Gauß und das Zweihöhenproblem

Johann Carl Friedrich Gauß, der Zahlenmann

 

Jahrhundertelang haben die Gelehrten nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem gesucht. Das gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahre 1808. Gauß hatte mit Seefahrt nichts zu tun und stieß eher zufällig auf das Problem, als ihm die Dissertation eines Herrn Kraft in die Hände fiel. Die darin vorgetragenen Berechnungen, aus der Höhe zweier Sterne die Zeit und die Polhöhe zu bestimmen, erschienen dem Zahlenmann Gauß so konfus, dass er sich anschickte mit dem Ansatz des Herrn Kraft einen eigenen Rechenweg zu entwickeln und diesen dann 1809 in Bodes astronomischem Jahrbuch für das Jahr 1812 zu veröffentlichen. Er bemerkte aber auch, dass es einfacher wäre nicht diesen Ansatz des Herrn Kraft zu wählen, sondern eine Betrachtung über die Dreiecke anzustellen. Zitat von Gauß: 


… seine Auflösung ist meiner Meinung nach ungleich weitläufiger und mühsamer als diejenige, welche unmittelbar aus der Betrachtung dreier Dreiecke hervorgeht, obgleich sie sich bloß auf die Bestimmung von φ einschränkt, und sich auf die Bestimmung der Zeit nicht einläßt.

Eine Berechnung nach dieser, seiner eigenen Bemerkung, hat Gauß dann aber nicht mehr veröffentlicht. Die Arbeit von Gauß wurde in der Seefahrt nie verwendet. Als Kapitän Sumner 32 Jahre später seine Standlinienmethode vorstellte, dauerte es nur etwa zwei Jahre bis zu ihrer weltweiten Benutzung und die 63 Jahre später publizierte Intercept Methode von Saint Hilaire wurde erst von der Satellitennavigation abgelöst. Diese beiden Methoden allein lieferten Stoff für zahllose Publikationen und füllten ganze Bücher. Dabei sind es nur Näherungsmethoden während Gauß exakt rechnet.

Heute kann nur spekuliert werden, was die Gründe dafür waren. Die offizielle Meinung ist, dass die Berechnungen die Möglichkeiten, der damaligen Rechentechnik überforderten. Tatsächlich war der veröffentlichte Rechenweg für die Praxis auf den Schiffen nicht geeignet. Doch was ist mit dem Hinweis von Gauß auf den einfachen Weg über die Dreiecke, der allerdings nur die Breite liefern kann?

Bild 1: Titelseite von Bodes Astronomischem Jahrbuch, in dem C. F. Gauß die Lösung des Jahrhunderte alten Zwei-Höhen-Problems beschrieb.

Dieser Hinweis war offenbar nicht interessant genug, denn die Breite φ konnte damals als Mittagsbreite oder Nordsternbreite sehr genau bestimmt werden. Durch Koppeln stand sie dann auch ständig zur Verfügung. Der Hinweis auf die einfachere Methode über die Betrachtung der Dreiecke wäre lediglich ein weiterer Weg gewesen, den zu benutzen, noch eine Menge Rechenarbeit erfordert hätte, während die traditionellen Methoden für eine wie man dachte gleichwertige Genauigkeit mit einer einfachen Addition auskamen.

In den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts bis etwa 1840 wurden die Schiffe mit Schiffschronometern ausgerüstet um die Länge bestimmen zu können. Die sog. Chronometerlänge wurde in der Regel vormittags bestimmt, wenn die Sonne am schnellsten stieg. Zur Berechnung brauchte man die Breite, die jedoch erst am Mittag exakt festgestellt werden konnte. Uhrzeit und Sextantenablesung wurden also notiert und die Fahrstecke bis zum Mittag erfasst.

Die Chronometer mussten natürlich immer genau gehen. Zeitzeichen zum Stellen der Uhren gab es noch nicht und so musste man auf die Messung von Monddistanzen zurückgreifen, wofür es Auswertetabellen gab. Darüber hinaus gab es in manchen Häfen Zeitbälle, mit deren Hilfe die Chronometer gestellt werden konnten. Eine Berechnung der Zeit nach Gauß war für den Bordgebrauch viel zu aufwändig.

Damals war es noch üblich, dass Breite und Länge getrennt voneinander bestimmt wurden. Als Kapitän Sumner 1843 eine neue Navigationsmethode publizierte, mit der zu beliebigen Zeiten des Tages Länge und Breite gleichzeitig, also ein Standort, bestimmt werden konnte, war das eine Sensation. Danach war Gauß nur noch Geschichte. Die Bestimmung eines Standortes nach Gauß hat jedoch einen ganz besonderen Reiz, der darin besteht, dass die Lösung analytisch gefunden wird, ohne jegliche Zeichenarbeit in einer Seekarte. Das ist ideal für Computeranwendungen.

Im Jahr 1949, also mitten im 20. Jhd. veröffentlichte Heinrich Dörrie in seinem Buch “Ebene und sphärische Trigonometrie” (ISBN: 3486778064) eine Möglichkeit, wie der von Gauß vorgeschlagene einfache Lösungsweg über die Dreiecke hätte aussehen können. Den hat Gauß ja nur als Alternative angedeutet. Dörrie war wie Gauß Mathematikprofessor an derselben Universität in Göttingen, nur 140 Jahre später. Für diese Berechnung benutzte er den Kosinus Seitensatz, den Sinussatz, den Halbwinkelsatz und die Formeln von Napier, die noch ein kleines Gleichungssystem mit zwei Unbekannten bereit hielten. Das hatte allerdings nur akademischen Wert, denn Gauß in die Seefahrt einzuführen, wäre auch damals nicht möglich gewesen. Dörrie wollte wohl die vielfältigen Lösungsmöglichkeiten in der sphärischen Trigonometrie an diesem Beispiel demonstrieren. Bei genauer Betrachtung wäre klar geworden, dass zur Lösung der Kosinus Seitensatz allein ausreicht.


1 Standort nach Gauß

Das Bild mit den zwei sich überlappenden Höhenkreisen auf einem Globus, wird oft und gern in Zusammenhang mit dem Gauß’schen Algorithmus gebracht. Der hat damit aber gar nichts zu tun. Wie ein Standort nach Gauß berechnet wird, zeigt Bild 2 mit den Dreiecken. Man muss hier ein Dreieck nach dem anderen berechnen, damit manbis man auf die Seite b kommt. Diese Seite ist das Komplement der Standortbreite 𝜑 = 90° – b. Man fängt einfach mit dem größten Dreieck an und prüft, was zu berechnen wäre, damit das nächste Dreieck angegangen werden kann. Es sind nur drei Dreiecke und das Ganze ist eine recht einfache Geometrieaufgabe in sphärischer Trigonometrie. Die Lösung dieser Aufgabe wird nachstehend in zwei Teilen vorgestellt, einer reinen verbalen Beschreibung nur zum Verstehen und einer anschließenden mathematischen Behandlung.

 

1.1 Verbale Lösungsbeschreibung

Aus den zwei Sonnenpositionen X1 und X2, sowie dem Standort Z und dem Pol P lassen sich insgesamt vier Dreiecke bilden, drei innere und ein äußeres. Der Grundsatz, dass von einem sphärischen Dreieck, drei Elemente bekannt sein müssen, damit unbekannte Elemente desselben Dreiecks berechnet werden können, wird hier konsequent angewendet.

Dreieck X1X2P: Bekannt sind die Seiten p1 = 90° – δ1 und p2 = 90° – δ2, die Komplemente der Deklinationen. Bekannt ist weiter der Polwinkel \varpi = Grt2 – Grt1, die Differenz der Greenwich Stundenwinkel aus beiden Beobachtungen. Damit sind in diesem Dreieck drei Elemente bekannt, wodurch die Seite q und der Winkel σ berechnet werden können.

Dreieck X1X2Z: Bekannt sind alle drei Seiten. Die Seite q ist gerade ausgerechnet worden und die Seiten s1 und s2 sind die Zenitabstände und damit die Komplemente der gemessenen Höhen h1 und h2, wobei h1 im Fall einer Ortsveränderung zwischen den Beobachtungszeiten durch Addition von Δh, einer sog. Höhenanpassung, korrigiert werden muss. In diesem Dreieck wird nur der Winkel ζ berechnet.

Dreieck PZX1: Bekannt sind p1, s1 und die bereits ausgerechneten Winkel σ und ζ.  Daraus kann zunächst die Winkeldifferenz ψ = σ – ζ berechnet werden. Damit sind von diesem Dreieck wieder drei Elemente bekannt, die es ermöglichen, die Seite b zu berechnen. Die Seite b ist das Komplement der Standortbreite 𝜑 = 90° – b und damit ist diese  jetzt genau ausgerechnet.

Bild 2: Geometrisches Modell der Aufgabenstellung, aus der Höhe der Sonne zu zwei unterschiedlichen Zeiten, den Standort zu bestimmen.

Standortlänge: 
Von dem letzten Dreieck sind jetzt alle drei Seiten bekannt. Dadurch kann der Stundenwinkel oder Polwinkel \tau berechnet werden. Dieser ist nötig, um die Standortlänge \lambda zu bestimmen. Im Bild 2 rechts ist zu sehen, dass die Länge einfach die Summe aus Grt1 und \tau ist. Das gilt aber nur, wenn die erste Beobachtung am Vormittag gemacht wurde. Fand diese nachmittags statt dann ist der Stundenwinkel von Grt1 abzuziehen. Das alles wurde genauer bereits bei der Chronometerlängenberechnung beschrieben.

Bild 2: Geometrisches Modell der Aufgabenstellung, aus der Höhe der Sonne zu zwei unterschiedlichen Zeiten, den Standort zu bestimmen. 

 

1.2 Mathematische Umsetzung

Die mathematische Lösung ist recht einfach, weil lediglich der Kosinus Seitensatz, der im Beitrag “Die Sonne am Himmel” ausführlich vorgestellt wurde, zur Anwendung kommt. Wie bereits gesagt, liefert die Lösung einer Gleichung immer das fehlende Glied für die Berechnung in der nächsten Gleichung und so führt der Algorithmus ohne Verzweigung in gerader Linie auf den zu bestimmenden Standort. Das ist ein sehr geschmeidiger Vorgang ist. Aus dem sphärischen Abstand der Sonnenpositionen q wird die Winkeldifferenz \sigma-\zeta berechnet, aus der dann die Breite 𝜑 folgt. Die Breite 𝜑 liefert den Stundenwinkel \tau, aus dem unmittelbar die Standortlänge folgt. Alles in einem Rutsch und perfekt für eine Digitalisierung.

Dreieck X1X2P:  Wie oben beschrieben, stehen die langen Seiten p1 und p2 sowie der davon eingeschlossene Winkel 𝜗 zur Verfügung. So wählt man die dritte Zeile des Kosinus Seitensatzes und setzt die entsprechenden Winkel ein:

(1)   \begin{equation*}\cos q=\cos p_1\cdot\cos p_2+\sin p_1\cdot\sin p_2\cdot\cos \vartheta\end{equation*}

Aus Bild 2 auf der rechten Seite entnehmen wir:

  𝜗 = Grt2 – Grt1
p1 = 90° – 𝛿1 und damit gilt     \cos p_1=\sin \delta_1; \;\;\sin p_1 = \cos \delta_1
p2 = 90° – 𝛿2 und damit gilt     \cos p_2=\sin \delta_2; \;\;\sin p_2 = \cos \delta_2

Nach Ersetzen dieser Komplemente in Gl. 1 erhalten wir

(2)   \begin{equation*}\cos q=\sin \delta_1\cdot\sin \delta_2+\cos \delta_1\cdot\cos \delta_2\cdot\cos \vartheta\end{equation*}

und nach Anwenden der arcus-Umkehrfunktion:

(3)   \begin{equation*}q=arccos (\sin \delta_1\cdot\sin \delta_2+\cos \delta_1\cdot\cos \delta_2\cdot\cos \vartheta)\end{equation*}

Jetzt drehen wir die Anwendung des Kosinus Seitensatzes um eine Dreieckseite in Uhrzeigerrichtung von der Seite q auf die Seite p2. Von dieser Seite aus stellen wir jetzt die analogen Beziehungen her. Die Seiten q und p1 schließen den Winkel 𝜎 ein den wir jetzt berechnen wollen. Zunächst erhalten wir analog zu Gl. 2:

(4)   \begin{equation*}\sin \delta_2=\sin \delta_1\cdot\cos q+\cos \delta_1\cdot\sin q\cdot\cos \sigma\end{equation*}

Diese Gleichung muss jetzt nach cos σ aufgelöst werden. Dazu wird auf beiden Seiten der Gleichung das Produkt \sin \delta_1\cdot\cos q subtrahiert. Dadurch verschwindet es auf der rechten Seite der Gleichung und erscheint auf der linken Seite als Subtrahend. Ist das geschehen, werden beide Seiten durch das Produkt \cos \delta_1\cdot\sin q geteilt. Dadurch kürzt es sich rechts weg und erscheint links als Nenner. Natürlich wollen wir nicht nicht cos \sigma, sondern \sigma und wenden deshalb gleich die Umkehrfunktion an. Den Winkel erhalten wir mit folgender Gleichung:

(5)   \begin{equation*}\begin{equation*}\sigma=arccos\frac{\sin \delta_2-sin \delta_1\cdot\cos q}{\cos \delta_1\cdot\sin q}\end{equation*}

Wie eingangs erwähnt brauchen wir den Winkel 𝜓 und den erhält man nur als Differenz von 𝜎 – 𝜻. Wir müssen also 𝜻 berechnen und das geht nur im nächsten Dreieck.

 

Dreieck X1X2Z:  In diesem kleineren Dreieck ist die Lage der Seiten s1 und s2 zum Winkel 𝜻 dieselbe wie in dem großen Dreieck die Lage der Seiten p1 und p2 zum Winkel \sigma. Hier gelten jedoch andere Komplementwinkelbeziehungen. Nicht mehr zwischen p und den Deklinationen 𝛿, sondern zwischen dem Zenitabstand s und den gemessenen Höhen h:

s1 = 90° – h1 und damit gilt    \cos s_1=\sin h_1; \;\;\sin s_1 = \cos h_1
s2 = 90° – h2 und damit gilt    \cos s_2=\sin h_2; \;\;\sin s_2 = \cos h_2

Damit müssen wir nur die Bezeichnungen in der Gl. 5 austauschen und zwar 𝛿 gegen h und \sigma gegen 𝜻 und erhalten

(6)   \begin{equation*}\zeta=arccos\frac{\sin h_2-sin \,h_1\cdot\cos q}{\cos h_1\cdot\sin q}\end{equation*}

Jetzt können wir die Differenz 𝜓 = 𝜎 – 𝜻 ausrechnen und erhalten damit das dritte noch fehlende Element im letzten zu betrachtenden Dreieck.

 

Dreieck PZX1:  Bei diesem Dreieck handelt es sich um das übliche nautische Dreieck, das wir bereits kennen. Normalerweise wird in diesem Dreieck aus der Summe oder Differenz von Stundenwinkel \tau und dem Greenwicher Stundenwinkel Grt die Standortlänge 𝝀 berechnet. In der Regel muss die Breite hierbei immer geschätzt werden. Doch mit den zwei unterschiedlichen Sonnenpositionen waren wir in der Lage einen Winkel 𝜓 zu berechnen, der genau gegenüber der Seite b liegt, die das Komplement der Standortbreite ist. Wir können also die Standortbreite genau ausrechnen und weil diese nicht nun mehr geschätzt ist, erhalten wir in der Folge auch eine genau ausgerechnete Standortlänge. Formal gilt erst einmal der Kosinus Seitensatz

(7)   \begin{equation*}\cos b=\cos p_1\cdot\cos s_1+\sin p_1\cdot\sin s_1\cdot\cos (\sigma-\zeta)\end{equation*}

Nach Einsetzen aller bisher genannten Komplementbeziehungen und einer weiteren, nämlich cos b = sin 𝜑 folgt daraus:

(8)   \begin{equation*}\boxed{\varphi=\arcsin\bigr [\sin \delta_1\cdot\sin h_1+\cos \delta_1\cdot\cos h_1\cdot\cos (\sigma-\zeta)\bigr ]}\end{equation*}

 

Standortlänge: Die Länge 𝜆 kann jetzt wie eine Chronometerlänge berechnet werden, denn wir kennen die Zeiten, an denen die Beobachtungen durchgeführt wurden. Nach der Konstellation, wie im Bild 2, ist die Standortlänge die Summe aus dem Stundenwinkel oder Polwinkel \tau und Grt1. Das gilt allerdings nur, wenn die erste Sonne am Vormittag beobachtet wurde. Wird sie am Nachmittag beobachtet, dann muss Grt1\tau gerechnet werden. Die Aufgabe besteht also erstmal darin, den Stundenwinkel auszurechnen. Das geht wieder nach dem bekannten Schema. Der Kosinus Seitensatz mit den zwei Seiten p1 und b und dem davon eingeschlossenen Winkel lautet hier:

(9)   \begin{equation*}\cos s_1=\cos p_1\cdot\cos b+\sin p_1\cdot\sin b\cdot\cos \tau\end{equation*}

Nach Einsetzen der Komplemente cos b = sin 𝜑, cos s = sin h und cos p = sin 𝛿 bzw. sin p = cos 𝛿 folgt daraus

(10)   \begin{equation*}\sin h_1=\sin \delta_1\cdot\sin \varphi+\cos \delta_1\cdot\cos \varphi\cdot\cos \tau\end{equation*}

Diese Gleichung muss jetzt nur noch in gewohnter Weise nach cos 𝜏 umgestellt werden. Die Umkehrfunktion liefert dann schließlich den Polwinkel

(11)   \begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin h_1-\sin \delta_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

Die Standortlänge müssen wir nun mit der folgenden Gleichung ermitteln:

(12)   \begin{equation*}\boxed{\lambda^\ast=Grt_1\pm \tau\phantom{50}=Grt_1\pm \arccos\frac{\sin h_1-\sin \delta_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta_1\cdot\cos \varphi}}\end{equation*}

Die Länge kann nur als λ* berechnet werden, wobei 𝜆* dem Regime des erdumspannenden Greenwicher Stundenwinkels Grt folgt. Wie eingangs gesagt, wird in dieser Gleichung addiert, wenn h1 vormittags gemessen wurde. Ergebnisüberträge müssen behandelt werden. Ist ein Ergebnis negativ, dann werden 360° addiert, ist es größer als 360°, dann werden 360° subtrahiert. Ein Ergebnis muss immer zwischen 0° und 360° liegen, wie der Grt auch.
Es handelt sich dann um Westlängen, wenn, wenn 𝜆* zwischen 0 und 180° liegt. Westlängen bekommen ein negatives Vorzeichen. Liegt 𝜆* zwischen 180° und 360°, dann ist ist 𝜆* von 360° abzuziehen und das Ergebnis sind Ostlängen.
Wenn der südliche Standort, im Bild 2 links ist es der Standort Y, berechnet werden soll, dann müssen die Vorzeichen der Deklinationen geändert werden. Südliche Deklinationen erhalten dann ein positives und nördliche Deklinationen ein negatives Vorzeichen. Außerdem wird das Ergebnis der Gl. 8 mit -1 multipliziert.

 

1.3 Peilung der Sonne

Bei jeder Höhenmessung mit dem Sextanten muss angegeben werden, ob die Sonne in der östlichen oder westlichen Hemisphäre beobachtet wurde. Dadurch wird bestimmt, ob in der Gl. 12 addiert oder subtrahiert wird. Gerade in der Zeit um den Schiffsmittag herum dürfte es jedoch schwierig werden, die richtige Peilung anzugeben und das erst recht, wenn die Sonne in südlicheren Gegenden ohnehin schon hoch steht. Ohne diese Angabe funktioniert aber die Berechnung der Länge nicht richtig. Die Angabe der Peilrichtung ist nicht nur bei der Benutzung des Gauß Algorithmus wichtig, sondern immer dann, wenn anhand des nautischen Dreiecks eine Länge berechnet wird.
Überhaupt sollte nicht unbedingt in der Zeit um den Schiffsmittag herum eine Höhe gemessen werden, weil die Standlinien dann viel zu parallel zu den Breitenkreisen verlaufen und der Schnittwinkel zwischen den Standlinien viel zu spitz wäre. Da sollte dann besser die Mittagsbreite für eine Standortberechnung benutzt werden. Gauß besitzt jedoch den Vorteil einer analytischen Lösungsfindung. Bei grafischen Verfahren wäre es unendlich schwierig, einen Standort als Schnittpunkt zwischen zwei Geraden ausfindig zu machen, die sich in einem sehr spitzen Winkel schneiden. Grund zur Übertreibung besteht jedoch auch bei Gauß nicht. Nur in Ausnahmefällen, wenn z. B. in der Nähe der Deklinationsbreite gesegelt wird, sind Höhenmessungen in einer Zeitspanne von 30 Minuten vor oder nach dem Schiffsmittag mitunter sogar sinnvoll.

 

Bild 3: Die möglichen Arten der Sonnenpeilung

 

Ein Computerprogramm, sollte die Peilungen automatisch erkennen. Das erhöht sowohl Komfort als auch Sicherheit. Beim Gauß Algorithmus sind die Peilrichtungen mit Hilfe zweier Rechnungen sogar sehr leicht und absolut sicher festzustellen. Bild 3 zeigt das Prinzip. Der Standort Z kann sich westlich oder östlich der Sonnenmeridiane p1 oder p2 befinden. Befindet er sich östlich von p1, gekennzeichnet durch \sigma-\zeta<0 dann befinden sich die Meridiane der Sonne bei beiden Beobachtungen westlich davon. Diesen Zustand zeigt das Bild mit der rechten Darstellung. In der mittleren Darstellung wird die Sonne bei jeder Beobachtung in der östlichen Hemisphäre gesehen, da \alpha-\beta<0 ist. Schließlich zeigt die linke Darstellung den Fall, dass beide Differenzen positiv sind. Die erste Beobachtung war dann vor dem Schiffsmittag und damit östlich und die zweite nach dem Schiffsmittag und westlich. 
Die Winkel sind mit den Gleichungen 5 und 6 bereits berechnet worden. Die Winkel auf der Westseite müssen allerdings noch berechnet werden. Der Formelaufbau ist dabei derselbe. Es müssen nur 𝛿1 gegen 𝛿2 und h1 gegen h2 getauscht werden und man erhält

Die Winkel \sigma und \zeta sind mit den Gleichungen 5 und 6 bereits berechnet worden. Die Winkel auf der Westseite \alpha und \beta müssen allerdings noch berechnet werden. Der Formelaufbau ist dabei derselbe. Es müssen nur 𝛿1 gegen 𝛿2 und h1 gegen h2 getauscht werden und man erhält:

(13)   \begin{equation*}\alpha=arccos\frac{\sin \delta_1-sin \delta_2\cdot\cos q}{\cos \delta_2\cdot\sin q}\end{equation*}

und

(14)   \begin{equation*}\beta=arccos\frac{\sin h_1-sin h_2\cdot\cos q}{\cos h_2\cdot\sin q}\end{equation*}

Wir unterscheiden also drei Zustände:

 

  1. Beide Peilungen sind östlich ( \alpha-\beta<0), beide Beobachtungen erfolgten vor dem Schiffsmittag. In der Gl. 12 ist das positive Vorzeichen zu benutzen.

  2. Beide Peilungen sind westlich (\sigma-\zeta<0), beide Beobachtungen erfolgten nach dem Schiffsmittag. In der Gl. 12 ist das negative Vorzeichen zu benutzen.

  3. Die erste Peilung ist östlich und die zweite westlich, 𝛼 – 𝛽 und 𝜎 – 𝜁 sind beide positiv. Die erste Beobachtung fand am Vormittag statt und in der Gl. 12 ist das positive Vorzeichen zu benutzen.

Den Zustand, dass die erste Peilung westlich und die zweite östlich ist, gibt es nur dann, wenn eine Nacht zwischen den Beobachtungen liegt und auch nur dann, wenn die Tageszeit der ersten Beobachtung größer ist als die Tageszeit der zweiten Beobachtung. Wenn das der Fall ist, dann muss eine E-W Peilung in W-E getauscht werden bzw. umgekehrt.

 

2 Versegelung

Wer mit der Sonne navigiert, muss zwischen den Beobachtungen eine angemessene Zeit verstreichen lassen. Erst dann sind die Unterschiede zwischen den Sonnenständen für eine Standortberechnung geeignet. In der Zwischenzeit verändert sich der Schiffsort. Die während der ersten Beobachtung festgestellte Höhe muss deshalb auf den Ort der zweiten Beobachtung hochgerechnet werden und diesen Vorgang nennt man Versegelung einer Standlinie bzw. Höhengleiche.

Das Problem tritt bei allen Navigationsmethoden auf sobald nur mit einem Gestirn navigiert wird, bei Sumner und Hilaire ebenso wie bei Gauß. Die Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen wird mit Hilfe einer Koppelnavigation (engl. Dead Reckoning) festgestellt. Die Methode von Gauß hat gegenüber anderen den Vorteil, dass sie analytisch arbeitet. Ein Standort muss nicht grafisch gefunden werden und deshalb genügt eine kürzere Zeit zwischen den Beobachtungen, in der die Ortsveränderung dann auch nicht sehr groß ist. Eine Stunde zwischen den Beobachtungen sollte aber schon vergehen.

Bei der grafischen Methode nach Hilaire würden sich zwei Standlinien, die in nur 60 min Abstand gemessen werden in einem recht spitzen Winkel schneiden, sie schleifen. Ein Standort kann in diesem Fall kaum präzise herausgelesen werden. Die Dicke der Bleistiftstriche wäre schon ein Problem. Zwar kann die Hilaire Methode ebenfalls programmiert ausgeführt werden, wofür es auch zahlreiche Beispiele gibt, denn was konstruiert werden kann, ist auch programmierbar. Das Ergebnis ist dann aber nicht gleich analytisch zu nennen. Bei Hilaire handelt es sich um eine Näherungsmethode. Ein Standort wird geschätzt und die Rechnung verbessert diesen Standort nur. Man müsste also mit einem jeweils ausgerechneten verbesserten Standort die gesamte Rechnung solange wiederholen, bis sich aufeinanderfolgende Ergebnisse nicht mehr voneinander unterscheiden. Erst dann ist die Genauigkeit dieselbe, die mit Gauß auf Anhieb erreicht wird. Diese Berechnungsart ist in der Mathematik unter den Bezeichnungen Iteration, Rekusivberechnung oder Regula falsi bekannt.  

 

2.1 Koppelnavigation zwischen den Beobachtungen

Dabei handelt es sich um eine sehr alte Navigationsform, bei der unter Berücksichtigung der gefahrenen Geschwindigkeit, der Zeit und dem gefahrenen Kurs von einem alten Standort auf einen neuen Standort geschlossen wird. In der Segelschiffzeit gab es dafür auch keine Alternative, in Nacht und Nebel ein bestimmtes Ziel erreichen zu können. Da waren dann auch die Mannschaften sehr damit beschäftigt, Logge, Sanduhren und Kompass im Auge zu behalten. Jede Änderung wurde geflissentlich auf einer Koppeltafel vermerkt und daraus eine Gesamtversegelung berechnet. Strömung und Windversetzung wollten natürlich auch berücksichtigt werden. Wer selbst einmal Kopppeln möchte, der kann dazu das EXCEL Sheet Koppelrechnung benutzen. Einzutragen sind hier aber nur Kurse und Geschwindigkeiten durchs Wasser.

Eine Koppelnavigation muss unmittelbar nach der ersten Beobachtung gestartet werden. Nach jeder Wende oder Halse, nach jeder Kursänderung oder Geschwindigkeitsänderung sollten deshalb entsprechende Eintragungen auf einer Koppeltafel gemacht werden. Das ist heute natürlich ein mobiler Computer und keine aufgestellte Tafel. Wer das unterlässt, kann am Ende nur versegelte Strecke und versegelten Kurs als Ganzes schätzen, was den Standortfehler erhöhen kann. Das funktioniert eigentlich nur, wenn der Wind mit beständiger Stärke nur aus einundderselben Richtung kommt. 

 

2.2 Versegelung nach Douwes

Der Zenitabstand s der Sonne ist genau so groß wie ihre Entfernung von einem Beobachter. Der Zenitabstand wird aus der gemessenen Höhe über die einfache Beziehung s = 90° – h berechnet und ist der Radius der zu betrachtenden Höhengleiche.
Für eine Standortbestimmung werden zwei Höhen gebraucht, damit sich die Höhengleichen aus zwei Beobachtungen in einer Kreuzpeilung kreuzen, wobei der Ort der Kreuzung der Standort ist, aber nur dann, wenn beide Beobachtungen am selben Ort stattgefunden haben. Finden die Beobachtungen an zwei verschiedenen Orten statt, dann laufen die beiden gefundenen Höhengleichen zwar durch die jeweiligen Beobachtungsorte, kreuzen sich aber weder in dem einen noch in dem anderen Ort. Ein Standort kann daraus nicht hergeleitet werden.
Für eine Standortbestimmung müssen die Sonnen, nach Bild 3.3 gibt es zwei davon, von einem Ort aus beobachtet werden, damit die Standortberechnung mit allen vorstehenden Formeln durchgeführt werden kann. Das geht aber nur dann, wenn Totenflaute herrscht und sich das Schiff zwischen den Beobachtungen nicht bewegt. Dieser Sonderfall dürfte allerdings selten sein und das Schiff wird zwischen den Beobachtungen seinen Ort ändern. Diese Ortsveränderung nennt man Versegeln eines Standortes.

Bild 4: Höhenanpassung nach Versegelung nach Douwes. Stark übertriebene Darstellungen. Der Abschnitt 𝛥h ist negativ, weil mit steigender Entfernung zum Bildpunkt die Höhe abnimmt.

Damit sich nun die Höhengleichen nach einer Versegelung im Ort der zweiten Beobachtung kreuzen, das ist nämlich der Standort, muss die Sonne mit ihren Koordinaten zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung vom Standort der zweiten Beobachtung aus beobachtet werden können. Dann schneiden sich die zwei Höhengleichen im Standort. Das Ganze ist eine Radius Änderung der ersten Höhengleiche, damit diese durch den zweiten Beobachtungsort verläuft. Diese Anpassung kann nur rechnerisch gefunden werden und geht auf den niederländischen Gelehrten Cornelis Douwes zurück. Die bessere Bezeichnung dafür ist Höhenanpassung, weil der Standort aus der Höhen berechnet wird.
Bild 4 zeigt das in einer Skizze. Gesegelt wird von Ort A nach Ort B mit einem Kurs von c. Am Ort A wird die Sonne in einer ersten Beobachtung in der Höhe h1 beobachtet. Die zweite Beobachtung erfolgt am Ort B. Doch die am Ort A gemessene Höhe h1 der Sonne kann am Ort B nicht mehr verwendet werden. Nach der Ortsveränderung steht die Sonne aus der ersten Beobachtung immer noch über derselben Position, wir haben schließlich zwei Sonnen, doch sie wird in einer anderen Höhe beobachtet. Am Ort B steht sie in der Höhe h1V am Himmel. Der Höhenunterschied 𝛥h kann berechnet werden. In der Realität sind die Größenverhältnisse des Dreiecks AA’B sehr viel kleiner als im Bild gezeigt. Bei den versegelten Strecken handelt es sich meist um zweistellige Seemeilenentfernungen, während die Durchmesser der Höhengleichen mehrere tausend Seemeilen groß sind. Man kann die Dreiecke also in der Ebene sehen, was ihre Berechnung extrem vereinfacht. Das wollen wir jetzt tun.

Eine Dreieckseite ist 𝛥h und genau die müssen wir bestimmen. Das ist nämlich die Höhenänderung aufgrund der Versegelung. Diese Seite folgt dem Azimutverlauf und damit einem Großkreis. Die Seite A’A folgt dem Verlauf der Höhengleiche aus der ersten Beobachtung. Da sich Azimut und Höhengleiche in einem Winkel von 90° schneiden, handelt es sich sogar um ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seite d ist die Hypotenuse des Dreiecks. Sie setzt sich aus allen gesegelten Schlägen zusammen, die dann eine Gesamtdistanz und einen Gesamtkurs ergeben (distance made good und course mad good). Diese Seite kann man auch als Versegelungsvektor bezeichnen.

Das Bild gibt auch einen Hinweis darauf, wie die Seite 𝛥h berechnet werden kann. In einem rechwinkligen Dreieck ist der Kosinus eines Winkels der Quotient von Gegenkathete und Hypothenuse. Wenn der Winkel den Wert Az1 – c hat, das ist die Differenz zwischen der Kurslinie und dem im Bild senkrecht nach oben verlaufenden Azimut, dann ist 𝛥h = d ⋅ cos(Az1 – c). Daraus ergibt sich dann die Höhe der Sonne mit den Koordinaten zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung am Ort der zweiten Beobachtung als

(15)   \begin{equation*}h_{1V}=h_1+\overrightarrow {AA'}=h_1+d\cdot\cos (Az_1-c)\end{equation*}

Man kann sich das auch so vorstellen, dass eine virtuelle Sonne, wie sie zum Zeitpunkt der ersten Beobachtung am Himmel stand, an dieser Stelle „eingefroren“ stehen bleibt. Ihre an einem Ort einmal gemessene Höhe h1, kann dann unter Zuhilfenahme einer bekannten Ortsveränderung auf jeden anderen Ort in der Nähe umgerechnet werden.
Das Azimut müssen wir allerdings erst noch bestimmen. Da keiner der Orte wirklich bekannt ist, berechnen wir das Azimut einfach auf Basis der Breite 𝜑m eines mittleren Ortes:

(16)   \begin{equation*}Az^*=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi_m\cdot \sin h_1}{\cos \varphi_m\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Die Breite des mittleren Ortes sollte keine Schätzung sein. In einem Computerprogramm ist es am vorteilhaftesten, wenn dafür eine Breite 𝜑m benutzt wird, die stumpf aus den Höhen h1 und h2 mit der Gl. 8 ausgerechnet wird. Die Rechnung läuft an, sobald die Daten der zweiten Beobachtung eingegeben worden sind. Mit dieser mittleren Breite kann dann sofort das Azimut und anschließend mit den Daten der Versegelung die angepasste Höhe h1v mit Gl. 15 berechnet werden. Nachdem das erledigt ist, springt das Programm zurück in die Gl. 6 und rechnet den Algorithmus diesmal bis zur Standortlänge durch, wobei jetzt aber anstelle h1 der Wert h1v verwendet werden muss.

Das Azimut Az* ist mit einem Stern versehen, denn es muss berücksichtigt werden, ob die Sonne in der ersten Beobachtung vor- oder nach dem Schiffsmittag beobachtet wurde. Nur wenn die Sonne im Osten gepeilt wird, also vor dem Schiffsmittag, dann ist der mit dieser Gleichung berechnete Wert das Azimut. Bei Beobachtung der Sonne im Westen, muss der berechnete Wert von 360° subtrahiert werden, um das Azimut zu erhalten.
Eine andere Möglichkeit, das Azimut zu bestimmen ist die Benutzung der Breite des letzten bekannten Standortes. Diese müsste dann einem Programm vor einer erstmaligen Nutzung einmal mitgeteilt werden. In einem Computerprogramm ist das jedoch kein Vorteil. Es würde nur Sinn machen, wenn jemand den Gauß Algorithmus auf einem Taschenrechner programmieren möchte, was für rechenfreudige Leute vielleicht interessant sein könnte.

 

3 Gauß Algorithmus am Schiffsmittag

Bei allen Methoden, die nur mit der Sonne arbeiten, gibt es Schwierigkeiten, am oder in der Nähe des Schiffsmittags eine Höhe zu messen. Das ist auch beim Gauß Algorithmus nicht anders. Eines der beiden Dreiecke im Bild 2, entweder X1ZP oder X2ZP mutiert am Mittag zu einer Linie, weil alle Seiten des Dreiecks übereinander liegen. In diesem Fall kann ein Standort nur noch aus Mittagsbreite und Chronometerlänge hergeleitet werden. Die Versegelungsberechnung nach Douwes kann auch hier erfolgreich angewendet werden, wenn zuerst eine Höhengleiche gemessen wird. Die Mittagsbreite wird bekanntlich dadurch bestimmt, dass die Kulminationshöhe der Sonne gemessen und je nachdem, ob die Sonne im Süden oder Norden gesehen wird eine Addition der Deklination erfolgt:

(17)   \begin{equation*}\varphi_M = \left \lbrace {(90^\circ-h)+\delta \;\;\text{wenn Peilung S}}\atop (h-90^\circ)+\delta \;\;\text{wenn Peilung N}\end{equation*}

Wenn mit der Mittagsbreite navigiert werden muss, dann gibt es Unterschiede darin, ob die Mittagsbreite zuerst und nachmittags eine Höhengleiche gemessen wurde oder umgekehrt.  

 

3.1 Höhengleiche zuerst

Am Vormittag wird die Sonne in der östlichen Hemisphäre beobachtet. Ihr Zenitabstand ist s1 und die Deklination 𝛿1. Durch Versegeln kann sich der Durchmesser der Höhengleiche ändern. Dieser beträgt am Schiffsmittag h1 + 𝛥h. Zu dieser Zeit kulminiert die Sonne auf ihrer kleinsten Höhe, die jetzt h2 benannt wird und die Mittagsbreite beträgt \varphi_M=(90^\circ-h_2)+\delta_2. Die Standortbreite ist damit bekannt. Die Länge kann jetzt wie eine Chronometerlänge berechnet werden:

(18)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt_1+arccos\frac{\sin (h_1+\Delta h)-\sin \varphi_M\cdot\sin \delta_1}{\cos \varphi_M\cdot\cos \delta_1}\end{equation*}

Zur Umformung auf das Gradnetz der Erde erfolgt nach der oben gezeigten Tabelle, wobei die erste Zeile darin nicht zum Tragen kommen kann, weil 𝜆* nicht negativ werden kann.  

 

3.2 Mittagsbreite zuerst

Durch Versegeln kann sich nach gemessener Mittagsbreite die Standortbreite ändern, wenn Nord-Süd Strecken abgesegelt werden. Zum Zeitpunkt der Messung der Nachmittags Höhengleiche beträgt diese dann \varphi_M\pm\Delta\varphi. Die Standortlänge wird auch jetzt wieder wie die Chronometerlänge mit der Sonne im Westen berechnet. Der Polwinkel \tau berechnet sich im Prinzip genauso:

(19)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt_1-\arccos\frac{sin \,h_2-\sin \delta_2\cdot\sin (\varphi_M\pm\Delta\varphi)}{\cos\delta_2\cdot\cos (\varphi_M\pm\Delta\varphi)}\end{equation*}

Zur Umformung auf das Gradnetz der Erde erfolgt nach der oben gezeigten Tabelle, wobei jetzt die letzte Zeile darin nicht zum Tragen kommen kann, weil λ* nicht größer als 360° werden kann.  

 

4 EXCEL Sheet mit Gauß Navigationsprogramm

Ein Gauß Navigationsprogramm auf EXCEL Basis kann aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden. Die Nutzung dieses Programms erfordert keinerlei Spezialwissen. Jeder, der einen Sextanten, eine Uhr, ein Mobilgerät oder einen Computer besitzt, auf dem die Microsoft EXCEL App läuft, kann damit auf See seinen Standort bestimmen. Das Programm arbeitet mit den in diesem Beitrag vorgestellten Formeln, benutzt die Sonnenpeilung gemäß der im Bild 4 vorgestellten Variante und der Versegelung nach Cornelis Douwes. 

Bild 6: Eingabemaske des ECEL Navigationsprogramms “COP Navigation”.

Bild 6 zeigt die Benutzeroberfläche. Im Bereich Einstellungen werden einige Konstanten eingegeben. Die Indexberichtigung ist dabei der negative Wert des Indexfelers des verwendeten Sextanten. Weil Plastiksextanten einen Indexfehler haben, der aufgrund von Temperatureinwirkungen von Beobachtung zu Beobachtung unterschiedlich sein kann, wurde für jede Beobachtung ein Eingabefeld für die Indexkorrektur vorgesehen. 
Sonnenrand ist die Oberkante oder Unterkante der Sonnenscheibe, die auf den Horizont gesetzt wird. In der Regel wird man U eingeben und die Sonne mit ihrem Unterrand auf den Horizont setzen. Eine getrennte Eingabe für die einzelnen Beobachtungen ist nicht vorgesehen. 
Im Feld Standortwahl ist anzugeben, ob sich das zu befahrende Segelgebiet nördlich oder südlich der Deklinationsbreite befindet. Wer im Mittelmeer segelt, der muss hier ein “N” eintragen.
In den Blöcken Messung 1 und 2 werden jeweils das Datum, die Uhrzeit in UTC und die auf dem Sextanten abgelesenen Werte eingetragen. Das Datum kann nur in den oberen Block geschrieben werden. Im unteren Block kann angegeben werden, ob die zweite Beobachtung eventuell an einem Folgetag geschieht.
Letztendlich ist noch die Versegelung einzugeben, also die Entfernung in Seemeilen zwischen den Orten der Beobachtung und der dabei gefahrene Kurs. Diese Daten sind jedoch nur durch Kopplung zu erhalten. Nachdem alle Felder beschrieben worden sind wird als Ergebnis schließlich der Standort ausgegeben. Nach einer zweiten Beobachtung wird auch die Zeit des Schiffsmittags berechnet und angezeigt.

Das Programm produziert zwei Grafiken, die im Bild 7 gezeigt werden. Die linke Grafik zeigt den Verlauf der Höhengleichen im Standortbereich. Diese Grafik kann auch durch Eingabe eines darzustellenden Breitenbereiches höher oder weniger hoch auflösen. Leider gestattet es EXCEL nicht, das Diagramm zu drehen, so dass die Nord-Süd Richtung in beiden Diagrammen leider waagerecht dargestellt werden musste. 

Bild 7: Grafikausgaben des EXCEL Navigationsprogramms.


Das zweite Diagramm zeigt die Höhengleichen. Man kann so erkennen, ob sie sich schneiden und auch etwa an welcher Stelle. Der Nachteil dieses Diagramms ist, dass es auf kartesischen Koordinaten aufgebaut ist, die außerdem noch bei 80° in der Breite und 180° in der Länge begrenzt sind. Die unterschiedliche Skalierung der Achsen führt dazu, dass anstelle von Kreisen Ovale dargestellt werden. Das ist aber noch nicht alles. Bei der Darstellung von Höhengleichen mit großen Durchmessern oder solchen, die die 180° Grenze in der Länge überschreiten, entstehen mitunter schwer zu deutende Figuren. 
Beispielsweise geht eine Höhengleiche, die bis nahe an die Pole oder sogar darüber reicht, dort nicht zusammen, sondern auseinander. Das liegt daran, dass an den Polen die Meridiane zusammenlaufen und die Kreislinie einer Höhengleiche dort sehr viele Meridianen kreuzt. Am Pol laufen alle Meridiane zusammen, im Diagramm aber nicht. Dort ist der Abstand zwischen den Meridianen am Äquator genau so groß wie an den Polen.  

 

Was noch zu sagen wäre

Der Algorithmus nach Gauß liefert ein analytisch exaktes Ergebnis. Trotzdem ist ein real ermittelter Standort nicht viel genauer als nach der Methode von Hilaire. Eine Standortgenauigkeit ist letztlich von vielen anderen Faktoren abhängig, so von der Genauigkeit der einzugebenden Messwerte von Höhe und Zeit. Gauß hat aber zwei wesentliche Vorteile. Zum einen muss kein Schätzort angegeben werden und zum anderen muss nichts gezeichnet werden. Man ist also nicht gezwungen, das Standortergebnis aus der Kreuzung zweier Linien auf einer Seekarte herauszuspekulieren.

Bild 8: Displayaufnahme aus der App “Circle of Position Navigation”, die den Standort nach Gauß berechnet. In den Standort kann auch tief  hineingezoomt werden.

Der hier gezeigte Rechenweg ist deshalb ideal in Computeranwendungen. Da sind nur einfach zwei Höhen einzugeben und die Zeit in der sie gemessen wurden und das Ergebnis liegt als Zahl vor. Das Programm dazu besteht aus ein paar hintereinander ablaufenden Formeln und ist von einem Programmierer praktisch schon auf einer Bildschirmseite geschrieben. Man bleibt dabei stets im Kugelkoordinatensystem der Erde. Das Ergebnis ist keine Näherung, weshalb zwischen den Beobachtungen auch nicht viele Stunden vergehen müssen, ohne dass dabei große Fehler entstehen. Eine Stunde solle es aber schon sein.

Grundsätzlich kann auch Hilaire in einem Programm umgesetzt werden und gerade das wurde schon am häufigsten gemacht. Doch schön ist das nicht, weil zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten hin-und her gesprungen werden muss. Das Ergebnis ist letztlich auch nur eine Näherung. Der Vorteil, dass auch kürzere Zeitabstände zwischen den Messungen bei der Sonnennavigation zugelassen sein könnten, ist dadurch nicht mehr gegeben. Dafür müsste man schon exakt rechnen. Auch das wäre bei Hilaire möglich, indem rekursiv gerechnet wird. Doch warum sollte man das tun? Außerdem ist ein Schätzort anzugeben.

Grafiken, die ein Computer erstellt, sind beim Gauß-Verfahren beinahe atemberaubend. Sie zeigen die Weltkugel in 3D und darauf die Kreise der Höhengleichen mit den Bildpunkten der Sonne. Man kann hineinzoomen bis zur klaren Darstellung einer Küstenlinie oder einer Hafeneinfahrt. Dargestellt werden auch die zwischen den Beobachtungen zurückgelegten Schläge die dazu in einem Dead Reckoning Modul erfasst werden. Bild 8 zeigt dafür ein Beispiel. Der Einwand, dass Gauß in der Praxis nicht anwendbar ist, weil man eine Höhengleiche nicht zeichnen kann, ist damit endgültig vom Tisch.  


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