Dead Reckoning

Darunter wird eine einfache und seit Jahrhunderten benutzte Navigationsmethode verstanden. Im englischen wird sie als Dead Reckoning bezeichnet, was soviel wie totale Berechnung bedeutet. Zur Durchführung verwendet der Navigator einfache, aber zuverlässige Werkzeuge, um drei Dinge zu verfolgen:

  • Kompassrichtung des Bootes
  • Geschwindigkeit durchs Wasser
  • Zeit, die für jede Kursrichtung und jede Fahrtgeschwindigkeit aufgewendet wurde

Mit diesen Informationen konnte der Navigator Route und Entfernung berechnen, die das Schiff zurücklegt und in einer Seekarte markieren. Mit einer sorgfältig durchgeführten Koppelnavigation sind Fehlerraten bis herunter zu 5% erreichbar. Das Koppeln wurde früher angewendet, wenn sich das Schiff nachts in komplizierten Gewässern bewegen musste. Das betraf jedoch meist nur Kriegsschiffe. Handelsschiffe gingen in so einem Fall meist vor Anker. Doch wozu brauchen wir heute noch eine Koppelnavigation?

 

Wozu noch Koppelnavigation

Die astronomische Navigation erfordert zu einer Standortbestimmung mindestens zwei Gestirnshöhen, entweder von zwei unterschiedlichen Gestirnen oder von einem Gestirn wie der Sonne zu unterschiedlichen Zeiten. Dabei sollten sich die Höhengleichen bzw. Standlinien Azimute, der beobachteten Gestirne in einem möglicht rechten Winkel schneiden. Bei Anwendung des Höhenverfahrens nach Hilaire durfte der Schnittwinkel nicht kleiner als 30° sein, damit der Schnittpunkt der Standlinien noch genau genug herausgelesen werden kann. Werden analytische Methoden verwendet, dann kann der Winkel spitzer ausfallen, sollte 15° aber auch nicht unterschreiten. Um das zu erreichen, muss zwischen den Beobachtungen eine ausreichend lange Zeit vergehen. Wenn nicht gerade Totenflaute herrscht, wird man sich vom Ort der ersten Beobachtung entfernen. Doch mit jeder Entfernungsänderung vom Bildpunkt ändert sich auch die Höhe, in der ein Gestirn beobacht wird und das auch dann, wenn es gedanklich in seiner Position am Himmel eingefroren wird.

Es geht jetzt also darum, aus den unterschiedlichen Kursen und Strecken, zwischen den Beobachtungen einen resultierenden Kurs und eine resultierende Gesamtstrecke über Grund zu finden. 
Dabei muss also insbesondere eine Strömung, aber auch ein Versatz durch Wind berücksichtigt werden. Man segelt eigentlich immer Kurse, bei denen der Wind optimal ausgenutzt wird. Beim Segeln, z. B. mit halbem Wind, fällt der genau von der Seite ein. Dieser Zustand ermöglicht die höchste Geschwindigkeit. Das Boot fährt dabei aber nicht in Kielrichtung. Vielmehr ist der Bug etwas in den Wind gedreht, wodurch das anströmende Fahrwasser seitlich gegen den leicht quer stehenden Kiel und den Unterwasserrumpf drückt. Zwischen diesem dynamischen Wasserdruck und dem Winddruck von der anderen Seite auf das Segel stellt sich ein Gleichgewicht ein. Der in Kielrichtung weisende Kompass zeigt dann jedoch nicht mehr den Fahrkurs an. Der Wind trifft außerdem die Freibordfläche des Rumpfes und die Aufbauten, die nicht unbedingt zum Kräftegleichgewicht beitragen und treibt das Boot in Windrichtung ab. Das alles richtig einschätzen zu können ist eine Kunst des Skippers. Man kann das nicht wirklich berechnen und die Wirkungen sind bei jedem Bootstyp verschieden. Werden mehrere Wenden gefahren, dann gleicht sich dieser Effekt sogar aus. Der Skipper oder Navigator wird z. B. bei Nordwind und einer Kompass-Ablesung von 280° einen Fahrkurs von 270° annehmen. Er hat in diesem Fall den Kompasskurs mit -10° beschickt.
Letztendlich brauchen wir die Route über Grund und die entsteht nicht allein durch den Bootsantrieb. Abhängig vom Seegebiet können Meeresströmungen dazu beitragen, dass sich Geschwindigkeit und Kurs von den Anzeigen der Messgeräte an Bord ziemlich unterscheiden. Für eine möglichst genaue Koppelnavigation ist deshalb auch die Berücksichtigung einer Meeresströmung wichtig. Diese entnimmt man speziellen Strömungskarten. Besser ist jedoch die Benutzung eines Meeres-Strömungen-Radars das live Daten liefert. Dazu ist ein Internetzugang erforderlich. Fehlt dieser, dann könnte man jemanden anzurufen, der einem die Daten dann mitteilt. Bei Benutzung analytischer Navigationsmethoden kann die Zeitspanne zwischen zwei Beobachtungen recht kurz gehalten werden. In strömungsarmen Gebieten entsteht dadurch kaum ein nennenswerter Fehler. Trotzdem soll nachfolgend die Berechnung einer gekoppelten Strecke unter Berücksichtigung von Meeresströmungen gezeigt werden.

 

Zweistufiger Rechenweg

Eine Koppelnavigation, die auch Meeresströmungen berücksichtigt, besteht aus zwei Vorgängen. In einem ersten Vorgang müssen die Komponenten

  • Ortsveränderung aus Bootsantrieb und
  • Ortsveränderung durch Meeresströmung

vektoriell aus jedem einzelnen Schlag getrennt erfasst werden. Ein Schlag beginnt nach jeder Wende oder Halse, nach jeder nachhaltigen Geschwindigkeitsänderung, weil z. B. der Wind dauerhaft nachgelassen hat und nach jeder Kurskorrektur. Grundsätzlich begründet auch jede Änderung von Richtung und Stärke einer Meeresströmung einen neuen Schlag. Das kann sich beim Segeln in Gewässern mit Gezeitenströmungen schon erheblich auswirken. Jeder der erfassten Schläge ist dann ein Vektor, der die Fahrt des Bootes über Grund repräsentiert. Meeresströmungen können im Gegensatz von Bootsgeschwindigkeiten allerdings nur sehr ungenau genau erfasst werden.

In einem zweiten Vorgang müssen die einzelnen Schläge vektoriell addiert werden. Das Ergebnis ist bekannt als „distance mad good“ und „course mad good“, also einer Strecke und einem Kurs, den ein Schiff über Grund zurückgelegt hat unter Berücksichtigung des eigenen Antriebs und herrschender Abdrifte

 

Ein Schlag und zwei Geschwindigkeiten

Die erste Aufgabe besteht darin, die Vektoren der Geschwindigkeit des Bootes durch seinen Antrieb, also durch das Wasser und der Geschwindigkeit des Stroms zu addieren. Erst dadurch erhalten wir einen resultierenden Geschwindigkeitsvektor, der mit der Zeitdauer des Schlages multipliziert, die über Grund zurückgelegte Distanz als skalare Größe angibt.

Bild 1: Addition der Geschwindigkeitskomponenten Bootsantrieb und Strömung

Wenn die Ortsveränderung dabei in mehreren Schlägen erfolgt, dann muss diese Betrachtung für jeden einzelnen Schlag separat durchgeführt werden. Bild 1 zeigt, wie die Vektoren grafisch addiert werden. Dazu wird der Vektor v2 der Strömungsgeschwindigkeit an die Spitze des Boat-Speed Vektors v1 angesetzt. Im Ergebnis erhält man den resultierenden Geschwindigkeitsvektor der Bootsgeschwindigkeit v über Grund. In dem allgemeinen Dreieck v1-v2-v ist v die Hypotenuse eines neu zu betrachteten rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten v𝜑 und v𝝀. Diese Katheten sind die jeweiligen Summen aus den Nord-Süd Komponenten sowie den Ost-West Komponenten der beiden Vektoren. Die Hypotenuse kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Zusammenfassend existieren folgende Zusammenhänge:

    • Nord-Süd Kathete: v_\varphi=v_{1\varphi}+v_{2\varphi}
    • Ost-West Kathete: v_\lambda=v_{1\lambda}+v_{2\lambda}
    • Hypothenuse:        v=\sqrt{v_\varphi^2+v_\lambda^2}

Doch wie berechnen wir die aus den Komponenten zusammengesetzten Katheten? Im Bild 1 ist die senkrechte Nord-Süd Komponente bzw. Süd-Nord Geschwindigkeit des Vektors v1 das Produkt aus seiner Kursgeschwindigkeit v1 und dem Sinus des Winkels zwischen v1𝝀 und v1. Dieser Winkel ist die Differenz zwischen 90° und dem Kurswinkel, der allgemein mit c angegeben sein soll und hier mit cA bezeichnet wird, weil das der vom Bootsantrieb verursachte Kurs durchs Wasser ist. Dafür wird geschrieben:

    \[v_{1\varphi}=v_1\cdot\sin (90^\circ-c_A)\]

und nach Verwendung des Komplementwinkels:

    \[v_{1\varphi}=v_1\cdot\cos c_A\]

Das ist allerdings erst der in der Nord-Süd Kathete befindliche Anteil des Antriebsvektors v1. Der Ost-West Anteil in der anderen Kathete berechnet sich ähnlich und nur durch Austausch des Sinus durch den Kosinus:

    \[v_{1\lambda}=v_1\cdot\cos (90^\circ-c_A)=v_1\cdot\sin c_A\]

Das war jetzt eine Betrachtung, wie sie sich im ersten Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems darstellt. Bild 2 zeigt das auf seiner linken Seite. Doch auch für alle anderen Quadranten gelten dieselben Formeln. So sind Nord-Süd Komponenten eines Katheten-Anteils immer negativ, wenn der Kurswinkel zwischen 90° und 270° liegt und genau in diesem Winkelbereich ist auch der Kosinus negativ.

Bild 2: Berechnung des Winkels zwischen Kurslinie und Breitenkreis in den vier möglichen Quadranten.

Diese Kurse besitzen eine südliche Wirkung. Die Ost-West Komponenten werden mit dem Sinus des Kurswinkels berechnet und der Sinus ist in den Quadranten 3 und 4 negativ, also immer dann, wenn der Kurswinkel eine westliche Richtung besitzt oder anders gesagt zwischen 180° und 360° liegt.

Wir fassen zusammen. Die beiden Geschwindigkeits-Vektoren für Antrieb und Meeresströmung besitzen die Kurswinkel cA und cC und die resultierenden Komponentengeschwindigkeiten lauten vA und vC. Da grundsätzlich mit mehr als einem Schlag gerechnet werden muss, wird an dieser Stelle der Zählindex i eingeführt. Beispielsweise steht dann i = 3 für eine Zugehörigkeit zum dritten Schlag. Der Index A bezeichnet eine Wirkung durch den Bootsantrieb und der Index C eine Wirkung aufgrund einer Meeresströmung. Daraus folgen für die Nord-Süd und Ost-West Bewegungen eines Schlages:

(1)   \begin{equation*}v_{NSi}=v_{Ai}\cdot\cos\,c_{Ai}+v_c\cdot\cos\,c_c\end{equation*}

(2)   \begin{equation*}v_{OWi}=v_{Ai}\cdot\sin\,c_{Ai}+v_c\cdot\sin\,c_c\end{equation*}

Das ermöglicht jetzt die Berechnung des resultierenden Geschwindigkeitsvektors eines Schlages mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Die in einem Schlag zurückgelegte Distanz di ist das Produkt aus der Dauer des Schlages ti und der aus allen Komponenten zusammengesetzten Geschwindigkeit. Dafür erhält man:

(3)   \begin{equation*}d_i=t_i\sqrt{(v_{NSi})^2+(v_{OWi})^2}\end{equation*}

Der Anstieg einer Linie in einem kartesischen Koordinatensystem wie es Bild 2 rechts zeigt, ist der Tangens dieser Linie. Gemäß dieser Aussage ist der Tangens einer Kurslinie der Quotient seiner Nord-Süd Änderung zu seiner Ost-West Änderung. Dabei ist es egal, ob Distanzen oder Geschwindigkeiten betrachtet werden, denn beide folgen derselben Richtung. Der Arkustangens liefert aus dem Anstiegsquotienten, also dem Tangens, den Anstiegswinkel. Mit der folgenden Gleichung wird der Kurs ci eines Schlages als rechtweisend Nord angegeben:

(4)   \begin{equation*}c_i=\left\lbrace\,90^\circ-\arctan\frac{v_{NSi}}{v_{OWi}}\phantom{11}\text{wenn }v_{OWi}>0\atop 270^\circ-\arctan\frac{v_{NSi}}{v_{OWi}}\phantom{11}\text{wenn }v_{OWi}<0 \end{equation*}

Die Gl. 4 sieht vielleicht kompliziert aus, ist es aber nicht. Die Arcustangens-Funktion kann nur für Quotienten von 0 bis ±∞ Winkel von 0° bis ±90° liefern. Die obere Zeile in Gl. 4 gilt für die östliche Hemisphäre bei positivem Wert für vOW. Dadurch ist nur noch entscheidend, ob vNS positiv oder negativ ist. Ist der Kurs südlich, also vNS < 0, dann ist der Anstieg ebenfalls südlich, mit anderen Worten eine nach rechts unten abfallende Linie und der Arkustangens damit negativ. Dadurch kommt es zu einer Vermehrung des Kurses über 90° hinaus.
Für die untere Zeile gilt dasselbe für die westliche Hemisphäre und folglich mit negativer vOW. Wenn jetzt der Kurs ebenfalls südlich ist, also vNS ist negativ, dann ist der Quotient vNS/vOW positiv. Dadurch ist auch der Arkustangens positiv und wird von 270° subtrahiert.

 

Kopplung der Schläge

Aus den Distanzen di und den Kursen ci der einzelnen Schläge, die mit den Gln. 3 und 4 berechnet wurden soll jetzt eine „distance mad good“ und ein „course mad good“ berechnet werden. Die einzelnen Schläge sind zu diesem Zweck zu koppeln. Das geht im Prinzip genauso wie die Kopplung der beiden durch Strömung und Antrieb entstehenden Geschwindigkeiten. Der einzige Unterschied ist der, dass jetzt beliebig viele Schläge gekoppelt werden müssen. Grafisch geht das ganz einfach, indem jeder neue Schlag an der Spitze des letzten Schlages angesetzt wird. Wir wollen jedoch eine mathematische Lösung und die ist recht einfach.
Zuerst werden aus den Ergebnissen der Gln. 3 und 4 Breitenkomponente und die Längenkomponente eines jeden Schlages berechnet:

(5)   \begin{equation*}\varphi_i=d_i\cdot \cos c_i\end{equation*}

(6)   \begin{equation*}\lambda=d_i\cdot \sin c_i\end{equation*}

Diese Komponenten werden dann getrennt mit jedem neuen Schlag als gesamte Breitenänderung und gesamte Längenänderung aufsummiert und wir erhalten am Ablauf eines jeden Schlages oder auch zu jeder beliebigen Zeit, wenn ein Schlag unterbrochen wird, die Summen bis zum n-ten Schlag:

(7)   \begin{equation*}\Delta\varphi=\sum_{i=1}^n \varphi_i\end{equation*}

(8)   \begin{equation*}\Delta\lambda=\sum_{i=1}^n \lambda_i\end{equation*}

Aus diesen getrennten Summen kann die aktuell erreichte Distanz über Grund, einfach mit dem Satz des Pythagoras errechnet werden:

(9)   \begin{equation*}d=\sqrt{(\Delta \varphi )^2+(\Delta \lambda )^2}\end{equation*}

Die Berechnung des resultierenden Kurses aus allen Schlägen geht dann genauso wie mit der Gl. 4. Dort handelte es sich nur um zwei Geschwindigkeiten und hier kann es die Summe aus vielen Schlägen sein, was prinzipiell keinen Unterschied ausnacht:

(10)   \begin{equation*}c=\left\lbrace\;\,90^\circ-\arctan\frac{\Delta\varphi}{\Delta\lambda}\phantom{11}\text{wenn }\Delta\lambda>0\atop 270^\circ-\arctan\frac{\Delta\varphi}{\Delta\lambda}\phantom{11}\text{wenn }\Delta\lambda<0 \end{equation*}

 

Beispielrechnung

Zum Schluss soll noch ein Beispiel gezeigt werden. Ein Segelboot fährt die im Bild 3 dargestellt Route. Sie besteht aus insgesamt vier Schlägen, wobei der zweite Schlag denselben Kurs verfolgt wie der erste verfolgt, aber mit einer kleineren Geschwindigkeit, weil der Wind dauerhaft schwächer geworden ist.

Bild3: Darstellung der in der Tabelle gezeigten Schläge

Die einzelnen Schläge werden am besten in einer sogenannten Koppeltafel erfasst. Eine solche zeigen die untenstehenden Tabellen mit den gelben und roten Spalten. In den gelben Spalten sind Fahrkurs und Boat Speed eingetragen. Die roten Spalten enthalten Flow und Direction einer Meeresströmung. Alle Spalten ohne farbigen Hintergrund enthalten Zwischenergebnisse von Berechnungen. Die Spalten mit grüner Schrift sind nacheinander von links nach rechts die Ergebnisse der Gln. 1 bis 4 und die Spalten mit roter Schrift die Ergebnisse der Gln. 5 bis 8. Die Ergebnisspalten rechts mit dem blauem Hintergrund enthalten die „distance made good“ und den „course made good“, die mit den Gleichungen 9 und 10 ausgerechnet werden. In den knapp 5 Stunden Fahrzeit machen die 1,5 kn Strömung etwas mehr al 6 nm Unterschied aus, die in diesem Falle sogar gut gemacht werden.

Dead ReckoningTabelle ohne Strömung

i

vA

kn

cA

deg

vC

kn

cC

kn

t

vNSi

kn

vOWi

kn

di

nm

ci

deg

𝜑i

nm

∆𝜑

nm

𝝀i

nm

∆𝝀

nm

d

nm

c

deg

1

8,2

125°

0,0

000°

1:04

-4,7 6,7 125° 8,7 -5,0 -5,0 7,2 7,2 8,7 125°
2

6,0

125°

0

0:38

-3,4 4,9 125° 3,8 -2,2 -7,2 3,1 10,3 12,5 125°
3

7,7

35°

0

1:23

6,3 4,4 35° 10,7 8,7 1,5 6,1 16,4 16,5 85°
4

7,0

120°

0

1:48

-3,5 6,1 120° 12,6 -6,3 -4,8 10,9 27,3 27,7 100°

 

Dead Reckoning Tabelle mit Strömung von 1,5 kn in 135°

i

vA

kn

cA

deg

vC

kn

cC

kn

t

vNSi

kn

vOWi

kn

di

nm

ci

deg

𝜑i

nm

∆𝜑

nm

𝝀i

nm

∆𝝀

nm

d

nm

c

deg

1

8,2

125°

1,5

135°

1:04

-5,8 7,8 127 10,3 -6,1 -6,1 8,3 8,3 10,3 127
2

6,0

125°

1,5 135°

0:38

-4,5 6,0 127 4,7 -2,9 -9,0 3,8 12,1 15,1 127
3

7,7

35°

1,5

135°

1:23

5,2 5,5 46 10,5 7,3 -1,7 7,6 19,7 19,7 95
4

7,0

120°

1,5 135°

1:48

-4,6 7,1 123 15,2 -8,2 -10,0 12,8 32,5 34,0 107

Die Berechnungen leiden also nicht an Armut, sind aber elementar. Die Bezeichnung „Dead Reckoning“ (totale Berechnung) für eine Koppelnavigation ist also gar nicht so falsch. Man navigiert schließlich nur mit den Grunddaten Kompasskurs, Geschwindigkeit und Zeit einer Bootsbewegung unter Berücksichtigung von Strom und Windversatz. Jedes Wegstück, in dem sich auch nur einer der Einflußparameter geändert hat, muss als gesonderter Schlag betrachtet und berechnet werden. Erst die Addition aller dadurch gefundenen Schläge liefert dann den zurückgelegten Weg des Bootes über Grund. Es ist also eine ziemlich umfangreiche (totale) Rechnerei, wenn man analytisch vorgehen will, was heutzutage mittels eines Programms erledigt wird. In früheren Tagen wurde eine Koppelnavigation deshalb immer grafisch ausgeführt, was dann Bilder wie Bild 3 erzeugt.