert der Anlaß mit geraden Standlinien zu arbeiten. Erst dadurch konnte erfolgreich astronomisch navigiert werden, weil das jetzt auf grafischem Wege möglich wurde.

Bild 13: Wertetabelle zur Darstellung der Höhenkreise

Die verschiedenen Farben bedeuten grün unterbrochen für die erstgemessene Höhe, grün für die versegelte (angepasste) Höhe und rot für die Höhe in der zweiten Beobachtung. Der schwarze Pfeil gibt den curse made good und die distance made good für die Versegelung an, ist also der Versegelungsvektor.

Damit eine derartige Grafik entstehen kann, muss eine Wertetabelle erstellt werden. Für diese Wertetabelle muss der Rechner um ein Vielfaches mehr rechnen, als für die gesamte auf dem ersten Arbeitsblatt gezeigte Standortberechnung. Den Aufbau der Wertetabelle zeigt Bild 13. Ganz oben werden in einer kleinen Tabelle einige Basiswerte errechnet bzw. zusammengestellt. Das Vorgehen soll nicht näher kommentiert werden, da die verwendeten Formeln in der Datei eingesehen werden können. Nur soviel: Aus den Angaben von Kurs und Distanz müssen die versegelten Breiten und Längen in den möglichen Quadranten gefunden werden. In der Haupttabelle werden unter P wie Polwinkel zunächst die Stundenwinkel berechnet und daraus erst die Längen. Würde man gleich die Längen berechnen, dann wären die Excel Formeln dafür sehr sehr lang. Die Variable #NV erscheint, wenn ein Polwinkel nicht lösbar ist, weil die ARCUS-Funktion größer als 1 ist. Das kann hier passieren, wenn der Polwinkel für eine Breite ausgerechnet werden soll, die größer als die Breite ist, die einen Höhenkreis nördlich oder südlich tangiert. In diesem Fall werden die gekennzeichneten Zellen einfach nicht angezeigt. Unterbleibt diese Maßnahme, dann springen die Kurven für einen nichtlösbaren Bereich auf null, was optisch sehr unschön ist.

 

Arbeitsblätter schützen

Nachdem die Datei fertiggestellt oder einige Änderungen erfolgreich angebracht wurden müssen die Arbeitsblätter geschützt werden. Das dient nicht der Geheimhaltung. sondern vielmehr dem Schutz der Datei vor einem selbst. Schnell ist in einer ungeschützen Datei der Inhalt einer Zelle überschrieben, die eine wichtige Formel beinhaltete. Die ist dann weg. Vor dem Blattschutz muss ausgewählt werden, welche Zellen nach einem Blattschutz beschreibbar bleiben sollen, denn man muss ja Datum, Uhrzeit, Sextantenablesung usw. eingeben können.

In der Beispieldatei sind das alle in der Eingabenmaske im Bild 2 grau hinterlegten Zellen und auf dem Arbeitsblatt Grafik die Zelle F3 zur Eingabe eines darzustellenden Breitenbereichs. Die nicht zu schützenden Zellen werden zunächst alle ausgewählt. Dann mit dem Cursor auf einer der ausgewählten Zellen die rechte Maustaste klicken und “Zellen formatieren” wählen. Im darauf erscheinenden Fenster “Schutz” wählen und die Haken in “Gesperrt” und “Ausgeblendet” entfernen. Das Fenster dann mit OK verlassen und die Datei speichern.

Zum Schutz eines Arbeitsplattes wird das Drop Down Menü “Überprüfen” aufgerufen und darin das Symbol “Blatt schützen”. In dem daraufhin erscheinenden Auswahlfenster muss ein Kennwort eingegeben und in der Zeile darunter wiederholt werden. Außerdem kann ausgewählt werden, welche Elemente geschützt werden sollen. Hier genügt ein Haken bei “Nicht gesperrte Zellen auswählen”.

Aus optischen Gründen sollten vor dem Schutz im Arbeitsblatt “Navigation” die Spalten J bis AD ausgewählt und ausgeblendet werden. Dazu mit rechter Maustaste in den ausgewählten Bereich klicken und “ausblenden” wählen. Dasselbe sollte im Arbeitsblatt “Grafik” mit den Spalten I bis S  gemacht werden. Schließlich kann man unter “Ansicht” Gitternetzlinien, Überschriften, Bearbeitungsleiste und das Menüband entfernen. Nach Verkleinern der Arbeitsblattfläche, die man jetzt bildfüllend anzeigen kann, ist nicht mehr viel übrig, als das Bedienmenü mit den Ein- und Ausgaben. Diese Datei kann nach dem Abspeichern auf das Handy oder Tablet geladen und praktisch dort verwendet werden. Voraussetzung ist, dass auf dem Mobilgerät die Excel App installiert ist. Die ist kostenlos (nicht Excel 365), wenn man einen kostenlosen Microsoft Account hat.

Zur Standortbestimmung ist nichts weiter nötig, als Datum, Uhrzeit und Sextantenablesung zweier Beobachtungen der Sonne einzugeben. Durch Eingabe der Versegelung wird die Genauigkeit erheblich besser. Diese sollte man durch Kopplung zwischen den Beobachtungen ermitteln. Die Grundeinstellungen dürften auch kein Problem darstellen. Die Augeshöhe ist von der Standhöhe auf dem Boot abhängig. Ob man nördlich oder südlich der Deklinationsbreite segelt wird wohl jeder wissen. Die Indexberichtigung findet man durch Beobachtung des Horizonts, wobei in den Strahlengang des Indexspiegels das schwächste Filter eingeschwenkt wird. Man sieht dann zwei übereinanderliegende Horizonte, die mit der Mikrometerschraube in Deckung zu bringen sind. Der Wert der danach abgelesen werden kann ist der Indexfehler. Einzutragen ist die Berichtigung dieses Fehlers, also sein negativer Wert. Doch das ist die einzige Rechenaufgabe, die bei der Verwendung dieses Tools noch gemacht werden muss – eine Vorzeichenumkehr.

 

Was noch zu sagen wäre

Mit diesem “Programm” im Handy und einem billigen Plastiksextanten kann sich keiner auf See verfransen, sollte das GPS mal nicht verfügbar sein. Rechnen und Zeichnen muss man nicht, einen Gissort braucht man nicht, der integrierte Sun-Almanac ersetzt das nautsche Jahrbuch für die nächsten 100 Jahre und einen Lehrgang braucht man schon gar nicht.

Excel ist ein Microsoft Office Programm, das fast jeder auf seinem heimischen Computer hat. Viele haben da noch gar nicht reingeschaut und kennen ihr Excel gar nicht, dessen Arbeitsweise der eines programmierbaren Taschenrechners ähnelt. Ein fertiges Excel-Sheet kann sich jeder auf sein Smartphone oder Tablet herunterladen, was dann ein kostenloses Navigations-Backup ist, okay  man braucht noch einen Sextanten. Noch komfortabler ist natürlich eine  Navigations-App, die auf Grundlage des Gaußschen Algorithmus arbeitet.


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