Die Sonne am Himmel

Die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne

 

Astronavigation ist kein Hexenwerk. Im Gegenteil beruht sie auf einfachen geometrischen Zusammenhängen. Die sind uns im Allgemeinen nicht gleich verständlich, weil wir ihnen in unserem täglichen Leben nicht überall begegnen. Außerdem denken wir meist nur zweidimensional. Mit dem Grundriss einer Wohnung oder eines Gartengrundstücks kommen wir sofort zurecht. Ebensowenig macht uns das Lesen einer Straßenkarte oder auch einer Seekarte keine Schwierigkeiten, sofern diese unsere gewohnte zweidimensionale Gegend abbilden.
Komplizierter, aber nicht kompliziert wird es, wenn wir die Dinge nicht direkt sehen und wir sie uns auch noch dreidimensional und in ständiger Bewegung vorstellen müssen. Um auch das zu begreifen hat die Mathematik Regeln geschaffen. In der Astronavigation ist das nicht mal viel. Bei genauem Hinschauen reduziert sich alles auf nur eine einzige Formel und ein Modell. Wer das erkennt, der hat dann auch mit der Theorie der Astronavigation kein Problem mehr.
Wir wollen uns nur auf das Wesentliche beschränken. Wir betrachten deshalb auch nur die Erdoberfläche und überlassen den Himmel den Astronomen. Nur um den Aufbau des Nautischen Jahrbuchs besser zu verstehen, betrachten wir auch die Himmelsmechanik von Sonne und Erde. In allen Beiträgen steht die Navigation mit der Sonne im Vordergrund. Natürlich kann mit allen Himmelskörpern navigiert werden und früher war das selbstverständlich. Doch heute gibt es Techniken, mit denen auch der Yachtskipper aus dem Stand der Sonne mehr herauholen kann.  

1 Bildpunkt und Höhengleiche

In der terrestrischen Navigation verwenden wir zur Orientierung die in den Seekarten eingezeichneten bekannten Positionen von Türmen, Gebäuden oder Bergen. Auf hoher See stehen uns diese nicht zur Verfügung. Dafür haben wir dort die Sterne und tagsüber die Sonne. Die Positionen der Gestirne sind jedoch nicht fest und was ist überhaupt die Position eines Gestirns? Die Gestirne stehen doch am Himmel und sind praktisch unendlich weit entfernt. Wie sollen da Positionen auf der Erde angegeben werden können, wie z. B. die Position eines Leuchtturms? Wie bekommt man also eine Position von der Sonne auf die Erdoberfläche?
Die Lösung ist der Bildpunkt. Das ist der Punkt, an dem eine gerade Linie zwischen dem Erdmittelpunkt und dem Mittelpunkt eines Gestirns, in unserem Fall der Sonne, die Erdoberfläche durchbricht. Es ist genau der Ort, an dem die Sonne gerade im Zenit steht.

Bild 1: Bildpunkt und Höhengleiche

Erschwerend ist jedoch, dass dieser Punkt infolge der Erdrotation mit Überschallgeschwindigkeit von Ost nach West rast. Terrestrische Orientierungspunkte bleiben im Gegensatz dazu immer am selben Ort. Eine zusätzliche und ganz wichtige Komponente bei der astronomischen Navigation ist also die Zeit. Die Position eines Bildpunktes gilt nämlich nur für einen Augenblick, praktisch nur für eine Sekunde.

Der Navigator beobachtet die Sonne selten im Zenit, sondern sieht sie vielmehr in einer bestimmten Höhe h über dem Horizont. In dieser Höhe, die auch als Horizontabstand bezeichnet wird, würde die Sonne in derselben Sekunde von allen Beobachtern gesehen werden können, die sich auf der im Bild dargestellten grünen Linie befinden. Diese Linie hat deshalb den bezeichnenden Namen Höhengleiche. Im englischen wird sie Circle of Position (Positionskreis) genannt, weil die Position unseres Schiffes irgendwo, aber genau auf dieser Kreislinie sein muss. Auf einem Globus und damit auf der Erdoberfläche wäre die Linie kreisrund mit dem Bildpunkt als Mittelpunkt.

Wir machen jetzt ein Gedankenexperiment. Wir sind auf Sizilien und sehen die Sonne bereits im Westen. Ihr Bildpunkt befindet sich, wie auf dem Bild gezeigt, schon im Atlantik. Die Sonne wandert weiter nach Westen, ihr Bildpunkt entfernt sich von uns und ihre sichtbare Höhe h nimmt ab. Wir können uns leicht vorstellen, dass der Positionskreis dadurch immer größer wird. Bald geht er sogar über den Nordpol hinweg. Größer als der Erddurchmesser kann er jedoch nicht werden und das ist dann der Punkt, wo die Sonne zur Hälfte im Meer versunken ist.

Bild 2: Die Höhe h der Sonne beträgt 90°, wenn sie im Zenit steht. Wenn die Höhe h = 0 ist schaut sie nur noch halb über dem Horizont hervor. Die Sonnenhöhe kann also um 90° variieren und das ist ein Viertel des Erdumfangs von 360°. Der Zenitabstand  s = 90° – h ist damit die Entfernung zwischen Beobachter und Bildpunkt.

Wir stellen fest, dass sich der Bildpunkt der Sonne unter unseren Füßen befinden würde, wenn sie gerade im Zenit stände und dann hätte der Positionskreis einen Durchmesser von null. Sobald die Sonne von uns aus gesehen im Meer versinkt, hat der Durchmesser des im Bild grünen Positionskreises den Erdumfang angenommen. Von uns bis zu seinem Mittelpunkt und immer der Erdkrümmung entlang ist es dann genau die Strecke eines Viertels des Erdumfangs, also 90 Grad. Daraus leiten wir eine sehr wichtige Erkenntnis ab. Zwischen Bildpunkt und Höhe der Sonne über dem Horizont besteht ein enger Zusammenhang.
Dieser wird im Bild 2 noch deutlicher. Die Sonnenstrahlen fallen überall auf der Erde parallel ein, an unserem Standort wie auch in Richtung Erdmittelpunkt. Ein Viertel des Erdumfangs von 90° ist auch genau der Winkel zwischen Horizont und Zenit. Diesen Winkel kann man aufteilen in Horizontabstand h, und Zenitabstand s. Bild 2 zeigt, dass die Entfernung von uns bis zum Bildpunkt gleich dem Zenitabstand ist. Wir können den Zenitabstand nicht direkt messen, weil der Himmel im Zenit keine Markierung hat. Wir können aber den Horizontabstand messen und wenn wir diesen von 90° subtrahieren, dann haben wir den Zenitabstand. Man sagt dazu, dass der Zenitabstand das Komplement des Horizontabstandes ist.

 

2 Das Nautische Jahrbuch

Wir haben festgestellt, dass sich die Position des Bildpunktes der Sonne mit Jetgeschwindigkeit ändert und somit die jeweilige Position durch die Zeit bestimmt wird. In der Tat muss man tatsächlich für die 31 536 000 Sekunden, die z. B. ein Schaltjahr hat, auch genauso viele Bildpunkt Positionen angeben, um mit dem Stand der Sonne navigieren zu können und die findet man in einem Nautischen Jahrbuch NJ.

Positionen werden allgemein als Winkel für Breite und Länge angegeben, z. B. 45° 55,71′ N 014° 21,85′ E. Diese Aufteilung der Erdoberfläche in 180 östliche und 180 westliche Grade stammt aus der Antike und ist tatsächlich schon 2200 Jahre alt. Der Bildpunkt der Sonne und auch die der anderen Himmelskörper, umkreisen die Erde aber nur in einer Richtung von Ost nach West. Deshalb wurde für Bildpunktpositionen eine etwas andere Art der Positionsfestlegung vereinbart.

In einem Nautischen Jahrbuch finden wir dafür die Bezeichnungen Grt und \delta. Hierbei ist Grt die Bildpunktlänge. Im Englischen lautet die Bezeichnung GHA (Greenwich Hour Angle). Es ist ein sogenannter Stundenwinkel, der vom Nullmeridian aus in westliche Richtung gehend bis zu 360° einmal um die Erde zählt. Eine Unterscheidung in Ost und West gibt es dabei nicht. Ein Grt von 350° liegt folglich auf dem Meridian von Hamburg, der etwa 10° E zählt. Der Name Greenwichwinkel sagt aus, dass die Zählung dieses Winkels bei dem Meridian beginnt, der durch die Sternwarte von Greenwich läuft. Dieser Meridian ist der sogenannte Nullmeridian. Seine Festlegung ist willkürlich. Für die Franzosen ging er auch schon mal durch Paris. Im Jahre 1884 wurde der durch Greenwich verlaufende Meridian als Basis des internationalen Koordinatensystems festgelegt. Zur Auswahl standen damals insgesamt fünf Orte auf der Welt. Allerdings brachten neuere Messungen zutage, dass der Nullmeridian 102 m östlich an der Sternwarte vorbeiläuft.

Die Bildpunktbreite δ wird als Deklination bezeichnet. Manchmal findet man dafür auch den Begriff Abweichung. Im Nordsommer, dem Sommer auf der Nordhalbkugel, beträgt die maximale Deklination etwa 23,44° und im Nordwinter etwa -23,44°. Von einem Wert zum anderen braucht die Sonne ein halbes Jahr. Die Deklination ändert sich also nur langsam. Zur Navigation sind deshalb auch nur Minutenwerte erforderlich, um genaue Positionen ausrechnen zu können.

Zur Angabe der Bildpunktpositionen im NJ gibt es für jeden Tag eine Seite. In der oberen Hälfte links findet man die stündlichen Positionswerte der Sonne. Für die Minuten und Sekunden einer Beobachtungszeit findet man am Ende des Buches sog. Schalttafeln. Der dort gefundene Zuwachswert für Grt bzw. VB-Wert für δ muss jeweils addiert werden. Das Ergebnis ist die sekundengenaue Position des Bildpunktes der Sonne zum gegebenen Zeitpunkt.  

Obere Halbseite eines nautischen Jahrbuches. Die untere Halbseite enthält die Ephemeriden der Planeten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.

Die Positionen in jeder Sekunde eines Jahres sind nicht gleich mit denen derselben Sekunde des nächsten Jahres. Das liegt schon daran, dass unser Kalender nicht genau auf ein Jahr passt und wir deshalb sogar gezwungen sind alle vier Jahre einen Schalttag einzubauen. Doch auch alle vier Jahre sind die Positionen nicht gleich, wie die nachstehende Tabelle zeigt.

1. Jan – 00:00:00 UT1 Schaltjahr plus 1 plus 2 plus 3
          2020 179° 13,7′ 179° 8,5′ 179° 10,5′ 179° 12,1′
          2024 179° 13,8′ 179° 8,4′ 179° 10,0′ 179° 11,9′
          2028 179° 13,5′ 179° 8,0′ 179° 9,9′ 179° 11,6′
          2032 179° 13,5′ 179° 8,4′ 179° 10,1′ 179° 12,0′
          2036 179° 13,6′ 179° 8,1′ 179° 10,1′ 179° 11,8′

Die Tabellenwerte geben den Greenwichwinkel Grt um 00:00:00 UT1 an. Der Ort liegt an der Datumsgrenze in der Nähe der Fidschi Inseln. Die Schwankungen betragen etwa 0,5′, was auch etwa 0,5 nm sind. Für den Notfall könnte man also im Abstand von jeweils vier Jahren mit demselben NJ navigieren. Besser ist es jedoch, immer das aktuelle NJ zu benutzen.  

 

3 Die Zeitgleichung

Die Sonne überquert den Greenwicher Nullmeridian nicht täglich genau um 12:00:00 UT1, sondern etwas davor oder danach. Die Zeit 12:00:00 UT1 ist genaugenommen nur ein Jahresmittelwert. Die genaue Zeit des Durchgangs durch den Nullmeridian wird Transitus T genannt und ist für jeden Tag des Jahres im NJ unterhalb der Sonnenspalten Grt und δ vermerkt. In dem vorstehend gezeigten Auszug aus dem NJ steht unten links T: 11:57. Die Sonne überquert an diesem Tag den Nullmeridian 3 Minuten früher als im Jahresmittel. Ursache dafür ist die Zeitgleichung und die hat zwei Ursachen, mit denen wir uns nun befassen wollen.  

3.1 Elliptizität der Erdbahn

Die Erde bewegt sich auf einer elliptischen Bahn um die Sonne, die in einem Brennpunkt der Ellipse steht. Die Ebene der Ellipse ist die Ekliptik. Die Erdachse steht gegenüber der Ekliptik um 23,44° schräg. Wenn auf der Nordhalbkugel Winter ist dann befindet sich die Erde in Sonnennähe und hat der Sonne aufgrund der Schrägstellung ihrer Achse die Südhalbkugel zugewandt. Im Winter ist die Sonnenscheibe wegen ihrer Nähe auch optisch größer. In Sonnennähe muss die Erde eine größere Fliehkraft aufbringen, bewegt sich dort also mit höherer Geschwindigkeit. Mit dem zweiten Kepplerschen Gesetz wird dieser Zusammenhang genauer beschrieben.

Bild 3: Die Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne. Zwischen zwei Mittagen (2-3) muss sie sich etwas mehr als nur einmal um ihre Achse drehen (Quelle: Wikipedia Commons).

Im Nordsommer ist die Erde am weitesten von der Sonne entfernt. Ihre sichbare Scheibe ist kleiner und ihre Bahngeschwindigkeit geringer. Aufgrund der konstanten Schrägstellung ihrer Achse gegenüber den Fixsternen ist jetzt die Nordhalbkugel der Sonne zugewandt. Unser Zeitverständnis resultiert aus der Erdrotation. Der Bildpunkt der Sonne umkreist die Erde täglich einmal in 24 Stunden. So entnehmen wir das jedenfalls aus dem NJ.

Wird die Erdrotation in Gedanken angehalten, dann bewegt sich die Erde nur auf ihrer Bahn einmal um die Sonne und der Bildpunkt würde die Erde nur einmal im Jahr umrunden. Da die Erde jedoch rotiert, muss diese eine Umrundung auf alle 365 Tage aufgeteilt werden. Bild 3 zeigt, dass die Erde nach jeder Umdrehung um sich selbst gleichzeitig auf ihrer Bahn ein Stück weitergekommen ist. Derselbe Meridian, auf dem sie am Vortag kulminierte, zeigt dann nicht mehr auf die Mitte der Sonnenscheibe. Die Erde muss bis zur Kulmination auf dem Vortagsmeridian etwas weiterdrehen.

Die Zeit, in der sich die Erde um 360 Grad dreht wird als Sternzeit bezeichnet. Sternzeit plus Nachdrehzeit bis zur Kulmination der Sonne auf dem Vortagsmeridian ist die Sonnenzeit. Diese ist aber nicht konstant 24 Stunden, weil die Erdbahn eine Ellipse ist. In Sonnennähe ist die Erde auf ihrer Umlaufbahn schneller. Sie muss dann recht viel nachdrehen. In Sonnenferne, im Nordsommer ist die Bahngeschwindigkeit geringer und die tägliche Nachdrehung kleiner. Über das ganze Jahr gesehen weicht die Sonnenzeit von der mittleren Sonnenzeit in Form einer nicht ganz exakten Sinuswelle um etwa 7 Minuten ab. Im NJ entdecken wir aber, dass diese Abweichungen am 11. Feb -14 min und am 3. Nov sogar +16,5 min betragen. Es gibt also noch eine weitere Ursache für diese Zeitabweichungen.  

3.2 Stellung der Erdachse zur Ekliptikachse

Diese zweite Ursache erkennt man besser aus geozentrischer Sicht. Die Sonne umkreist die Erde, wobei die Erdachse senkrecht steht und die Ebene der Ekliptik um 23,44° schief gegenüber der waagerechten Äquatorebene liegt. Dabei existieren zwei markante Zustände. In den Zeiten der Sonnenwenden, gekennzeichnet durch die schwarzen Punkte rechts und links im Bild 4, läuft der Bildpunkt der Sonne auf den Wendekreisen parallel zum Äquator, weil Erdachse und Ekliptikachse von der Sonne aus gesehen hintereinander stehen und eine senkrechte Linie bilden.

Bild 4: Die von der Erde aus gesehene Schieflage der Sonnenbahn (Quelle: Wikipedia Commons).

Die Erde dreht sich sehr gleichmäßig mit 0,25 Seemeilen pro Sekunde am Äquator. Die Länge eines Sonnentages ist immer die Zeitdauer zwischen zwei Kulminationen der Sonne auf dem gleichen Meridian. Wenn der Bildpunkt der Sonne auf den Wendekreis fällt, und die Sonne auf ihrer jährlichen Bahn um die Erde eine Tagesetappe zurücklegt, dann überquert der Bildpunkt dort eine bestimmte Anzahl von Meridianen.
Auf dem Wendekreis ist der Abstand zwischen den Meridianen jedoch geringer als zwischen den gleichen Meridianen auf dem Äquator. Der Bildpunkt legt infolge der Schiefe der Ekliptik einen kleineren Weg zurück. Zum Ausgleich kann sich die Erde nicht schneller drehen. Sie muss nur etwas nachdrehen und das machen am Tag der Sonnenwenden 20 Sekunden aus. Bild 5 zeigt das auf der linken Seite.

Zum besseren Verständnis kann man sich auch eine zweite Sonne vorstellen, die in der Ebene des Himmelsäquators die Erde umkreist und sich immer senkrecht unter der wahren Sonne befindet. Der Bildpunkt dieser Sonne würde im Unterschied zur wahren Sonne bei jeder Tagesetappe die gleiche Anzahl von Meridianen zurücklegen.

Je weiter die Sonne in Richtung Frühlingspunkt unterwegs ist, desto mehr überkreuzen sich aus Sicht der Sonne die Achsen von Ekliptikebene und Äquatorebene. Während sich der Bildpunkt der Sonne bezüglich ihres Jahresumlaufs zur Sonnenwende parallel zum Äquator bewegt hat, gibt es jetzt einen zunehmenden Anstieg.
An den Tag- und Nachtgleichen schließlich kreuzt die Ekliptik jeweils die Äquatorebene. Die Achsen von Äquatorebene und Ekliptik liegen dann, wie Bild 5 rechts zeigt, maximal schief mit 22,44° zueinander. Der Bildpunkt wandert während einer Tagesetappe nun nicht mehr nur nach Osten, sondern auch nach Norden (oder Süden). Ohne die Schiefe der Ekliptik würde der Bildpunkt auch jetzt nur den Äquator entlang gehen und würde dabei auch etwas mehr Weg zurücklegen können. Das ist durch die Schiefe nicht möglich und deshalb überquert der Bildpunkt während einer Tagesetappe weniger Meridianlinien. Die Kulmination der Sonne auf dem Vortagsmeridian erfolgt deshalb schon etwas früher. Der Sonnentag ist um 20 s kürzer.

Bild 5: Weg des Bildpunktes der auf der Ekliptikbahn sich bewegenden Sonne (grün). Links stehen Erdachse und Ekliptikachse hintereinander, rechts stehen beide Achsen maximal schief zueinander. Links muss die Erde nachdrehen, der Sonnentag ist 20 s länger (hellrot), rechts erfolgt die Kulmination der Sonne schon 20 s früher (hellgrün).

Auf dem Weg vom Wendekreis zum Frühlingspunkt gab es auch mal den Punkt, an dem die Kulminationen nach genau 24 Stunden beim  Vortagsmeridian erfolgt, ein Nullpunkt also und den gibt es, betrachtet man sich Bild 4 genau, viermal in jedem Jahr. Die Zeitunterschiede über über ein Jahr betrachtet und in Bezug zu einer mittleren Zeit, liefern das Bild von zwei Sinuswellen mit einer Amplitude von 10 Minuten.

Bild 6: Zeitgleichung des Jahres 2019

Addiert man jetzt die Kurven im Sinne einer Superposition, weil beide Ursachen nicht zusammenhängen, dann erhält man die Zeitgleichung eines Jahres. Bild 6 zeigt diese für das Zahr 2019. Unter Zeitgleichung wird also keine Gleichung im mathematischen Sinne verstanden, sondern eine Datei, Grafik oder Tabelle, die angibt, wie weit die Sonnenzeit, also die Zeit zwischen zwei Kulminationen der Sonne beim gleichen Meridian, gegenüber der durch mechanische oder elektronische Uhren erzeugten Zeit täglich abweicht. Über ein Jahr gesehen gleichen sich die täglichen Zeitunterschiede aus.

Das NJ enthält eine Tabelle mit der Zeitgleichung. Ende des 18. und zum Beginn des 19. Jahrhundert wurde noch nicht mit dem Greenwicher Stundenwinkel, in dem die Zeitgleichung integriert ist, gearbeitet. Zur Berechnung der Chronometerlänge war deshalb die Berücksichtigung der täglichen Zeitgleichung wichtig. Zur Navigation wurden damals die Zeit am Ausgangshafen, z. B. die GMT (Greenwich Mean Time), die Zeitgleichung und die Deklination gebraucht.

Im Nautischen Jahrbuch sind Deklination und Greenwichwinkel als Funktionswerte der Zeit UT1 angegeben. Diese Zeit UT1 ist eine Universalzeit, die sich an der Erddrehung orientiert und die mittlere Sonnenzeit ist. Die UTC ist die mit Atomuhren stabilisierte koordinierte Weltzeit, auf deren Grundlagen die Zeitzonen angepasst sind. Weil sich die Drehung der Erde verlangsamt, muss die UTC an die UT immer dann angepasst werden, wenn der Zeitunterschied 0,9 s zu überschreiten droht. In der täglichen Bordpraxis steht allerdings immer nur die UTC zur Verfügung.  

 

4 Berechnungen

Praktische Astronavigation, Mathematik und Rechnen gehörten immer zusammen. Durch Entwicklungen in der Computertechnik ist das allerdings immer weniger bis überhaupt nicht mehr erkennbar. Der Computer kann nämlich sämtliche Aufgaben mit Hilfe seiner Programme übernehmen, so dass am Ende nur noch die auf dem Sextanten abgelesenen Höhen eingegeben werden müssen. Die Ephemeriden werden ebenfalls gleich vom Programm berechnet oder aus einer Datenbank gezogen, ebenso wie die Sextantenbestückung. Ausgaben erfolgen grafisch auf einem Display mit einer Seekarte, in die man auch bequem hineinzoomen kann und darüber hinaus auch als Zahlenausgaben. Das entspricht der heutigen Arbeitsweise und das ist okay.  Astronavigation soll Spass machen und keine Belastung sein.

Bild 7: Nautisches Dreieck

Langweilig, sagt der Eine und purer Anachronismus. Wer wie die alten Seefahrer navigieren will, der soll auch genauso arbeiten und rechnen. Anstelle der Logarithmentafel wird die Benutzung des Taschenrechners gerade noch zugestanden.

Prima sagt der Andere, da kann ich endlich mit dem Sextanten navigieren, so wie das früher üblich war. Diese romantische Navigationart gehört einfach zum Segeln dazu und ich kann sie jederzeit benutzen, ohne vorher büffeln zu müssen. Außerdem könnte ich mich dann problemlos auch ohne GPS auf dem Meer zurechtfinden.

Auch wenn der Computer, beispielsweise mit einer Smartphone App komplett alles übernimmt, kann es nicht schaden, sich mit der Geschichte der Astronavigation, mit ihren Methoden und auch mit der dazugehörigen Mathematik auseinanderzusetzen. Die ist nämlich spannend und hochinteressant. Dazu besteht dann kein Zwang mehr, außer man will den Hochseeschifferschein machen. Einen Hafen auf einer fernen Insel nur mit dem Sextanten und der Natur zu erreichen, kann auch für den verwöhnten GPS-Segler ein Erfolgserlebnis sein.

Das mathematische Modell des Navigators ist das nautische Dreieck, das die Astronomen allerdings an der Himmelskugel sehen. Das ist zwar richtiger, wenn uns sämtliche Zusammenhänge interessieren, aber das tun sie nicht. Uns interessiert nur, was der Navigator wissen muss und deshalb arbeiten wir nur mit dem auf die Erdoberfläche projizierten nautischen Dreieck und lassen den übrigen astronomischen Ballast links liegen. Die Zeitgleichung zu verinnerlichen war schon schwer genug. Bild 7 zeigt das nautische Dreieck, wie wir es uns vorstellen müssen.

Z kennzeichnet den Punkt, von dem aus wir die Sonne X am Vormittag in der östlichen Hemisphäre mit dem Sextanten beobachtet haben. Das Dreieck besteht immer aus den drei Eckpunkten Standort, Bildpunkt und Pol (Nordpol oder Südpol). Natürlich gibt es auch andere Konstellationen, aber uns interessieren im Moment nur diese, mal mit der Sonne im Osten und dann im Westen. Im Bild ist alles Wichtige eingetragen. Horizont und Nullmeridian auf jeweils 0°. Unsere Standortbreite φ und die Deklination δ der Sonne kennzeichnen die jeweiligen Entfernungen längs eines Meridians bis zum Horizont. Grt ist der Greenwicher Stundenwinkel und unter \tau versteht man den Polwinkel, den Meridianunterschied zwischen Standortmeridian und Bildpunktmeridian. Wenn die Sonne im Westen beobachtet wird, ist dieser Polwinkel der sogenannte Ortsstundenwinkel. Mit der Sonne im Osten ist der Ortsstundenwinkel die Ergänzung dieses Winkels zu 360° Weiter unten aber mehr dazu.  

 

4.1 Mathematische Betrachtungen

Mancher wird sich bei dieser Überschrift vielleicht erschrecken, weil er denkt, dass es nun kompliziert wird. Das Verhältnis zur Mathematik ist nämlich durchaus gespalten. Alles andere, aber bloss keine Formeln denken viele. Bei so manchen können da schon böse Erinnerungen an die Schulzeit hochkommen. Genau die wollen wir hier nicht verstärken und packen die Mathematik deshalb etwas lockerer an. Mathematik ist nichts weiter als eine Kurzsprache, mit der viele Dinge in Natur und Technik viel exakter beschrieben werden können als mit Worten. Das Auflösen und Umstellen von Gleichungen ist die Grammatik dieser Sprache.

Rechnen ist dagegen eine ganz andere Disziplin, bei der man sich fürchterlich verheddern kann. So hört es sich einfach an, Winkel von Grad, Minuten und Sekunden in Dezimalgrade umzurechnen oder umgekehrt, aber ohne eine in Fleisch und Blut übergegangene Routine treten gerade dabei erhebliche Probleme auf. Seekrankheit und Müdigkeit führen dann meist sogar zum Komplettausfall. Formeln zu verstehen, in denen Sinus und Kosinus auftreten sind wirklich nicht das Problem. Das sind nichts weiter als Zuordnungen bestimmter Eigenschaften zu einer Zahl. Probleme gibt es auch da immer nur, sobald damit gerechnet werden soll. Wir gehen die Theorie deshalb ganz langsam an.  

 

4.1.1 Das Kugeldreieck

Unter Kugeldreiecken versteht man Dreiecke auf der Oberfläche einer Kugel. Die Erde ist eine Kugel und somit ist das nautische Dreieck im Bild 7 ein Kugeldreieck. Mit dieser geometrischen Figur wollen wir uns jetzt erstmal ganz allgemein auseinandersetzen und das ist tatsächlich einfacher als mancher denkt.

Bild 8: Kugeldreieck

Wie bei einem Dreieck in der Ebene werden die drei Ecken mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. Die den Ecken gegenüberliegenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a, b und c bezeichnet. Die Winkel tragen schließlich die Bezeichnungen α, β und \gamma. Das Dreieck besteht somit aus sechs Elementen, drei Winkeln und drei Seiten. Bild 8 zeigt dieses Dreieck auf einer Kugeloberfläche.
Wie bei Dreiecken in der Ebene gilt auch bei einem Kugeldreieck, dass sich jedes fehlende Element berechnen lässt, sobald drei Elemente bekannt sind. Die Summe der Innenwinkel beträgt jedoch nicht 180 Grad, wie bei einem ebenen Dreieck, sie ist stets größer als 180 Grad.
Die Seiten von echten Kugeldreiecken sind Abschnitte auf Großkreisen. Im Gradnetz der Erde sind nur die Längenkreise und der Äquator Großkreise. Meridiane sind von Pol zu Pol laufende halbe Großkreise und ihre Länge beträgt 180°. Vom Äquator bis zum Pol sind es dann immer 90°. Auf einer Kugel ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten immer eine Strecke, die einem Großkreis folgt. Wenn wir ein Gestirn beobachten, dann sehen wir es auf der kürzestmöglichen Verbindung. Der Blick durch das Fernrohr des Sextanten geht also immer in Richtung eines Großkreises.

Bild 9: Die Seiten eines Kugeldreiecks besitzen die Länge, die der Mittelpunktswinkel der Kugel auf der Kugeloberfläche aufspannt.

Breitenkreise außer dem Äquator sind Kleinkreise weil ihr Umfang zu den Polen hin abnimmt. Abschnitte darauf können also keine Seiten unseres Kugeldreiecks sein. Wenn eine Peilung immer nur einen Großkreis entlang möglich ist, dann folgt daraus im Umkehrschluss, dass man in Richtung Osten oder Westen gar nicht wirklich peilen kann, es sei denn, man befindet sich auf dem Äquator.
Peilungen nach Ost oder West sind tatsächlich nur in einem begrenzten Sicht-Umkreis eines Beobachters möglich. Direkt am Nordpol sitzend hätte ein Kleinkreis nur wenige Meter Durchmesser und da wird es dann klar, dass eine Ost- oder Westpeilung einem Bogen folgen müsste und somit unmöglich ist.

Bei Kugeldreiecken gibt es die Besonderheit, dass die Seiten und auch die Winkel in Grad gemessen werden. Das vereinfacht alles ungemein. Umrechnungen sind nur immer dann nötig, wenn man ein Ergebnis unbedingt in Meilen haben will. Bezugsgröße auf der Erdkugel ist der Erdumfang mit 360°, was genau 21 500 nm sind. Dann sind 1° = 60 nm und 1′ = 1 nm. Letztendlich dürfte es uns egal sein, wie Längern gemessen werden, in Kilometern Meilen oder Grad. Am Ende muss man nur wissen, wie umzurechnen ist.
Ein Kugeldreieck bei dem Seiten und auch Winkel einheitlich in Grad gemessen werden, ist sogar noch einfacher zu berechnen als ein Dreieck in der Ebene wo die Winkel in Grad und die Seiten in Metern zu unterscheiden sind. Doch wie ist das zu erklären, dass auch die Seitenlängen in Grad gemessen werden? Bild 9 zeigt einen Querschnitt durch die Erdkugel. Da ist der Erdradius mit r angegeben und der Winkel mit a. Dieser Winkel spannt nun auf der Erdoberfläche einen Bogen auf, der aufgrund dieser Verwandschaft ebenfalls die Länge a besitzt. Damit wird der Zusammenhang klar. Wenn a mit 360° ein Vollkreiswinkel wäre, dann wäre die Strecke a der Erdumfang und der beträgt bekanntlich ebenfalls 360°.

In den Formeln, die wir noch kennenlernen, kommen Seiten und Winkel nur als Sinus oder Kosinus vor. Das ist ungewohnt, aber wir sollten das einfach hinnehmen. Mit sin(z) und cos (𝛾) kann man genauso umgehen, wie mit x und y. Wenn wir eine Seite oder einen Winkel ausrechnen wollen und wir bekommen nur den Sinus oder den Kosinus heraus, dann macht das nichts. Wir benutzen dann einfach die Umkehrfunktion und schon haben wir die Seite oder den Winkel. Wenn das Formelergebnis, beispielsweise die Länge einer gewünschten Seite q, nur als cos q = 0,2618 ausgerechnet werden kann, dann muss abschließend die Umkehrfunktion angewendet werden.
Auf der Tastatur von wissenschaftlichen Taschenrechnern ist das die Taste mit der Bezeichnung cos-1. Würde man jetzt diese Taste drücken, dann erscheint als Ergebnis q = 15°. Auf der Erdoberfläche sind das q = 900 nautische Meilen. Anstelle von cos-1 wird in Formelableitungen oft auch die Funktion arccos benutzt, was genau dasselbe wie cos-1 ist. Analog dazu sind dann auch arcsin und sin-1 bzw. arctan und tan-1 dasselbe. Die Umkehrfunktionen liefern zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel. In einem Kugeldreieck rechnet man also nicht die Länge einer Seite oder den Betrag eines Winkels aus, sondern den Kosinus einer Seite oder den Sinus eines Winkels. Das soll uns nicht stören. Wir benutzen anschließend einfach die Umkehrfunktion und erhalten dadurch den Betrag von Seite oder Winkel. Die Seitenlänge ist dann allerdings auch in Grad zu verstehen, aber das ist ja so üblich im Gradnetz der Erde wo ein Grad auf einem Großkreis 60 nm sind.

In allen Beiträgen zur Astronavigation, ob zur Bestimmung der Chronometerlänge, zur Standortbestimmung nach C. F. Gauß, zur Standortbestimmung nach T. H. Sumner und auch zur Standortbestimmung nach Saint Hilaire werden wir nur eine einzige Formel gebrauchen. Die gesamte Astronavigation, wie wir sie hier in mehreren Beiträgen aufzeigen, beruht tatsächlich nur auf einer einzigen Formel und das ist der Kosinus Seitensatz. An einem Kugeldreieck wie im Bild 8 beschreibt dieser Satz die Beziehung zwischen drei Seiten und einem Winkel.  Das Verhältnis wird mit folgender mathematischer Gleichung beschrieben:

(1)   \begin{equation*}\cos a =\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha\end{equation*}

In Worten kann man das folgendermaßen ausdrücken:

Der Kosinus einer Seite ist gleich dem Produkt der Kosinusse der anderen beiden Seiten vermehrt um das mit dem Kosinus des Zwischenwinkels multiplizierte Produkt der Sinusse dieser beiden Seiten.

Übertragen auf die Seiten b und c kann dann auch geschrieben werden:

(2)   \begin{equation*}\cos b =\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta\end{equation*}

(3)   \begin{equation*}\cos c =\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation*}

Das sind jetzt keine neuen Formeln. Es ist dieselbe Formel, nur von einer anderen Ecke des Dreiecks aus gesehen und deshalb mit den jeweils zuständigen Buchstaben geschrieben. Diese drei Formeln, stehen unter der Bezeichnung Kosinus Seitensatz in jedem besseren Formelbuch. Will man jetzt keine Seite, sondern einen Winkel ausrechnen, dann muss die Gleichung umgestellt werden. Das ist für Leute mit mathematischen Kenntnissen überhaupt kein Problem. Aufgrund der Bedeutung dieser Gleichung für sämtliche Navigationsmethoden soll das hier für Nicht-Mathematiker etwas ausführlicher gemacht werden.

Alle drei Seiten sollen bekannt sein und wir wollen den Winkel \gamma im Bild 8 ausrechnen. Wir wählen also die Gl. 3, weil dort das \gamma schon geschrieben steht. Da es sich um Gleichungen handelt, muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer das Gleiche gemacht werden. Zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten das Produkt \cos a\cdot\cos b. Dadurch hebt es sich auf der rechten rechten Seite auf und bleibt auf der linken Seite als Subtrahend stehen:

    \begin{equation*}\cos c -\cos a\cdot \cos b=\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma\end{equation}

jetzt müssen wir \cos \gamma freistellen. Dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch \sin a\cdot\sin b. Die Folge ist, dass sich dieser Term auf der rechten Seite rauskürzt und links als Nenner hingeschrieben bleibt:

    \begin{equation*}\frac{\cos c -\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}=\cos \gamma\end{equation}

Schließlich wenden wir gleich noch die Umkehrfunktion an und machen aus dem Kosinus des Winkels \gamma gleich den Winkel \gamma:

(4)   \begin{equation*}\gamma=\arccos \frac{\cos c -\cos a\cdot \cos b}{\sin a\cdot \sin b}\end{equation*}

Auch in dieser Form wird uns der Kosinus Seitensatz begegnen und zwar immer dann, wenn ein Winkel ausgerechnet werden muss, wie z. B. das Azimut, die Peilung auf den Bildpunkt eines Gestirns.

 

4.1.2 Komplementwinkel

Wenn wir jetzt den Winkel \tau im Bild 7 berechnen wollten, dann müssten für die Dreieckseiten die Ausdrücke 90° – φ, 90° – δ und 90° – h eingesetzt werden, wodurch die Formel dann recht lang wird. Zur Erinnerung, δ ist die Deklination der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt und h die beobachtete Höhe. Die eigene Standortbreite φ kennen wir nur ungefähr, z. B. aus der letzten Mittagsbreite oder der letzten Nordsternbreite und einer durchgeführten Koppelnavigation. Hier werden jetzt die Komplementwinkel oder einfach Komplemente verwendet. Ein Komplementwinkel ist dessen Ergänzung zu 90°. Das hatten wir schon im Bild 2 kennengelernt. Dort gibt es die gemessene Höhe h = 90° – s und den Zenitabstand s  = 90° – h. Die Höhe h ist also das Komplement zum Zenitabstand s und umgekehrt. Analog trifft das dann für alle anderen Seiten ebenfalls zu. Das Komplement von 90° – φ ist φ und das Komplement von 90° – δ ist δ. In der nachfolgenden Tabelle sind die Seitenlängen der Dreiecke zusammengefasst:

Definitionen im nautischen Dreieck
Größe Komplement Entfernung zwischen Seite
90° – Standortbreite φ φ Standort <> Pol b
90° – Deklination δ δ Bildpunkt <> Pol p
90° – beobachtete Höhe h h Standort <> Bildpunkt s

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind bekanntlich um 90° in der Phase verschoben und daher gilt:

    • \sin \alpha= \cos (90^\circ-\alpha)
    • \cos \alpha= \sin (90^\circ-\alpha)

Unter Anwendung der Komplementwinkel kehrt sich also die Sinusfunktion eines Winkels in die Kosinusfunktion des Komplementwinkels und umgekehrt. Das werden wir bei allen Methoden der Standortberechnung wiederfinden und ist deshalb an dieser Stelle besonders erwähnt. Wenn wir jetzt also die Gleichung 4 nehmen, mit der wir gerade den Winkel \gamma berechnet haben, um damit jetzt den Winkel \tau im Bild 7 zu berechnen, dann lautet diese Gleichung ohne Benutzung der Koplemente:

    \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\cos (90^\circ-h) -\cos (90^\circ-\delta)\cdot \cos (90^\circ-\varphi)}{\sin (90^\circ-\delta)\cdot \sin (90^\circ-\varphi)}\end{equation}

Nutzen wir jetzt die Komplementwinkel, dann dreht sich sin in cos und 90° – a in a und alles sieht einfacher aus:

(5)   \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\sin h -\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Die Summe aus diesem Winkel \tau und dem Stundenwinkel Grt ist ein Maß für die Standortlänge \lambda. Hier ist jedoch noch einiges zu beachten, weil Grt von 0 bis 360° in Westrichtung um die ganze Erde zählt, das Gradnetz der Erde aber schon vor mehr als 2000 Jahren in 180 Westgrade und 180 Ostgrade aufgeteilt worden ist, was in einigen Fällen noch einer kleinen Korrektur bedarf.

Bild 10: Sinusfunktion grün und Kosinusfunktion rot sind um 90° in ihrer Phase gegeneinander verschoben. Die Kosinusfunktion ist bezüglich 0° symmetrisch und das bedeutet cos (x) = cos (-x).

 

4.1.3 Das Azimut

Das Azimut ist die rechtweisende Peilung auf den Bildpunkt der Sonne und ist im Bild 7 als Az eingezeichnet. So wie vorstehend der Winkel \tau berechnet wurde kann jetzt auch das Azimut Az berechnet werden, also mit genau dem gleichen Formelaufbau, der sich jetzt nur entgegen der Uhrzeigerrichtung um einen Winkel bzw. eine Seite weiterdreht. Wir erhalten für diesem Fall:

(6)   \begin{equation*}A^*_z=\arccos \frac{\sin \delta -\sin \varphi\cdot \sin h}{\cos \varphi\cdot \cos h}\end{equation*}

Die Kennzeichnung des Azimuts in dieser Gleichung mit einem Stern hat folgenden Hintergrund. Das Azimut wird rechtweisend Nord angegeben. Das bedeutet, dass es der Winkel zwischen dem Nordmeridian b und der Peilung s in Richtung Sonne sein muss und zwar als rechtsdrehender Winkel. Genauso wie Kursangaben.

Bild 11: Sobald die Sonne den eigenen Standort überholt, ist das Azimut der Außenwinkel an den Seiten b und s.

Das bedeutet dass nach dem Schiffsmittag, wenn die Sonne den Standortmeridian passiert hat, die Seite s von Ost nach West umschlägt, wie das im Bild 11 rechts zu sehen ist. Der Kosinus Seitensatz berechnet jedoch nur immer die Innenwinkel in dem Dreieck. Nach dem Schiffsmittag ist das Azimut entsprechend seiner Definition jedoch der Außenwinkel. Das ist kein Problem. Wir müssen in dem Fall, wenn der Schiffsmittag vorbei ist, den berechneten Winkel von 360° subtrahieren, um das Azimut zu erhalten. Das Azimut wird u. A. gebraucht, um Versegelungen zu berücksichtigen, wenn also zwischen den Höhenmessungen  zur Standortbestimmung Ortsveränderungen auftreten.

In der Methode nach Saint Hilaire spielen das Azimut und die rechnerische Höhe für einen geschätzten Standort die zentrale Rolle. Das mit der Gl. 6 gezeigte Azimut ist das sogenannte Höhenazimut. Es wird berechnet, indem die Höhe h gemäß der nachfolgenden Gl. 7 eingesetzt wird. Im Höhenverfahren nach Hilaire wird jedoch gern das sogenannte Zeitazimut eingesetzt. Diese Formel ist etwas komplizierter und das Ergebnis muss dann nicht nur hinsichtlich Ost oder West sondern hinsichtlich aller Quadranten eingeordnet werden. Dieses Vorgehen ist nicht ganz verständlich, weil bei der Berechnung des Höhenazimuts für einen bekannten Standort keine Messwerte eingesetzt werden.

 

4.1.4 Die Höhenformel

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, für einen bekannten Ort, dessen Länge und Breite vorliegen, auszurechnen, wie hoch die Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt dort über dem Horizont steht. Die Höhe h ist das Komplement der Seite s. Um die auszurechnen, braucht man also drei bekannte Elemente des PZX-Dreiecks. Bekannt sind schon mal die Seiten p und b. Man bräuchte jetzt am besten den davon eingeschlossenen Winkel \tau. Doch der ist nicht direkt zu haben. Die Lösung dafür ist im Bild 12 zu erkennen. Dort haben wir einen Winkel t verwendet.

Bild 12: Die vier möglichen Konstellation eines Standortes gegenüber der Sonne. Auf den Norpol gesehen. Westliche Hemisphäre: Sonne vor und nach dem Ort ; östliche Hemisphäre: Sonne vor und nach dem Ort

Dieser Winkel t ist der Ortsstundenwinkel (engl. LHA = Local Hour Angle). Es ist der Stundenwinkel eines Ortes und er zählt in westliche Richtung gehend vom Meridian eines benannten Ortes bis zum Meridian des Bildpunktes der Sonne. Der Greenwicher Stundenwinkel Grt ist der Ortsstundenwinkel des Ortes Greenwich. Im Bild 12 in b) und c) ist dieser Winkel identisch mit \tau. In a) und d) ist er die Ergänzung zu 360°.

Um die Seite s im Bild 11 ausrechnen zu können, würden wir die Gl. 3 wählen. Dort wird der Kosinus des Polwinkels benutzt. Die Kosinusfunktion ist, wie Bild 10 zeigt, symmetrisch zur Ordinate, also zu 0° und liefert deshalb alle 360° immer wieder denselben Wert. So ist es nicht nötig, den Winkel t bzw. LHA explizit ausrechnen zu müssen. Wir können bereits die Summe von Grt und λ verwenden. Grt + λ ist nicht gleich t, aber cos(Grt + λ) ist gleich cos (t). Wenn die entsprechenden Werte in die Gl. 3 eingesetzt werden, erhält man:

    \begin{equation*}\cos s =\cos p\cdot \cos b+\sin p\cdot \sin b\cdot \cos \tau\end{equation}

Nach Ersetzen der Seiten durch die Komplementwinkel und \tau mit  Grt + \lambda folgt weiter:

    \begin{equation*}\sin h =\sin \delta\cdot \sin \varphi+\cos \delta\cdot \cos \varphi\cdot \cos (Grt+\lambda)\end{equation}

Schließlich erhalten wir die bekannte Höhenformel:

(7)   \begin{equation*}h=arcsin[ \sin \delta\cdot \sin \varphi+\cos \delta\cdot \cos \varphi\cdot \cos (Grt+\lambda) ]\end{equation*}

In der Literatur steht anstelle cos (Grt + λ) meist \cos t.

Eigentlich ist das, was hier im Abschnitt 4 an Mathematik gezeigt wurde, alles was man braucht, um sämtliche bekannten Navigationsmethoden verstehen zu können. Ob das die Lösung der Zweihöhenmethode nach Gauß oder die Hilaire Methode ist, mehr als die hier gezeigten Gleichungen werden darin nicht benutzt. Die dahinter stehende Mathematik ist also sehr übersichtlich. In der Praxis treten Schwierigkeiten meist immer dann auf, wenn Zahlen in die Formeln eingesetzt werden müssen. Die Umrechnung von Grad und Minuten in Dezimalgrade oder ins Bogenmass und zurück birgt doch erhebliches Verwirrungspotential. Wer darin keine Routine hat, der kann schon leicht verzweifeln, weil es einfach nicht gelingt, zu einem vernünftigen Ergebnis zu kommen.


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One thought on “Die Sonne am Himmel”

  1. Hallo
    vielen Dank für diesen Beitrag
    nur zur Verbesserung:
    im Abschnitt 3.2 ein Schreibfehler im 4. Satz:
    „…. Bildpunkt der Sonne auf den Wendektreisen parallel zum Äquator, …….“

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