Numerische Standortfindung

Rechentabellen

Neben den Algorithmen und Methoden nach Carl Friedrich Gauss, Thomas Sumner und Saint Hilaire gibt es auch die Möglichkeit, den Standort numerisch zu finden, also ohne eine Grafik anfertigen zu müssen.

Ohne Computer geht das natürlich nicht. Statt verschiedener Formeln wird nur eine einzige angewendet, diese aber viele Male hintereinander, womit ein Computer kein Problem hat. Dabei ist es ohne weiteres möglich, den Schnittpunkt der Höhengleichen metergenau auszurechnen. Wie schon an anderer Stelle erwähnt, ist damit aber keineswegs der Standort metergenau bestimmt. Es wird nur ein Ort berechnet, auf den alle eingegebenen Daten metergenau zutreffen. Der wahre Standort kann je nach Genauigkeit der Bestimmung von Höhe und Zeit um einige Meilen abseits davon liegen.

Bild 1: zwei Höhengleichen der Sonne zu zwei verschiedene Zeiten kreuzen sich an zwei Stelle. Eine Kreuzung ist der Standort.

Das Konzept der Astronavigation beruht allgemein auf der Ermittlung eines der beiden Schnittpunkte der Höhengleichen zweier Gestirne oder der Sonne zu zwei unterschiedlichen Zeiten. Eine prinzipielle Darstellung am Beispiel der Sonne zeigt Bild 1. Vom südlichen Schnittpunkt aus wurde die Sonne zu zwei verschiedenen Zeiten in unterschiedlicher Entfernung gesehen. Die jeweilige Entfernung ist der Zenitabstand einer Beobachtung und gleichzeitig der sphärische Radius eines Kreises, der sogenannten Höhengleiche. Dieser Zusammenhang ist schon seit Jahrhunderten bekannt. Es konnte jedoch lange keine Methode gefunden werden, wie ein solcher Schnittpunkt rechnerisch zu finden ist. Die Aufgabe wurde als „Zweihöhenproblem“ bezeichnet. Im19. Jahrhundert wurden dann aber gleich mehrere Lösungen gefunden, einen Standort auf der Grundlage von zwei Höhenmessungen bestimmen zu können.
Die astronomische Navigation gilt heute als Zweitsystem zur Satellitennavigation. Allgemein bekannt ist jedoch nur noch die Höhenmethode von Saint Hilaire. Sie war die letzte weltweit genutzte astronomische Navigationsmethode vor der Satellitennavigation. Sie eignet sich nicht sehr gut als Basis für eine numerische Lösung, denn sie ist sehr konstruktionsorientiert, was damals sehr wichtig war, um möglichst genaue Zeichnungen anfertigen zu können.

 

6.1 Numerischer Ansatz

Als Kapitän Sumner bei seiner denkwürdigen Fahrt im Dezember 1837 durch den St. George Kanal zwischen Irland und Wales fuhr, war es stürmisch und bedeckt. Doch für einen Moment riss die Wolkendecke auf und es reichte gerade dazu, die Höhe der Sonne festzustellen. Auf Basis nur dieser einen einzigen Höhenmessung berechnete er dann die Chronometerlänge für seine Koppelbreite. Er war sich aber nicht sicher, ob seine Breite stimmt und berechnete die Längen gleich noch für zwei weitere Breiten.

Bild 2: Die Sekanten zwischen gleichnamigen Breiten zweier Höhengleichen kreuzen sich links global und recht in dem gefundenen Breitenintervall.

Die Schnittpunkte der berechneten Längen mit den vorgegebenen Breiten lagen in seiner Karte alle auf einer Linie in Richtung Nordost und nicht, wie er vielleicht erwartet hätte, in Ost-West Richtung also dichter oder nicht so dicht an der flachen und steinigen westlich gelegenen irischen Küste. Dadurch wurde ihm klar, dass diese drei Punkte ein Stück des Kreisbogens einer Höhengleiche sein müssen. Es war nur deshalb eine Gerade und kein Bogen, weil der Kreis einen so riesengroßen Durchmesser hat.

Sumner hatte keinen Computer und beließ es bei später in seinem Buch bei der Berechnung von nur zwei Punkten auf der Kreislinie einer Höhengleiche. Diese Punkte sind die Längen, an denen zwei vorgegebene Breiten von der Kreislinie einer Höhengleiche geschnitten werden Der Abstand zwischen den Breiten sollte 1° betragen. Wir  aber besitzen Computer und können die Schnittpunkte einer Höhengleiche auf beliebig vielen Breiten ausrechnen. Allerdings wäre schon ein Supercomputer erforderlich, wollte man die Längen für alle Schnittpunkte der Höhengleichen mit Breiten ausrechnen, die nur wenige Breitensekunden Abstand voneinander haben. Einfacher ist eine stufenweise Abarbeitung. Bild 2 zeigt das dafür zu nutzende Prinzip. Auf der linken Seite sind zwei durch Sekantenstücke approximierte Höhengleichen der Sonne dargestellt. Die Breitenkreis 𝜑 sind die waagerechten Linien, die einen bestimmten Abstand voneinander haben. Die Schnittpunkte der Höhengleichen mit den Breitenkreisen sind durch schwarze Punkte markiert und die Punkte von aufeinanderfolgender Breiten sind mit Geraden verbunden. Jede Gerade ist damit eine Sekante am Kreis der betreffenden Höhengleiche.
Die Menge aller grüner aufeinanderfolgende Sekanten bilden die Höhengleiche einer Vormittagsmessung nach, bei der die Sonne ihren Bildpunkt BP1 in der östlichen Hemisphäre hat. Die Menge der rot dargestellten Sekanten bilden den Verlauf der Höhengleiche einer Nachmittagsmessung nach, denn der Bildpunkt BP2 der Sonne liegt dann im Westen. Der Bildpunkt der Sonne bewegt sich auf der Breite der Deklination, die sich zwischen den Messzeiten geringfügig ändert. Wie zu sehen ist, kreuzen sich beide Höhengleichen an zwei Positionen, einer nördlichen und einer südlichen. Die Deklinationsbreite liegt ungefähr in der Mitte der beiden Positionen. Höhengleichen sind Kleinkreise, haben also einen kleineren Durchmesser als der Äquator. Deshalb muss die Darstellung im Bild 2 links nicht alle Breitenkreise von null (Äquator) bis +90° (Pole) aufweisen. Eine Kreuzung der Höhengleichen findet im Durchmesserbereich der kleineren Höhengleiche statt. Die nördlichste und südlichste Breite, tangieren die Höhengleichen nur noch in den Breiten 𝜑NR (NR = Nordrand) und 𝜑SR (SR = Südrand). Diese Extrembreiten werden mit folgenden Gleichungen berechnet:

    \begin{equation*}\varphi_N_R=(90^\circ-h)+\delta;\;\;\;\;\;\varphi_S_R=(h-90^\circ)+\delta\end{equation}

Sofern man sich nördlich von der Deklinationsbreite befindet, kann der Standort auch nur der nördliche der beiden Schnittpunkte sein. Im Bild 2 ist der Breitenbereich 𝜑NR – 𝛿 in fünf Breitenintervalle aufgeteilt. Im Intervall 𝜑2 – 𝜑1schneiden sich eine Sekante der kleineren Höhengleiche mit einer Sekante der größeren Höhengleiche. Diese beiden Breiten findet man durch Berechnung der Differenzen 𝜆2 – 𝜆1. Die Vorzeichen dieser Differenzen sind im Bild 2 rechts an den Breitenkreisen mit einem + bzw – markiert. Die Differenzen wrden nun durch schrittweises Voranschreiten von der Deklinationsbreite in Polrichtung auf jeder neuen Breite berechnet. Kommt es dabei auf einer Breite zu einem Vorzeichenwechsel gegenüber der vorher betrachteten Breite, dann liegt die Kreuzung der Höhengleichen genau zwischen diesen gerade untersuchten Breiten.
Dabei gilt es zu beachten, dass auf Breiten jenseits von 𝜑NR und 𝜑SR keine Längen berechnet werden können und somit kann in diesem nördlichsten oder südlichsten Intervall keine Kreuzung von Sekanten erkannt werden, auch wenn diese sich dort tatsächlich kreuzen würde. Hier sind dann entsprechende Maßnahmen nötig. Wenn z. B. in keinem anderen Intervall eine Kreuzung gefunden werden konnte, dann muss diese in diesem letzten Intervall liegen und dieses Intervall kommt dann zwangsweise in die nächste Stufe.

Bild 3: In einer letzten Stufe ist der Breitenabstand 𝛥𝜑 klein genug, so dass der Schnittpunkt als Kreuzung der Sekanten berechnet werden kann.

Das Prinzip der nächsten Stufe zeigt Bild 2 rechts. Dort ist das Intervall 𝜑2 – 𝜑1 aus der ersten Stufe in 10 kleinere Unter-Intervalle aufgeteilt, wodurch der Breitenabstand dann nur noch ein Zehntel der ersten Stufe ist. Jetzt werden wieder die Längen für die Stellen berechnet, an denen die Höhengleichen die insgesamt 11 Breiten schneiden, die nun in das Intervall 𝜑2 – 𝜑1 gelegt worden sind. Und wieder wird nach einem Vorzeichenwechsel gesucht, der den Schnittpunkt der jetzt beträchtlich kürzer gewordenen Sekanten anzeigt. Dieser Schnittpunkt findet sich in dem Intervall 𝜑1.2 – 𝜑1.1.
Man könnte jetzt noch eine dritte oder vierte Stufe anwenden, bis die Breitenabstände klein genug sind. In einer letzten Stufe werden die Sekanten schließlich als Geraden betrachtet und der Schnittpunkt dieser Geraden kann berechnet werden. Das ist dann der gesuchte Standort. Bild 3 zeigt diese letzte Stufe mit einem Breitenabstand 𝛥𝜑, der nur noch wenige hundert Meter oder weniger beträgt. Die Sekanten sind dann auch nur noch sehr kurze Standlinien. Über so kurze Sekanten kann sich der Kreisbogen einer Höhengleiche nur noch um einige Zentimeter, bis vielleicht einen Meter wölben. Praktisch gesehen sind diese kurzen Sekanten schon Tangenten am Kreis der Höhengleichen.

Wenn wir den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen wollen, dann müssen wir zunächst die Funktionsgleichungen dafür aufstellen. Ihre allgemeine Form lautet:

    \begin{equation*}\varphi=m\cdot\lambda+b\end{equation}

Bei den Koeffizienten handelt es sich um den Anstieg m der Geraden und den virtuellen Offset b. Virtuell deshalb, weil lineare Funktionen dieser Form nur in einem kartesischen Koordinatensystem gelten.  Da wir aber nur eine kleine Fläche betrachten, in der wir die Funktionen kreuzen, um einen Standort zu berechnen, ist dieses Vorgehen zulässig. Gemäß Bild 3 ergeben sich die Koeffizienten als:

Anstieg Sekante 1:     m_1=\frac{\Delta\varphi}{\Delta\lambda_1}=\frac{\Delta\varphi}{\lambda_{1.2}-\lambda_{1.1}}

Offset Sekante 1:         b_1=\varphi_{1.1}-m_1\cdot\lambda_{1.1}

Anstieg Sekante 2:     m_1=\frac{\Delta\varphi}{\Delta\lambda_2}=\frac{\Delta\varphi}{\lambda_{2.2}-\lambda_{2.1}}

Offset Sekante 2:         b_2=\varphi_{2.1}-m_2\cdot\lambda_{2.1}

Damit lauten dann die Funktionsgleichungen der beiden Sekanten:

(1)   \begin{equation*}\varphi_1=m_1\cdot\lambda+b_1\end{equation*}

und                                             

(2)   \begin{equation*}\varphi_2=m_2\cdot\lambda+b_2\end{equation*}

Im Standort kreuzen sich die Geraden und in diesem Kreuzungspunkt sind dann sowohl die Längen als auch die Breiten aus beiden Gleichungen dieselben. Wir setzen also 𝜑1 = 𝜑2  und erhalten:

    \[m_1\cdot\lambda_S+b_1=m_2\cdot\lambda_S+b_2\]

Sortieren und Ausklammern liefert:

    \[b_1-b_2=\lambda_S\,(m_2 - m_1)\]

und schließlich:

(3)   \begin{equation*}\lambda_s=\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}\end{equation*}

Mit der Länge 𝜆S kann jetzt die Breite 𝜑S durch Benutzung entweder der Gl. 1 oder 2 berechnet werden. Wir benutzen die Gl. 2:

(4)   \begin{equation*}\varphi_S=m_2\cdot\lambda_S+b_2\end{equation*}

Versegelungen, also Ortsveränderungen zwischen den Beobachtungen blieben bisher unbeachtet. Sie können auf zwei Arten berücksichtigt werden. Entweder durch Parallelverschiebung der Geraden, die auf der ersten Beobachtung beruht. Im Bild 3 ist das die grüne Gerade. Parallelverschiebungen in kartesischen Koordinatensystemen werden durch Änderung des Koeffizienten b1 erreicht. Eine andere Möglichkeit ist eine Höhenanpassung nach Douwes. Diese kann hier jedoch nicht oder nur mit höherem Aufwand angewendet werden. Eine genaue Betrachtung von Versegelungen erfolgt weiter unten. Zunächst soll ein konkretes Beispiel gerechnet werden.

 

6.2 Beispiel

Am 10. Oktober 2019 befindet sich ein Boot auf der Fahrt von Lissabon nach Madeira. Es wird also der nördliche der beiden möglichen Standorte zu berechnen sein. Um 10:09:05 UTC wird die Höhe der Sonne am Sextanten mit 34° 40,20’ abgelesen. Die berichtigte Höhe wurde mit 34° 51,03’ festgelegt. In einer zweiten Beobachtung um 12:02:12 UTC werden am Sextanten 47° 15,6’ abgelesen. Daraus berechnete man eine beobachtete Höhe von 47° 26,90’. Es herrscht Flaute und zwischen den Beobachtungen wurde kein Weg zurückgelegt. Eine Versegelung muss deshalb nicht berücksichtigt werden. Gesucht ist der Standort aus diesen zwei Höhen. Das gespeicherte Nautische Jahrbuch oder ein Ephemeridenprogramm liefert für die Beobachtungszeiten den Greenwichwinkel und die Deklination. Alle Daten sind in nachstehender Übersicht zusammengestellt:

Beobachtung 1:

  • Datum:        10.2019
  • Uhrzeit:        10:09:05 UTC
  • Höhe:          34° 51,03’
  • Grt1:          335° 30,09’
  • 𝛿1:                 6° 36,37’

Beobachtung 2:

  • Datum:        10.2019
  • Uhrzeit:       12:02:12 UTC
  • Höhe:         47° 26,90’
  • Grt2:            3° 47,15’
  • 𝛿2:               6° 38,16’

Das Beispiel kann nach der vorstehend beschriebenen Methode vorteilhaft mit Hilfe einer Tabellenkalkulation gelöst werden. Man kann aber auch ein Programm in einer beliebigen Programmiersprache schreiben. Wir bleiben jedoch bei einer Tabellenkalkulation, weil der Lösungsmechanismus an dem Tabellenaufbau sehr gut nachverfolgt werden kann.
Wir benötigen drei Tabellen mit jeweils 35 Zeilen und mindestens 5 Spalten. Die Spalten sind 𝜑, 𝜆1, 𝜆2, (𝜆1 – 𝜆2) und Test. In der ersten Tabelle erhöht sich die Breite 𝜑 von der Deklinationsbreite in Zeile 1 ausgehend schrittweise um 2.5° nach Norden, weil ja der nördliche Standort gesucht wird. Auf der Deklinationsbreite und nach jedem Sprung auf eine neue Breite müssen die Längen 𝜆1 und 𝜆2 berechnet werden, an denen die Breite von den Höhengleichen geschnitten wird. Außerdem wird nach jedem Schritt geprüft, ob das Vorzeichen der Differenz 𝜆1 – 𝜆2 auf der betrachteten Breite gegenüber derselben Differenz auf der vorhergehenden Breite gewechselt hat. Die Berechnung der Längen erfolgt mit folgender Gleichung:

(5)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt\pm\arccos \frac{\sin h -\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Das Additionszeichen wird bei Beobachtungen der Sonne im Osten benutzt und das Minuszeichen bei Beobachtungen nach dem Schiffsnachmittag. Die nach dieser Gleichung berechnete Länge beruht auf Verwendung des Grt, der von 0° bis 360° um die Erde zählt. Die geografischen Längen zählen jedoch bis -180° mit dem Sonnenlauf nach Westen und bis +180° entgegen dem Sonnenlauf nach Osten. Eine Anpassung, um die geografischen Längen zu erhalten, wird mit folgenden Regeln erreicht:

(6)   \begin{equation*}\lambda=\begin{cases}\quad+\lambda^\ast&\text{wenn}\quad\lambda^\ast<0^\circ\\ \quad-\lambda^\ast&\text{wenn}\quad 0^\circ<\lambda^\ast<180^\circ\\ 360^\circ-\lambda^\ast&\text{wenn}\quad 180^\circ<\lambda^\ast<360^\circ\\ \lambda^\ast-360^\circ&\text{wenn}\quad \lambda^\ast>360^\circ \end{cases}\end{equation*}

Das geht dann solange, bis in zwei aufeinanderfolgenden Berechnungen der Längendifferenzen ein Vorzeichenwechsel eintritt. Dann ist ein 2,5° Intervall gefunden worden, in dem sich die Höhengleichen aus den beiden Beobachtungen kreuzen. Im Bild 2 wäre das das Intervall 𝜑2 – 𝜑1. In Tabelle 1 die Zeilen 17 und 18. Es kann aber auch sein, dass die Berechnung der Länge nach einer Breitenänderung plötzlich kein Ergebnis mehr liefert (#NV = nicht vorhanden). Das passiert immer dann, wenn die gerade betrachtete Breite nördlicher als der Nordrand des Kreises der Höhengleiche liegt (oder südlicher als der Südrand). Der Breitenkreis geht dann am Kreis der Höhengleiche vorbei. In dem Fall ist das letzte vor dem Nordrand (Südrand) liegende Breitenintervall das gesuchte Intervall. Hier wird der Vorzeichenwechsel jedoch in den Zeilen 17 und 18 festgestellt. In diesem Breitenintervall kreuzen sich die beiden Höhengleichen.

Tabelle 1:
No. 𝜑 𝜆1 𝜆2 𝜆1 – 𝜆2 Test1
1 6,61° -31,05° -46,64° 15,59° 0
16 30,89° -17,80° -24,74° 6,94° 0
17 33,39° -15,56° -18,99° 3,43° X
18 35,89° -12,95° -5,24° -7,71° X
19 38,39° -9,84° #NV #NV 0
20 40,89° -6,04° #NV #NV 0

Jetzt geht es in die zweite Stufe. Der Rechner beginnt mit der Anfangsbreite des gefundenen Intervalls von 33,39°, erhöht die Breiten jetzt aber nicht mehr in 2,5° Schritten, sondern in Schritten von 2,5°/32 = 4,69’. Ansonsten geschieht genau dasselbe. Auf jeder Breite wird die Längendifferenz berechnet und mit derjenigen auf der zuvor betrachteten Breite verglichen, bis ein Vorzeichenwechsel eintritt. Dieser wird jetzt in den Zeilen 19 und 20 gefunden. In diesem Breitenbereich von 34,72° bis 34,80° kreuzen sich die Höhengleichen aus den beiden Beobachtungen.

Tabelle 2
No. 𝜑 𝜆1 𝜆2 𝜆1 – 𝜆2 TEST 2
2 33,39 -15,56 -18,99 3,43 0
18 34,64° -14,31° -14,72° 0,41° 0
19 34,72° -14,23° -14,39° 0,16° X
20 34,80° -14,15° -14,04° -0,10° X
21 34,88° -14,06° -13,68° -0,38° 0
34 35,89 -12,95° -5,24° -7,71° 0

In der letzten Stufe liegen die Breiten noch dichter zusammen, nämlich nur noch um 2,5°/322 = 8,79“ oder 271 Metern. Nach derselben Methode wird jetzt auch hier das Kreuzungsintervall gesucht. Diesmal wird es in den Zeilen 21 und 22 gefunden.
Wichtig ist noch folgender Hinweis: Sobald die Längen um 2,5° an die Datumsgrenze herankommen, also zwischen -177,5° und 177,5°, ist der Vorzeichenwechsel nicht mehr zwischen 𝜆1 – 𝜆2 sondern zwischen  (Grt + 𝜏) –  (Grt – 𝜏) abzuprüfen, also ohne Anwendung der Gl. 6. Der zusätzliche Vorzeichenwechsel zwischen positiven Ostlängen und negativen Westlängen würde sonst zu Verwerfungen führen.

Tabelle 3
No. 𝜑 𝜆1 𝜆2 𝜆1 – 𝜆2 Test3
2 34,7219° -14,2273 -14,3851 0,1578 0
20 34,7658 -14,1811 -14,1927 0,0115 0
21 34,7683 -14,1786 -14,1819 0,0033 X
22 34,7707 -14,176 -14,1711 -0,0049 X
23 34,7732 -14,1734 -14,1602 -0,0132 0
34 34,8 -14,1426 -14,0293 -0,1133 0

In den Zeilen 21 und 22 der Tabelle 3 stehen jetzt die Zahlen, die geeignet sind die Funktionsgleichungen der Sekanten aufzustellen. Zu diesem Zweck werden zunächst die Differenzen der Längen und Breiten berechnet. Wir erhalten:

Tabelle 4
No. 𝜑 𝜆1 𝜆2
1 34,7683° -14,1786° -14,1819°
2 34,7707° -14,1760° -14,1711°
Diff -2,44°E-03 -2,57°E-03 -1,08°E-02

Daraus werden jetzt die Koeffizienten für die Funktionsgleichungen 1 und 2 berechnet:

  • m1 = 0,95
  • b1  = 48,24
  • m2 = 0,23
  • b2 = 37,9

Beide Steigungen m besitzen das gleiche Vorzeichen. Daran ist erkennbar, dass beide Beobachtungen am Vormittag oder beide am Nachmittag erfolgt sind. Wenn beide Anstiege unterschiedliche Vorzeichen hätten, dann wäre eine Beobachtung am Vormittag erfolgt und die andere am Nachmittag. Die Gln. 3 und 4 liefern daraus den Schnittpunkt der Funktionsgleichungen und damit den gesuchten Standort:

𝜆S = -14,18° = 14° 10,65’ W

𝜑S = 34,77°  = 34° 46,16’ N

Bild 4: Grafischer Verlauf der Höhengleichen in einem Breitenbereich von 2,5°.

So kann man einen Standort also auch berechnen. Mit einem Taschenrechner braucht man jedoch gar nicht erst anzufangen. Die Anzahl der auszuführenden Berechnungen wäre dafür viel zu groß. Die Methode eignet sich sehr gut für eine Umsetzung in Tabellenkalkulationen wie EXCEL oder Pages. Auf diese Weise kann man sich dann selbst komfortable Navigationsprogramme auf dem eigenen Rechner erstellen, die höchst präzise rechnen und das sogar ohne Vorgabe eines geschätzten Standortes. Die Anforderungen an mathematische Kenntnisse sind gering, denn es kommt nur die Formel zum Einsatz, die auch Thomas Sumner seinerzeit benutzt hat und darüber hinaus nur noch einfache Algebra. Allerdings sollte das Arbeiten mit Tabellenkalkulationen gekonnt sein. Die dort aufzustellenden Formeln haben es weit mehr in sich, als die Formeln aus der spärischen Trigonometrie. Sie sind zwar nicht kompliziert aber in sehr unübersichtlich. Am Ende diese Beitrages wird eine EXCEL Datei vorgestellt, in der alle hier beschriebenen Dinge umgesetzt sind. Diese Datei ist offen, man braucht also kein Passwort und man kann selbst alles verändern und wenn man will, damit auch frei navigieren.

Eigentlich ist dieser Weg nichts weiter als eine Optimierung der Methode von Thomas Sumner, denn in der Hauptsache werden lediglich seine Gedanken umgesetzt. Er selbst konnte nur zwei Sekanten miteinander kreuzen und das auch nur auf dem Papier. Alles andere hätte zu viel Rechenaufwand bedeutet. Wir machen im Prinzip nichts anderes, als Sekanten zu kreuzen, zoomen jedoch tief in die Kreuzung  hinein. Hätte Sumner einen Computer besessen, dann wäre wahrscheinlich dasselbe Ergebnis herausgekommen. im Bild 4 ist der grafische Verlauf der Höhengleichen dieses Beispiels in einem Breitenbereich von 2,5° abgebildet.

 

6.3 Peilung der Sonne

Zur Berechnung der Spalten 𝜆1 und 𝜆2 in den Tabellen 1 bis 3 mit der Gleichung 5 muss festgelegt sein, ob in dieser Formel der Greenwichwinkel Grt mit dem Polwinkel addiert wird oder ob dieser vom Grt subtrahiert werden muss. Die einfache Frage dabei ist, wurde die Sonne während ihrer Beobachtung im Osten oder im Westen gepeilt. Bei Benutzung der Hilaire Methode kommt diese Frage nicht auf, weil die Azimute und damit die Peilungen auf die Sonnenposition für einen Gissort berechnet werden.

Bild 5: Schiffsmittag ist, wenn der Kreisring der kleineren Höhengleiche am Kreisring der größeren Höhengleiche eine maximale Sehnenlänge darstellt.

Zur Berechnung der Chronometerlänge und damit auch  bei der Benutzung der Sumner Methode ist das jedoch wichtig, denn in der gleichen Zeit vor- und nach dem Schiffsmittag ist die Höhe der Sonne identisch. Grundsätzlich gilt: Wurde die Sonne im Osten beobachtet, muss addiert werden. Subtrahiert wird, wenn die Sonne bei ihrer Beobachtung westlich stand. Beobachtungen bei hoch stehender Sonne können da schon zu Verunsicherungen führen. Hier hilft dann oft nur ein Kompass, mit dessen Hilfe das Teleskop des Sextanten in die Ost- oder Westrichtung gebracht wird. Die Richtung ist dann auch immer die Richtige, wenn dabei eine Höhe von weniger als 90° gemessen wird. In der Zeit von Sumner kam diese Frage nicht auf, denn man wusste, ob es Vormittag oder Nachmittag war. Die Sonne in der Nähe des Schiffsmittags zu messen, führt zu größeren Abweichungen. Der Grund ist die Abflachung der Sekanten in diesem Bereich, wie das im Bild 2 deutlich zwischen den Breiten 𝜑NR und 𝜑2 gesehen werden kann. Bei grafischer Arbeitsweise würde sich das besonders negativ auswirken, aber auch Computerberechnungen haben hier ihre Grenzen. Eine halbe Stunde vor oder nach dem Schiffsmittag sollte man auf Standlinien lieber verzichten und besser gleich mit der Mittagsbreite arbeiten.

In einem Computerprogramm wäre es ein Nachteil, wenn man für jede Peilung auch noch die Himmelsrichtung angeben müsste. Dieser Vorgang sollte automatisch erledigt werden und das ist auch möglich. Bild 5 zeigt die Situation am Schiffsmittag. Der Standort ist dann genau der nördlichste oder südlichste Rand der Höhengleiche mit dem kleineren Durchmesser und dieser Durchmesser ist genau als Sehne in den Kreis der größeren Höhengleiche eingepasst. Vor dieser Zeit, als die Sonne auf dem Weg von BP1 nach BP2 war, bzw. in der mit 𝛥Grt bezeichneten Zeitspanne, wird die Sonne im Osten gepeilt. Danach im Westen. Da die Standortberechnung erst dann erfolgen kann, wenn zwei Höhen der Sonne gemessen worden sind, besteht folgender logischer Zusammenhang:

Satz 1: Beide Peilungen sind östlich, wenn Zenitabstand s2 < Zenitabstand s1 und ∆Grt < max. Zenitabstand – H

Satz 2: Beide Peilungen sind westlich, wenn Zenitabstand s2 > Zenitabstand s1 und ∆Grt < max. Zenitabstand – H

Wenn beide Sätze nicht zutreffen, dann kann die erste Peilung nur östlich und die zweite nur westlich (vormittags = östlich, nachmittags = westlich) sein. Hierbei ist ∆Grt die Differenz des Stundenwinkels zwischen den Beobachtungen und wird als Grt2 – Grt1 berechnet. Die Höhe H des Kreisabschnitts, ergibt sich dadurch, dass der Durchmesser der kleineren Höhengleiche eine genau eingepasste Sehne der Länge 2s an der größeren Höhengleiche ist. Diese Höhe H kann einfach berechnet werden

(7)   \begin{equation*}H=s_{max}-\sqrt{s_{max}^2-s_{min}^2}\end{equation*}

Daraus kann dann für das Vorzeichen in Gl. 5 folgendes abgeleitet werden:

Tabelle 5
Satz 1 Satz 2 Beobachtung 1 Beobachtung 2
WAHR WAHR NV NV
WAHR FALSCH E E
FALSCH WAHR W W
FALSCH FALSCH E W

Hierin bedeutet NV nicht vorhanden, denn beide Sätze gleichzeitig können nicht wahr sein. In den Spalten 3 und 4 stehen E für Addition und W für Subtraktion, vorzunehmen in Gl. 5. Es ist auch denkbar, dass die erste Beobachtung am Nachmittag und die zweite am folgenden Tag am Vormittag durchgeführt wird. In diesem Fall sind die Peilungen zu vertauschen, also E in W und W in E.

 

6.4 Standort nach Versegelung

Üblicherweise wird zwischen den Beobachtungen eine gewisse Strecke in einem bestimmten Kurs zurückgelegt. Diese Ortsveränderung muss bei einer Standortberechnung berücksichtigt werden und es wird ein sogenannter versegelter Standort berechnet. Kapitän Sumner hat dafür eine Regel angegeben. Bei einer Positionsänderung zwischen den Beobachtungen wird von einem beliebigen Punkt der Standlinie der ersten Beobachtung aus die gesegelte Entfernung in Kursrichtung abgesetzt. Die Standlinie wird dann parallel verschoben, bis sie durch den Zielpunkt der versegelten Strecke verläuft.

Bild 6: Eine Änderung des Koeffizienten b in der Funktionsgleichung einer Standlinie bewirkt eine Parallelverschiebung.

Der versegelte Standort ist der Schnittpunkt der verschobenen Standlinie mit der Standlinie aus der zweiten Beobachtung. Das Prinzip ist im Bild 6 gezeigt. Der blaue Pfeil ist ein Versegelungsvektor und gibt die versegelte Strecke in Kursrichtung c und Distanz d an. Die Standlinie aus der ersten Beobachtung ist mit SL1 gekennzeichnet. Sie wird parallel verschoben, bis sie durch den Zielpunkt verläuft und ist dann die versegelte Standlinie SL1V. Wir müssen die gesamte Standlinie verschieben, weil jeder Punkt auf dieser Linie zunächst der Startort sein kann. Der Startort ist jedoch keineswegs identisch mit dem Ort der ersten Beobachtung.

In der praktischen Anwendung muss in der Zeit zwischen den Beobachtungen eine Koppelnavigation (engl. Dead Reckoning) durchgeführt werden. Das bedeutet, dass nach jeder Wende und jeder Halse Zeit und Geschwindigkeit der gefahrenen Schläge erfasst werden müssen. Ebenso müssen nachhaltige Kursänderungen oder nachhaltige Geschwindigkeitsänderungen und möglichst auch Driften durch Strom oder Wind eingeschätzt und berücksichtigt werden. Aus den gesammelten Daten wird dann der Versegelungsvektor errechnet. Das ist ein virtueller Pfeil mit einer Länge der mittleren gesegelten Strecke (distance made good) auf einem mittleren gesegelten Kurs (course made good). So eine Koppelnavigation kann recht fehlerbehaftet sein. Es kommt deshalb darauf an, die Zeit zwischen zwei Beobachtungen möglichst kurz zu halten. Grafische Navigationsmethoden sind dafür nicht gut geeignet, sie brauchen grundsätzlich eine recht große Zeitdifferenz zwischen den Beobachtungen, damit der Schnittwinkel zwischen den Standlinien nicht zu spitz ist, die Standlinien nicht „Schleifen“.

Wir wollen natürlich keine grafische Lösung der Versegelung, sondern eine analytische. Bild 6 zeigt, dass eine Parallelverschiebung der ersten Standlinie SL1 keinen Einfluss auf die Steigung m hat, sondern nur auf den  Koeffizienten b. Wir müssen also die Größe 𝛥b berechnen, die sich jeweils durch die Versegelung ergibt. Die Funktionsgleichung der versegelten Standlinie lautet dann

(8)   \begin{equation*}\varphi_1=m_1\cdot\lambda+(b_1-\Delta b)\end{equation*}

Wir betrachten dazu das rechtwinklige Dreieck, umrandet von der Hypotenuse 𝛥b, der Kathete 𝛥h und der zweiten Kathete, die durch einen Abschnitt der versegelten Standlinie SLV1 gebildet wird. Den Winkel zwischen 𝛥b und 𝛥h könnten wir mit 180° – AZ angeben. Zur Berechnung von 𝛥b fehlt aber noch eine Seite des Dreieck, am besten 𝛥h. Diese Seite bekommt man ganz einfach über die Kosinusfunktion:

    \[\cos\chi=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{\Delta h}{\Delta d}\]

Daraus folgt mit 𝝌 = (A – c), wie man dem Bild entnehmen kann:

(9)   \begin{equation*}\Delta h =\frac{d}{60}\cdot \cos\,(A_Z-c)\end{equation*}

Die Distanz d muss durch 60 dividiert werden, wenn sie in nautischen Meilen eingegeben wird. Auf diese Weise wird die Distanz in Grad umgewandelt. Die Koeffizientenänderung 𝛥b wird anschließend ähnlich einfach über die Kosinusfunktion berechnet:

    \[\cos (180^\circ-A_Z)=\frac{\Delta h}{\Delta b}\phantom{15}\text{und damit}\phantom{15}\Delta b=\frac{\Delta h}{-\cos A_Z}\]

Daraus folgt für 𝛥b, indem die Gl. 9 anstelle von 𝛥h eingesetzt wird:

(10)   \begin{equation*}\Delta b =-\frac{d}{60}\cdot\frac{\cos\,(A_Z-c)}{\cos\,A_Z}\end{equation*}

Rein theoretisch sollte man den versegelten Standort auch über die Höhenänderung nach Gl. 9 berechnen können. Diese müsste nur zur beobachteten Höhe, die in dem obigen Beispiel 34° 51,03’ beträgt, addiert werden. Die so angepasste Höhe wird dann in den Tabellen 1 bis 3 zur Berechnung der Standortbreite verwendet, aus der jedoch das Azimut abgeleitet wird. Dabei kommt es zu einem Zirkelbezug. Das Azimut in Gl. 9 würde letztlich auf der angepassten Höhe beruhen, die vor dem Gleichheitszeichen steht. Die sprichwörtliche Katze beißt sich hier in den eigenen Schwanz. Dieses Vorhaben ginge nur, wenn mit den Tabellen 1 bis 3 nur die Breite berechnet wird und aus dieser Breite das Azimut zur Berechnung der Höhenanpassung. Dann würde man eine oder zwei zusätzliche Tabellen brauchen, in denen dann mit der angepassten Höhe gearbeitet wird. Das wird dann aber recht aufwändig.

 

6.4.1 Azimutberechnung

Um das Azimut kommen wir bei der Berechnung von Versegelungen nicht herum, weder in der Gl. 9 noch in der Gl. 10 und zur Berechnung wird eine ungefähre Standortbreite benötigt. Die unversegelte Breite könnte dafür herhalten. Das ist nicht der Ort der ersten Beobachtung, sondern nur ein fiktiver Standort, der einfach aus der Kreuzung der Standlinien gemäß Bild 3 aus beiden Beobachtungen berechnet wird. Diese Breite kann über die Tabellen 1 bis 3 berechnet werden, denn ihre Verwendung geht geradlinig weiter bis zum Ergebnis des versegelten Standortes. Es gibt also keine Rückkopplung. Meist wird zur Berechnung des Azimuts die Formel für das Höhenazimut benutzt, die hier nochmal angegeben wird:

(11)   \begin{equation*}A^*_z=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi\cdot \sin h_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Das Ergebnis A^*_z ist mit einem Stern versehen, denn es muss berücksichtigt werden, ob die Sonne in der ersten Beobachtung vor- oder nach dem Schiffsmittag beobachtet wurde. Nur wenn die Sonne im Osten gepeilt wird, dann ist der mit dieser Gleichung berechnete Wert das Azimut. Mit diesem Azimut, das für den unversegelten Standort gilt, kann 𝛥b berechnet und in Gl. 3 angewendet werden, indem anstelle von b1 der Wert (b1 – 𝛥b) verwendet wird. Das Ergebnis ist die versegelte Standortlänge, mit der Gl. 4 dann die versegelte Standortbreite liefert.

Bild 7: Herleitung des Azimuts aus der Steigung der Standlinie. Das Azimut ist die Peilung des Bildpunktes vom Standort aus gesehen.

Wenn die Steigung einer Standlinie bekannt ist, muss diese Azimutformel Gl. 11 nicht unbedingt benutzt werden. Das Azimut kann deshalb auch aus der Steigung der grünen Sekante im Bild 3 abgeleitet werden, die bekanntlich eine ganz kurze Standlinie ist. Dazu nutzt man die Tatsache, dass Azimutstrahl und Standlinie senkrecht zueinander stehen. Schon Kapitän Sumner hat festgestellt, dass eine Mittelsenkrechte auf seiner Sekante in Richtung Sonne der Azimutstrahl ist. Bild 7 zeigt in der Darstellung oben links einen Standort nördlich der Deklinationsbreite und dem Bildpunkt in der östlichen Hemisphäre. Das ist ein typischer Vormittagsstandort auf der Nordhalbkugel. Vom Standort, der im Scheitel eines rechtwinkligen Dreiecks liegt geht eine Kathete direkt zum Bildpunkt der Sonne und bildet dort mit der Deklinationsbreite den Winkel 𝜔. Das ist der Azimutstrahl. Die andere Kathete ist die Standlinie und bildet mit der Deklinationsbreite den Winkel 𝜇. Der Anstieg dieser Standlinie wurde weiter oben mit m1 = 𝛥𝜑/𝛥𝜆1 festgelegt. Das ist genau betrachtet nicht korrekt, denn der Abstand zwischen den Meridianen wird zu den Polen hin immer enger. Ein Fehler durch diese Unkorrektheit tritt bei der Standortberechnung mit den Gln. 3 und 4 nicht auf, weil beide Funktionsgeraden durch denselben Punkt, nämlich den Standort, laufen. Geht es jedoch um den Azimutstrahl, der sich mindestens vom Standort bis zum Bildpunkt erstreckt, dann ist diese Ausnahme nicht mehr gültig und eine Korrektur erforderlich. Die wird damit erreicht, dass die für den Anstieg betrachtete Längenänderung 𝛥𝜆 durch den Kosinus der Standortbreite dividiert wird. Der Anstieg der korrigierten Sekante lautet also:

(12)   \begin{equation*}M_1 = \frac{\Delta\varphi}{\Delta\lambda_1}\cdot\frac{1}{\cos \varphi}= \frac{m_1}{\cos \varphi}\end{equation*}

In allen Darstellungen von Bild 7 ist der Winkel 𝜇 der Anstiegswinkel des Anstiegs M1.  Anders ausgedrückt ist ein Anstieg einer Geraden gegenüber einer Waagerechten der Tangens des Anstiegswinkels also

    \[M_1=tan \,\mu\]

Damit gilt für den gegenüber liegendenWinkel 𝜔:

    \[M_1=cot\, \omega\]

Den Winkel 𝜔 bekommt man über die Umkehrfunktion als

(13)   \begin{equation*}\omega=arccot \,M_1=arccot \frac{m_1}{\cos \varphi}\end{equation*}

Im Bild 7 oben links ist zu sehen, dass das Azimut AZ die Summe aus 90° + 𝜔 ist. Eine Regel für alle Quadranten enthält die Tabelle 6. Das Azimut kann also auch dadurch berechnet werden, dass 𝜔 nach Gl. 13 ausgerechnet und dann je nach Peilung der Sonne und Lage der Deklination bewertet wird. Das kann ein Programm selbständig und ohne Probleme bewerkstelligen.

nördlich

Tabelle 6
Peilung der Sonne Deklination 𝛿 Azimut
östlich südlich  90° + 𝜔
westlich südlich 270° – 𝜔
östlich nördlich   90° – 𝜔
westlich nördlich  270° + 𝜔

Man könnte sich jetzt fragen, warum hier alles in der ebenen Trigonometrie und nicht in der sphärischen Trigonometrie berechnet berechnet werden konnte. Genau genommen wäre auch hier die sphärische Trigonometrie anzuwenden. Doch es handelt sich um ganz kleine Flächen, die zwischen zwei Beobachtungen gesegelt werden können,  viel kleiner als die Erdoberfläche. Rechnerische Abweichungen liegen dabei im Promillebereich. Viel größer sind hingegen die Fehler durch Schätzungen bei der durchzuführenden Koppelnavigation.

 

6.5 EXCEL

Für Interessenten steht eine EXCEL Datei mit dem Namen sumner numerisch zum Download bereit. Das Arbeitsblatt Navigation dieser Datei ist nicht geschützt, man kann also alles verändern und man kann sich alle Formeln ansehen. Die einzelnen Bereiche sind beschriftet und zum Teil auch farblich voneinander abgesetzt. Die Daten des vorstehenden Beispiels sind dort bereits eingetragen. Man kann auch Versegelungen eingeben, die dann bei der Standortberechnung berücksichtigt werden.

Bild 8: Bedienoberfläche der Datei sumner numerisch

Das Programm hat auch eine Bedienoberfläche, die im Bild 8 gezeigt wird. Im obersten blau umrandeten Block könne Einstellungen gemacht werden. Der Indexfehler eines Sextanten kann für jede Messung separat berücksichtigt werden. Das wärte z. B. nötig, wenn ein Plastiksextant verwendet wird, der bei der zweiten Messung eine höhere Temperatur besitzt und dann einen anderen Indexfehler hat, weil er sich in der Sonne aufgewärmt. Eingegeben wird die Indexkorrektur, also der festgestellte Indexfehler mit umgekehrtem Vorzeichen.
Weiterhin kann eingegeben werden, ob die Sonne mit ihrem Unterrand oder Oberrand auf den Horizont gesetzt wird. Die Augeshöhe ist die Höhe des Teleskops des Sextanten über der Wasserlinie während der Beobachtung. Schließlich muss noch angegeben werden, ob man nördlich oder südlich der Deklinationsbreite segelt, denn die Höhengleichen aus den beiden Beobachtungen schneiden sich an zwei Stellen. Die eine Stelle liegt nördlich und die andere südlich von der aktuellen Deklinationsbreite. Damit wird also der zutreffende der beiden möglichen Standorte vorausgewählt.

In den Blöcken Messung 1 und Messung 2 sind das Datum und die sekundengenaue Uhrzeit in UTC einzugeben, in der die Höhe der Sonne festgestellt worden war, und es ist der auf dem Sextanten jeweils abgelesene Winkel anzugeben. Wenn zwischen den Beobachtungen eine Ortsveränderung erfolgte, dann wird die durch Koppelnavigation festgestellte Versegelung in Strecke und Kurs angegeben. 
Sobald alle Eingaben erfolgt sind, berechnet das Programm den Standort. Außerdem wird die Zeit des Schiffsmittags ausgerechnet. Erfolgten beide Beobachtungen am Vormittag, dann bekommt man damit eine Zeitangabe für die Feststellung der kommenden Kulmination geliefert.

Die Datei besteht aus zwei Arbeitsblättern, „Navigation“ und „Almanac“. Das Arbeitsblatt Almanac enthält die stündlichen Sonnenpositionen des Jahres 2019 und kann, wie im Beitrag Alle Jahre beschrieben wurde, auch ausgetauscht werden. Aus den stündlichen Sonnenpositionen wird im Zellenbereich O5 bis R37 die Position der Sonne in der Sekunde der Beobachtung berechnet. Außerdem erfolgen dort einige Berechnungen, die zur Information dienen.
Die mit den Überschriften Zusatzbeschickung und Gesamtbeschickung markierten Tabellen enthalten die entsprechenden Datenbanken. Die Tabellen stammen aus dem U-Boot Archiv und lösen besser auf, als die jährlich vom BSH herausgegebenen Beschickungstabellen. Sie stimmen aber in den Werten haargenau überein, nur dass die BSH Tabelle nicht so viele Zwischenwerte liefert. Dafür geht sie bis zur Augeshöhe von 40 m und ist deshalb eher für die Großschifffahrt zugeschnitten, als für die Freizeitschifffahrt.

In den Feldern T5 bis AA29 findet die Beschickung der Sextantenablesung statt. Dazu werden die Tabellenwerte zweidimensional interpoliert. Aus Augeshöhe, Zusatzbeschickung, Indexberichtigung und Sonnenrand wird aus der Sextantenablesung die beobachtete Höhe berechnet.

Im Zellenbereich AC5 bis BG42befinden sich die drei Suchtabellen, in denen auf den vorgegebenen Breiten die Längen berechnet werden, an denen sie von den Höhengleichen geschnitten werden. In den Testspalten zeigt die Variable WAHR das Breitenintervall an, in dem sich die Höhengleichen kreuzen.

In Stufe 3 werden die Koeffizienten m und b definiert und daraus die Funktionsgleichungen aufgestellt. Außerdem erfolgen dort die Berechnung des Azimut und der Koeffizientenänderung zur Berücksichtigung einer Versegelung.

Damit auch eine kleine Grafik möglich ist, wurde in AC46 bis AK 107 eine Wertetabelle angelegt.

Mit dieser EXCEL Datei, die natürlich nur für EXCEL-Jünger interessant sein dürfte, kann selbstverständlich auch ganz praktisch navigiert werden. Darin werden tausende Rechnungen ausgeführt, nur um einen Standort aus zwei Höhen zu finden und zu berechnen. Das passiert in Bruchteilen von Millisekunden, je nachdem wie schnell der Rechner ist und liefert ein rechnerisch genaues Ergebnis. Es ist eine alternative Methode, die nur mit Computern durchgeführt werden kann.


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