T. H. Sumner, Begründer der Standliniennavigation

John Harrisons H1 aus dem Jahre 1759. Die Entwicklung der Schiffschronometer war Voraussetzung für das Entstehen der modernen Astronavigation

 

Thomas Hubbard Sumner wurde 1807 als Sohn eines Architekten in Boston, Massachusetts geboren. Im Alter von 15 Jahren begann er ein Studium an der Havard Universität, das er vier Jahre später abschloss. Im Jahr 1829 heuerte er als Seemann auf einem Handelsschiff auf der China Route an. Acht Jahre später war er Kapitän mit einem eigenen Schiff.
Sumner hatte eine eine gute Ausbildung und verfügte über weitreichende Kenntnisse in Mathematik und Astronomie. Er gilt als Begründer der Standliniennavigation, die später von Saint Hilaire, einem französischen Seeoffizier, verfeinert wurde. Dessen Methode war dann Standard bis zur Einführung der Satellitennavigation.
Sumners persönliches Schicksal endete tragisch. Im Jahr 1850 kam er in ein Krankenhaus für Psychiatrie und 5 Jahre später in ein Irrenhaus, wo er im Alter von 69 Jahren verstarb. Ein Mondkrater, zwei amerikanische Forschungsschiffe und ein Gletscher in der Antarktis wurden nach ihm benannt.  

 

1 Ein Zufall kommt zu Hilfe

Am Morgen des 17. Dezember 1837 näherte sich Kapitän Sumner, er war schon 22 Tage von South Carolina kommend auf See, dem St. George Kanal zwischen Irland und Wales. Seine Reise ging nach Greenock in Schottland. Es stürmte und es war bedeckt. Er brauchte jetzt dringend Sicherheit darüber, dass ihn der Wind aus SSE nicht zu weit an die gefährlich flache und steinige Südostküste von Irland versetzt hat. Etwa um 10:15 riss die Wolkendecke plötzlich auf und die Sonne wurde sichtbar. Es reichte gerade für eine Messung des Kimmabstandes der Sonne.

Bild 1: Karte aus „A new Method of Finding a Ship’s Position at Sea“ von Thomas H. Sumner.

Die Methoden zur Bestimmung der Mittagsbreite und der Chronometerlänge waren zu Beginn des 19. Jahrhunderts auf allen Seeschiffen gut etabliert. Eine Längenbestimmung zur Mittagszeit war jedoch nicht möglich. Auf ihrer Kulminationshöhe beschreibt die Sonne einen sehr flachen Bogen. Sie legt dabei mehr als 100 Meilen in Ost-West Richtung zurück, ohne dass eine Höhenänderung festgestellt werden kann.
Die Breite hingegen ändert sich in dieser Zeit kaum, so dass Fehler in der Breite nur sehr gering sind. Wenn die Höhe der Sonne zwei Stunden vor oder nach dem Schiffsmittag gemessen wird, dann würde eine Längenberechnung auf Grundlage einer vorliegenden Breite nur einen kleinen Fehler verursachen.

Bild 2: Inhalt des Buches „A new Method of Finding a Ships Position at Sea“ von Kapitän Thomas H. Sumner

Kapitän Sumner war sich dessen bewusst. Deshalb war es ein großes Glück, dass er die Höhe der Sonne noch zwei Stunden vor dem Schiffsmittag messen konnte. Er machte sich Sorgen um seine Position, weil ihn die starken Winde in Richtung der irischen Lee-Küste trieben. Sein Kurs war zu diesem Zeitpunkt ENE und er hatte nur eine DR Position (Koppelposition).

Aus der gemessenen Höhe und der DR Latitude konnte er jetzt eine Chronometerlänge und damit eine Position errechnen. Die lag dann sogar östlich von seiner DR Position und somit weiter und sicherer von der Küste entfernt als seine DR Position. Als vorsichtiger Seefahrer wusste er aber auch, dass die ermittelte Position einen erheblichen Fehler aufweisen konnte, denn die DR Latitude, die seiner Berechnung zugrunde lag, konnte falsch sein. Also versuchte er herauszufinden, was die Konsequenzen dieses Fehlers wären.

Unter Verwendung derselben gemessenen Höhe und einer angenommenen Breite, die diesmal 10 Meilen weiter nördlich und damit näher an der gefährlichen Lee-Küste Irlands lag, berechnete er eine neue Position. Dabei fand er eine Position, die unerwartet noch weiter östlich lag als die vorherige. Eine dritte Berechnung mit einer angenommenen Breite, die um weitere 10 Meilen nördlicher lag, ergab dann eine dritte Länge die noch weiter östlich als die beiden vorherigen lag. Mit diesen Ergebnissen ging Kapitän Sumner in seine Karte und sah, dass sich alle drei erhaltenen Positionen auf einer geraden Linie befanden. Ihm wurde plötzlich klar, dass diese Linie ein kleines Stück der Kreislinie einer Höhengleiche ist. Eine Senkrechte auf dieser Linie musste das Azimut zur Sonne sein. Jeder Beobachter auf dieser Linie hätte die Sonne zur selben Zeit in derselben Höhe beobachten können und sein Schiff befand sich irgendwo auf dieser Linie.

Es war einer dieser ungewöhnlichen Zufälle in der Geschichte. Die erhaltene Linie war nicht nur fast mit seiner Kurslinie identisch, sondern lief auch direkt auf den Leuchtturm „Small’s Rocks“ zu. Das war ein wichtiges Seezeichen vor der Westküste von Wales. Kapitän Sumner entschloss sich, den Kurs entlang der entdeckten Linie beizubehalten, auf der früher oder später der Leuchtturm „Small’s Rocks“ gesichtet werden würde. Einige Zeit später wurde der Leuchtturm trotz des dichten Wetters tatsächlich entdeckt und die Reise konnte dann sicher entlang der Westküste Englands fortgesetzt werden.


Das war neu. Nach einer Beobachtung eines Gestirns konnten zwei Breiten gewählt und es konnte berechnet werden, welche Längen diese Breiten bei derselben Gestirnshöhe schneiden. Das lieferte zwei Punkte auf einer Karte und wenn man diese miteinander verband, so hatte man eine Standlinie. Sumner erkannte, dass die Standlinie ein kurzes Stück vom Kreis der Höhengleiche ist und dass er mit seinen Berechnungen eine dicht an der Peripherie liegende Sekante an die Höhengleiche konstruiert hatte.
Diese konnte man auch verlängern und sah dann auf der Karte, wo sie hinführte. So konnten von einer Standlinie Kurse abgeleitet werden, die sicher parallel an einer unsichtbaren Küste entlang führten, oder sogar direkt auf einen Hafen zusteuerten. Außerdem konnten an einem Tag zwei Standlinien bestimmt werden, wenn man die Höhe der Sonne einmal vormittags und dann nachmittags bestimmte. Der eigene Standort muss dann im Sinne einer Kreuzpeilung dort sein, wo sich die Standlinien kreuzten. All das veranlasste Sumner, ein Buch zu schreiben, das 1843 unter dem Titel „A NEW METHOD OF FINDING A SHIP’S POSITION AT SEA“.

Die Methode war überaus einleuchtend und wurde von den Seeleuten sofort angenommen. Die auszuführenden Berechnungen waren zudem identisch mit denen, die längst schon zur Bestimmung der Chronometerlänge angewendet wurden und damit waren die Navigatoren längst gut vertraut. Die Chronometerlänge selbst ergab mit der geschätzen Breite nur einen Punkt. Man musste nochmal mit einer anderen Breite rechnen und hatte dann einen zweiten Punkt. Eine Linie durch beide Punkte war die Standlinie. Somit war erstmalig eine Möglichkeit gefunden, unabhängig vom Schiffsmittag, zu beliebigen Zeiten ohne Landsicht auf See mit einfachen Mitteln einen Standort zu finden. Sie wurde daraufhin das Standardverfahren in der US-Navi. Im Jahre 1844 gelangte sie nach England und von dort in die englischen Kolonien im Pazifik und im Orient. Nur in Frankreich wurde die Methode erst einige Jahre später benutzt.  

 

2 Navigieren mit Sumnerlinien

Wie ein Standort nach Kapitän Sumner gefunden wird, soll jetzt direkt mit dem Text aus seinem Buch beschrieben werden. Der folgende Text ist eine Übersetzung aus dem Original. Dort steht unter Rule 1

  1. Wähle zwei ganzzahlige Breiten, wobei eine davon die nächst kleinere und die andere die nächstgrößere ist als die gekoppelte Breite.
  2. Finde in der üblichen Weise die Schiffslänge nach Chronometer unter der Annahme, das Schiff befände sich auf der kleineren Breite und markiere die gefundene Position als Punkt A auf der Karte.
  3. Finde in derselben Weise die Schiffsposition unter der Annahme, es befindet sich auf der größeren Breite und markiere die gefundene Position als Punkt A‘ auf der Karte.
  4. Verbinde diese zwei Punkte mit einer geraden Linie, die so lang wie nötig ist. Diese Linie ist der Bogen einer Höhengleiche und durchquert die wahre Position des Schiffes und …

Sumner wusste, dass die gefundene Linie ein Stück des Kreisbogens einer Höhengleiche ist. Die Ersetzung des Kreisbogens mit einer geraden Linie war für ihn gerechtfertigt unter der Voraussetzung, dass der Bildpunkt des beobachteten Gestirns weit genug weg ist. Die Originalkarte im Bild 1 zeigt die von ihm gezeichnete Linie und die mit A bzw. A‘ bezeichneten Schnittpunkte auf den Breitengraden 51° und 52°. Sumner betont, dass eine Senkrechte von der Linie AA‘ ausgehend auf der Seite der Sonne das Azimut auf den Bildpunkt der Sonne ist. Unter Rule. beschreibt Sumner dann die Fortsetzung für den Fall, dass eine Positionsbestimmung ohne Landsicht vorgenommen wird, wobei er voraussetzt, dass die erste Höhenmessung am Vormittag und die zweite am Schiffsnachmittag erfolgen und die gleichen wie unter Rule I. gewählten Breiten zugrunde liegen. Nachfolgend wieder der Text in der Übersetzung:

  1. Vorzugehen ist wie in Rule I. wo entsprechend der ersten Beobachtung die Linie AA‘ projiziert wurde.
  2. Gehe in exakt derselben Weise vor, um die zweite gerade Linie zu projizieren (benutze dieselben angenommenen Breiten wie zuvor) und die zweite Linie wird der zweiten Beobachtung entsprechen. Bezeichne die zwei auf den angenommenen Breiten gefundenen Positionen als B und B‘.
  3. Die zwei geraden Linien werden sich einander schneiden, meistens zwischen den angenommenen Breiten. Sollten sie das nicht tun, dann bringe sie zum Schneiden (Anm. verlängern) und der Schnittpunkt ist der Längengrad und der Breitengrad der Schiffsposition sofern der Schiffsort zwischen den Beobachtungen nicht verändert wurde.
  4. Wenn das Schiff seine Position geändert hat dann setze die zwischen den Beobachtungen gesegelte Entfernung in Kursrichtung von einem beliebigen Punkt der Linie AA‘ ab. Zeichne durch diesen Zielpunkt eine gerade Linie parallel zur Linie AA‘ bis diese sich mit der Linie BB‘ schneidet. Dieser neue Schnittpunkt mit BB‘ ist die Schiffsposition zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung.

Sumner hatte also auch schon die Lösung für eine Versegelung eines Standortes und die klingt logisch. Wenn der Schiffsort irgend ein Punkt auf einer Standlinie ist, dann müssen alle Punkte gleichermaßen versegelt werden, was durch Parallelverschiebung der gesamten Linie gemacht wird. Mit dieser Methode war es nun einfach geworden, den Standort mehrfach am Tage bestimmen zu können. Man war also nicht mehr nur auf die Mittagszeit angewiesen. Das wurde auch nötig, denn die Schiffe wurden immer schneller, es gab Dampfschiffe, die mit mehr als 20 Knoten liefen und es musste sichergestellt werden, dass man immer auf dem wirtschaftlichsten Kurs lief. Doch um die Mittagszeit selbst herum konnte ein Standort kaum bestimmt werden. Das betrifft übrigens alle Methoden. Am Schiffsmittag hat die Höhengleiche ihren kleinsten Durchmesser und der Standort ist der nördlichste (oder südlichste) Punkt darauf. Noch nördlicher (oder südlicher) wird keine Breite mehr von der Höhengleiche berührt. Die Extrempunkte einer Höhengleiche lassen sich einfach berechnen (hm = beobachtete Höhe)

  • nördlichster Punkt: 90^\circ - h_m + \delta
  • südlichster Punkt:   h_m - 90^\circ + \delta

Mit seiner Methode begründete Thomas Sumner die Standliniennavigation. Seine Standlinien wurden damals auch als Sumnerlinien bezeichnet. Saint Hilaire benutzte 40 Jahre später ebenfalls lineare Standlinien. Er schaffte es jedoch, diese als Tangente an den Kreis der Höhengleiche zu bringen. Die Möglichkeit den Schnittpunkt zweier sich überlappender Kreise oder die Schnittpunkte zweier Kreisbögen zu berechnen schien damals als undurchführbar, jedenfalls an Bord. Man war übereingekommen, dass die Krümmung einer Höhengleiche, im näheren Standortbereich so gering ist, dass die Annahme von Geraden gerechtfertigt ist. Dadurch entstehen Standortfehler, die nur im Extremfall einige Meilen betragen können.  

 

3 Berechnungen

Die Berechnungsformeln sind identisch mit denen zur Berechnung von Chronometerlängen. Dieselbe Formel muss zweimal benutzt werden, um eine Standlinie zu berechnen und viermal, um einen Standort aus zwei sich kreuzenden Standlinien zu erhalten. Die Formel war den Seeleuten damals gut bekannt und geläufig. Und auch der gesamte Zusammenhang war logisch und problemlos überschaubar. Zunächst musste ein Polwinkel berechnet werden. Das ist die Differenz zwischen dem Standortmeridian und dem Meridian des betrachteten Gestirns. Dazu brauchte man die Deklination, beispielsweise der Sonne, die man aus einem Almanac entnahm und deren Höhe die mit einen Sextanten oder Oktanten gemessen werden konnte. Weiterhin brauchte man die Breite, auf der das Schiff stand. Diese ließ sich als Mittagsbreite oder Nordsternbreite leicht bestimmen und stand in der Folgezeit als Koppelbreite zur Verfügung. 
Der Polwinkel ist allerdings ein relativer Wert, der rund um den Erdball gelten kann. Man brauchte deshalb einen Bezug zum Nullmeridian. Heute ist das der Greenwicher Stundenwinkel Grt. Bis ins 20. Jahrhundert rechnete man allerdings nicht mit Winkeln bzw. Stundenwinkeln, sondern mit Zeiten. Der Greenwicher Stundenwinkel war nicht tabelliert, dafür aber die Zeitgleichung.

3.1 Klassisch

Für Berechnungen standen bis vor wenigen Jahrzehnten nur Logarithmentafeln zur Verfügung. Um damit gut arbeiten zu können, wurden abgeleitete Gleichungen des Kosinus Seitensatzes entwickelt, in denen dann nur noch multipliziert oder dividiert werden musste. Logarithmen müssen dann bekanntlich nur noch addiert bzw. subtrahiert werden. 
Es wird jetzt gezeigt, wie der Kosinus Seitensatz zum Berechnen des Polwinkels für eine logarithmische Berechnung umgeformt wurde. Das Ergebnis dieser Umformung ist eine sogenannte abgeleitete Gleichung. Wir nehmen dazu die entsprechende Gleichung und subtrahieren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens eine 1 und erhalten:

(1)   \begin{equation*}\cos \tau-1=\frac{\sin h -\sin \varphi\cdot \sin \delta}{\cos \varphi\cdot \cos \delta}-\frac{\cos \varphi\cdot\cos \delta}{\cos \varphi\cdot\cos \delta}\end{equation*}

Auf der rechten Seite gibt es einen gemeinsamen Nenner:

(2)   \begin{equation*}\cos \tau-1=\frac{\sin h -(\sin \varphi\cdot \sin \delta+\cos \varphi\cdot \cos \delta)}{\cos \varphi\cdot\cos \delta}\end{equation*}

Nach Anwendung des des Additionstheorems

(3)   \begin{equation*}\sin \alpha\cdot \sin \beta+\cos \alpha\cdot \cos \beta=\cos (\alpha-\beta) \end{equation*}

auf den Zähler folgt:

(4)   \begin{equation*}\cos \tau=1-\frac{\cos (\varphi-\delta)-\sin h}{\cos \varphi\cdot\cos \delta}\end{equation*}

und schließlich:

(5)   \begin{equation*}\\cos \tau=1-[(\cos (\varphi-\delta)-\sin h)\cdot\sec \varphi\cdot\sec \delta]\end{equation*}

Nur mit dieser abgeleiteten Gleichung ist das im Bild 3 gezeigte Schema aus dem Buch von Sumner zu verstehen. Er beschreibt darin die an dem denkwürdigen Tag, dem 17. Dez. 1837, zwischen Irland und England durchgeführten Berechnungen. Im oberen Teil wird die Standortlänge berechnet, wenn die Breite 51° N betragen würde und im unteren Teil die Standortlänge, wenn die Standortbreite 52° N wäre. Daraus ergeben sich zwei Schnittpunkte, die mit einer Linie verbunden die sogenannte Sumnerlinie ergeben, die im Bild 1 als Linie AA’ eingezeichnet ist. Der Standort befindet sich dann irgendwo auf dieser Linie, vorausgesetzt das Schiffschronometer hatte keinen Gangfehler. Um Sicherheit zu erlangen, musste die Breite also gar nicht genau bekannt sein. Von der Linie konnte ein Kurs abgeleitet werden, der entweder auf Land zu einem Hafen führte oder parallel entlang einer Küste.


Aus Lat. = 51° N und Dec. = 23° 23’ S wurde die Meridiandifferenz Sum. = 74° 23’ berechnet. Besitzen 𝜑 und 𝛿 ein gleichnamiges Vorzeichen, dann sind sie zu subtrahieren. Bei ungleichen Vorzeichen sind sie zu addieren. Daraus wurde dann der Kosinus berechnet. Der Sinus aus der beobachteten Höhe ☉Alt. = 12° 10’ wird davon subtrahiert und steht als diff. = 5844 unter dem Strich. Erst dieser Wert wurde dann logarithmiert und ergab log. = 3,76671. Wir wundern uns heute nur, warum der Sinus und der Kosinus jeweils mit 105 multipliziert worden sind. Das hängt mit Tafelwerken zusammen, die heute nicht mehr verfügbar sind. Dieser Logarithmus wurde dann mit den Logarithmen der Sekanten von Lat. und Dec. addiert. Unter sec. wird der Ausdruck log(1/cos x) verstanden. Unterm Strich stehen dann schließlich 4.00506.

 

Bild 3: Lösungsschema für die Konstruktion einer Sumnerlinie.

 

In der Darstellung im Bild 3 wird dieses Ergebnis als log rising bezeichnet und führt letztlich über Tabellen auf die Zeit, die die Sonne noch bis zum Schiffsmittag braucht (1:43:59 h from noon). Das ist eine Zeitangabe für die Größe des Polwinkels und entspricht der Laufzeit der Sonne zum Überqueren dieses Winkels. Wird diese Zeit vom Schiffsmittag abgezogen, dann erhält man die sogenannte app. time at ship, also die scheinbare Ortszeit oder Schiffszeit. Scheinbar deshalb, weil die Zeitgleichung equa time. noch addiert werden muss und die war negativ 3 Minuten und 37 Sekunden, so dass sich die mean time at ship, die Ortszeit des Schiffstandortes mit 10:12:24 h berechnete.

Erst jetzt passiert das, was die Erfindung des Schiffschronometers ausmacht, es wird die Differenz zwischen der Ortszeit und der Chronometerzeit berechnet und die beträgt 34 Minuten und 49 Sekunden, was gleich 8° 43,25’ sind. Die Gradzahl ist das Produkt der Zeit von 0,5803 mit 15°/h.

 

3.1.1 Logarithmisch nach heutigem Verständnis

Um das Rechenschema im Bild 3 noch besser verstehen zu können, wird nachstehend eine Tabelle mit den Zahlen gezeigt, die nach unserem heutigen Verständnis entstehen würden wenn wir den Polwinkel logarithmisch berechnen müssten.


𝜑 51°     sec 0,20113  = log(1/cos 𝜑)  
𝛿 -23,23°     sec 0,03722  = log(1/cos 𝛿)  
𝜑 – 𝛿 74,38° cos 0,2692        
   h 12,17 sin 0,21076        
    diff 0,05844 lg -1,23326    
        sum -0,99491 10sum 0,10118
            1 – 10sum 0,89882
            arccos(1 – 10sum) 25,99633°

Das Ergebnis ist der Polwinkel von 25,996°, der durch 15°/h die Zeit bis zum Schiffsmittag ergibt, die Zeit also in der der Schiffsstandort vom Bildpunkt überholt wird. Jetzt galt es die Ortszeit zu ermitteln und aus der Differenz von Ortszeit und Chronometerzeit den Längengrad. Die nachfolgende Tabelle ist dazu selbsterklärend.

Zeit bis zum Schiffsmittag (25,996°./. 15°/h) a 01:43:59
Schiffsmittag b 12:00:00
scheinbare Beobachtungszeit auf dem Schiff (b – a) c 10:16:01
Zeitgleichung d -00:03:37
Beobachtungszeit auf dem Schiff (c + d) e 10:12:24
Chronometerzeit GMT (heute UT1 oder UTC) f 10:47:13
Laufzeit der Sonne von London bis zum Schiff (f – e) g 00:34:49
Längengrad (g ⋅ 15°/h) h 8° 42,25’W

Bei einer Breite von 52° N sind es nach derselben Rechnung 4° 49,5’. Eine etwas andere klassische Art der Chronometerlängen-Berechnung, die vor allem erst im 20 Jahrhundert benutzt wurde, ist am Ende des Beitrages Mittagsbreite und Chronometerlänge beschrieben. 
Das sollte nur ein kleiner Einblick in die damalige Berechnungsweise sein, damit das Original Rechenschema im Bild 3 nachvollzogen werden kann. Wir verfügen heute nicht mehr über die erforderlichen Zahlentafeln. Taschenrechner und Tabellenkalkulationen in Computern erledigen die erforderlichen Funktionen direkt. Wir rechnen auch nicht mehr über die Zeiten, wie das die Tabelle 2.4 vorführt, sondern verwenden gleich die entsprechenden Winkel und Stundenwinkel.

3.2 Chronometerlänge mit Taschenrechner

Wenn dieselbe Aufgabe mit einem Taschenrechner gelöst werden soll, dann sollte die Formel zur Betrechnung des Polwinkels direkt benutzt werden. Sie lautet

(6)   \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\sin h -\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Die Beobachtung erfolgte am 17. Dez. 1837 als das Chronometer 10:47:13 GMT anzeigte. Da die Nautischen Jahrbücher etwa alle vier Jahre miteinander vergleichbar sind, könnten wir aus dem NJ von 2021 den Grt von damals in etwa herauslesen, der dort mit 342,76° angegeben ist. Aus Sumners Rechnung ergibt sich allerdings ein Grt von 360° – 𝜏 + 𝜆 = 342,71°. Alles Weitere entnehmen wir ebenfalls den Angaben von Sumner:

  • Deklination ∂  =   23° 23′ S =  -23,38°
  • Breite         𝜑  =   51° 00′ N =  51,00°
  • beob. Höhe h  =   12° 10′    =   12,17°
  •                 Grt = 342° 42,6′ = 342,71°

Damit können wir dann den Polwinkel 𝜏 ausrechnen. Es ist der Winkel am Pol in dem Dreieck zwischen Pol, Beobachter und Sonnenbildpunkt, in dem ein Beobachter auf 51° nördlicher Breite zur angegebenen Zeit die Sonne in 12° 10′ über dem Horizont beobachtet. Nach Einsetzen der Zahlenwerte erhalten wir:

    \begin{equation*}\tau=\arccos \frac{\sin 12,17^\circ -\sin (-23,38^\circ\cdot) \sin 51^\circ}{\cos 23,38^\circ\cdot \cos 51^\circ}=26^\circ\end{equation}

Um die Standortlänge zu erhalten, müssen der Polwinkel und Grt addiert werden, sofern die Höhe der Sonne in der östlichen Hemisphäre beobachtet wurde und das ist hier der Fall. Steht die Sonne bei der Beobachtung westlich vom Standort, dann muss der Polwinkel vom Grt subtrahiert werden. Die entsprechende Gleichung lautet:

(7)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt\pm\arccos \frac{\sin h -\sin \delta\cdot \sin \varphi}{\cos \delta\cdot \cos \varphi}\end{equation*}

Das Ergebnis dieser Rechnung muß allerdings noch an das geografische Netz der Erde angepasst werden, denn es wurde mit dem erdumlaufenden Grt von 0° bis 360° gerechnet und das geografische Netz kennt 180 positive Ostgrade und 180 negative Westgrade. Die Anpassung erfolgt mit folgender Gleichung:

(8)   \begin{equation*}\lambda=\begin{cases}\quad+\lambda^\ast&\text{wenn}\quad\lambda^\ast<0^\circ\\ \quad-\lambda^\ast&\text{wenn}\quad 0^\circ<\lambda^\ast<180^\circ\\ 360^\circ-\lambda^\ast&\text{wenn}\quad 180^\circ<\lambda^\ast<360^\circ\\ \lambda^\ast-360^\circ&\text{wenn}\quad \lambda^\ast>360^\circ \end{cases}\end{equation*}

 

Wer unbedingt noch grafisch und mit Taschenrechner navigieren möchte, dem kann die Sumner Methode nur empfohlen werden. Auf schwankenden Segelbooten ist sie bestimmt nicht ungenauer als die Hilaire Methode, dafür aber sehr viel einfacher und man kann sie auch schnell wieder in den Kopf bekommen, sollte sie doch einmal dem Vergessen anheim gefallen sein. Deshalb soll zum Schluss noch ein Beispiel gerechnet werden.

 

4 Beispiel einer Sumner Standortbestimmung

Auf dem Weg nach St. Lucia bestimmt ein Segelboot am 5.12.2020 seine Mittagsbreite mit 14°24′ N. Bei einem Kurs von 270° West betrug die Fahrt rund 7 Knoten. Etwa 20 Stunden später, am Vormittag des 6. Dez wurde um 13:08:14 UT1 die Höhe der Sonne mit 35° 32,60’ (berichtigte Höhe) beobachtet. Deklination, Höhe und Greenwichwinkel zu diesem Zeitpunkt betragen:

  •    ∂1  = -22° 34,7’ = -22,58°
  •    h1  = 35° 32,6’  =  35,54°
  • Grt1  = 19° 15,2′  =  19,25°

Für eine Sumnerlinie müssen zwei Breiten geschätzt werden, zwischen denen man sich befinden sollte. Das ist durch Kopplung an die letzte Mittagsbreiten-Bestimmung kein Problem. Da ständig Westkurs gefahren wurde, sollte die am Vortag gefundene Mittagsbreite zwischen 14° N und 15° N immer noch gelten. Für diese Breiten müssen nur die Längen berechnet werden. Dazu dienen die folgenden beiden Formeln, deren Herleitung im Abschnitt 2 unter Chronometerlänge gezeigt wurde:

    \begin{equation*}\lambda_A^\ast\lbrace 14^\circ\rbrace=19,25^\circ+\arccos\frac{\sin 35,54^\circ-\sin (-22,58^\circ)\cdot \sin 14^\circ}{\cos 22,58^\circ\cdot \cos 14^\circ}=60,44^\circ \end{equation}

    \begin{equation*}\lambda_{A'}^\ast\lbrace 15^\circ\rbrace=19,25^\circ+\arccos\frac{\sin 35,54^\circ-\sin (-22,58^\circ)\cdot \sin 15^\circ}{\cos 22,58^\circ\cdot \cos 15^\circ}=59,51^\circ\end{equation}

Weil die Höhe am Vormittag gemessen wurde, muss in den Gleichungen addiert werden. Die Ergebnisse liegen zwischen 0° und 180°. Sie bekommen deshalb ein negatives Vorzeichen oder werden mit W als Westlängen gekennzeichnet. Mit den folgenden Werten kann die erste Sumnerlinie auf einem Stück Papier gezeichnet werden.

  • auf 14° N: 𝜆 = -60,44° =060° 26,61′ W
  • auf 15° N: 𝜆 = -59,51° =059° 30,34′ W

Die beiden Punkte liegen mit 1° Breite weit genug auseinander, so dass die Standlinie problemlos mit einem Lineal eingezeichnet werden kann. Im Bild 4 ist das die grüne gestrichelte Linie. Der eigene momentane Standort ist irgendein Punkt auf dieser Linie. Um 18:25:4 UT1 wird die Sonne nach Gesamtbeschickung mit 37° 6,95’ (berichtigte Höhe) ein zweites Mal beobachtet. Für diese Zeit gelten:

  •    ∂2  = -22° 36,23’ = -22,60°
  •    h2  =  37° 6,95’   =  37,12°
  • Grt2  =  98° 26,3′   =  98,44°

Es werden dieselben Breiten von 14° N und 15° N gewählt und es wird berechnet, auf welchen Längen diese von der Höhengleiche, die zur angegebenen Zeit mit 37,12° Höhe beobachtet wurde, geschnitten werden. Da die Beobachtung am Schiffsnachmittag erfolgte muss jetzt der Polwinkel vom Greenwichwinkel Grt2 subtrahiert werden. Es gelten jetzt:

    \begin{equation*}\lambda_B^\ast\lbrace 14^\circ\rbrace=98,44^\circ-\arccos\frac{\sin 37,12^\circ-\sin (-22,60^\circ)\cdot \sin 14^\circ}{\cos 22,60^\circ\cdot \cos 14^\circ}=59,47^\circ \end{equation}

    \begin{equation*}\lambda_{B'}^\ast\lbrace 15^\circ\rbrace=98,44^\circ-\arccos\frac{\sin 37,12^\circ-\sin (-22,60^\circ)\cdot\sin 15^\circ}{\cos 22,60^\circ\cdot \cos 15^\circ}=60,46^\circ\end{equation}

Auch jetzt liegen die Rechenergebnisse zwischen 0° und 180° und es handelt sich gemäß Gl. 6 um Westlängen.  Mit den folgenden Werten kann jetzt die zweite Sumnerlinie eingezeichnet werden. Im Bild 4 ist das die rote Linie.

  • auf 14° N: 𝜆 = -59,47° =059° 27,98′ W
  • auf 15° N: 𝜆 = -60,46° =060° 27,65′ W
Bild 4: Sumnerlinien zu dem Rechenbeispiel. Der blaue Punkt kennzeichnet den nach Gauß berechneten Standort.

Der Zeitunterschied zwischen den Beobachtungen beträgt etwa 5 Stunden und 17 Minuten. Während dieser Zeit blieb die Geschwindigkeit bei etwa 7 Knoten. Folglich wurde dabei ein Weg von 36,8 nm zurückgelegt, bei einem Kurs von 270°, der ebenfalls nicht geändert wurde. Diese Versegelung muss in der Standortberechnung berücksichtigt werden.

Wir wählen also irgend einen Punkt auf der ersten Standlinie, die in der Grafik grün gestrichelt dargestellt ist und setzen von diesem Punkt in einem Kurs von 270° eine Strecke von 36,8 Seemeilen ab, was auf einem Großkreis genau so viele Bogenminuten wären. Da die Meridiane zu den Polen hin zusammenlaufen, muss diese Strecke vorher mit dem Kosinus der Breite multipliziert werden, was dann 35,55° sind. Um diesen Wert weiter westlich wird nun die versegelte Standlinie als grüne Linie eingezeichnet. Der Standort zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung ist jetzt der Schnittpunkt der verschobenen Standlinie, mit der Standlinie 2, die rot eingezeichnet wurde. Für diesen Schnittpunkt lesen wir aus der Seekarte die folgenden Koordinaten heraus:

Schiffsort nach Sumner: 14° 49’ N 060° 18’ W

Ein Standort nach Sumner ist also auch mit einem Taschenrechner schnell berechnet, etwas Routine vorausgesetzt. Ein Standortfehler kann dadurch entstehen, dass die Messungen von Zeit und Höhe fehlerbehaftet sind. Fehler durch die Methode entstehen dadurch, dass die Breiten 1° auseinanderliegen und dieser Fehler steigt, je kleiner der Durchmesser der Höhengleichen wird. Es ist schließlich auch nur eine Näherungsmethode. Würden die Breiten enger zusammenliegen, z. B. nur eine Bogenminute, dann wären die Sekanten praktisch schon Tangenten und der Systemfehler wäre wesentlich geringer. Doch durch zwei Punkte, die vielleicht nur einem Millimeter auf einer Karte auseinanderliegen, kann niemand mehr eine Gerade im richtigen Winkel durchzeichnen. Die Linien schneiden sich dann irgendwo auf dem Blatt. Hier griff dann 40 Jahre später die Methode von Hilaire, bei der das Azimut berechnet werden musste. Hat man das Azimut, dann hat man auch den Winkel der Standlinie, denn Azimut und Standlinie stehen im rechten Winkel zueinander. Der Schiffsort in diesem Beispiel nach Gauß berechnet ist:

Schiffsort nach Gauß: 14° 50,31’ N 060° 17,78’ W

Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich um 1,3 nm in der Breite und 0,2 nm in der Länge, was ein durchaus akzeptables Ergebnis ist. Die Sumner Methode wurde von den damaligen Seefahrern sehr schnell angenommen. Sie erschien sofort logisch, weil sie sich an den Höhengleichen selbst orientierte. Zwei Punkte in der Kreislinie berechnen und diese miteinander zu verbinden ergab zwar eine Gerade. Diese erschien aber angesichts des riesigen Kreisdurchmessers einer Höhengleiche im Standortbereich als ein Stückchen der Kreislinie. Bei der Hilaire Methode stehen die Höhengleichen nicht im Vordergrund. Dort sind es Konstruktionsanweisungen für exakte Standlinien. Das mag vielleicht ein Grund dafür sein, dass ihre praktische Anwendung ohne die erforderliche Routine meist schon nach kurzer Zeit vergessen ist.  

 

5 Das Navigationsprogramm „sumner navigation-pro“

Ein Standort nach Sumner macht also auch mit Taschenrechner etwas Mühe. Ein Rechenschema, in das die hier gezeigten Schritte eingetragen werden müssten, würde etwas Vereinfachung bringen, ist aber auch nicht das non plus ultra, denn letztlich muss das Ergebnis aus der Kreuzung zweier gezeichneter Standlinien herausspekuliert werden. Eine viel bessere Lösung ist ein Navigationsprogramm, das sowohl die Sextantenbeschickung als auch alle Berechnungen auf der Grundlage der eingegebenen Messwerte und Daten, z. B. einer Versegelung, automatisch ausführt. Wenn auch noch Greenwichwinkel und Deklination aus eingegebenem Datum und Uhrzeit berechnet oder aus einer Datenbank gezogen werden, dann braucht man auch kein nautisches Jahrbuch mehr und praktisch jeder kann mit Sumner navigieren, der mit einem Sextanten umzugehen versteht.

5.1 Grundlage

Mit Sumner lassen sich hervorragende Navigationsprogramme realisieren, deren Komfort sich von denen nach Gauß kaum unterscheidet. Allerdings ist das nur mit Iterationen möglich. Iteration bedeutet Wiederholung. Im konkreten Fall müssen Datum, Uhrzeit und Sextantenablesung eingegeben werden. Bei Sumner müssen außerdem zwei Breiten vorgegeben sein, zwischen denen der Standort vermutet wird. Nachdem alle Daten von zwei Beobachtungen vorliegen, kann ein Computer daraus zwei lineare Funktionsgleichungen aufstellen und den Punkt berechnen, an dem sie sich kreuzen. Gab es eine Versegelung, dann kann diese z. B. nach Douwes berücksichtigt werden, indem die Höhe der ersten Beobachtung an den Ort der zweiten Beobachtung angepasst wird.

Liegt ein erstes Standortergebnis vor, dann wird das Programm aus der errechneten Breite sofort zwei neue Breiten generieren, die dann nicht mehr ein Grad, sondern nur noch 40′ auseinanderliegen und die gesamte Rechnung wiederholen. Das geht dann so oft, bis sich die Ergebnisse zweier aufeinanderfolgender Rechendurchläufe nicht mehr voneinander unterscheiden. Dann ist eine sogenannte Konvergenz eingetreten. 

Weil sich das Computerprogramm aus einer eingegebenen geschätzten Standortbreite selbst zwei Breiten generieren muss, arbeitet es sich schrittweise an die richtige Breite vor, welche sich aus den übrigen Daten ergeben. Weil eine Höhengleiche nur von Breiten durchlaufen wird, die im Radiusbereich des Zenitabstandes (90° – h) liegen, führt eine Breitenangabe außerhalb dieses Bereiches dazu, dass vom Programm die Nordgrenze bzw. Südgrenze der Höhengleiche als die erste Breitenvorgabe gewählt wird. Die zweite Breitenvorgabe wählt das Programm dann innerhalb der Höhengleiche, also näher zur Deklinationsbreite. Dadurch können in der Regel immer 90° N bzw. 90° S vorgegeben werden. Damit wird dann festgelegt, so wie bei Gauß auch, ob man nördlich oder südlich der Deklinationsbreite segelt.

 

5.2 das EXCEL Sheet

Das Programm zur Navigation wurde in EXCEL realisiert und kann aus dem Downloadbereich heruntergeladen werden. Es ist auf allen Geräten lauffähig, auf denen ein EXCEL Programm oder eine EXCEL App installiert ist, also auf allen in Frage kommenden Computern und Mobilgeräten. Auch das Apple Programm „Numbers“ eignet sich dazu. Unter Umständen kann es zu Fehlern bei Zeitberechnungen kommen, weil Numbers nur eine Zeitangabe in einer Formel erlaubt. Das würde nur die Berechnung des Schiffsmittags betreffen.

Bild 5: Bedienoberfläche des Navigationsprogramms

Bild 5 zeigt die Bedienoberfläche. Im Block „Einstellungen“ werden links die Indexberichtigungen je nach dem verwendeten Sextanten eingetragen. Diese können für jede Beobachtung separat vorgenommen werden, was bei Verwendung von Plastiksextanten erforderlich ist. Infolge Temperatureinwirkung kann der Indexfehler von Beobachtung zu Beobachtung schwanken. Indexberichtigung ist der negative Wert des Indexfehlers. beträgt dieser 1,2′, dann sind zur Korrektur -1,2′ einzutragen.

Auf der rechten Seite sind dann einzutragen, ob die Sonne mit ihrem Oberrand oder Unterrand auf den Horizont gesetzt wird. Der eingetragene Wert „U“ bzw. „O“ gilt für beide Beobachtungen. Augeshöhe ist die vertikale Entfernung zwischen Fernrohr des Sextanten und Wasserlinie. Eine Beobachtung sollte möglichst auf dem Kamm einer Dünung beendet werden. Als geschätzte Standortbreite sollte grundsätzlich die tatsächliche Schätzung eingetragen werden. Dadurch wird verhindert, dass das Programm divergiert, was allerdings noch nicht beobachtet werden konnte. Ist diese nicht bekannt, dann reicht die Angabe 90° N oder 90° S, je nachdem, ob man nördlich oder südlich der Deklinationsbreite segelt.

Bild 6: Grafikausgabe des EXCEL Programms

In den Blöcken „Messung 1“ und „Messung 2“ werden das Datum und die Messwerte eingetragen. Als Höhenangabe wird nur der auf Gradbogen und Trommel des Sextanten abgelesene Wert eingetragen. Die Sextantenbeschickung erledigt das Programm selbst. Als Versegelung müssen der mittlere gesegelte Kurs und die mittlere gesegelte Strecke angegeben werden.

Im Ergebnisblock werden der aktuelle Standort zum Zeitpunkt der zweiten Beobachtung und der Startort ausgegeben. Startort ist der Ort, an dem die erste Beobachtung erfolgt ist.
EXCEL produziert zusätzlich, wie im Bild 6 zu sehen ist, auch eine Grafik. Diese ist allerdings um 90° nach rechts gekippt, so dass die Nord-Süd Achse waagerecht liegt. Die rote Standlinie zeigt den Verlauf eines Stücks der Höhengleiche aus der zweiten Beobachtung. Die grüne Standlinie ist ein Stück der Höhengleiche aus der ersten Beobachtung mit angepasste Höhe, die sich aus der Versegelung berechnet. Die grün gestrichelt dargestellte Standlinie ist ein Stück der Höhengleiche aus der ersten Beobachtung zum Zeitpunkt und am Ort der ersten Beobachtung. Der blaue Pfeil ist der sogenannte Versegelungsvektor.

Bild 7: Tabelle mit Zusatzinformationen

In dieser Grafik kann auch so etwas wie Zoom ausgeführt werden, indem ein zu verwendender Breitenbereich eingegeben werden kann. Hier könnte z. B. 90° eingegeben werden und man sieht dann auch ein ganzes Stück des Verlaufs der Höhengleichen als gebogene Kurven. Natürlich kann eine Kreisform in der 2D Darstellung und evtuell unterschiedlichen Achsenskalierungen nicht gewährleistet sein.

Bild 7 zeigt schließlich eine weiterhin ausgegebene Tabelle mit Zusatzinformationen. Sie enthält neben dem Greenwicher Stundenwinkel und der Deklination auch den LHA des Standortes und das Azimut, die rechtweisende Peilung auf den Bildpunkt der Sonne. Die beobachtete Höhe ist die berichtigte Sextantenablesung.


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