Numerische Standortfindung

Rechentabellen

Das Konzept der Astronavigation beruht auf der Ermittlung der Schnittpunkte von mindestens zwei Höhengleichen von Gestirnen und ist im Bild 1 dargestellt. Johann Carl Friedrich Gauß gelang 1808 eine direkte Berechnung der Schnittpunkte nach der Beobachtung von zwei Sternen. Seine Methode kam jedoch nie zur Anwendung.

Bild 1: Zwei Höhengleichen schneiden sich am Beobachtungsort.

Die Methoden von Thomas H. Sumner und Saint Hilaire verbreiteten sich dagegen schnell. So basierte die Methode nach Sumner praktisch auf der Bestimmung von Chronometerlängen. Das Verfahren dazu war bis 1840 auf allen seegehenden Schiffen Standard geworden. Hilaire verfeinerte schließlich diese Standlinienmethode, weil ihm ein Weg gelang, die Standlinien als Tangenten an den Kreis der Höhengleichen zu bringen. Bei Sumner waren es nur Sekanten. Dadurch verbesserte sich die Genauigkeit. Der mathematische Aufwand beider Methoden unterscheidet sich nicht wesentlich. Beides sind zudem grafische Methoden, bei denen das Ergebnis am Ende aus einer Zeichnung herauszulesen ist.

Um eine Standlinie zeichnen zu können, muß zunächst gerechnet werden. Auf der Basis einer ersten Beobachtung waren das bei Sumner zwei Chronometerlängen auf zwei vorgegebenen Breiten in Standortnähe und bei Hilaire das Azimut und die Höhe für einen geschätzten Standort. Dasselbe geschah dann auch auf der Basis einer zweiten Beobachtung. Nachdem beide Standlinien gezeichnet worden sind, kann man seinen Standort dem Kreuzungspunkt der Linien entnehmen. Hat zwischen den Beobachtungen eine Ortsveränderung stattgefunden, dann musste die zuerst konstruierte Standlinie entsprechend parallel verschoben werden.

 

1 Numerischer Ansatz

Die Methode von Sumner eignet sich ausgesprochen gut, numerisch gelöst zu werden Verbindet man zwei Punkte auf einer Kreislinie mit einer Linie, dann ist das eine Sehne. Eine sehr kurze Sehne kann als Nachbildung eines Stückchens der Kreislinie einer Höhengleiche angesehen werden. Das ist schlißlich das Prinzip der Sumnerlinie. Drei und mehr Punkte müssten mit mehreren Sehnen verbunden werden, folgen aber dem Kreisbogenverlauf schon besser. Bild 2 zeigt das Prinzip

Bild 2: Viele Sehnen in grün verbinden die Schnittpunkte einer Höhengleiche mit vorgegebenen Breitenkreisen und können so den Kreisverlauf nachbilden.

Bild 2 zeigt das Prinzip. Ganz viele Punkte in kleinsten Abständen bilden dann die Kreislinie ziemlich exakt nach. Doch Sumner konnte unmöglich so viele Chronometerlängen für eine ganze Anzahl dicht übereinander liegender Breiten berechnen und damit einen Bogen nachbilden. Aber wir können das, denn wir besitzen Computer. Und wir können auch die Kreuzung zwischen zwei Kreisbögen herausfinden. Je nachdem, wie hoch wir die Kreisbögen auflösen, können wir den Rechenfehler beliebig klein bis praktisch Null halten. Es wäre überhaupt kein Problem, die Breitenabstände bis auf 10 m zu verringern. Der Standort wird letztendlich dadurch ausgerechnet, dass der Schnittpunkt zwischen zwei sich kreuzenden Minisehnen berechnet wird.

Zunächst müssen ein paar grundlegende Überlegungen angestellt werden. Eine Höhengleiche wird nur von den Breitenkreisen in ihrem Durchmesserbereich geschnitten und ihr Durchmesser ist kleiner als ein Großkreis. Für die Breitenkreise, die die Höhengleiche nördlich und südlich passieren, kann nichts berechnet werden. Die nördlichste und die südlichste Breite, die mit einer Höhengleiche noch Kontakt hat, sind Tangenten wie die Breite φ1 und φ11 im Bild 2. Die Grenzbreiten werden mit folgenden Gleichungen ermittelt:

    \begin{equation*}\varphi_N_R=(90^\circ-h)+\delta;\;\;\;\;\;\varphi_S_R=(h-90^\circ)+\delta\end{equation}

Hierin sind  φNR  und φSR die Breitengrade des Nordrandes und des Südrandes einer Höhengleiche also die Nord-Süd Erstreckung ihres Durchmessers und δ ist die Deklination der Sonne zum Beobachtungszeitpunkt, die genau durch den Mittelpunkt verläuft.

Bei Sumner werden zwei Breiten mit 1° Abstand angegeben, zwischen denen der Standort vermutet wird. Wir wollen aber den Bogen der Höhengleiche mit sehr vielen und sehr kurzen Sehnen zwischen vielen kleinen Breitenabständen nachbilden. Deshalb geben wir statt zwei Breiten nur eine an, in der wir unseren Standort vermuten und lassen den Computer einen Breitenbereich bilden.
Wir geben beispielsweise an, dass wir uns auf einer Breite von 54° befinden. Daraufhin legt das Programm einen Breitenbereich an und der könnte dann +2° betragen. Das Programm muss daraufhin für alle Breiten von 52° bis 56° die Schnittpunkte mit einer gemessenen Höhengleiche berechnen. Es muss nur noch festgelegt werden, in welchem Abstand die zu betrachtenden Breiten liegen sollen. Sollte ein vom Programm festgelegter Bereich über die von den vorstehenden Gleichungen angegebenen Grenzen hinausgehen, dann werden jedoch nur die Breiten betrachtet, die im Durchmesserbereich der Höhengleiche liegen. Die Schnittpunktberechnungen erfolgen durch schrittweise Variation der Breite und sonst in der Weise wie Chronometerlängen berechnet werden, mit gleichen Werten von gemessener Höhe, Deklination und Greenwichwinkel:

(1)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt\pm\arccos\frac{\sin h-\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Ob in dieser Gleichung addiert oder subtrahiert werden muss, hängt davon ab, ob die Sonne östlich oder westlich beobachtet wird. Wird die Höhe der Sonne am Vormittag gemessen, dann muss addiert werden.

λ* als Grt + oder – Polwinkel erforderliche Operation Typ
kleiner als null Vorzeichen auf + ändern Ostlänge
im Intervall von 0° bis 180° Vorzeichen auf – ändern Westlänge
im Intervall von 180° bis 360° von 360° subtrahieren Ostlänge
größer als 360° 360° subtrahieren, Vorzeichen auf – ändern Westlänge

Mehr kann das Programm nach einer ersten Beobachtung nicht tun. Es muss auf eine zweite Beobachtung warten. Daraus folgt dann eine andere Höhe der Sonne, eine etwas andere Deklination und ein anderer Greenwichwinkel. Im gleichen Breitenbereich werden dann dieselben Berechnungen nach Gl. 1 ausgeführt.

Bild 3: Zwei Höhengleichen überkreuzen sich zwischen zwei Breiten, wenn die Differenz der Schnittlängen auf diesen Breiten unterschiedliche Vorzeichen aufweist.

Es folgt ein Vergleich der Rechenergebnisse für jeden in den Rechnungen benutzten Breitenkreis, indem die Differenzen der Schnittlängen berechnet werden. Diese Differenzen dienen nur dazu, die zwei Breiten zu finden, zwischen denen ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat. Im Bild 3 findet der Vorzeichenwechsel zwischen den Breiten φ4 und φ3 statt, wenn die Breiten von Nord nach Süd gehend nacheinander betrachtet werden.

Nun ist es so, dass man einen möglichst geringen Breitenabstand wünscht, z. B. 14 Breitensekunden und damit weniger als einen halben Kilometer. Teilt man jedoch 4° durch 14″, dann erhalt man 1028. Das ist die Anzahl der Rechnungen, die zur Ermittlung der Schnittlängen nach Gl. 1 und der Umrechnungstabelle pro Höhengleiche nötig wären, also insgesamt 2048 Chronometerlängen-Berechnungen. Am Ende hätte man jedoch nur ein Gebiet mit einer Nord-Süd Ausdehnung von 14“ und einer durch die Schnittlängen gegebenen Ost-West Ausdehnung, die durchaus mehr als eine Meile betragen kann. Das wäre nämlich dann der Fall, wenn in einer Zeit von 1 Stunde vor oder nach dem Schiffsmittag eine Beobachtung gemacht wird.

Dafür gibt es aber eine bessere Lösung und die soll jetzt anhand eines Beispiels erläutert werden. Die Lösung wird dabei in drei Stufen gefunden. Am 10. Jun 2019 erfolgte um 10:14:00 UTC eine Beobachtung der Sonne. Die Daten dazu sind:

  • Grt1 = 333°  38,9′
  •    δ1 =   23°   0,1′
  •    h1 =   54° 19,2′

Eine zweite Beobachtung erfolgte um 14:02:02 UTC. Die Daten dazu sind:

  • Grt2 =   30°  38,4′
  •    δ2 =   23°   0,9′
  •    h2 =   71° 54,5′

Die eigene Breite wurde mit 32° N  geschätzt. Daraus bildet das Programm einen Breitenbereich von +2°, also von 30° N bis 34° N. Dieser Bereich wird dann in 33 Intervalle aufgeteilt, wobei ein Intervall eine Breite von 7,5′ besitzt. Schon nach der ersten Beobachtung könnten für alle 34 Breiten die Längen berechnet werden, auf denen die Höhengleiche die jeweilige Breite schneidet. Das sind 34 Berechnungen nach der Gl. 1 und Umrechnung mittels der darunter angegebenen Tabelle.

Bild 4: Darstellung der Höhengleichen in dem Auswahlbereich geschätzte Breite +2° links und Verlauf der Höhengleichen in dem zuerst gefundenen Kreuzungsintervall von 7,5′.

Die Rechenergebnisse können in eine Tabelle geschrieben werden, weil dann auch eine grafische Darstellung des Bogens möglich wird. Im Bild 4 ist es der grüne Bogen im linken Diagramm. Nach der zweiten Beobachtung werden die Schnittlängen mit denselben 34 Breiten berechnet. Das ergibt den roten Bogen im linken Diagramm von Bild 4. Das sind also nochmal 34 Berechnungen mit der Gl. 1.

Jetzt kann der Schnittpunkt der Höhengleichen gesucht werden, indem von 34° N ausgehend alle Breiten in Schritten von 7,5′ südwärts gehend betrachtet werden. So wie im Bild 3 gezeigt wird auf jedem Breitenkreis die Differenz  der Schnittpunkte mit den Höhengleichen gebildet, bis ein Vorzeichenwechsel eintritt. Der Schnittpunkt der Höhengleichen-Bögen liegt in dem Intervall das vor und nach dem Vorzeichenwechsel liegt. In unserem Beispiel liegt der Schnittpunkt im Breitenintervall von 32° N bis 31,875°, das sind 7,5′ Breitenunterschied und somit rund 14 Seemeilen Nord-Süd Distanz.

Dieses Intervall wird sogleich wieder in 33 kleinere intervalle von nunmehr 14 Breitensekunden Nord-Süd Distanz unterteilt und für jede der darin vorkommenden 34 Breiten werden sofort auch wieder die Schnittlängen berechnet. Daraus entsteht dann das Diagramm im Bild 4 rechts. Durch Differenzbildung der Schnittlängen gemäß Bild 3 wird dann auch hier wieder ein Intervall gefunden, in dem sich die Höhengleichen schneiden.

Bild 5: Die Höhengleichen in einem Intervall von 14“ Nord-Süd Distanz können als Geraden angesehen werden (links). Der Standort wird als Kreuzungspunkt zweier Geradenfunktionen definiert (rechts).

Dieses Intervall ist im Bild 4 im linken Diagramm dargestellt. Es wird jetzt aber nicht mehr in Intervalle unterteilt, um die Kreuzung weiter einzugrenzen, obwohl dies natürlich weiter möglich wäre. Bei einem so kleinen Breitenabstand von 14“ kann der Verlauf des Bogens einer Höhengleiche tatsächlich als Gerade angesehen werden. Diese Geraden zeigt Bild 5 auf beiden Seiten. Auf der rechten Seite sind Bezeichnungen angebracht, die nötig sind, Geradengleichungen zu definieren.

Die Erhebung eines Bogens über eine so kurze Distanz würde kaum einen Meter betragen. Die Kreuzung wird dadurch gefunden, dass zwei Geradenfunktionen der Form 𝜑1 = m1𝜆 + b1 und 𝜑2 = m2𝜆 + b2 aufgestellt werden. Die Koeffizienten m beschreiben den jeweiligen Anstieg als Breitenänderung je Längenänderung und die Koeffizienten b sind sogenannte Offsets. Das sind scheinbare Breiten bei einer angenommenen Länge von 0°. Scheinbar deshalb, weil die Geraden in einem kartesischen Koordinatensystem betrachtet werden. Tatsächlich besteht das Gradnetz der Erde aber aus Kugelkoordinaten. Da wir die kartesischen Koordinaten jedoch nur in unmittelbarer Standortnähe benutzen, ist das völlig zulässig. Die Koeffizienten betragen:

  • m1 = 𝛥𝜑/𝛥𝜆1 = 10,936
  •  b1 = 𝜑1 – m1𝜆1 = -1,826
  • m2 = 𝛥𝜑/𝛥𝜆2 = -1,826
  •  b2 = 𝜑1 – m2𝜆1 = 8,472

Die Rechnungen erfordern, dass mit sehr hoher Stellenzahl nach dem Komma gerechnet werden muss, also mit einer Gleitkommarechnung mit vielen Nachkommastellen. Beispielsweise ist die Differenz der Längen 𝜆1.1 – 𝜆1.2 = 𝛥𝜆1 = 0,000357192780882087°. Moderne Programmierwerkzeuge haben damit aber kein Problem. Der Kreuzungspunkt findet sich nun in:

(2)   \begin{equation*}\lambda_s=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2}=-12,8272^\circ=\underline{12^\circ \,49,63'\,W}\end{equation*}

(3)   \begin{equation*}\varphi_s=m_1\lambda_s+b_1=31,8890^\circ=\underline{31^\circ\,53,44'\,N}\end{equation*}

Das ist der gefundene Standort, ohne Ortsveränderung zwischen den Beobachtungszeiten. Optional kann auf die Angabe einer geschätzten Standortbreite sogar verzichtet werden, wenn nur angegeben wird, dass der eigene Standort nördlich oder südlich der Deklinationsbreite liegt. Das Programm muss dann nur so aufgebaut werden, dass es in vier Grad Schritten vom Nordpol (Südpol) beginnend nach Süden (Norden) schreitet, bis es einen Schnittpunkt der Höhengleichen gefunden hat. Das wären dann vielleicht 10 oder 15 Durchläufe mit je 34 zu untersuchenden Breiten. Das geht in Millisekunden vonstatten. Ist ein Schnittpunkt-Intervall zweier Sehnen gefunden, dann wird dieses in einer nächsten Stufe höher aufgelöst und weiter behandelt, bis mit den Gln. 2 und 3 der Standort rechnerisch auf Metergenauigkeit eingegrenzt ist.

1.1 Beispiel einer Realisierung in EXCEL

Diese Arbeitsweise kann in einer EXCEL Datei nachempfunden werden, die hier als Standort numerisch heruntergeladen werden kann. In der Datei können auch die Grundeinstellungen wie Augeshöhe Indexberichtigung und Wahl des Sonnenrandes vorgenommen werden. Es muss auch die Breite angegeben werden, in der gesegelt wird. Die Toleranz der Schätzung beträgt +
In zwei Blöcken, Messung 1 und Messung 2,  werden Datum, Uhrzeit und Sextantenablesung eingegeben. Ausgegeben werden der Standort und der Verlauf der Höhengleichen in einer Grafik mit einem Breitenbereich von 4°. Allerdings müssen die gemachten Eingaben diesen Bereich auch treffen. In der Grafik ist der Breitenbereich waagerecht angeordnet, weil EXCEL diesen Diagrammtyp nicht drehen kann. In den Bilder 4 und 5 erfolgte eine Drehung mit einem anderen Programm.

Der Standort wird, wie zuvor beschrieben, in drei Stufen ermittelt, wobei die ersten beiden Stufen Tabellen sind. Jede dieser Tabellen enthält 33 + 2 Zeilen. In der Tabelle der Stufe 1 enthält die mittlere Zeile die angegebene Segelbreite. Diese wird nach oben und unten um jeweils 2° erweitert, so dass ein 4° Bereich erfasst wird, in dem von Breite zu Breite ein Abstand von 7,5′ besteht. Die ersten beiden Spalten enthalten die Breiten in Grad und im Bogenmaß. Die nächsten vier Spalten enthalten den ausgerechneten Polwinkel und die daraus resultierenden Längen. Die Diff-Spalten bilden die Differenz zwischen den Längen bzw. den Polwinkeln. In der Testspalte ist schließlich das Ergebnis enthalten, in welchem Breitenintervall ein Vorzeichenwechsel auftritt. Das Ergebnis wird als WAHR angezeigt. Wenn der Standort im Längenbereich von mehr als 178° W oder 178° E liegt, wird der Vorzeichenwechsel in der Differenz zwischen den Polwinkeln ausgewertet, damit der Vorzeichenwechsel zwischen den negativen Westgraden und positiven Ostgraden nicht zu Verwechslungen führt.

In der Tabelle der Stufe 2 ist die Breite des gefundenen Intervalls, in dem der Vorzeichenwechsel stattgefunden hat, aufgeteilt. Die Funktionen sind genau dieselben, wie in der Stufe 1, nur diesmal in einer feineren Breitenabstufung von 0,23′. Das sind etwa 400 m zwischen den einzelnen Breiten.

Der gefundene Breitenbereich wird in der dritten Stufe weiterbearbeitet. Zunächst erfolgt ein Auszug der gefundenen Zeilen. Aus den Breiten und den Längen aus jeder Beobachtung werden jetzt Geraden gebildet, so wie das im Bild 5 dargestellt ist. Den Geraden muss eine Funktionsgleichung zugeordnet werden und dazu müssen die Koeffizienten m und b ermittelt werden. Der Anstieg jeder Geradenfunktion ist m und der Offset, ein Punkt an dem der Anstieg beginnt, ist b. Aus diesen Koeffizienten ergibt sich dann der Schnittpunkt der Geraden mit Hilfe der Gln. 2 und 3. Die Geraden sind zwar immer noch Sekanten, wie nach der Methode von Sumner, sie überbrücken jedoch nicht mehr 60 nautische Meilen, sondern nur noch einige hundert Meter. Ein Schnittpunkt dazwischen kann dann mit einer Rechengenauigkeit von 1 Meter gefunden werden.

Diese numerische Methode ist also auch geeignet, Standorte genau anhand der eingegebenen Daten zu berechnen. Die Standortgenauigkeit ist dadurch aber nicht besser als bei allen anderen Verfahren und Methoden. Sie hängt insbesondere von den Messwerten und damit vom Können des Navigators im Umgang mit Sextant und Uhr ab. Die EXCEL Datei berücksichtigt auch keine Versegelungen, sie dient nur zur Demonstration der Methode.

 

2 Standort nach Versegelung

Üblicherweise wird zwischen den Beobachtungen jedoch eine gewisse Strecke zurückgelegt und die erste Standlinie muss versegelt werden. Um das zu machen gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, die Geradengleichung, die im Bild 4 die grüne Linie darstellt parallel zu verschieben, so wie es Sumner beschrieben hat und erst dann mit der im Bild 4 rot dargestellten Funktion zu kreuzen. Die zweite Möglichkeit ist die nach Cornelis Douwes und besteht in einer Anpassung der Höhe h1 an den Standort der zweiten Beobachtung.

2.1 Standlinienmethode

Eine parallele Verschiebung der Sumnerlinie aus der ersten Beobachtung wirkt sich in der Geradengleichung nur auf den Koeffiziente b aus. Die Geradengleichung der unversegelten ersten Standlinie lautet dann nicht mehr 𝜑1 = m1𝜆 +b1, sondern  𝜑1 = m1𝜆 +b1 + 𝛥𝜑. Dabei berechnet sich 𝛥𝜑 mit der Gleichung:

(4)   \begin{equation*}\Delta\varphi=\frac{d}{60}\cdot\frac{\cos (A_z-c)}{\cos A_z}\end{equation*}

Hierin sind Az das Azimut, d die zwischen den Beobachtungen gefahren Strecke in Seemeilen und c der gefahrene Kurs. Das Azimut wird nach folgender Gleichung bestimmt:

(5)   \begin{equation*}A_{zc}=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi\cdot \sin h_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Das Ergebnis ist mit Azc (c wie calculate) bezeichnet, denn es muss berücksichtigt werden, ob die Sonne bei der ersten Beobachtung vor- oder nach dem Schiffsmittag geschossen wurde. Nur wenn die Sonne im Osten gepeilt wird, dann ist der berechnete Wert Azc das Azimut. Bei Beobachtung der Sonne im Westen, muss der berechnete Wert von 360° subtrahiert werden, um das Azimut zu erhalten.

 

2.2 Höhenanpassung

Diese Methode ist sogar die präzisere und geht auf den Holländer Cornelis Douwes aus dem 18. Jahrhundert zurück. Er lehrte, die Sonne in der Position der ersten Beobachtung am Himmel gedanklich einzufrieren. Am Ort der zweiten Beobachtung wird sich dann ihre Höhe gegenüber der ersten Beobachtung verändert haben. Bei Annäherung würde eine größere Höhe gemessen werden und bei Entfernung eine kleinere Höhe. Mit der veränderten Höhe dieser eingefrorenen Sonne und der Höhe der nicht  eingefrorenen Sonne ergibt sich der Schnittpunkt der Höhengleichen am Standort der zweiten Beobachtung als versegelter Standort. Als Höhe in der Berechnung ist dann nicht mehr die am Standort der ersten Beobachtung gemessenen Höhe h1 einzusetzen, sondern h1 + Δh:

(6)   \begin{equation*}h_1+\Delta h=h_1+\frac{d}{60}\cdot\cos (A_z-c)\end{equation*}

Hierin sind d die gesegelte Distanz in Seemeilen, Azc das Azimut nach Gl. 5 und c der gefahrene Kurs.

Arbeitet man mit der Höhenanpassung, dann muss die Gl. 6 auch berechnet werden können und dazu ist das Azimut erforderlich. Das ist jedoch nur berechenbar, wenn die Standortbreite bekannt ist. Eine einfache Methode besteht darin, den Standort zunächst ohne angepasster Höhe zu berechnen und die dadurch erhaltene Breite in der Azimutberechnung zu verwenden. Nachdem dann  h1 + Δh nach Gl. 6 bestimmt worden ist, wird dieser Wert anstelle von h1 eingesetzt und man erhält sofort den versegelten Standort. Natürlich läuft das alles programmiert ab, so dass man als Anwender von dieser doppelten Berechnung nichts mitbekommt.

 

3 Vergleichende Betrachtungen

Diese numerisch herbeizuführenden Standortermittlung ist keine neue Methode. Es ist nur eine Weiterführung der Sumner Methode. Sumner selbst hatte beim ersten Mal drei Schnittpunkte einer Höhengleiche auf drei, jeweils 10′ auseinanderliegenden Breiten berechnet und festgestellt, dass diese Punkte dem Kreisbogen der Höhengleiche folgen. Wenn wir jetzt den Kreisbogen mit 34 Punkten nachbilden und dann das kurze Stück der unmittelbaren Kreuzung nochmal ganz fein auflösen, dann ist es genau das, was Sumner in Ermangelung eines Computers nicht tun konnte, sich vielleicht aber schon vorstellte. Sumner suchte den direkten Schnittpunkt zweier Höhengleichen, musste sich aber in Ermangelung geeigneter Rechentechnik mit dem Schnittpunkt zweier Sekanten daran begnügen, die er sogar als „arc“ (Bogen) bezeichnete.

Ebenso war der Algorithmus von Gauß klar darauf gerichtet, den Schnittpunkt zweier Höhengleichen direkt zu finden. Das gelang analytisch in Auswertung einer Konstellation mehrerer Dreiecke. Eine analytische Lösung passte damals nicht in die Zeit und so geriet der Gauß Algorithmus in Vergessenheit. Die analytische Ermittlung von Standorten ist heute unverzichtbar, um Computergrafiken von Höhengleichen anzeigen zu können.

Die Methode von Saint Hilaire unterscheidet sich von den beiden anderen dadurch, dass sie gar nicht darauf aus ist, die Kreuzung der zwei Höhengleichen zu finden. Sie hat das Ziel, Tangenten an die Höhengleichen anzulegen und den Standort als Schnittpunkt der Tangenten zu finden. Diese Methode ist deshalb nicht nur komplizierter durch Computerprogramme zu realisieren sondern hat auch den Nachteil, eine Näherungslösung zu bleiben. Außerdem muss zur Bestimmung des Azimuts ein geschätzter Standort angegeben werden. Eine genaue Standortermittlung mit der Hilaire Methode gelingt nur durch rekursive Anwendung.


links:

nach obenDie Sonne am HimmelMittagsbreite und ChronometerlängeGauß und das ZweihöhenproblemThomas H. Sumner, Begründer der StandliniennavigationDie Methode des Marcq Saint HilaireEin wenig Sextantenkunde ♦  Sextantentest Mark 25DownloadsHome

 

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht.

*

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre mehr darüber, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden.