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Globale Ansicht einer Standortbestimmung

 

Die Frage, ob man beim Fahrtensegeln ein Backup System in der Navigation braucht, spaltet die Seglergemeinde in Befürworter und Ablehner. Das internationale SOLAS Abkommen (Safety of Life at Sea) schreibt die Mitführung eines Sextanten an Bord nicht vor. Die Verwaltungen der Länder können aber Regelungen treffen, die über das Abkommen hinaus gehen. So hat Neuseeland am 13. Dezember 2019 das Mitführen eines Sextanten und eines Chronometers in den „Maritime Rules“ Part 45 für alle seegehenden Schiffe über 6 m Länge gesetzlich vorgeschrieben. In der EU gilt die Vorschrift über eine Mindest- und Sicherheitsausrüstung. Darin wird das Mitführen eines Sextanten auf einem Segelboot auf hoher See empfohlen. Für gewerblich genutzte Boote ist diese Empfehlung, zumindest in Deutschland, eine Vorschrift, weil dafür der Erwerb des Sporthochseeschifferscheins erforderlich ist. Dieser wird nach bestandener Prüfung, in der die nötigen Kenntnisse in astronomischer Navigation nachgewiesen werden müssen, erteilt. Ein Ausfall der elektronischen Navigation würde ein Boot sofort ins 19. Jahrhundert zurückschicken.

Aktuelle Situation

Als ich mein erstes seetüchtiges Boot hatte, gab es längst Satellitennavigation, doch ich wollte wie die alten Seefahrer navigieren können. So kaufte ich mir einen Sextanten und ein Buch, um zu lernen wie das geht und kam auch bald dahinter, wie ein Standort nach Marcq Saint Hilaire bestimmt wird. Nach der ersten Winterpause war dann jedoch fast alles wieder vergessen.
Der Aufwand im Vergleich mit der Satellitennavigation war gewaltig. Tabellenbücher, Papierkarten, Leerkarten, Taschenrechner und Zeichenutensilien sind im 21. Jahrhundert eigentlich eine Zumutung.
Doch es geht auch anders. Der Unterschied zwischen einem Stern und einem Satelliten besteht doch nur darin, dass ein Stern im Gegensatz zum Satelliten keine Funksignale aussendet, mit denen er einem Empfänger seine Entfernung mitteilt. Die Entfernung seines Bildpunktes zu einem Standort muss deshalb mit einem Sextanten von der Erde aus gemessen werden. Weitere Unterschiede, außer in der Performance, gibt es nicht. Einem Computer ist die Methode der Höhenmessung vollkommen egal. In beiden Fällen könnte er ganz unspektakulär den Standort berechnen und auf einer elektronischen Karte als Schiffssymbol anzeigen. Warum macht man das nicht?

Ein Mobilgerät und ein Sextant sind alles was man noch braucht, um präzise astronomisch navigieren zu können.

Die weltweite Seefahrt hat 100 Jahre lang nur nach der Höhenmethode von Saint Hilaire navigiert. Diese Methode hat sich in dieser Zeit so fest etabliert, dass sie heute schon das Synonym für Astronavigation ist. Dabei wurde sie aus einer Not heraus geboren, weil es keine Computer gab. Heute haben wir Computer und was tun wir? In Computerprogrammen zur Navigation ahmen wir die umständlichen Schritte der Standlinienkonstruktion von damals mit all ihren Nachteilen einfach nach.
So muss der eigene Standort zunächst geschätzt werden und Höhen über 75° können auch nicht, ohne größere Fehler befürchten zu müssen, verwendet werden. Schließlich bekommen wir als Ergebnis nicht mal den Standort, sondern einen Ort, der ein besserer Schätzort gewesen wäre.
Mal ehrlich, mit den Mitteln, die wir heute haben, ist es doch Unfug, sich in der astronomischen Navigation immer noch den Beschränkungen des 19. Jahrhunderts zu unterwerfen. Lange vor Hilaire hatte Carl Friedrich Gauß bereits gezeigt, wie ein Standort aus zwei Gestirnshöhen präzise berechnet werden kann. Doch das scheint vergessen zu sein.

Eine App zum Mitnehmen

Der Gauß’sche Algorithmus ist das präziseste Verfahren zur Standortbestimmung überhaupt und arbeitet direkt mit den Höhengleichen, wie die Satellitennavigation auch und so startete ich ein Projekt zur Entwicklung einer Navigations-App mit der Bezeichnung Circle of Position Navigation. Die App ist im App Store unter den Suchwörtern sextant oder celestial navigation zu finden. Eine Android Variante ist in Arbeit und soll bald folgen.

Auch auf der Ostsee kann man sich verfransen, nicht jedoch mit Handy und Sextant.
Zwei Sonnenschüsse bringen Klarheit über die eigene Position, während der Kartenplotter dunkel bleibt. Das spart Strom und bewahrt das Display vor Überhitzung.

Die App ermöglicht das Navigieren nur mit der Sonne. Die Sonne kann mit keinem anderen Gestirn verwechselt werden, ist also ein sehr sicheres Navigationsgestirn. Sterne muss man identifizieren, was einige Erfahrungen voraussetzt. Sterne können auch nur in den Dämmerungen beobachtet werden, weil nachts der Horizont nicht zu sehen ist. Das wäre immer nur eine kurze Zeit, in der man sich schnell orientieren müsste. Der Mond ist am Tag nicht immer sichtbar. Nachts fällt er sogar ganz aus, denn sein Licht hebt die Kimm optisch an, was auch die Beobachtung von Sternen unmöglich macht. Das alles führt zu dem Schluss, dass in einem Navigations Backup, das ad hoc verwendbar sein muss, die Sonne das einzig rationale Navigationsgestirn ist. Beobachtungen der Sonne hatten sowieso schon immer einen Anteil von bis zu 90% aller Beobachtungen.

Was leistet die App?

Vor einer Reise müssen die Settings überprüft werden. Durch Eingabe einer Breite wird gewählt, ob der nördliche oder südliche Schnittpunkt der Höhengleichen als Standort berechnet werden soll. Hier ist anzugeben, ob man sich nördlich oder südlich von der aktuellen Deklination befindet. Die Angabe kann mit 30° N oder 30° S übertrieben werden. Zur Identifikation der zutreffenden Kreuzung wird in der Satellitennavigation ein dritter Höhenkreis eines dritten Satelliten gebraucht. Die weiteren Einstellungen betreffen die Daten einer Sextanten Benutzung.

Die drei wichtigsten Menüs der App.

Im Menü Settings kann ein TEST MODE eingeschaltet werden. Dieser läuft völlig separat und unabhängig, sogar mit eigenen Grundeinstellungen. Er kann parallel zu einer aktuell laufenden Navigation als Zweitsystem gestartet werden. Im TEST MODE kann die Auswirkung beliebiger Eingaben überprüft werden.
Das Menü Observations besteht aus zwei Blöcken für eine erste und beliebig viele folgende zweite Beobachtungen. In jedem Block müssen nur der Zeitpunkt einer Beobachtung und der auf dem Sextanten abgelesene Winkel eingetragen werden.
Hier kann auch zwischen Circle of Position und Noon Latitude gewählt werden. Dadurch ist auch eine Positionsbestimmung mit Hilfe der Mittagsbreite möglich, was eine alte Segelschiffer Tradition ist. Möglich ist auch ein Wechsel, bei dem eine Zweitbeobachtung auf den Platz einer Erstbeobachtung geschoben wird.
Die Sextantenbeschickung erfolgt automatisch. Dazu greift das Programm auf eine Datenbank zu. Das gleiche gilt für den Greenwichwinkel und die Deklination, deren Werte bis zum Jahr 2040 in einer Datenbank hinterlegt sind. Ein Nautischer Almanach ist also nicht erforderlich.

In den Grafiken verwendete Formen und Farben.

Mit dem Modul Dead Reckoning kann eine Versegelung genau aufgezeichnet werden. Ortsveränderungen zwischen den Beobachtungen werden bei einer Navigation mit der Sonne für eine Standortkorrektur benötigt. Nach jeder Wende, Halse oder nachhaltigen Geschwindigkeits- oder Kurskorrektur sollten deshalb die neuen Daten eingegeben werden. Angaben von Meeresströmungen werden nur in den Zeitspannen eingerechnet, in denen sie sichtbar eingetragen bleiben. Wird Specify gewählt, dann fragt das Modul nach dem zurückgelegten Schlag seit der ersten Beobachtung, sobald eine zweite Beobachtung aktiviert wird.

Ein Kartenmodul ermöglicht online ein Herunterladen der Karten des beabsichtigten Segelgebietes in größerer Auflösung. Diese Karten sind danach offline verfügbar. Ebenfalls offline verfügbar sind alle Kartenbereiche, in die online hinein gezoomt wurde.
Die Grafik hebt das Wesen der Astronavigation hervor: Zwei Höhengleichen, die sich an zwei Stellen kreuzen, wobei eine Kreuzung der Standort ist. Alle Linien in der Grafik haben eine bestimmte Bedeutung, die durch Farben und Form gekennzeichnet sind.

 


 

Der Gauß’sche Algorithmus

Bereits im 16. Jahrhundert dachten die Araber, dass ein Standort auf See aus zwei Gestirnshöhen zu bestimmen sein müsste. Die Aufgabe ging als Zweihöhenproblem in die Historie der Navigation ein. Eine geschlossene Lösung fand schließlich Carl Friedrich Gauß im Jahre 1809. Seine Arbeiten wurden in „Bodes Astronomischem Jahrbuch“ für das Jahr 1812. veröffentlicht. Es hätte eine Sternstunde in der Hochseenavigation sein können, doch Gauß war seiner Zeit viel zu weit voraus. Sein Algorithmus wurde in der Seefahrt nie verwendet und ist heute vergessen.
Gauß hatte mit Seefahrt nichts zu tun und stieß eher zufällig darauf, als ihm die Dissertation eines Herrn Kraft in die Hände fiel. Die darin vorgetragenen mathematischen Abhandlungen, aus der Höhe zweier Sterne die Zeit und die Polhöhe (Breite) bestimmen zu können, erschienen dem Zahlenmann Gauß zu konfus. So schickte er sich an, den Ansatz des Herrn Kraft auf seine Weise aufzulösen. Er fand zwar eine Lösung, aber auch die schien ihm viel zu verwickelt und so bemerkte er, dass es einfacher wäre, nicht den Ansatz des Herrn Kraft zu wählen, sondern eine Betrachtung über die Dreiecke anzustellen. Zitat von Gauß:

„… seine Auflösung ist meiner Meinung nach ungleich weitläufiger und mühsamer als diejenige, welche unmittelbar aus der Betrachtung dreier Dreiecke hervorgeht, obgleich sie sich bloß auf die Bestimmung von 𝜑 einschränkt, und sich auf die Bestimmung der Zeit nicht einläßt.“

Eine Berechnung nach dieser, seiner eigenen Bemerkung, hat Gauß nicht mehr veröffentlicht. Inzwischen verbreitete sich das Schiffschronometer und niemand wollte eine Zeit auf so komplizierte Weise berechnen, wie Gauß es vorgetragen hatte. Dasselbe galt auch für die Berechnung der Breite. In der Praxis bekam man die Breite ganz einfach als Mittagsbreite und durch Kopplung genau genug für den ganzen Tag. Damit konnte die Länge einfach als Chronometerlänge bestimmt werden.
Mit den grafischen Verfahren von Sumner und Hilaire begann Mitte des 19. Jahrhunderts die Ära der sogenannten modernen Astronavigation. Die Satellitennavigation beendete schließlich diese Ära, nicht aber den weiteren Gebrauch der grafischen Methode.

Lösung

Wie ein Standort nach Gauß berechnet wird, soll jetzt anhand der hier angegebenen Modellzeichnung mit den sphärischen Dreiecken gezeigt werden. Aus den zwei beobachteten Sonnenpositionen X1 und X2, dem Standort Z und dem Pol P lassen sich insgesamt vier Dreiecke bilden, drei innere und ein umfassendes äußeres. Grundsätzlich gilt: Sobald von einem Dreieck drei Elemente bekannt sind, lassen sich die fehlenden berechnen. Man muss also die Dreiecke so berechnen, dass man auf die Seite b kommt. Diese Seite ist das Komplement der Standortbreite 𝜑 = 90° - b. Man fängt mit dem größten Dreieck an und prüft, was zu berechnen wäre, damit das nächste Dreieck angegangen werden kann. Es sind nur drei Dreiecke und das Ganze ist eine verblüffend einfache Geometrieaufgabe, die viel einfacher zu verstehen ist, als das Höhenverfahren von Hilaire.

Modell des Gauß’schen Algorithmus zur Standortberechnung.

 

Dreieck X1X2P: Bekannt sind die Seiten p1 = 90° - δ1 und p2 = 90° - δ2. Das sind die Komplemente der Deklinationen in den Beobachtungszeiten. Bekannt ist weiter der Polwinkel 𝜗 = Grt2 - Grt1. Das ist die Differenz der Greenwich Stundenwinkel aus beiden Beobachtungen. Damit sind in diesem Dreieck drei Elemente bekannt, wodurch die Seite q als Großkreisabstand der Sonnenpositionen mit der Gl. 1 und gleich darauf der Winkel σ mit Hilfe der Gl. 2 berechnet werden können.

Dreieck X1X2Z: Bekannt sind drei Seiten. Die Seite q wurde gerade ausgerechnet und die Seiten s1 = 90° - h1 sowie s2 = 90° - h2. Das sind die Zenitabstände aus beiden Beobachtungen bzw. die Komplemente der gemessenen Höhen. In diesem Dreieck wird nur der Winkel ζ mit Gl. 3 berechnet.

Dreieck PZX1: Bekannt sind jetzt p1, s1 und ψ = σ – ζ, also wieder drei Elemente. Daraus kann jetzt die Seite b berechnet werden. Werden für p1, s1 und b die Komplemente 𝛿1, h1 und 𝜑 verwendet, dann liefert Gl. 4 die Standortbreite 𝜑.

Die Länge wird mit Gl. 5 als λ* berechnet. 𝜆* folgt der Ordnung des erdumspannenden Greenwicher Stundenwinkels Grt. In dieser Gleichung wird addiert, wenn h1 vormittags, also bei steigender Sonne gemessen wurde. Ergebnisüberträge müssen behandelt werden: Ist ein Ergebnis negativ, werden 360° addiert, ist es größer als 360°, werden 360° subtrahiert. Danach sind es Westlängen, wenn 𝜆* zwischen 0° und 180° liegt. Liegt 𝜆* zwischen 180° und 360°, dann ist 𝜆* von 360° abzuziehen und das Ergebnis sind Ostlängen.

Die konkreten Berechnungsformeln.

Zur Berechnung eines südlichen Standortes Y, müssen die Deklinationen und die Standortbreite jeweils mit -1 multipliziert werden.
Eine Versegelung wird dadurch berücksichtigt, dass zur Höhe h1 der Wert d∙cos(Az1 - c) addiert wird. Hierin sind d und c die versegelte Distanz- und der versegelte Kurs über Grund und Az1 das Azimut während der ersten Beobachtung. Beides soll hier nicht weiter vertieft werden.
Eine Standortberechnung nach Gauß ist ein höchst geschmeidiger Vorgang: Aus dem sphärischen Abstand der Sonnenpositionen q und den gemessenen Höhen wird die Winkeldifferenz 𝜎 - 𝜻 berechnet, aus der dann die Breite 𝜑 folgt. Die Breite 𝜑 liefert den Stundenwinkel 𝜏, der zusammen mit dem Greenwichwinkel Grt1 auf die Länge 𝜆 führt. Alles in einem Rutsch und perfekt für eine Programmierung.
Die Vorteile gegenüber dem Höhenverfahren von Saint Hilaire sind: Der Algorithmus ist mathematisch exakt, man muss keinen Gissort angeben und es gibt keine Höhenbegrenzung. Der Gauß’sche Algorithmus zur Navigation ist in Verbindung mit der Sonne als Navigationsgestirn in einem Navi-Programm ideal als Backup System geeignet.

Kenntnisse in Astronavigation und Mathematik sind nicht mehr nötig. Standortgenauigkeit und Messabfolge sind natürlich nicht viel besser als im 19. Jahrhundert, aber auch damals fuhren Schiffe. Allerdings muss man einen Sextanten auch benutzen können, was durchaus sportlich gesehen werden kann. Richtige Seemänner und Seefrauen sollten das auch können.