Ephemeridenrechnung

Unter dieser Aufgabe wird auch die Berechnung der Positionen der Bildpunkte aller zur Navigation geeigneter Gestirne verstanden. Diese Daten wurden bis einschließlich 2020 vom BSH in einem nautischen Jahrbuch veröffentlicht. Die Herausgabe des Nautischen Jahrbuches ist inzwischen eingestellt worden, weil es für die Großschifffahrt nicht mehr ausrüstungspflichtig ist. In diesem Beitrag wird gezeigt, wie die Positionen des Bildpunktes der Sonne Grt und \delta berechnet werden.

 

Berechnung des Greenwichwinkels

Die Berechnungen erfolgen am sog. Kepler Modell ohne Berücksichtigung der Massen von Mond und Planeten. Dadurch entstehen Abweichungen von den amtlichen Daten, die meist etwa 0′ bis |0,2’| betragen. Nur in wenigen Zeiten gehen die Abweichungen bis zu |0,5’|.

Nach diesem Bild ist der Greenwicher Stundenwinkel definiert als

(1)   \begin{equation*}Grt=15\cdot(h\pm12)+\alpha_m-\alpha\end{equation*}

Hierin ist h die Zielstunde des Tages von 0 bis 23. Mit 12 ist die mittlere Zeit angegeben, die von der Sonne gebraucht wird, um von 180° E, dem Datumswechsel, bis 0° dem Greenwicher Nullmeridian zu kommen. Ist das Ergebnis dieser Gleichung größer als 360° dann muss h – 12 gerechnet werden. Die Deklination wird mit

(2)   \begin{equation*}\delta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\cdot\end{equation*}

berechnet. Für die Umlaufbahn der Erde gelten die zeitabhängigen Bahnelemente in der folgenden Tabelle:

1

    \[e = 0,016709-\frac{4,2\cdot 10^{-7}}{365,25}\cdot T\]

numerische Exzentrizität

2

    \[\epsilon=23,4391667^\circ-\frac{0,4682}{3600\cdot365,25}\cdot T\]

Schiefe der Ekliptik in Grad

3

    \[\varpi=282,9400^\circ+\frac{0,017192}{365,25}\cdot T\]

Länge des Perihels in Grad

4

    \[\alpha_m=280,4656^\circ+\frac{360,00769}{365,25}\cdot T\]

Mittlere Länge in Grad ab Perihel

Die Zahlen vor den Additions- bzw. Subtraktionszeichen sind die Bahnelemente, die am 1. Januar 2000 12:00 UT1 gültig waren. Das ist die Stunde null für alle nachfolgenden Berechnungen. Um Grt und \delta für eine Stunde eines anderen Datums berechnen zu können, muss die Zeit T ausgerechnet werden. Dabei ist T stundengenau in gebrochenen Tagen anzugeben. Allgemein gilt:

(3)   \begin{equation*}T=\mathbb{Z}\Bigr [\text{(JJJJ}-2000)\cdot 365,25\Bigr ]+N+\frac{12+h}{24}\end{equation*}

Hierin bedeutet \mathbb{Z}\left [ \text{x}\right ]| die Ganzzahl von x und N sind dann die im betrachteten Jahr vergangenen Tage ausschließlich des aktuellen Tages und h ist die Stunde, ab der die Bahnelemente gelten sollen. Einfacher geht es mit Tabellenkalkulationen, die Zeitfunktionen enthalten, wie z. B. EXCEL Dann gilt:

(4)   \begin{equation*}T=\text{Tage}\left {\text{(Zieldatum - 1. Jan. 2000)}\right }-0,5+\frac{h}{24}\end{equation*}

Sobald die Stunde feststeht kann die eigentliche Berechnung beginnen. Wir brauchen die Länge \alpha. Die scheint erstmal ganz leicht zu berechnen sein, denn der Sonnenmeridian im Bild bildet mit dem Äquator einen rechten Winkel und da ist der Tangens einer Seite gleich dem Produkt aus dem Tangens der gegenüber liegenden Seite und dem Kosinus des Winkels, den diese Seiten einschließen. Wir erhalten dafür

(5)   \begin{equation*}\alpha=arctan_\Lambda(\tan\Lambda\cdot\cos\epsilon)\end{equation*}

Jetzt muss „nur“ noch \Lambda ausgerechnet werden und dafür gilt

(6)   \begin{equation*}\Lambda=\alpha_m+C \end{equation*}

Es ist also doch nicht ganz so einfach. C ist die Mittelpunktsgleichung und beschreibt die Abweichung durch eine ungleichmäßige Bewegung der Erde auf einer Ellipse von einer gleichmäßigen Bewegung entlang einer Kreisbahn. Sie hängt nach Kepler von der Exzentrizität e der jeweiligen Bahnellipse ab und ergibt sich als Differenz zwischen mittlerer Anomalie M und wahrer Anomalie V. Der Winkel M ist die Summe von Länge des Perihels und mittlerer Länge des Zeigers Z als

(7)   \begin{equation*}M=\alpha_m+\varpi\end{equation*}

Der Perihel ändert seinen Winkel alle 60 Jahre etwa um einen Tag. Da die Kepler Gleichung nur iterativ zu lösen ist und die Exzentrizität der Erdbahn mit 0,0167 sehr klein ist, ist hier eine Reihenentwicklung sinnvoller. Man erhält:

(8)   \begin{equation*}C=\Bigr [(2e-\frac{e^3}{4})\cdot\sin M+\frac{5}{4}e^2\cdot\sin (2M)+ \frac{13}{12}e^3\cdot\sin (3M)+\end{equation*}

    \[+\frac{103}{96}e^4\cdot\sin 4M+\frac{1097}{960}e^5\cdot\sin (5M)\Bigr ] \cdot\frac{180}{\pi}\]

Das Ergebnis dieser Gleichung in die Gl. 6 eingesetzt, liefert \Delta. Damit kann dann auch die Gl. 5 aufgelöst werden und schließlich erhält man dann den Greenwicher Stundenwinkel mit der Gl. 1. Das Bahnelement \alpha_m und die daraus errechneten Werte von \Lambda und M sind aufgrund der vielen Umrundungen seit dem Jahr 2000 sehr groß und es könnte je nach Rechner sinnvoll sein, volle Umrundungen von 360° aus den Werten herauszunehmen. Das ist mit der Formel

(9)   \begin{equation*}x=x'-\mathbb{Z}\left[\frac{x'}{360^\circ}\right]\cdot 360^\circ\end{equation*}

schnell erledigt. Das \mathbb{Z} bedeutet „ganze Zahl“ von dem dahinter in eckiger Klammer stehenden Quotienten und x ist der Hauptwert des Winkels. Beispielweise soll x‘ = 1732° sein. Dann erhält man für den Quotienten 4,8111. Die Ganzzahl ist \mathbb{Z}=4 und damit bekommt man

x = 1732° – 4・360° = 292°.

Der Wert von \alpha_m - \alpha kann auch mit

(10)   \begin{equation*}\alpha_m-\alpha=\arctan\frac{\tan \alpha_m-\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}{1+\tan \alpha_m\cdot\tan \Lambda\cdot\cos \epsilon}\end{equation*}

berechnet werden. Dann muss \alpha nicht ausgerechnet werden.

 

 

Berechnung der Deklination

Das ist jetzt eine ganz einfache Aufgabe, weil der Wert von \Lambda inzwischen berechnet wurde. Da zwischen dem Bildpunktmeridian und dem Äquator ein rechter Winkel besteht, kann dafür eine einfache Formel aus dem Formelbuch verwendet werden. Die lautet hier angewendet

(11)   \begin{equation*}\sin \delta=\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda\end{equation*}

Nach Anwendung der Sinus-Umkehrformel und Multiplikation mit 180°/𝜋 erhält man die Deklination in Winkelgraden.

(12)   \begin{equation*}\delta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\arcsin(\sin\epsilon\cdot\sin\Lambda)\end{equation*}

 

 

Das EXCEL Sheet

Das nebenstehende Bild zeigt den Kopf einer EXCEL Datei, die nach den vorstehenden Berechnungen arbeitet. Nachdem in den schwach grün hinterlegten Feldern das Datum eingegeben worden ist, werden Grt und \delta für diesen Tag ausgerechnet und in der Tabele darunter angezeigt. Die Tabelle kann auch ausgedruckt werden. Dazu befindet sich eine druckbare Version auf einem zweiten Arbeitsblatt.

Nach Eingabe einer Uhrzeit in UT bzw UTC in den schwach blau hinterlegten Feldern werden die Koordinaten des Bildpunktes sekundengenau ausgegeben. Hier kann auch durch Eingabe eine anderen Zeit ertestet werden, wie viel ein Zeitfehler von 1 s ausmacht, nämlich in dem Fall 0,25′.
Die zeitgenaue Ausgabe von Grt und \delta zur Beobachtungszeit wird mit einer Interpolationsrechnung nach folgender Formel durchgeführt:

    \[Grt{(t_B)}/min=t_{Add}\cdot\frac{\Delta(Grt_{(h+1)}-Grt_h}{60}+Grt_h\]

 

 

Dabei ist zu beachten, dass bei einem negativen Wert des Zählers 360° addiert werden müssen. Bei der Zeit tAdd handelt es sich um die Minuten und Sekunden in Dezimalminuten innerhalb der Beobachtunsstunde. Der Ausgabewert für die Deklination wird genauso berechnet. Man hat es dabei zwar nicht mit 360° Überträgen zu tun, muss aber die Vorzeichen beachten. Nördliche Deklinationen sind positiv und südliche negativ.

In der ersten Spalte in den grauen Feldern wird der Tag des Jahres ausgegeben, hier ist es der Tag 43 im Jahr 2021. Auf der rechten Seite oben stehen der Wochentag und das Datum.
Unterhalb der Grt-Spalte steht die Transitzeit, die angibt, wann der Bildpunkt den Nullmeridian passiert. Unter der Deklinationsspalte wird mit Unt angegeben, Wie sich die Deklination im Mittel pro Stunde verändert.

Die Datei kann auf allen Geräten geöffnet und bearbeitet werden, auf denen EXCEL läuft, also Windows, Mac oder Mobilgeräte. Die Datei ist geschützt und kann nur unter Verwendung des Passwortes change modifiziert werden. Dadurch kann das Aussehen individuell angepasst werden.

Das EXCEL Sheet hat den Namen

hundertjährige Ephemeriden 1.0