Das Zwei-Höhen-Problem von C. F. Gauß

Johann Carl Friedrich Gauß, der Zahlenmann

Das Zweihöhenproblem für die Schiffahrt nutzbar zu machen war eine Aufgabe, die Astronomen und Mathematiker lange beschäftigt hat. Erstmalig gelang Gauß im Jahre 1812 eine Lösung. Sie ist  in der Schifffahrt nur in ganz wenigen Ausnahmefällen benutzt worden, weil der Rechenaufwand für eine praktische Verwendung auf den Segelschiffen zu groß war.

Die Methode ist heute vergessen. Sie hat aber das Bild der zwei sich überlappenden Höhengleichen auf der Erdkugel geprägt, die sich an zwei Stellen schneiden. Dieses Bild verdeutlicht sehr eindrucksvoll das Wesen sämtlicher Methoden zur Standortbestimmung, auch die der modernen Satellitennavigation.

In diesem Beitrag wird die Methode von Gauß beschrieben. Im Anschluss daran folgen noch Ausführungen über die Problematik der Versegelung eines Standortes. Eine Lösung dafür wurde schon im Jahrhundert davor von Cornelis Douwes (1712-1773) angeboten. Douwes war Direktor der Allgemeinen Seemannshochschule in Amsterdam und hat ebenfalls lange an der Lösung des Zweihöhenproblems gearbeitet.

Die von Gauß angebotene Lösung ist tatsächlich sehr einfach und viel übersichtlicher als die Methode von Saint Hilaire. Der Standort wird analytisch bestimmt, einfach durch Rechnung.

Das Prinzip

Der Standort Z im Bild ist der Schnittpunkt der zwei Höhengleichen HG1 und HG2 und damit der zu bestimmende Standort. Bekannt sind die Zenitabstände s1 und s2. Das sind die Komplemente der beobachteten Höhen h1 und h2, also die Differenz der gemessenen Höhen zu 90°. Die Deklinationen 𝛿1 und 𝛿2, sowie die Stundenwinkel Grt1 und Grt2 der beobachteten Gestirne entnimmt man gewöhnlich einem nautischen Jahrbuch.

Auf der rechten Seite des Bildes sind die entstandenen Dreiecke zur besseren Übersicht herausgezogen. Die Aufgabe besteht letzlich darin, die Länge der Seite b zu berechnen, denn vom Pol bis zum Äquator beträgt die Länge 90° und damit vom Standort zum Äquator 90° – b und das ist die Standortbreite. Ist diese bekannt, dann kann die Länge bei Vorhandensein eines Chronometers oder einer genau gehenden Quarzuhr einfach bestimmt werden.

Wir sehen insgesamt vier Dreiecke, uns interessieren davon nur drei. Das große Dreieck hat die Eckpunkte X2X1P. Die Seite q teilt es sich gemeinsam mit dem kleineren Dreieck X2X1Z. Von diesen beiden Dreiecken sind jeweils die Seiten p1 und p2 sowie s1 und s2 bekannt. Das wichtige dritte Dreieck ist das PZX1 Dreieck, das als nautisch-astronomisches Dreieck bekannt ist.

 

Dreieck X2X1P: Wenn von einem Dreieck drei Elemente, zwei Seiten und ein Winkel oder zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, dann lassen sich die übrigen Seiten oder Winkel berechnen. Um die Länge b ausrechnen zu können, geht man nun folgendermaßen vor. Das einzige Dreieck, von dem drei Elemente bekannt sind, ist das große X2X1P Dreieck, nämlich p1, p2 und t. Von diesem Dreieck werden als erstes die Seite q und der Winkel σ berechnet.

Dreieck X2X1Z: Mit der ausgerechneten Seite q sind nun auch im kleinen Dreieck X2X1Z drei Elemente bekannt, nämlich alle Seiten und wir können den Winkel 𝜁 ausrechnen. Anschließend kann die Differenz 𝜓 als 𝜎 – 𝜁 berechnet werden, was dazu führt, dass nun auch in dem nautisch astronomischen Dreieck PZX1 drei Elemente, p1, s1 und 𝜓 bekannt sind. Damit kann die Seite b berechnet werden und das liefert mit 90° – b = 𝜑 die Standortbreite.

Dreieck PZX1: Auf die Länge kommt man mit der Formel zur Berechnung der Chronometerlänge. Die erdumlaufende Länge muss dann in die geografische Länge von 0 bis 180° W bzw. 0 bis 180° E umgerechnet werden.

Um einen versegelten Standort zu berechnen, muss die gesamte Prozedur noch einmal durchlaufen werden. Das erste Mal wird ein sogenannte unversegelter Standort berechnet. Der dient nur dazu, das Azimut bestimmen zu können. Das wird gebraucht um eine Höhenanpassung für die Versegelung vornehmen zu können. Mit der angepassten Höhe h1 wird dann der versegelte Standort ausgerechnet.

 

Die Berechnung

Dreieck X2X1P: Wir kennen den Winkel t zwischen den Seiten p1 und p2 und erhalten unter Anwendung des Kosinus Seitensatzes

(1)   \begin{equation*}q=arccos(\cos p_1\cdot\cos p_2+\sin p_1\cdot\sin p_2\cdot\cos \tau)\end{equation*}

Damit kennen wir alle Seiten des Dreiecks und können den Winkel σ berechnen:

(2)   \begin{equation*}\sigma=arccos\frac{\cos p_2-cos \;q\cdot\cos p_1}{\sin q\cdot\sin p_1}\end{equation*}


Dreieck X2X1Z: Um in dem Dreieck PZX1 die Seite b und damit die Standortbreite berechnen zu können, brauchen wir zuerst noch den Winkel ζ.  Diesen rechnen wir mit der Halbwinkelformel aus:

(3)   \begin{equation*}\zeta=2\cdot\arctan\sqrt{\frac{sin (u-s_1)\cdot\sin (u-q)}{\sin u\cdot\sin (u-s_2)}}\end{equation*}

Bei u handelt es sich um die halbe Länge des Umfangs des Dreiecks ZX1X2:

(4)   \begin{equation*}u=\frac{s_1+s_2+q}{2}=\frac{\pi-h_1-h_2+q}{2}\end{equation*}

Damit erhalten wir den Winkel ψ:

(5)   \begin{equation*}\psi=\sigma-\zeta\end{equation*}


Dreieck PZX1: Jetzt haben wir alles zusammen, um aus dem Dreieck PZX1 die Breite berechnen zu können. Aus dem Kosinus Seitensatz folgt:

    \begin{equation*}\cos b=\cos p_1\cdot\cos s_1+\sin p_1\cdot\sin s_1\cdot\cos \psi\end{equation}

Mit den jeweiligen Komplementen b = 90° – φ, p1 = 90° – δ1 und s1 = 90° – h1 und den bekannten Beziehungen sin (90° – x) = cos x und cos (90° – x) = sin x folgt daraus:

(6)   \begin{equation*}\varphi_{uv}=arcsin(\sin \delta ^{'}_1\cdot\sin h_1+\cos \delta^{'}_1\cdot\cos h_1\cdot\cos \psi)\end{equation*}

Zur Erklärung von 𝛿’ = P ・ 𝛿, siehe Gl. 18. Wir werden später den LHA des unversegelten Standorts brauchen, um das Azimut berechnen zu können. Dazu brauchen wir die unversegelte Standortlänge. Den Polwinkel bekommen wir aus:

(7)   \begin{equation*}\cos \tau=\frac{\cos s_1-cos \,p_1\cdot\cos b}{\sin p_1\cdot\sin b}\ ; \quad \tau=\arccos\frac{\sin h_1-\sin \delta^{'}_1\cdot\sin \varphi}{\cos \delta^{'}_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

Aus diesem folgt dann auch gleich der erdumlaufende Stundenwinkel

(8)   \begin{equation*}\lambda^\ast=Grt\pm \tau\end{equation*}

Die Addition in dieser Gleichung erfolgt immer dann, wenn die Beobachtung vor dem Schiffsmittag durchgeführt worden ist. Am Schiffsnachmittag, wenn die Sonne westlich peilt, muss subtrahiert werden. Doch bei der Beobachtung der Höhe ist die Sonnenpeilung oft unsicher. Höhengleichen bestehen grundsätzlich aus zwei Halbkreisfunktionen, wobei jeder Halbkreis auf einer Peilrichtung beruht. Erst nach zwei Beobachtungen kann bestimmt werden, welche Halbkreise den Beobachtungen zugrunde lagen, Halbkreis nach Osten oder Westen offen. Solange das nicht feststeht, können die Berechnungen noch gar nicht starten.
Sobald nach der zweiten Beobachtung die Peilrichtungen feststehen, kann die tatsächliche geografische Länge bestimmt werden. Hier passiert wieder das Übliche, um die erdumlaufende Länge 𝜆* in die geografische Länge umzurechnen. Die Formel ist bekannt, da sie zur Berechnung der Höhengleichen gleichermaßen verwendet wurde.

(9)   \begin{equation*}\lambda=\begin{cases} \hspace{14}|\lambda^\ast|&\text{E, wenn}\quad\lambda^\ast<0\\ \hspace{9}-\lambda^\ast&\text{W,wenn}\quad 0^\circ<\lambda^\ast<180^\circ\\ 360^\circ-\lambda^\ast&\text{E, wenn}\quad 180^\circ<\lambda^\ast<360^\circ\\ \lambda^\ast-360^\circ&\text{W,wenn}\quad \lambda^\ast>360^\circ \end{cases}\end{equation*}

Wie man sieht, ist diese Lösung gar nicht kompliziert. Das Problem ist nur, dass man mit einem Taschenrechner nicht weit kommt. Wie oben schon angedeutet, erfordert die Berechnung eines versegelten Standortes einen zweifachen Durchlauf aller Formeln.


Versegelung

Für den Fall, dass das Schiff seine Position zwischen den Beobachtungen verändert, wird von irgend einem Punkt der Standlinie aus der ersten Beobachtung Kurs und Distanz der Versegelung abgesetzt. Die Standlinie wird dann so weit verschoben, bis sie durch den Zielpunkt verläuft. Der Schnittpunkt der verschobenen Standlinie mit der Standlinie aus der zweiten Beobachtung ist dann der Schiffsstandort nach der Versegelung. Dabei ist es egal, ob die Standlinie eine Gerade ist, wie bei den Methoden nach Sumner oder Hilaire, oder ob die Standlinie der Kreis einer Höhengleiche ist.

Eine Gerade hat den Vorteil, dass es mit einer Parallelverschiebung getan ist. Beim Kreis könnte man glauben, dass es genügt, seinen Mittelpunkt zu verschieben. Dann würden alle Punkte des Kreises um den gleichen Betrag verschoben werden. Man müßte dazu ja nur die Deklination um die versegelte Breite und den Grt um die versegelte Länge verschieben und hat damit den Kreismittelpunkt verschoben. Leider ist das Verschieben eines Kreises auf einer Kugeloberfläche allein durch das Verschieben seines Mittelpunktes bzw. Bildpunktes  ohne Verzerrung nicht möglich.

Nehmen wir an, dass mit Nordkurs 0° gesegelt wird. Dann befindet sich jeder neue Standort auf demselben Meridian. Würde man den Mittelpunkt der Höhengleiche, auf dem oberen Bild X1 auf seinem Meridian in Richtung Norden schieben, dann würde sein Radiusendpunkt Z, der Standort, jedoch nach Westen ausweichen müssen, weil nach Norden hin der Abstand zwischen den Meridianen immer enger wird und s1 nicht mehr dazwischen passt. Man muss sich also etwas anderes einfallen lassen.

Die Lösung besteht in einer sogenannten Höhenanpassung. Im untenstehenden Bild erfolgt eine Ortveränderung von A nach B. Diese Strecke mit der Distanz von d wird beim Segeln oft durch Kreuzen, z. B. in den zwei Schlägen l1 und l2 zurückgelegt.

Wir lassen nun die Sonne der ersten Beobachtung gedanklich auf der Stelle stehen. An Ihrer Stelle denken wir uns ein geostationäres Objekt mit unveränderlichem Bildpunkt auf der Erde. Würden wir uns diesem Punkt nähern, so würde die Höhe des Objekts zunehmen, was im Bild der Unterschied zwischen ha und hb ist und umgekehrt. Im Ort B angekommen ist auch die Zeit eine andere und die wahre Sonne hat inzwischen einen anderen Stand. 

Mit der Sonne und dem gedachten geostationären Objekt haben wir nun zwei Himmelskörper, X1 und X2 und zwar die wahre Sonne in der gerade festgestellten Höhe h2 und unser gedachtes Objekt in der Höhe h1 + Δh. Unter Berücksichtigung einer Versegelung muss man also mit der Höhe h1 + Δh und nicht mit h1 rechnen.

Hier werden zwei Näherungen angewendet:

  1. Die Höhengleiche 1 wird nicht verschoben, sondern ihr Radius wird angepasst, d. h., vergrößert oder verkleinert. Bei einem Radius der Höhengleichen im 1000 Meilen Bereich und einer Verseglungsstrecke von nur wenigen bis einigen zehn Meilen ist das vertretbar.

  2. Das Versegelungsdreieck AA’B wird in der ebenen Trigonometrie betrachtet.
    Fehler durch Koppelnavigation zwischen den Beobachtungen sind in der Regel größer als Fehler, durch diese Vereinfachungen.

Eine Höhenänderung zwischen ha und hb ist durch Ortsveränderung längs des Azimuts vom Punkt A zum Punkt A‘ gekennzeichnet. Erfolgt die Ortsveränderung in einem Winkel zum Radius bzw. Azimut, dann muss die Strecke d mit dem Kosinus des Winkels z – c (Azimut – Kurs) multipliziert werden und wir erhalten

(10)   \begin{equation*}AA'=\frac{d}{60}\cos (z-c)=h_b-h_a=\Delta h\end{equation*}

Das Azimut bekommt man über den Kosinus Seitensatz. Wir rechnen dazu:

(11)   \begin{equation*}z_c=\arccos\frac{\sin \delta_1-\sin \varphi\cdot \sin h_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_1}\end{equation*}

Ein Problem besteht darin, dass wir die Breite φ zunächst erstmal berechnen müssen. Das geschieht mit der Gl. 6 und der Höhe h1. Dadurch erhalten wir das Azimut für den unversegelten Standort, was nicht weiter schädlich ist. Zu berücksichtigen ist die in folgender Gleichung genannte Nebenbedingung:

(12)   \begin{equation*}z=\begin{cases} \quad z_c&\text{wenn}\;LHA<180^\circ\\ 360^\circ-z_c&\text{wenn}\;LHA>180^\circ\ \nonumber\end{equation*}

Der LHA (Local Angel Hour) ist der Stundenwinkel zwischen dem Schiffsort und dem Bildpunkt der Sonne in westliche Richtung gehend und muss in folgender Weise bestimmt werden:

(13)   \begin{equation*}LHA=\begin{cases} Grt + \lambda_e_a_s_t\\ Grt-\lambda_w_e_s_t\ \nonumber\end{equation*}

Sollte das Ergebnis größer als 360° sein, dann sind 360° zu subtrahieren. Ist das Ergebnis negativ, dann sind 360° zu addieren. Die unversegelte Länge steht nach dem ersten Durchlauf mit der Gl. 9 zur Verfügung, so dass der LHA hier berechnet werden kann.

Mit der angepassten Höhe h1 + Δh erhalten wir dann nach Anwendung der Gln. 3 bis 6 die versegelte Breite. Die Gleichung 6 wird hier ein wenig anders geschrieben als Gl. 9, weil als Höhe h1 + Δh verwendet wird:

(14)   \begin{equation*}\varphi_v=arcsin\left[\sin \delta^{'}_1\cdot\sin (h_1+\Delta h)+cos\,\delta^{'}_1\cdot\cos (h_1+\Delta h)\cdot\cos \psi\right]\end{equation*}

Als nächstes muss der versegelte Polwinkel berechnet werden. Ebenfalls wieder aus dem Kosinus Seitensatz folgt:

(15)   \begin{equation*}\cos \tau_v=\frac{\cos (s_1-\Delta h)-cos \,p_1\cdot\cos b}{\sin p_1\cdot\sin b}\ ; \quad \tau_v=\arccos\frac{\sin (h_1+\Delta h)-\sin \delta^{'}_1\cdot\sin \varphi_v}{\cos \delta^{'}_1\cdot\cos \varphi_v}\end{equation*}

Der neue Polwinkel liefert dann wieder den Zeitwinkel

(16)   \begin{equation*}\lambda_v^\ast=Grt\pm \tau_v\end{equation*}

und daraus kann die Länge berechnet werden. Durch erneute Anwendung der Gl. 9 erhält man dann die Länge für den versegelten Standort.

 

Nördlicher und südlicher Standort

Die Gleichungen 1 bis 8 wurden nur für den nördlichen Standort hergeleitet. Wir wollen jetzt untersuchen was zu tun ist, wenn der südliche Standort gewählt werden soll, weil sich der Skipper z. B. auf der südlichen Halbkugel befindet. Die Berechnung ist prinzipiell dieselbe und wird im eingangs gezeigten Bild mit den Dreiecken in der Farbe cyan gezeigt.

(17)   \begin{equation*}p_1= 90^\circ-P\cdot\delta_1 ;\qquad p_2=90^\circ-P\cdot\delta_2\end{equation*}

Sollte die Deklination bei der Wahl von N in der ersten Beobachtung 12° betragen haben, dann war p1 aus der ersten Beobachtung 90° – 12 ° = 78°. Wird jetzt mit S der südliche Standort gewählt, dann verändern sich p1 und p2. Wir erhalten p2 jetzt mit 90° – (-1)12° = 102°, weil P für den südlichen Standort den Wert -1 besitzt.

(18)   \begin{equation*}\delta^{'}_1=P\cdot\delta_1 ;\qquad \delta^{'}_2=P\cdot\delta_2\end{equation*}

In den Gleichungen 6, 7, 14 und 15 sind anstelle von 𝛿1 und 𝛿2 die Werte 𝛿’1 und 𝛿’2 zuverwenden, damit zwischen den möglichen Standorten unterschieden wird.


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