Gauß und das Zweihöhenproblem

Johann Carl Friedrich Gauß, der Zahlenmann

 

Jahrhundertelang haben die Gelehrten nach einer Lösung für das Zweihöhenproblem gesucht. Das gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahre 1808. Gauß hatte mit Seefahrt nichts zu tun und stieß eher zufällig auf das Problem, als ihm die Dissertation eines Herrn Kraft in die Hände fiel. Die darin vorgetragenen Berechnungen, aus der Höhe zweier Sterne die Zeit und die Polhöhe zu bestimmen, erschienen dem Zahlenmann Gauß so konfus, dass er sich anschickte mit dem Ansatz des Herrn Kraft einen eigenen Rechenweg zu entwickeln und diesen dann 1809 in Bodes astronomischem Jahrbuch für das Jahr 1812 zu veröffentlichen. Er bemerkte aber auch, dass es einfacher wäre nicht diesen Ansatz des Herrn Kraft zu wählen, sondern eine Betrachtung über die Dreiecke anzustellen,

obgleich sie sich (Anm.: die Betrachtung) bloß auf die Bestimmung von φ einschränkt und sich auf die Bestimmung der Zeit nicht einläßt.

Eine Berechnung nach dieser, seiner eigenen Bemerkung, hat Gauß dann aber nicht mehr veröffentlicht. Die Arbeit von Gauß wurde in der Seefahrt nie verwendet. Als Kapitän Sumner 32 Jahre später seine Standlinienmethode vorstellte, dauerte es nur etwa zwei Jahre bis zu ihrer weltweiten Benutzung und die 63 Jahre später publizierte Intercept Methode von Saint Hilaire wurde erst von der Satellitennavigation abgelöst. Diese beiden Methoden allein lieferten Stoff für zahllose Publikationen und füllten ganze Bücher. Dabei sind es nur Näherungsmethoden während Gauß exakt rechnet.

Heute kann nur spekuliert werden, was die Gründe dafür waren. Die offizielle Meinung ist, dass die Berechnungen die Möglichkeiten, der damaligen Rechentechnik überforderten. Tatsächlich war der veröffentlichte Rechenweg für die Praxis auf den Schiffen nicht geeignet. Doch was ist mit dem Hinweis von Gauß auf den einfachen Weg über die Dreiecke, der allerdings nur die Breite liefern kann?

Bild 1: Titelseite von Bodes Astronomischem Jahrbuch, in dem C. F. Gauß die Lösung des Jahrhunderte alten Zwei-Höhen-Problems beschrieb.

Dieser Hinweis war offenbar nicht interessant genug, denn die Breite φ konnte damals als Mittagsbreite oder Nordsternbreite sehr genau bestimmt werden. Durch Koppeln stand sie dann auch ständig zur Verfügung. Der Hinweis auf die einfachere Methode über die Betrachtung der Dreiecke wäre lediglich ein weiterer Weg gewesen, den zu benutzen, noch eine Menge Rechenarbeit erfordert hätte, während die traditionellen Methoden für eine wie man dachte gleichwertige Genauigkeit mit einer einfachen Addition auskamen.

In den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts bis etwa 1840 wurden die Schiffe mit Schiffschronometern ausgerüstet um die Länge bestimmen zu können. Die sog. Chronometerlänge wurde in der Regel vormittags bestimmt, wenn die Sonne am schnellsten stieg. Zur Berechnung brauchte man die Breite, die jedoch erst am Mittag exakt festgestellt werden konnte. Uhrzeit und Sextantenablesung wurden also notiert und die Fahrstecke bis zum Mittag erfasst.

Die Chronometer mussten natürlich immer genau gehen. Zeitzeichen zum Stellen der Uhren gab es noch nicht und so musste man auf die Messung von Monddistanzen zurückgreifen, wofür es Auswertetabellen gab. Darüber hinaus gab es in manchen Häfen Zeitbälle, mit deren Hilfe die Chronometer gestellt werden konnten. Eine Berechnung der Zeit nach Gauß war für den Bordgebrauch viel zu aufwändig.

Damals war es noch üblich, dass Breite und Länge getrennt voneinander bestimmt wurden. Als Kapitän Sumner 1843 eine neue Navigationsmethode publizierte, mit der zu beliebigen Zeiten des Tages Länge und Breite gleichzeitig, also ein Standort, bestimmt werden konnte, war das eine Sensation. Danach war Gauß nur noch Geschichte. Die Bestimmung eines Standortes nach Gauß hat jedoch einen ganz besonderen Reiz, der darin besteht, dass die Lösung analytisch gefunden wird, ohne jegliche Zeichenarbeit in einer Seekarte. Das ist ideal für Computeranwendungen.

Gerade das kann ein weiterer Grund für die Ablehnung dieser Methode gewesen sein. Die inzwischen etablierten Standlinienmethoden erforderten nach jedem Rechenschritt graphische Konstruktionen auf der Seekarte. Außerdem musste der eigene Standort vorher geschätzt werden. Man hatte die Karte vor sich und sah, dass die Standlinienkonstruktionen Schritt für Schritt auf einen Standort hinführten, der gar nicht weit weg von der eigenen Schätzung lag. Das vermittelte einfach Sicherheit.

Dagegen musste die Gauß‘sche Lösung geradezu unheimlich wirken. Aus lediglich zwei Höhen bekannter Sterne oder der Sonne zu zwei unterschiedlichen Zeiten sollte man einen globalen Standort ausschließlich durch Berechnungen erhalten, ohne dass eine Seekarte auch nur in der Nähe sein muss. Außerdem war eine Berechnung erst nach einer zweiten Beobachtung möglich. Sofern mit der Sonne gearbeitet konnte das auch dauern. In der Zwischenzeit hätte man nicht einmal eine Standlinie vor sich und könnte nicht einschätzen, ob die erste Beobachtung vielleicht fehlerhaft war.

Als Rechenhilfsmittel existierten nur Logarithmentafeln und die Berechnungen damit waren aufwändig. Doch was ist heute, wir verfügen doch über moderne Elektronenrechner, warum immer noch Hilaire? Das mag zwei Gründe haben. Erstens war die Hilaire-Methode die letzte weltweit genutzte Methode vor der Ablösung durch die Satellitennavigation und es ist nur normal, dass genau darin auch die Alternativmethode gesehen wird. Zweitens hält sich hartnäckig der Irrglaube, dass Gauß wegen seines angeblichen Formelumfangs nicht praktikabel genug ist.

Tatsächlich hat man sich mit der Gauß’schen Methode nie wirklich auseinandergesetzt. Im Jahr 1949, also mitten im 20. Jhd. veröffentlichte Heinrich Dörrie den von Gauß vorgeschlagenen einfachen Lösungsweg über die Dreiecke in seinem Buch „Ebene und sphärische Trigonometrie“ (ISBN: 3486778064). Dörrie war Mathematikprofessor und wie Gauß an der Universität Göttingen tätig, nur eben 140 Jahre später. Zur Lösung brauchte er den Kosinus Seitensatz, den Sinussatz, den Halbwinkelsatz und die Nepperschen Gleichungen, die als Nebenrechnung noch ein kleines Gleichungssystem mit zwei Unbekannten bereit hielten.

Das konnte wirklich nicht dazu begeistern, Gauß einzuführen. Tatsächlich reicht der Kosinus Seitensatz allein, wobei der Formelumfang dem der Hilaire Methode etwa gleichkommt. Die Komplexität, die bei Hilaire durch die vielen unterschiedlichen Schritte zustande kommt, gibt es bei Gauß jedoch nicht. Außerdem ist das Ergebnis rechnerisch exakt. Es ist keine Näherungslösung und eine vorherige Standortschätzung ist auch nicht nötig.


1 Standort nach Gauß

Zur Erklärung einer globalen astronomischen Ortsbestimmung verwendet man gern die im Bild 2 links gezeigten zwei sich überlappenden Kreise auf der Erdkugel. Diese Kreise sind hier nur als dünne unterbrochene Linien in grün und rot dargestellt. Einer der beiden Schnittpunkte Z oder Y ist der Standort. Man kann erkennen, dass die grüne Höhengleiche mit der Sonne X1 am Vormittag und die rote mit der Sonnenposition X2 nach dem Schiffsmittag beobachtet wurden, denn die Sonnenpositionen liegen einmal östlich und dann westlich der möglichen Beobachterpositionen. Natürlich sind auch andere Konstellationen möglich, wo beide Beobachtungen entweder am Vormittag oder beide am Nachmittag erfolgen. Die Berechnung der Schnittpunkte ist eine einfache Geometrieaufgabe und hat mit Kreisberechnungen überhaupt nichts zu tun.
Die Lösung dieser Aufgabe wird jetzt in zwei Teilen vorgestellt, einer reinen verbalen Beschreibung nur zum Verstehen und einer anschließenden mathematischen Beschreibung.

 

1.1 Verbale Lösungsbeschreibung

Aus den zwei Sonnenpositionen X1 und X2, sowie dem Standort Z und dem Pol P lassen sich insgesamt vier Dreiecke bilden, drei innere und ein äußeres. Der Grundsatz, dass von einem sphärischen Dreieck, drei Elemente bekannt sein müssen, damit unbekannte Elemente desselben Dreiecks berechnet werden können, wird hier konsequent angewendet.

Dreieck X1X2P: Bekannt sind die Deklinationen δ1 und δ2 und damit die Seiten p1 und p2 als Komplemente, den Ergänzungen der Deklinationen zu 90°. Ebenfalls bekannt ist der davon eingeschlossene Winkel 𝜗 =Grt2 – Grt1, drei Elemente also. Daraus werden jetzt die Seite q und der Winkel σ berechnet.

Dreieck X1X2Z: Bekannt sind alle drei Seiten. Die Seite q ist gerade ausgerechnet worden und die Seiten s1 und s2 sind die Zenitabstände und damit die Komplemente der gemessenen Höhen h1 und h2, wobei h1 im Fall einer Ortsveränderung zwischen den Beobachtungszeiten durch Addition von Δh, einer sog. Höhenanpassung, korrigiert werden muss. In diesem Dreieck wird nur der Winkel ζ berechnet.

Dreieck PZX1: Bekannt sind p1, s1 und der Winkel ψ = σ – ζ, also wieder drei Elemente und man kann die Seite b berechnen. Die Seite b ist das Komplement der Standortbreite φ = 90° – b. Wir haben damit schon mal die Breite berechnet. Jetzt kann auch sofort der Polwinkel \tau berechnet werden, denn dieser führt über die Summe mit Grt1 sofort auf die Standortlänge λ*.
Diese Länge mit dem Sternchen  beruht auf der Berechnung des Stundenwinkels Grt, der 360° in westlicher Richtung um die Erde zählt. Das Gradnetz der Erde zählt aber 180° entgegen dem Sonnenlauf nach Ost und -180° mit dem Sonnenlauf nach West. Die weiter unten stehende Tabelle enthält die notwendigen einfachen Operationen zur Umrechnung auf die geografischen Längen.

Bild 2: Geometrisches Modell der Aufgabenstellung, aus der Höhe der Sonne zu zwei unterschiedlichen Zeiten, den Standort zu bestimmen. 

 

2.2 Mathematische Umsetzung

Die mathematische Lösung ist recht einfach. Zur Anwendung kommt lediglich der Kosinus Seitensatz, der im Beitrag „Die Sonne am Himmel“ ausführlich vorgestellt wurde. Bei dem hier vorgestellten Algorithmus liefert eine Gleichung das fehlende Glied für die Berechnung in der nächsten Gleichung und führt so ohne Verzweigung in gerader Linie auf den zu bestimmenden Standort. Damit zwischen einem nördlichen und einem südlichen Schnittpunkt unterschieden werden kann, sind noch ein paar Vereinbarungen zu treffen:

  • Unterscheidung: U = +1 wählt den nördlichen Standort Z und U = -1 den südlichen Standort Y
  • Deklinationen: \delta'_1=U\cdot\delta_1 und \delta'_2=U\cdot\delta_2

Dreieck X1X2P:  Wie oben beschrieben, stehen die langen Seiten p1 und p2 sowie der davon eingeschlossene Winkel 𝜗 zur Verfügung. So wählt man die dritte Zeile des Kosinus Seitensatzes und setzt die entsprechenden Winkel ein:

    \begin{equation*}\cos q=\cos p_1\cdot\cos p_2+\sin p_1\cdot\sin p_2\cdot\cos \vartheta\end{equation}

Indem wir jetzt die Komplementwinkel verwenden, den Winkel 𝜗 mit Grt2 – Grt1 ersetzen und die Kosinus Umkehrfunktion anwenden erhalten wir:

(1)   \begin{equation*}q=arccos [\sin \delta'_1\cdot\sin \delta'_2+\cos \delta'_1\cdot\cos \delta'_2\cdot\cos (Grt_2 -Grt_1)]\end{equation*}

Mit der zweiten Zeile des Kosinus Seitensatzes berechnen wir jetzt den Winkel σ. Aus

    \begin{equation*}\cos p_2=\cos p_1\cdot\cos q+\sin p_1\cdot\sin q\cdot\cos \sigma\end{equation}

und nach Verwenden der Komplementwinkel folgt daraus:

    \begin{equation*}\sin \delta'_2=\sin \delta'_1\cdot\cos q+\cos \delta'_1\cdot\sin q\cdot\cos \sigma\end{equation}

Diese Gleichung muss nach cos σ aufgelöst werden. Den Winkel erhält man dann über die Arcus Umkehrfunktion. Es folgen also die beiden Schritte:

    \begin{equation*}\cos \sigma=\frac{\sin \delta'_2-sin \delta'_1\cdot\cos q}{\cos \delta'_1\cdot\sin q}\end{equation}

und dann

(2)   \begin{equation*}\sigma=arccos\frac{\sin \delta'_2-sin \delta'_1\cdot\cos q}{\cos \delta'_1\cdot\sin q}\end{equation*}

Dreieck X1X2Z:  Um die Seite b ausrechnen zu können, wird der Winkel ψ gebraucht und den erhält man über die Differenz von σ und ζ . Mit der Seite q sind alle drei Seiten dieses Dreiecks bekannt, so dass der Winkel ζ bestimmt werden kann. Die Berechnung erfolgt in derselben Weise wie bei dem Winkel σ nach Gl. 2. Der Formelaufbau ist identisch. Anstelle der Deklinationen sind jetzt Höhen einzusetzen:

(3)   \begin{equation*}\zeta=arccos\frac{\sin h_2-sin \,(h_1+\Delta h)\cdot\cos q}{\cos (h_1+\Delta h)\cdot\sin q}\end{equation*}

Die Größe Δh berücksichtigt eine Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen, auf die im Anschluss näher eingegangen wird. Zunächst berechnen wir den Winkel ψ im PZX1 Dreieck durch eine einfache Subtraktion:

(4)   \begin{equation*}\psi=\sigma-\zeta\cdot\end{equation*}

Dreieck PZX1:  Jetzt ist alles beisammen, um in dem Dreieck PZX1 die Seite b berechnen zu können. Diese Seite ist das Komplement der Standortbreite, denn es gilt cos b = sin (90° – b) = sin φ und φ = arcsin (sin φ). Ebenfalls aus dem Kosinus Seitensatz folgt deshalb:

    \begin{equation*}\cos b=\cos p_1\cdot\cos s_1+\sin p_1\cdot\sin s_1\cdot\cos \psi\end{equation}

Nach Einsetzen der Komplementwinkel erhält man die Standortbreite:

(5)   \begin{equation*}\boxed{\varphi=U\cdot\arcsin(\sin \delta'_1\cdot\sin (h_1+\Delta h)+\cos \delta'_1\cdot\cos (h_1+\Delta h)\cdot\cos \psi)}\end{equation*}

Hier mußte der Unterscheidungsparameter U eingesetzt, der zwischen dem nördlichen und dem südlichen Schnittpunkt unterscheidet und hier nur das negative Vorzeichen für südliche Breiten generiert. Wenn die Breite bekannt ist, dann kann die Länge leicht berechnet werden. Das wurde bereits im Beitrag „Die Sonne am Himmel“ hergeleitet, soll aber hier für den speziellen Fall noch einmal wiederholt werden. Es gilt:

    \begin{equation*}\cos \tau=\frac{\cos s_1-cos \,p_1\cdot\cos b}{\sin p_1\cdot\sin b}\cdot\end{equation}

Nach Verwenden der Komplementwinkel folgt schließlich:

(6)   \begin{equation*}\tau=\arccos\frac{\sin (h_1+\Delta h)-\sin \delta_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta_1\cdot\cos \varphi}\cdot\end{equation*}

Die mit dem Sternchen gekennzeichnete Länge ergibt sich dann aus der Addition bzw. Subtraktion mit dem Greenwicher Stundenwinkel:

(7)   \begin{equation*}\boxed{\lambda^\ast=Grt_1\pm \tau}\end{equation*}

Das Stenchen weist darauf hin, dass die berechnete Länge nicht in das Gradsystem der Erde mit 180 Ostgraden und 180 Westgraden passt und eine Umrechnung erforderlich ist. Ob nun addiert oder subtrahiert werden muss, hängt davon ab, ob die Sonne bei der ersten Beobachtung östlich oder westlich peilt. Wenn sie in der östlichen Hemisphäre beobachtet wurde, dann wird addiert. Mit den Regeln in der nachstehenden Tabelle wird die in der vorstehenden Gleichung berechnete Länge an die Konventionen des Gradnetzes der Erde angepasst.

 

Tafel 1: Längenumrechnungen
λ* als Grt + oder – Polwinkel erforderliche Operation Typ
kleiner als null Vorzeichen auf + ändern Ostlänge
im Intervall von 0° bis 180° Vorzeichen auf – ändern Westlänge
im Intervall von 180° bis 360° von 360° subtrahieren Ostlänge
größer als 360° 360° subtrahieren, Vorzeichen auf – ändern Westlänge

Die Berechnung eines Standortes nach Gauß ist also nach fünfmaliger Anwendung des Kosinus Seitensatzes hintereinander komplett erledigt. Die Komplexität ist dadurch gering. Eine vorherige Standortschätzung ist unnötig. Zur Längenberechnung ist das Vorzeichen in Gl. 7 wichtig. Damit dieses, von einem Rechenprogramm richtig eingesetzt wird, benötigt man einen Algorithmus, der die Peilung der Sonne aus den Beobachtungen automatisch ermittelt.  

 

1.3 Peilung der Sonne

Die Notwendigkeit, die Peilung der Sonne einem Computerprogramm extra mitteilen zu müssen, würde den Komfort eines solchen Navigationsprogramms mindern. Die Peilung der Sonne sollte also von einem Programm selbst festgestellt werden. Bei Hilaire ist das kein Problem, weil das Azimut für einen geschätzten Standort sowieso ausgerechnet werden muss. Bei Gauß wollen wir auf eine Standortschätzung gerne verzichten und müssen die Peilung deshalb irgendwie aus den zwei Beobachtungen herausfinden. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.

Bild 3: Die erste Beobachtung mit dem BP1 erfolgt vormittags. Sobald der Durchmesser von COP2 an COP1 ein Segment genau abschneidet, wechseln die Peilungen der Sonne von Ost/ Ost in Ost/ West.

Eine einfache Methode, diese Aufgabe zu lösen zeigt Bild 3. Hier besteht ein logischer Zusammenhang, der auf folgenden Sätzen, basiert:

  1. Beide Peilungen sind östlich, wenn gilt: s_2<s_1\;\text{und}\;\Delta Grt<s_m_a_x-H
  2. Beide Peilungen sind westlich, wenn gilt: s_2>s_1\;\text{und}\;\Delta Grt<s_m_a_x-H

Die Höhengleiche am Mittag hat immer den kleinsten Durchmesser, weil die Sonne dabei ihren höchsten Stand hat. so können Vormittagsmessungen von Nachmittagsmessungen leicht unterschieden werden. Der Durchgang des kleineren Kreisdurchmessers durch die größere Kreislinie kennzeichnet den Zeitpunkt, in dem eine Messung am Vormittag und die andere am Nachmittag erfolgt. Wenn also beide Sätze nicht zutreffen, dann kann die erste Peilung nur östlich und die zweite nur westlich (vormittags = östlich, nachmittags = westlich) sein. In den verwendeten Bezeichnungen bedeuten ∆Grt die Differenz der Stundenwinkel der Beobachtungen, smax ist der Radius der größeren der beiden Positionskreise und H ist die Höhe des Kreisabschnitts, der sich dadurch ergibt, dass der Durchmesser der kleineren Höhengleiche eine genau eingepasste Sehne der Länge 2s an der größeren Höhengleiche ist. Diese Höhe H kann einfach berechnet werden:

(8)   \begin{equation*}H=s_{max}-\sqrt{s_{max}^2-s_{min}^2} \end{equation*}

Eine andere Art der Sonnenpeilung funktioniert auch dann noch zuverlässig wenn eine zweite Beobachtung am folgenden Tag zu einer früheren Uhrzeit gemacht wird, die erste am z. B. am Nachmittag und die zweite am kommenden Vormittag. Die Methode ist ein wenig rechenintensiver, was aber bei Computeranwendungen überhaupt nicht stört. 

Bild 4: Die möglichen Arten der Sonnenpeilung

 

Bild 4 zeigt das Prinzip. Der Standort kann sich westlich oder östlich der Sonnenmeridiane p1 oder p2 befinden. Befindet er sich östlich von p1, gekennzeichnet durch \sigma-\zeta<0 dann befinden sich die Meridiane der Sonne bei beiden Beobachtungen westlich davon. Diesen Zustand zeigt das Bild mit der rechten Darstellung. In der mittleren Darstellung wird die Sonne bei jeder Beobachtung in der östlichen Hemisphäre gesehen, da \alpha-\beta<0 ist. Schließlich zeigt die linke Darstellung den Fall, dass beide Differenzbildungen nicht negativ sind. Die erste Beobachtung war also vor dem Schiffsmittag und damit östlich und die zweite nach dem Schiffsmittag und westlich. 

Die Winkel \sigma und \zeta sind mit den Gleichungen 2 und 3 bereits berechnet worden. Die Winkel auf der Westseite \alpha und \beta müssen allerdings noch berechnet werden. Der Formelaufbau ist dabei derselbe und nur die Seiten  p und s müssen gegeneinander getauscht werden:

(9)   \begin{equation*}\alpha=arccos\frac{\sin \delta'_1-sin \delta'_2\cdot\cos q}{\cos \delta'_2\cdot\sin q}\end{equation*}

(10)   \begin{equation*}\beta=arccos\frac{\sin h_1-sin h_2\cdot\cos q}{\cos h_2\cdot\sin q}\end{equation*}

Wir unterscheiden also drei Zustände:

  • beide Peilungen sind östlich (\alpha-\beta<0)
  • beide Peilungen sind westlich (\sigma-\zeta<0)
  • die erste Peilung ist östlich und die zweite westlich

Den Zustand, dass die erste Peilung westlich und die zweite östlich ist, gibt es nur dann, wenn eine Nacht zwischen den Beobachtungen liegt und auch nur dann, wenn die Tageszeit der ersten Beobachtung größer ist als die Tageszeit der zweiten Beobachtung. Wenn das der Fall ist, dann müssen zur Längenberechnung die umgekehrten Peilungen verwendet werden Sobald die Sonnenpeilungen, nach welcher Methode auch immer feststehen, kann das richtige Vorzeichen in der Gl. 7 den Peilungen zugeordnet werden, also Ostpeilung „+“ und Westpeilung „-„.

 

2 Versegelung

Wer mit der Sonne navigiert, muss zwischen den Beobachtungen eine angemessene Zeit verstreichen lassen. Erst dann sind die Unterschiede zwischen den Sonnenständen für eine Standortberechnung geeignet. In der Zwischenzeit verändert sich der Schiffsort. Die während der ersten Beobachtung festgestellte Höhe muss deshalb auf den Ort der zweiten Beobachtung hochgerechnet werden und diesen Vorgang nennt man Versegelung einer Standlinie bzw. Höhengleiche.

Das Problem tritt bei allen Navigationsmethoden auf sobald nur mit einem Gestirn navigiert wird, bei Sumner und Hilaire ebenso wie bei Gauß. Die Ortsveränderung zwischen den Beobachtungen wird mit Hilfe einer Koppelnavigation (engl. Dead Reckoning) festgestellt. Die Methode von Gauß hat gegenüber anderen den Vorteil, dass sie analytisch arbeitet. Ein Standort muss nicht grafisch gefunden werden und deshalb genügt eine kürzere Zeit zwischen den Beobachtungen, in der die Ortsveränderung dann auch nicht sehr groß ist. Eine Stunde zwischen den Beobachtungen sollte aber schon vergehen.

Bei der grafischen Methode nach Hilaire würden sich zwei Standlinien, die in nur 60 min Abstand gemessen werden in einem recht spitzen Winkel schneiden, sie schleifen. Ein Standort kann dann kaum präzise herausgelesen werden. Zwar kann die Hilaire Methode ebenfalls programmiert ausgeführt werden, wofür es auch zahlreiche Beispiele gibt, denn was konstruiert werden kann, ist auch programmierbar. Das Ergebnis ist dann aber nicht gleich analytisch zu nennen. Bei Hilaire handelt es sich um eine Näherungsmethode. Ein Standort wird geschätzt und die Rechnung verbessert diesen Standort nur. Man müsste also mit einem jeweils ausgerechneten verbesserten Standort die gesamte Rechnung solange wiederholen, bis sich aufeinanderfolgende Ergebnisse nicht mehr voneinander unterscheiden. Erst dann ist die Genauigkeit dieselbe, die mit Gauß auf Anhieb erreicht wird. Diese Berechnungsart ist in der Mathematik unter den Bezeichnungen Iteration, Rekusivberechnung oder Regula falsi bekannt.  

 

2.1 Koppelnavigation zwischen den Beobachtungen

Dabei handelt es sich um eine sehr alte Navigationsform, bei der unter Berücksichtigung der gefahrenen Geschwindigkeit, der Zeit und dem gefahrenen Kurs von einem alten Standort auf einen neuen Standort geschlossen wird. In der Segelschiffzeit gab es dafür auch keine Alternative, in Nacht und Nebel ein bestimmtes Ziel erreichen zu können. Da waren dann auch die Mannschaften sehr damit beschäftigt, Logge, Sanduhren und Kompass im Auge zu behalten. Jede Änderung wurde geflissentlich auf einer Koppeltafel vermerkt und daraus eine Gesamtversegelung berechnet. Strömung und Windversetzung wollten natürlich auch berücksichtigt werden.

Eine Koppelnavigation muss unmittelbar nach der ersten Beobachtung gestartet werden. Nach jeder Wende oder Halse, nach jeder Kursänderung oder Geschwindigkeitsänderung sollten deshalb entsprechende Eintragungen auf einer Koppeltafel gemacht werden. Das ist heute natürlich ein mobiler Computer und keine aufgestellte Tafel. Wer das unterlässt, kann am Ende nur versegelte Strecke und versegelten Kurs als Ganzes schätzen, was den Standortfehler erhöhen kann. Das funktioniert eigentlich nur, wenn der Wind mit beständiger Stärke nur aus einundderselben Richtung kommt.  

 

2.2 Versegelung nach Douwes

Bild 5 zeigt die Wirkung einer Versegelung an einem Beispiel. Gesegelt wird vom Ort A nach Ort B mit einem Kurs von c. Im rechten Bild wurde die Sonne am Ort A während einer ersten Beobachtung in der Höhe h1 beobachtet. An ihrer Stelle an der Himmelskugel denken wir uns nun eine fiktive Sonne, die dort eingefroren bleibt und deren Bildpunktkoordinaten sich nicht mehr ändern. Die richtige Sonne zieht jedoch weiter. Wir haben jetzt zwei Sonnen, eine gedankliche Sonne, deren Position sich erstmal nicht ändert und die echte Sonne, die Ihre normale Bahn zieht.
Auch wir segeln weiter. Im Ort B würden wir die gedankliche Sonne in der Höhe h1v beobachten. Wenn wir uns dabei vom Bildpunkt der gedanklichen Sonne entfernt hätten, würden wir diese jetzt in einer geringeren Höhe sehen. Die Höhenänderung in Grad würde genau die Entfernung von A‘ nach B sein.

Bild 5: Höhenanpassung nach Versegelung nach Douwes. Stark übertriebene Darstellungen. Der Abschnitt 𝛥h ist negativ, weil mit steigender Entfernung zum Bildpunkt die Höhe abnehmen muss (𝛥s = -𝛥h).

Wird die Strecke von A nach B nicht in gerader Linie zurückgelegt, sondern in Kreuzkursen, dann müssen die gefahrenen Schläge in einen Versegelungsvektor der Länge d und einem Kurs c umgerechnet werden (distance made good und course made good), der im Bild als blauer Pfeil dargestellt ist. Stromversatz und Windversatz wären gegebenfalls auch noch zu berücksichtigen. Die Höhenänderung bzw. die Strecke A’B wird mit folgender Gleichung berechnet:

(11)   \begin{equation*}\overrightarrow {A'B}=\frac{d}{60}\cos (A_z-c)=h_1-h_{1v}=\Delta h\end{equation*}

Eine versegelte Distanz muss in Grad eingesetzt werden, was dadurch geschieht, dass ein in Seemeilen festgestellter Wert d durch 60 geteilt wird. Wir betrachten das Versegelungsdreieck A’AB nicht in sphärischer Trigonometrie, was aber keinen nennenswerten Fehler verursacht, weil die versegelten Strecken von einigen zehn Meilen klein gegenüber den Durchmessern der Höhengleichen von einigen tausend Meilen sind. 

Der Winkel zwischen der Distanz d des Versegelungsvektors und dem Abschnitt Δh1, der ein Abschnitt des Azimuts ist, beträgt Az – c. Der Kosinus dieses Winkels ist negativ, wenn die Höhe kleiner geworden und damit die Entfernung zum Bildpunkt gewachsen ist. Das Azimut müssen wir allerdings erst noch bestimmen. Da keiner der drei Orte wirklich bekannt ist, berechnen wir das Azimut einfach auf Basis der Breite des Ortes A‘:

(12)   \begin{equation*}A^*_z=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi\cdot \sin h_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Das Ergebnis A^*_z ist mit einem Stern versehen, denn es muss berücksichtigt werden, ob die Sonne in der ersten Beobachtung vor- oder nach dem Schiffsmittag beobachtet wurde. Nur wenn die Sonne im Osten gepeilt wird, dann ist der mit dieser Gleichung berechnete Wert das Azimut. Bei Beobachtung der Sonne im Westen, muss der berechnete Wert von 360° subtrahiert werden, um das Azimut zu erhalten.

In Computerprogrammen kann die Peilung wie vorstehend im Abschnitt Peilung der Sonne beschrieben bestimmt werden. Einem Computerprogramm macht es nichts aus, diesen Ort A‘ mit Hilfe der Gln. 1 bis 5 zu berechnen, wobei Δh dann zunächst mit null angesetzt wird. Danach springt das Programm in die Berechnung des Azimuts nach Gl. 12, wonach mit Gl. 11 die Höhenänderung Δh unter Berücksichtigung der Versegelung bestimmbar ist. Ist das erledigt, dann springt das Programm zurück auf Gl. 3 und macht von dort aus weiter bis zum Ende. Eine zweite Möglichkeit, das Azimut zu bestimmen ist die Benutzung der Breite des Vortagsstandortes anstelle von A‘. Diese müsste dann einem Programm vor einer erstmaligen Nutzung einmal mitgeteilt werden.  

 

3 Gauß Algorithmus am Schiffsmittag

Bei allen Methoden, die nur mit der Sonne arbeiten, gibt es Schwierigkeiten, am oder in der Nähe des Schiffsmittags eine Höhe zu messen. Das ist auch beim Gauß Algorithmus nicht anders. Eines der beiden Dreiecke im Bild 2, entweder X1ZP oder X2ZP mutiert am Mittag zu einer Linie, weil alle Seiten des Dreiecks übereinander liegen. In diesem Fall kann ein Standort nur noch aus Mittagsbreite und Chronometerlänge hergeleitet werden. Die Versegelungsberechnung nach Douwes kann auch hier erfolgreich angewendet werden, wenn zuerst eine Höhengleiche gemessen wird. Die Mittagsbreite wird bekanntlich dadurch bestimmt, dass die Kulminationshöhe der Sonne gemessen und je nachdem, ob die Sonne im Süden oder Norden gesehen wird eine Addition der Deklination erfolgt:

(13)   \begin{equation*}\varphi_M = \left \lbrace {(90^\circ-h)+\delta \;\;\text{wenn Peilung S}}\atop (h-90^\circ)+\delta \;\;\text{wenn Peilung N}\end{equation*}

Wenn mit der Mittagsbreite navigiert werden muss, dann gibt es Unterschiede darin, ob die Mittagsbreite zuerst und nachmittags eine Höhengleiche gemessen wurde oder umgekehrt.  

 

3.1 Höhengleiche zuerst

Am Vormittag wird die Sonne in der östlichen Hemisphäre beobachtet. Ihr Zenitabstand ist s1 und die Deklination 𝛿1. Durch Versegeln kann sich der Durchmesser der Höhengleiche ändern. Dieser beträgt am Schiffsmittag h1 + 𝛥h. Zu dieser Zeit kulminiert die Sonne auf ihrer kleinsten Höhe, die jetzt h2 benannt wird und die Mittagsbreite beträgt \varphi_M=(90^\circ-h_2)+\delta_2. Die Standortbreite ist damit bekannt. Die Länge kann jetzt wie eine Chronometerlänge berechnet werden:

(14)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt_1+arccos\frac{\sin (h_1+\Delta h)-\sin \varphi_M\cdot\sin \delta_1}{\cos \varphi_M\cdot\cos \delta_1}\end{equation*}

Zur Umformung auf das Gradnetz der Erde erfolgt nach der oben gezeigten Tabelle, wobei die erste Zeile darin nicht zum Tragen kommen kann, weil 𝜆* nicht negativ werden kann.  

 

3.2 Mittagsbreite zuerst

Durch Versegeln kann sich nach gemessener Mittagsbreite die Standortbreite ändern, wenn Nord-Süd Strecken abgesegelt werden. Zum Zeitpunkt der Messung der Nachmittags Höhengleiche beträgt diese dann \varphi_M\pm\Delta\varphi. Die Standortlänge wird auch jetzt wieder wie die Chronometerlänge mit der Sonne im Westen berechnet. Der Polwinkel \tau berechnet sich im Prinzip genauso:

(15)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt_1-\arccos\frac{sin \,h_2-\sin \delta_2\cdot\sin (\varphi_M\pm\Delta\varphi)}{\cos\delta_2\cdot\cos (\varphi_M\pm\Delta\varphi)}\end{equation*}

Zur Umformung auf das Gradnetz der Erde erfolgt nach der oben gezeigten Tabelle, wobei jetzt die letzte Zeile darin nicht zum Tragen kommen kann, weil λ* nicht größer als 360° werden kann.  

 

4 EXCEL Sheet mit Gauß Navigationsprogramm

Ein Gauß Navigationsprogramm auf EXCEL Basis kann aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden. Die Nutzung dieses Programms erfordert keinerlei Spezialwissen. Jeder, der einen Sextanten, eine Uhr, ein Mobilgerät oder einen Computer besitzt, auf dem die Microsoft EXCEL App läuft, kann damit auf See seinen Standort bestimmen. Das Programm arbeitet mit den in diesem Beitrag vorgestellten Formeln, benutzt die Sonnenpeilung gemäß der im Bild 4 vorgestellten Variante und der Versegelung nach Cornelis Douwes. 

Bild 6: Eingabemaske des ECEL Navigationsprogramms „COP Navigation“.

Bild 6 zeigt die Benutzeroberfläche. Im Bereich Einstellungen werden einige Konstanten eingegeben. Die Indexberichtigung ist dabei der negative Wert des Indexfelers des verwendeten Sextanten. Weil Plastiksextanten einen Indexfehler haben, der aufgrund von Temperatureinwirkungen von Beobachtung zu Beobachtung unterschiedlich sein kann, wurde für jede Beobachtung ein Eingabefeld für die Indexkorrektur vorgesehen. 
Sonnenrand ist die Oberkante oder Unterkante der Sonnenscheibe, die auf den Horizont gesetzt wird. In der Regel wird man U eingeben und die Sonne mit ihrem Unterrand auf den Horizont setzen. Eine getrennte Eingabe für die einzelnen Beobachtungen ist nicht vorgesehen. 
Im Feld Standortwahl ist anzugeben, ob sich das zu befahrende Segelgebiet nördlich oder südlich der Deklinationsbreite befindet. Wer im Mittelmeer segelt, der muss hier ein „N“ eintragen.
In den Blöcken Messung 1 und 2 werden jeweils das Datum, die Uhrzeit in UTC und die auf dem Sextanten abgelesenen Werte eingetragen. Das Datum kann nur in den oberen Block geschrieben werden. Im unteren Block kann angegeben werden, ob die zweite Beobachtung eventuell an einem Folgetag geschieht.
Letztendlich ist noch die Versegelung einzugeben, also die Entfernung in Seemeilen zwischen den Orten der Beobachtung und der dabei gefahrene Kurs. Diese Daten sind jedoch nur durch Kopplung zu erhalten. Nachdem alle Felder beschrieben worden sind wird als Ergebnis schließlich der Standort ausgegeben. Nach einer zweiten Beobachtung wird auch die Zeit des Schiffsmittags berechnet und angezeigt.

Das Programm produziert zwei Grafiken, die im Bild 7 gezeigt werden. Die linke Grafik zeigt den Verlauf der Höhengleichen im Standortbereich. Diese Grafik kann auch durch Eingabe eines darzustellenden Breitenbereiches höher oder weniger hoch auflösen. Leider gestattet es EXCEL nicht, das Diagramm zu drehen, so dass die Nord-Süd Richtung in beiden Diagrammen leider waagerecht dargestellt werden musste. 

Bild 7: Grafikausgaben des EXCEL Navigationsprogramms.


Das zweite Diagramm zeigt die Höhengleichen. Man kann so erkennen, ob sie sich schneiden und auch etwa an welcher Stelle. Der Nachteil dieses Diagramms ist, dass es auf kartesischen Koordinaten aufgebaut ist, die außerdem noch bei 80° in der Breite und 180° in der Länge begrenzt sind. Die unterschiedliche Skalierung der Achsen führt dazu, dass anstelle von Kreisen Ovale dargestellt werden. Das ist aber noch nicht alles. Bei der Darstellung von Höhengleichen mit großen Durchmessern oder solchen, die die 180° Grenze in der Länge überschreiten, entstehen mitunter schwer zu deutende Figuren. 
Beispielsweise geht eine Höhengleiche, die bis nahe an die Pole oder sogar darüber reicht, dort nicht zusammen, sondern auseinander. Das liegt daran, dass an den Polen die Meridiane zusammenlaufen und die Kreislinie einer Höhengleiche dort sehr viele Meridianen kreuzt. Am Pol laufen alle Meridiane zusammen, im Diagramm aber nicht. Dort ist der Abstand zwischen den Meridianen am Äquator genau so groß wie an den Polen.  

 

Was noch zu sagen wäre

Der Algorithmus nach Gauß liefert ein analytisch exaktes Ergebnis. Trotzdem ist ein real ermittelter Standort nicht viel genauer als nach der Methode von Hilaire. Eine Standortgenauigkeit ist letztlich von vielen anderen Faktoren abhängig, so von der Genauigkeit der einzugebenden Messwerte von Höhe und Zeit. Gauß hat aber zwei wesentliche Vorteile. Zum einen muss kein Schätzort angegeben werden und zum anderen muss nichts gezeichnet werden. Man ist also nicht gezwungen, das Standortergebnis aus der Kreuzung zweier Linien auf einer Seekarte herauszuspekulieren.

Bild 8: Displayaufnahme aus der App „Circle of Position Navigation“, die den Standort nach Gauß berechnet. In den Standort kann auch tief  hineingezoomt werden.

Der hier gezeigte Rechenweg ist deshalb ideal in Computeranwendungen. Da sind nur einfach zwei Höhen einzugeben und die Zeit in der sie gemessen wurden und das Ergebnis liegt als Zahl vor. Das Programm dazu besteht aus ein paar hintereinander ablaufenden Formeln und ist von einem Programmierer praktisch schon auf einer Bildschirmseite geschrieben. Man bleibt dabei stets im Kugelkoordinatensystem der Erde. Das Ergebnis ist keine Näherung, weshalb zwischen den Beobachtungen auch nicht viele Stunden vergehen müssen, ohne dass dabei große Fehler entstehen. Eine Stunde solle es aber schon sein.

Grundsätzlich kann auch Hilaire in einem Programm umgesetzt werden und gerade das wurde schon am häufigsten gemacht. Doch schön ist das nicht, weil zwischen Kugelkoordinaten und kartesischen Koordinaten hin-und her gesprungen werden muss. Das Ergebnis ist letztlich auch nur eine Näherung. Der Vorteil, dass auch kürzere Zeitabstände zwischen den Messungen bei der Sonnennavigation zugelassen sein könnten, ist dadurch nicht mehr gegeben. Dafür müsste man schon exakt rechnen. Auch das wäre bei Hilaire möglich, indem rekursiv gerechnet wird. Doch warum sollte man das tun? Außerdem ist ein Schätzort anzugeben.

Grafiken, die ein Computer erstellt, sind beim Gauß-Verfahren beinahe atemberaubend. Sie zeigen die Weltkugel in 3D und darauf die Kreise der Höhengleichen mit den Bildpunkten der Sonne. Man kann hineinzoomen bis zur klaren Darstellung einer Küstenlinie oder einer Hafeneinfahrt. Dargestellt werden auch die zwischen den Beobachtungen zurückgelegten Schläge die dazu in einem Dead Reckoning Modul erfasst werden. Bild 8 zeigt dafür ein Beispiel. Der Einwand, dass Gauß in der Praxis nicht anwendbar ist, weil man eine Höhengleiche nicht zeichnen kann, ist damit endgültig vom Tisch.  


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