Ephemeridenrechnung

Unter dieser Aufgabe wird auch die Berechnung der Positionen der Bildpunkte aller zur Navigation geeigneter Gestirne verstanden. Diese Daten wurden bis einschließlich 2020 vom BSH in einem nautischen Jahrbuch veröffentlicht. Die Herausgabe des Nautischen Jahrbuches ist inzwischen eingestellt worden, weil es für die Großschifffahrt nicht mehr ausrüstungspflichtig ist. In diesem Beitrag wird gezeigt, wie die Positionen des Bildpunktes der Sonne Grt und \delta berechnet werden.

 

Berechnung des Greenwichwinkels

Die Berechnungen erfolgen am sog. Kepler Modell ohne Berücksichtigung der Massen von Mond und Planeten. Dadurch entstehen Abweichungen von den amtlichen Daten, die meist etwa 0' bis +0,2’ betragen. Nur in wenigen Zeiten gehen die Abweichungen bis zu +0,5'.

Das Bild zeigt in einem Modell die Himmelskugel mit der rotierenden Erde im Mittelpunkt. Die Sonne S umrundet die Erde einmal im Jahr auf ihrer ekliptischen Bahn, die zum Himmelsäquator und auch zum Erdäquator die gleiche Schräge von \epsilon aufweist. Das Modell ist eine geozentrische Darstellung, wie man sie von der Erde aus wahrnimmt. Letztendlich ist es aber egal, von welcher Warte aus die Gesetzmäßigkeiten betrachtet werden. Sie sind immer dieselben. Lediglich von der Anschauung her ist es günstig, die Warte zu wechseln und mal ein geozentrisches und ein anderes Mal ein heliozentrisches Bild zu betrachten.

Vom Frühlingspunkt oder Widderpunkt ausgehend, das ist der erste Schnittpunkt von Äquatorebene und Ebene der Ekliptik an der Himmelskugel, bewegt sich die Sonne nordwärts und bescheint zunehmend die Nordhalbkugel der Erde direkter. Dabei erreicht sie als nördlichsten Punkt die Sommesonnenwende So und bewegt sich danach auf ihrer Bahn wieder südwärts. Genau am Herbstpunkt, dem zweiten Schnittpunkt von Äquatorebene und Ebene der Ekliptik, bescheint die Sonne wieder kurz den Äquator und bewegt sich dann südwärts, wobei sie die Südhalbkugel direkter bestrahlt, passiert die Wintersonnenwende Wi, und erreicht zum Abschluss der Umrundung wieder den Frühlingspunkt.

Bezüglich der Sonne dauert eine Erdumdrehung 24 Stunden. Wenn also ein Meridian auf der Erde an einem beliebigen Tag genau auf die Sonnenmitte zeigt, die Sonne auf diesem Meridian also kulminiert, dann sollte sie 24 h später am Folgetag auf demselben Meridian kulminieren. Diese Zeit ist die mittlere Sonnenzeit. Eine Umdrehung der Erde bezüglich der Sonne bedeutet, dass der Bildpunkt der Sonne einen vollen Kreis auf der Erdkugel schreibt. 
Bezüglich dem Frühlingspunkt, der eine feste Position auf der Himmelskugel hat und sich nicht wie die Sonne bewegt, dauert eine Erdumdrehung 23 h 56 min 4,0905 s. Das ist die Sternzeit, weil nach Ablauf dieser Zeit alle Sterne immer wieder die gleiche Position am Himmel besitzen. Die Sonne ist auf ihrer Bahn jedoch eine Tagesetappe von etwa 1° weiter und die Erde muss deshalb bis zur nächsten Kulmination 4 Minuten länger drehen.

Schon in der Antike war bekannt, dass die Sonnenzeit nur eine mittleren Zeit ist. Bei einem Blick in ein nautisches Jahrbuch ist zu sehen, dass der Greenwichwinkel um 12:00 UT1 auf dem Nullmeridian keineswegs immer 0° ist, sondern um bis zu +4° abweicht. Das hängt mit der Zeitgleichung zusammen, die somit bei der Berechnung der Sonnenephemeriden die wichtigste Rolle zu spielen scheint. Diese Abweichung ist im Bild 1 als g eingezeichnet. Sie ist definiert als Differenz zwischen einem auf dem Himmelsäquator völlig gleichmäßig umlaufenden Zeiger Z und dem Projektionspunkt der Sonne auf dem Himmelsäquator. Sonne S und Zeiger Z rotieren auf ihren Bahnen mit absolut gleicher Geschwindigkeit und treffen deshalb halbjährlich im Frühlingspunkt und Herbstpunkt aufeinander. Die Aufgabe besteht nun darin, diese Abweichungen zu berechnen. Als Definition können schon mal die Berechnungsformeln angegeben werden. So ist der Greenwicher Stundenwinkel mit

(1)   \begin{equation*}Grt=15\cdot(h\pm12)+\alpha_m-\alpha\end{equation*}

beschrieben. Hierin ist h die Stunde des Tages von 0 bis 23, für die er berechnet werden soll. Die Zahl 12 gibt die mittlere Zeit an, die von der Sonne gebraucht wird, um von 180° E, dem Ort des Datumswechsels, bis 0° dem Greenwicher Nullmeridian zu kommen. Ist die Zielstunde größer als 12, dann ist h - 12 zu rechnen. Mit 15 ist die Winkelgeschwindigkeit der Sonne von 15°/h gemeint und \alpha_m-\alpha ist die in Grad ausgedrückte Zeitgleichung. Die zweite Komponente ist die Deklination in Grad und wird mit

(2)   \begin{equation*}\delta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\end{equation*}

berechnet. Es sind also nur , \epsilon und \Lambda zu berechnen, was nicht weiter schwierig sein dürfte.
Es gibt aber doch ein Problem und das lautet: „wo fängt ein Jahr an“. Nicht umsonst braucht man für jedes Jahr ein nautisches Jahrbuch, denn ein Jahr, dass sich an der Umdrehung der Erde mißt, passt in keinen Kalender. So hat die Sonne an jedem 1. Januar 12:00 UT1 eines Jahres immer eine andere Position, steht also an diesem Datum in jedem Jahr irgendwo anders im Zenit. Wo fängt jetzt die Erde an zu drehen, natürlich im mathematischen Sinne. Die Antwort ist: am 1. Januar 4713 v. Chr. um 12:00 UT, also vor rund 6000 Jahren. Damit man nicht so lange zurückrechnen muss, haben die Astronomen ein Zwischenergebnis für den 1. Januar 2000 12:00 UT1 festgelegt, auf das man sich in der neueren Zeit beziehen kann. Damit gelten für die Umlaufbahn der Erde die zeitabhängigen Bahnelemente in der folgenden Tabelle:

1

    \[e = 0,016709-\frac{4,2\cdot 10^{-7}}{365,25}\cdot T\]

numerische Exzentrizität

2

    \[\epsilon=23,4391667^\circ-\frac{0,4682}{3600\cdot365,25}\cdot T\]

Schiefe der Ekliptik in Grad

3

    \[\varpi=282,9400^\circ+\frac{0,017192}{365,25}\cdot T\]

Länge des Perihels in Grad

4

    \[L=280,4656^\circ+\frac{360,00769}{365,25}\cdot T\]

Mittlere Länge in Grad ab Perihel

Unter numerischer Exzentrizität ist ein Parameter zu verstehen, mit dessen Hilfe ein Kreis in eine Ellipse verwandelt werden kann, in unserem Fall also, wie die elliptische Bahn der Erde um die Sonne festzulegen ist. Die Schiefe der Ekliptik beschreibt die maximal mögliche Deklination. Der Perihel ist der Punkt, an dem die Erde der Sonne im Nordwinter am nächsten kommt und wird in Grad vom Frühlingspunkt aus angegeben. Letztlich ist L eine mittlere Länge auf dem Himmelsäquator, den der Punkt Z mit der Bahngeschwindigkeit der Sonne auf der Ekliptik erreicht. Der Parameter L gilt jedoch ab dem 1.1.2000, hat also mehrere tausend Umdrehungen von 360° hinter sich. Dieser Winkel sollte deshalb verkürzt werden, wie es Gl. 9 vorgibt. Es sind also alle vollen 360 Grad Umdrehungen zu entfernen bis ein Rest von <360° übrig bleibt. Dieser Rest wird dann mit \alpha_m bezeichnet.
Alle Bahnelemente sind als lineare Gleichungen der Tage T angegeben, die seit dem 1.1.2000 vergangen sind. In dieser Zeit haben sie sich also alle ein klein wenig verändert. Um Grt und \delta für eine bestimmte Stunde des Datums berechnen zu können, an dem ein Standort auf See bestimmt werden soll, muss zunächst die Zeit T ausgerechnet werden. Dabei ist T stundengenau in gebrochenen Tagen anzugeben. Allgemein gilt:

(3)   \begin{equation*}T=\mathbb{Z}\Bigr(\text{(JJJJ}-2000)\cdot 365,25\Bigr)+N+\frac{12+h}{24}\end{equation*}

Hierin bedeutet \mathbb{Z}(\text{x}) die Ganzzahl von x und N sind die im betrachteten Jahr vergangenen Tage ausschließlich des aktuellen Tages und h ist die Stunde, ab der die Bahnelemente gelten sollen. Einfacher geht es mit Tabellenkalkulationen, die Zeitfunktionen enthalten, wie z. B. EXCEL Dann gilt:

(4)   \begin{equation*}T=\text{Tage}\left {\text{(Zieldatum - 1. Jan. 2000)}\right }-0,5+\frac{h}{24}\end{equation*}

Sobald die Stunde feststeht kann die eigentliche Berechnung beginnen. Wir brauchen die Länge 𝛼. Die scheint erstmal gar nicht so schwer zu berechnen sein, denn der Sonnenmeridian im Bild bildet mit dem Äquator einen rechten Winkel. Dann ist nach den Formeln für das rechtwinklige Kugeldreieck der Tangens einer Seite gleich dem Produkt aus dem Tangens der gegenüber liegenden Seite und dem Kosinus des Winkels, den diese Seiten einschließen. Wir erhalten dafür

(5)   \begin{equation*}\alpha=arctan_\Lambda(\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon)\end{equation*}

Jetzt muss „nur“ noch \Lambda ausgerechnet werden und dafür gilt

(6)   \begin{equation*}\Lambda=\alpha_m+C \end{equation*}

Es ist also doch nicht ganz so einfach, denn mit C kommt die sog. Mittelpunktsgleichung ins Spiel und die beschreibt die Abweichung der ungleichmäßigen Bewegung der Erde auf einer Ellipse von einer gleichmäßigen Bewegung auf einer Kreisbahn. Sie hängt nach Kepler von der Exzentrizität e der jeweiligen Bahnellipse ab und ergibt sich als Differenz zwischen mittlerer Anomalie M und wahrer Anomalie V. das wollen wir hier nicht weiter vertiefen, denn wir haben ja das Bahnelement M, als Summe von Länge des Perihels und mittlerer Länge des Zeigers Z als

(7)   \begin{equation*}M=\alpha_m-\varpi\end{equation*}

Der Perihel ändert seinen Winkel alle 60 Jahre etwa um einen Tag. Die 360° interessieren hier nicht, weil M als Sinus verwendet wird und der Sinus eines Winkels ist alle 360° weiter derselbe. Da die Kepler Gleichung nur iterativ zu lösen ist und die Exzentrizität der Erdbahn mit e = 0,0167 sehr klein ist, ist hier eine Reihenentwicklung sinnvoller. Man erhält:

(8)   \begin{equation*}C=\Bigr [(2e-\frac{e^3}{4})\cdot\sin M+\frac{5}{4}e^2\cdot\sin (2M)+ \frac{13}{12}e^3\cdot\sin (3M)+\end{equation*}

    \[+\frac{103}{96}e^4\cdot\sin 4M+\frac{1097}{960}e^5\cdot\sin (5M)\Bigr ] \cdot\frac{180}{\pi}\]

Das Bahnelement L und der daraus errechnete Wert von M ist aufgrund der vielen Umrundungen seit dem Jahr 2000 sehr groß und so sollten volle Umrundungen von 360° herausgenommen werden. Das ist mit der Formel

(9)   \begin{equation*}x=x'-\mathbb{Z}\Bigg(\frac{x'}{360^\circ}\Bigg)\cdot 360^\circ\end{equation*}

schnell erledigt. Das \mathbb{Z} bedeutet „ganze Zahl“ von dem dahinter in der Klammer stehenden Quotienten und x ist der Hauptwert des Winkels. Beispielweise soll x' = 1732° sein. Dann erhält man für den Quotienten 4,8111. Die Ganzzahl ist \mathbb{Z}=4 und damit bekommt man

x = 1732° - 4・360° = 292°.

Das Ergebnis der Gl. 8 wird in Gl. 6 eingesetzt und liefert \Lambda. Damit wird dann mit Gl. 5 unter Zuhilfenahme von \epsilon der Wert von \alpha bestimmt und \alpha_m - \alpha kann zur Berechnung des Greenwicher Stundenwinkel mit der Gl. 1 verwendet werden. Unkomplizierter zur Berechnung von \alpha_m - \alpha ist jedoch die folgende Gleichung, bei der 𝛼 nicht berechnet werden muss:

(10)   \begin{equation*}\alpha_m-\alpha=\arctan\frac{\tan \alpha_m-\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}{1+\tan \alpha_m\cdot\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}\end{equation*}

 

 

 

Berechnung der Deklination

Das ist jetzt ganz einfach, weil der Wert von \Lambda inzwischen berechnet wurde. Da zwischen dem Bildpunktmeridian und dem Äquator ein rechter Winkel besteht, kann dafür eine einfache Formel zur Berechnung eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks aus dem Formelbuch verwendet werden. Die lautet hier angewendet

(11)   \begin{equation*}\sin \delta=\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda\end{equation*}

Nach Anwendung der Sinus-Umkehrformel und Multiplikation mit 180°/𝜋 erhält man die Deklination in Winkelgraden.

(12)   \begin{equation*}\delta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\end{equation*}

 

 

Das EXCEL Sheet

Das nebenstehende Bild zeigt den Kopf einer EXCEL Datei, die nach den vorstehenden Berechnungen arbeitet. Nachdem in den schwach grün hinterlegten Feldern das Datum eingegeben worden ist, werden Grt und \delta für diesen Tag ausgerechnet und in der Tabelle darunter ausgegeben. Die Tabelle kann auch ausgedruckt werden. Dazu befindet sich eine druckbare Version auf einem zweiten Arbeitsblatt.

Nach Eingabe einer Uhrzeit in UT bzw UTC in den schwach blau hinterlegten Feldern werden die Koordinaten des Bildpunktes sekundengenau ausgegeben. Hier kann auch durch Eingabe einer anderen Zeit ertestet werden, wie viel z. B. ein Zeitfehler von 1 s ausmacht. Die Werte werden in den Formaten X° x,x' und X,x° ausgegeben. Für Interessierte hier die Umrechnungsformeln:

    \[X_{dez}= \bigl (X^\circ + \frac{x,x'}{60}\bigr )\]

Diese Formel rechnet im Format X° x,x' vorliegende Winkel ins vollständige Dezimalformat um. Für die andere Richtung braucht man eine etwas kompliziertere Formel, weil sonst die Vorzeichen Ärger machen können:

    \[X^\circ\;x,x'\lbrace X_{dez}\rbrace=\frac{X_{dez}}{|X_{dez}|}\mathbb{Z}\lbrace |X_{dez}|\rbrace^\circ \;\;60\cdot\bigg(|X_{dez}|-\frac{X_{dez}}{|X_{dez}|}\mathbb{Z}\lbrace |X_{dez}|\rbrace\bigg )'\]

Das sieht recht kompliziert aus, weil man einiges beachten muss. Das ist jedoch nur die Schreibweise, die sich leider nicht besser darstellen lässt. Deshalb soll in einem Beispiel der Winkel -56,50° in Grad und Minuten umgerechnet werden. Das geht ganz einfach, indem man -56° bildet und den Rest von 0,5° mit 60 multipliziert, was dann 30' sind. Das Ergebnis lautet also -56° 30'. Läßt man jedoch einen Rechner die Ganzzahl von -56,50° ausrechnen, dann liefert der -57°. Man muss deshalb die Ganzzahl vom Betrag, also von |-56,50°| ausrechnen, was dann 56 sind und diese Zahl mit dem Vorzeichen multiplizieren, das man aus dem Quotienten |-56,50| / -56,50 =-1 erhält. Rechner machen einem das Leben also nicht immer leichter.

Ebenfalls für Interessierte sollen auch die Interpolationsformeln angegeben werden. Aus den Minuten und Sekunden in der Beobachtungsstunde folgt als Greenwichwinkel für die Beobachtungszeit GrtBZ:

(13)   \begin{equation*}Grt_{BZ}=\biggr(Minuten+\frac{Sekunden}{60}\biggr)\frac{Grt_{h+1}-Grt_h}{60}+Grt_h\end{equation*}

Die Deklination wird nur minutengenau benötigt. Die Formel ist deshalb ein wenig einfacher:

(14)   \begin{equation*}\delta_{BZ}=\frac{Minuten\cdot(\delta_{h+1}-\delta_h)}{60}+\delta_h\end{equation*}

Negative Ergebnisse sind südliche Deklinationen.

Die Ausgabe für den Drucker auf dem zweiten Arbeitsblatt ist der Darstellungsweise im nautischen Jahrbuch weitgehenst nachempgunden. In der ersten Spalte in den grauen Feldern wird der Tag des Jahres ausgegeben, hier ist es der Tag 43 im Jahr 2021. Auf der rechten Seite oben stehen der Wochentag und das Datum.
Unterhalb der Grt-Spalte steht die Transitzeit, die angibt, wann der Bildpunkt den Nullmeridian passiert. Unter der Deklinationsspalte wird mit Unt angegeben, Wie sich die Deklination im Mittel pro Stunde verändert.

Die Datei kann auf allen Geräten geöffnet und bearbeitet werden, auf denen EXCEL läuft, also Windows, Mac oder Mobilgeräte. Die Datei ist geschützt und kann nur unter Verwendung des Passwortes change modifiziert werden. Dadurch kann das Aussehen individuell angepasst werden.

Das EXCEL Sheet hat den Namen

hundertjährige-Ephemeriden-1.0