Die Methode von Marcq Saint Hilaire

Vor 500 Jahren navigierte Fernando de Magallan als erster Seefahrer rund um die Welt

Die Höhenmethode von Saint Hilaire ist seit 1875 bekannt und galt bis zur Einführung der Satellitennavigation weltweit als Standardmethode in der astronomischen Navigation. Danach sollte sie eine Rückfallmethode für den Fall sein, dass Satellitennavigation aus irgend einem Grunde nicht benutzt werden kann.
Es war eine geniale Leistung von Saint Hilaire, einen Weg gefunden zu haben, an die Kreislinie einer Höhengleiche fast genau im Standort eine Tangente zu konstruieren. Von dieser Leistung hat die Seeschifffahrt mehr als ein ganzes Jahrhundert profitieren können. Auf der Grundlage dieser Methode entstanden später sogar Tabellenbücher mit vorausberechneten Daten, so dass eine Standortbestimmung ohne komplizierte Formeln erledigt werden konnte. Nach dieser Tafelmethode haben auch Flugzeuge navigiert.

Ein Nachteil der Sumer  Methode

Die Sumner Methode verbreitete sich in der zweiten Hälfte des 19. Jhd. recht schnell, war sie doch die einzig bekannte Möglichkeit, auf dem Meer ohne Landsicht die eigene Position finden zu können.

Bild 1: Die Kreuzung der Sumnerlinien wird als Standort angenommen. Der wahre Standort ist jedoch die Kreuzung der Höhengleichen.

Die Wahl von zwei ganzzahligen Breiten, zwischen denen der Schiffsort vermutet wird, war ein Kompromiss, der das Rechnen erleichtern und gleichzeitig eine grafische Linienkonstruktion ohne größere Winkelfehler auf der Seekarte ermöglichen sollte. Genau darin lag jedoch ein Nachteil der Methode. Der Abstand zwischen zwei ganzzahligen Breiten ist mit 60 NM recht groß und damit bildeten die Kreisbögen der Höhengleichen keine geringen Erhebungen über den Standlinien. Bild 1 zeigt das in übertriebener Weise. Die Sumnerlinien sind Sekanten an den Höhengleichen. Der wahre Standort ist aber der Schnittpunkt der Höhengleichen und nicht der Schnittpunkt der Sekanten. Die Frage war, wie dieser Fehler vermieden werden kann.

Offenbar wird der Fehler kleiner, wenn die Sekanten näher an die Kreislinie geschoben werden. Das kann dadurch erreicht werden, dass der Abstand zwischen den zu schätzenden Breiten kleiner gewählt wird, beispielsweise nur 6 NM. Dass der Schiffsort dann nicht mehr zwischen den gewählten Breiten liegen würde, wäre nicht mal das Problem, denn die Sumnerlinien können sich auch außerhalb der gewählten Breiten kreuzen. Durch die enger zusammenliegenden Breiten liegen dann aber auch die berechneten Längen sehr dicht zusammen und es wird nicht mehr möglich sein, eine Sumnerlinie im richtigen Winkel durch die Bleistiftpunkte zu ziehen. Die Grenzen grafischer Lösungen sind leider begrenzt durch die Dicke der Bleistiftlinien.

Die im Bild 1 dargestellten Sekanten mit ihren Sehnen \overline{(\lambda_1|35^\circ)(\lambda_3|35^\circ)} und \overline{(\lambda_2|34^\circ)(\lambda_4|35^\circ)}, werden zu Tangenten, wenn sie so weit an die Kreislinie geschoben werden, dass sie diese nur noch in einem Punkt berühren und die Länge der Sehnen dann null ist. Der Radius des Kreises und die Tangente stehen im Berührungspunkt senkrecht zueinander. Eine Sekante steht ebenfalls senkrecht zum Kreisradius, sofern sich beide in der Mitte des Sehnenabschnittes kreuzen. Einen fehlerfreien Standort bekommt man also nur, wenn die sich kreuzenden Standlinien echte Tangenten an den Höhenkreisen sind, denn in dem Fall verlaufen sie beide gleichzeitig durch den Schnittpunkt der Höhenkreise.

Die bessere Standlinie

Wie eine Standlinie als Tangente an den Höhenkreis konstruiert werden kann, soll mit Bild 2 erklärt werden. Darin ist hm(m für measured) die beobachtete Höhe des Höhenkreises der eigenen Position mit dem sphärischen Radius (Entfernung zum Bildpunkt der Sonne) von 90° – hm. Die im Bild dargestellte Konstruktion passt natürlich auf keine normale Seekarte. Die Entfernung zwischen Standort und Sonne wäre viel zu groß um beide Orte gleichzeitig auf einer Karte im üblichen Maßstab darstellen zu können.Der französische Fregattenkapitän Marcq Saint Hilaire fand eine Lösung darin, dass er die zentrale Position der Sonne auf einen nahegelegenen Ort übertrug, der möglichst, aber auch nicht unbedingt, in einer Linie mit der Strecke zwischen Standort und Bildpunkt der Sonne liegt. Diesen Ort bezeichnete er als DR position (Koppelort). Man findet auch andere Bezeichnungen für diesen Ort, so etwa Gissort, Rechenort oder einfach Schätzort. Weil dieser Ort vorzugeben ist, lässt sich aus seiner Breite 𝜑, der beobachteten Höhe hm und der Deklination 𝛿 der Beobachtungszeit, die ein nautisches Jahrbuch liefert, das Azimut z berechnen. Hiernach kann in einer Seekarte der Schätzort z. B. als kleines Kreuz markiert werden. Durch dieses Kreuz wird dann eine Linie im Winkel des berechneten Azimuts als sogenannter Azimutstrahl gezogen.

 

Bild 2 Konstruktion einer Standlinie

Der Rest ist jetzt einfach. Weil die mit dem Sextanten gemessene Entfernung (90° – hm) zwischen Standort und Bildpunkt der Sonne auf dem eingezeichneten Azimutstrahl nicht direkt  angegeben werden kann, hilft folgender Trick. Man berechnet stattdessen die Entfernung zwischen Schätzort und Sonne. Dafür werden die Koordinaten 𝜑 und 𝜆 des Schätzortes sowie die Koordinaten des Bildpunktes zum Beobachtungszeitpunkt benötigt. Die Rechnung liefert die berechnete Höhe hc (c für calculated). Doch daraus folgt mit 90° – hc die genaue Entfernung des Schätzortes von der Sonne.

Damit ist die zentrale Bedeutung des Bildpunktes der Sonne auf den Schätzort übergegangen. Die Stelle, an welcher der Höhenkreis des Standortes den Azimutstrahl schneidet, wo also die Standlinie den Azimutstrahl kreuzt, markiert durch einen sehr langen sphärische Radius des Höhenkreises, ist ersetzt durch einen kurzen Abstand zum Schätzort. Dieser Abstand ist einfach auszurechnen:

\Delta h=(90^\circ-h_c)-(90^\circ-h_m)=\underline{\underline{h_m-h_c}}

Bekanntlich sind ein Grad Höhenänderung gleizusetzen mit 60 NM sphärischer Länge auf der gekrümmten Erdoberfläche. Wird die ausgerechnete Höhendifferenz in Bogenminuten angegeben ist, dann sind es nautische Meilen. Ein Höhenkreis kann jetzt natürlich nicht gezeichnet werden dafür aber eine Standlinie, die nach allem eine Tangente am Höhenkreis ist. Sie scneidet den Azimutstrahl senkrecht im Abstand 𝛥h vom Schätzort. Dabei muss beachtet werden, dass bei einem positiven 𝛥h die Höhe hm des Standortes größer ist als die berechnete Höhe hc des Schätzortes. Dadurch liegt der Standort näher an der Sonne als der Schätzort. Das zeigt Bild 2 links. Ist 𝛥h negativ, weil die vom Schiff aus beobachtete Höhe kleiner ist als die gleichzeitig am Schätzort herrschende Höhe, dann ist der Schiffsort weiter weg vom Bildpunkt und auch vom Schätzort. Das zeigt Bild 2 auf der rechten Seite. Der Erfinder dieser Standlinienkonstruktion Saint Hilaire drückte das Ganze in seiner englischen Publikation in einem einzigen Satz aus:

In summary, to calculate an observation, make the calculation of the altitude and the azimuth of the star for the DR Position and the time of observation, add or subtract the estimated altitude from the observed altitude, consider this difference as a path given by the calculated azimuth and correct the DR Position along this path.

Zur Vermeidung von Abweichungen ist es wichtig, dass der Schätzort möglichst in Linie mit der Strecke Sonnenbildpunkt – Standort liegt. Das gilt besonders dann, wenn die gemessenen Höhen sehr groß sind. Von der Beobachtung großer Höhen über 80° ist sowieso abzuraten. Die Durchmesser der Höhenkreise werden dann sehr klein und ihre Krümmungen groß. Liegt dann der Schätzort nicht mehr gut in der Linie Standort – Bildpunkt, bekommt eine Abweichung des Winkels von 𝛥h vom Azimut ein zu großes Gewicht. Die Hilaire Methode ist auch als Intercept Methode bekannt (intercept = abschneiden), weil das Gebiet zwischen dem weit entfernt liegenden Bildpunkt und dem Schätzort, alternativ der Standlinie, einfach abgetrennt wird.

Eine Standlinie ist natürlich kein Standort. Diesen erhält man erst mit einer zweiten Standlinie, die aus einem zweiten Sonnenstand hervorgehen muss. Der Standort ist der Punkt, an dem sich die beiden Standlinien kreuzen und muss, da es sich um eine grafische Methode handelt, aus der Gesamtzeichnung mit Hilfe von Zirkel und Lineal herausgemessen werden.

 

Beispielrechnung

Die Anwendung der Methode lässt sich am besten an Hand eines Beispiels zeigen. Bei einer Fahrt im westlichen Mittelmeer am 29. April 2020 wurde um 10:41:12 UTC die Sonne beobachtet. Auf dem Sextanten wird dabei eine Höhe von 61° 32,8′ abgelesen. Nach einer Korrektur dieses Wertes, der sogenannten Sextantenbeschickung, die mittels der in einem Nautischen Jahrbuch angegebenen Gesamt- und Zusatz Beschickungstabellen erfolgt und einer Berücksichtigung des Indexfehlers wird eine beobachtete Höhe von hm1 = 61° 44,33′ = 61,74° ermittelt.

Als nächstes müssen wir einen Schätzort festlegen. In den ersten Jahrzehnten nach Bekanntwerden der Hilaire Methode wurde dafür immer der Koppelort verwendet. Später ging man dazu über, möglichst ganzzahlige Kreuzungen von Längen- und Breitengraden zu wählen. Hier definieren wir einfach einen uns bekannten Ort in der Nähe mit den Koordinaten 38° 30’ N 001° 00’ E. Für die Beobachtungszeit wird jetzt die Position des Bildpunktes der Sonne, bestehend aus dem Greenwicher Stundenwinkel Grt und der Deklination ∂ aus dem Nautischen Jahrbuch herausgelesen. Dazu müssen wir die auf der entsprechenden Datumsseite des Jahrbuches gefundenen Stundenwerte mit den Zuschlagwerten für die Sekunden und Minuten, dem sog. Zuwachs addieren. Die Zuwachswerte findet man in den Schalttafeln im hinteren Teil des Buches. Für die Deklination reicht eine minutengenaue Angabe aus. Wir fassen alles in folgender Tabelle zusammen:


Mit der Bildpunktposition, dem Koppelort und dem Nordpol haben wir jetzt ein genau definiertes nautisches Dreieck, auf der Erdoberfläche, an dem wir die notwendigen Berechnungen durchführen können.

Mit der Bildpunktposition, dem Schätzort und dem Nordpol haben wir jetzt ein genau definiertes nautisches Dreieck, auf der Erdoberfläche, an dem wir die erforderlichen Berechnungen durchführen können.

Standlinie 1 nach erster Beobachtung

Zu berechnen sind zunächst Höhe und Azimut des Schätzortes zum Beobachtungszeitpunkt. Wie das geht, wird am Ende des Beitrags die Sonne am Himmel gezeigt, so dass hier nur noch die Gleichungen angegeben werden. Mit \lambdaSO und \varphiSO, der Position des Schätzortes, errechnen wir die Höhe der Sonne, wie sie ein Beobachter zur selben Beobachtungszeit von dort aus aus sehen würde. Die dazu benutzte Gleichung lautet:

(1)   \begin{equation*}h_{c1}=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta_1+\cos \varphi\cdot \cos \delta_1\cdot \cos t_1)\end{equation*}

Hierin ist t der Ortsstundenwinkel (auch LHA = Local Hour Angel). Es ist ein Stundenwinkel wie der Greenwich Stundenwinkel Grt aus dem nautischen Jahrbuch. Der Unterschied besteht nur darin, dass er nicht vom Ort Greenwich aus zählt. Er zählt von einem benannten Ort aus, hier ist es der Schätzort und er zählt ebenfalls in westliche Richtung bis zum Meridian des Bildpunktes der Sonne. Dieser Ortsstundenwinkel wird dadurch berechnet, dass Grt und Schätzortlänge vorzeichenrichtig addiert werden. Westlängen sind bekanntlich negativ. Ist das Ergebnis größer als 360° dann werden 360° subtrahiert. Ist das Ergebnis negativ, dann werden 360° addiert. Bei Benutzung in einer Kosinusfunktion wie in der vorstehenden Gleichung können die Operationen mit den 360° weggelassen werden. Die Kosinusfunktion ist symmetrisch und periodisch und hat alle 360° sowieso immer wieder denselben Wert. Wenn wir alle bis jetzt vorhandenen Werte einsetzen, dann erhalten wir als Höhe für den Koppelort 61° 21,55’. Daraus ergibt sich jetzt die Differenz zwischen der vom Schiff aus beobachteten Höhe hm und der für den Schätzort berechneten Höhe hc. Wir erhalten:

(2)   \begin{equation*}\Delta h_1=h_{c1}-h_{m1}=61^\circ\,21,55'-61^\circ\,44,33'=\underline{\underline{-22,78 NM}}\end{equation*}

Als nächstes brauchen wir das Azimut z der ersten Beobachtung und das bekommen wir am einfachsten aus:


(3)   \begin{equation*}z_1^\ast=\arccos \frac{\sin \delta_1 -\sin \varphi\cdot \sin h_c_1}{\cos \varphi\cdot \cos h_c_1}}}\end{equation*}

Das Azimut ist gleich einem Kurs auf den Bildpunkt der Sonne und somit als rechtsdrehender Winkel gegenüber dem nach Norden weisenden Teil des Schätzort Meridians. Am Schiffsmittag passiert die Sonne diesen Meridian des Schätzortes im Süden und das Azimut beträgt dann logischerweise 180°. Die Sonne wandert weiter in Richtung Westen und das Azimut steigt dabei bis auf 360° an. Am Schiffsmittag ist der Ortsstundenwinkel t gleich null, weil Standortmeridian  und Bildpunktmeridian identisch sind.

Der Arcus Kosinus in der Gl. 3 kann nur Ergebnisse liefern, die zwischen 0° und 180° bzw. 0 und \pi liegen. Damit wird t bis zum Schiffsmittag von Gl. 3 richtig berechnet. Vom Schiffsmittang an liefert Gl. 3 für die darauffolgenden 12 Stunden Winkel, die von 180° bzw. \pi ausgehend bis auf null abnehmen. Da das Azimut jedoch weiter bis auf 360° zunimmt, ergibt sich die folgende Rechenregel zur Bestimmung des Azimuts:

  • z{t > 180°} = z* (vormittags)
  • z{t < 180°} = 360° – z* (nachmittags)

Das Zeitazimut

Anstelle dieses sogenannten Höhenazimuts, weil zu seiner Berechnung die beobachtete Höhe benutzt wird, kommt bei Benutzung dieser Methode oft auch das sogenannte Zeitazimut zur Anwendung. Die Gründe dafür sind nicht unbedingt nachvollziehbar. Warum sollte eine kleine Ungenauigkeit des Höhenazimuts gegenüber dem Zeitazimut eine Rolle spielen, wenn allein die Schätzung des Koppelortes schon das größte Fehlerpotential in sich birgt. Außerdem machen Berechnungsfehler sowieso nur einen vernachlässigbar geringen Anteil in der Standortgenauigkeit aus.
Wir wollen dieses Zeitazimut in diesem Beispiel auch nicht weiter bevorzugen, obwohl es vielfach zum Standard bei Hilaire zählte. Die einzelnen Schritte der Herleitung der Formel für das Zeitazimut sollen auch nicht angegeben werden, nur die Formel selbst und auch die nur zur Information. Sie lautet:


(4)   \begin{equation*}z^\ast=\arctan\frac{\sin t_1}{\sin \varphi\cdot\cos t_1-\tan \delta_1\cdot\cos \varphi}\end{equation*}

Da die Arkustangens Funktion nur Werte zwischen 0° und 90° liefern kann, sind hier gleich vier Bedingungen zu beachten, um ein vollkreisiges Azimut zu erhalten. Allgemein gilt dann:

(5)   \begin{equation*} z= wenn\; t<,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; z^\ast<0\;\; dann; z^\ast+360^o}\atop {wenn\; z^\ast>0\;\; dann; z^\ast+180^o} \right \end{equation*}

und

(6)   \begin{equation*} z= wenn\; t>,180^o\;und\;\left \lbrace {wenn\; z^\ast<0\;\; dann; z^\ast+180^o}\atop {wenn\; z^\ast>0\;\; dann;z^\ast} \right \end{equation*}



Konstruktion der ersten Standlinie

Das Azimut, ganz gleich nach welcher Methode es berechnet wurde und die ermittelte Höhendifferenz ermöglichen jetzt die Konstruktion der Standlinie aus der ersten Beobachtung. Die folgende Tabelle fasst die ermittelten Werte noch einmal zusammen.

 

Die Konstruktion der Standlinie erfolgt entweder direkt auf der Seekarte oder auf einer sogenannten Leerkarte. Bild 3 zeigt das Ergebnis für die erste Standlinie. Man beginnt mit der Markierung des Schätzortes als kleines Kreuz oder Punkt. Hier ist es ein kleiner mit SO bezeichneter Kreis. Die Koordinaten dazu stehen in der ersten Tabelle, die etwas weiter oben gezeigt wurde. Durch diesen Schätzort wird jetzt der Azimutstrahl im Winkel des Azimuts von 141,35° gezogen.

Bild 3: Konstruktion einer Standlinie nach Saint Hilaire nach einer ersten Beobachtung.

Ist das erfolgt, dann wird das ausgerechnete Intercept von -22,78’ auf den Zirkel genommen und vom Schätzort ausgehend in Richtung des Bildpunktes auf dem Azimutstrahl abgetragen. Den Zirkelradius stellen wir an einem Lineal ein. Wenn der Massstab 2 mm pro Winkelminute ist, dann nehmen wir eine Zirkelspanne von 45,5 mm auf. Das negative Intercept verkürzt die Azimutlinie zwischen Bildpunkt und Schätzort. Am Ende der abgetragenen Strecke wird eine Gerade senkrecht durch den Azimutstrahl gezeichnet. Diese Gerade ist die Standlinie SL1.
Um Schätzort, Azimutstrahl, Höhendifferenz und Standlinie einzeichnen zu können, eignen sich Leerkarten am besten. Die müssen extra für die jeweilige Breite, auf der man segelt, angefertigt werden. Darauf sind dann Abstände zwischen den Längengraden in der richtigen Weise festgelegt und man kann die Längenachse auch beschriften. In diesem Beispiel befindet sich unser Gebiet auf 38° nördlicher Breite. Die Entfernung zwischen zwei ganzgradigen Längen beträgt dort nur 0,788 mal der Entfernung zwischen zwei ganzgradigen Breiten. Die Zahl 0,788 ist der Kosinus von 38°. 

Es geht aber auch mit Millimeterpapier. Wird das benutzt, dann darf die horizontale Längenachse nicht beschriftet werden. In den Bildern 3 bis 5 werden Leerkarten benutzt, die man sich leicht selbst herstellen kann. In den Bildern 3 bis 5 beträgt der Abstand zwischen den horizontzalen Linien 10′ bzw. 10 NM.

Versegelung

Zwischen den Beobachtungen findet normalerweise eine Ortsveränderung statt. Der Standort wird “versegelt” und weil man überhaupt nicht weiß, welcher Punkt auf der Standlinie 1 letztlich der Standort ist, muss die gesamte Standlinie versegelt werden. Versegelungen werden zu genau dem Zeitpunkt einer zweiten Beobachtung berücksichtigt. Im Beispiel soll eine Koppelnavigation (Dead Reckoning) in der Zeit zwischen den Beobachtungen eine mittlere Distanz von d = 19 NM auf einem mittleren Kurs von c = 23° ergeben haben.

Bild 4: Die Standlinie 1 wird versegelt.

Daraus kann jetzt ein Versegelungsvektor gebildet werden. Das ist der blaue mit VS bezeichnete Pfeil im Bild 4. Dieser Pfeil startet an einem beliebigen Punkt der Standlinie 1. Anschließend wird die Standlinie 1 so weit parallel verschoben, dass sie durch die Pfeilspitze verläuft. Das Ergebnis ist die versegelte Standlinie 1. Die ursprüngliche Standlinie aus der ersten Beobachtung ist im Bild noch gestrichelt dargestellt.



Es geht aber auch einfacher, indem die Versegelung über eine Höhenanpassung berücksichtigt wird. Diese Berechnungsart ist zudem noch etwas präziser. Doch das nur mathematisch, was praktisch überhaupt nicht ins Gewicht fällt. Der größte Fehler in der Berücksichtigung von Versegelungen kommt durch eine ungenaue Kopplung zustande. Die Höhenänderung kann ganz einfach mit Hilfe einer Formel nach Douwes ausgerechnet werden, die in Verbindung mit der Gauß Methode ebenfalls angewendet wurde. Diese Formel für eine Höhenkorrektur hK lautet in der Anwendung mit den Zahlen:

(7)   \begin{equation*}\Delta h_K=\frac{d}{60}\cos (z_1-c)=0,31667^\circ\cdot\,\cos (141,35^\circ-23^\circ)=-0,15035^\circ=\underline{\underline{-9,021'}}\end{equation*}

Damit die Masseinheiten einheitlich Grad sind, wurde die versegelte Distanz d von nautischen Meilen in Grad umgerechnet, indem sie durch 60 dividiert wird. Das Ganze auszurechnen dauert nur ein paar Sekunden. Gebraucht wird dazu das Azimut aus der ersten Beobachtung, das bereits vorliegt. Die ausgerechnete Höhenkorrektur hK durch Versegelung in diesem Beispiel ist negativ. Man muss diese Korrektur von der Höhendifferenz \Delta h_1 abziehen und erhält die korrigierte Höhendifferenz \Delta h_{1S}:

(8)   \begin{equation*}\Delta h_{1S}=\Delta h_1-h_K=-22,778\,NM- (-9,021\,NM)=\underline{\underline{-13,76\,NM}}\end{equation*}

Wenn wir nach dieser rechnerischen Variante vorgehen, dann zeichnen wir die Standlinie im Bild 3 gleich mit der versegelten Höhendifferenz \Delta h_{1S}. Die Parallelverschiebung, wie sie im Bild 4 gezeigt wird entfällt und wir können sofort mit dem Zeichnen der Standlinie aus der zweiten Beobachtung fortfahren.

Standlinie 2 nach zweiter Beobachtung

Die erste Standlinie ist versegelt und die Daten aus der zweiten Beobachtung liegen vor. Die zweite Beobachtung der Sonne erfolgte am gleichen Tag um 14:31:33 UTC. Am Sextant wurde dabei ein Winkel von 47° 27,23′ abgelesen, der zu berichtigen ist. Wir erhalten eine beobachtete Höhe von 47° 38,40′ bzw. 47,64° als Dezimalwert.
Für Datum und Uhrzeit der Beobachtung liefert das Nautische Jahrbuch Deklination und Greenwichwinkel. Aus Grt2 und der Schätzortlänge wird der Ortsstundenwinkel t2 berechnet. Dazu werden wie üblich Grt2 und Schätzortlänge addiert. Weil t in einer Kosinusfunktion verwendet wird, kann man sich die Beseitigung von Überträgen durch Addition oder Subtraktion mit 360° wieder schenken. Die für den Schätzort berechnete Höhe bekommen wir mit folgender Gleichung:


(9)   \begin{equation*}h_{c2}=\arcsin(\sin \varphi\cdot \sin \delta_2+\cos \varphi\cdot \cos \delta_2\cdot\cos t_2)\end{equation*}

Nach Einsetzen der Zahlen berechnet sich die Höhe am Schätzort mit 47° 52,92’. Damit kann jetzt auch die zweite Höhendifferenz \Delta h_2 berechnet werden und wir erhalten:


(10)   \begin{equation*}\Delta h_2=h_{C2}-h_{m2}=47^\circ\,52,92'-47^\circ\,38,40'=\underline{\underline{14,52\, NM}}\end{equation*}

Das Azimut wird auch hier als Höhenazimut bestimmt:


(11)   \begin{equation*}z^\ast_2=\arccos \frac{\sin \delta_2 -\sin \varphi\cdot \sin h_2}{\cos \varphi\cdot \cos h_2}\end{equation*}

Nach Einsetzen aller Werte erhälten wir das berechnete Azimut z* mit 113,29°. Da die Messung am Schiffsnachmittag stattgefunden hat, die Sonne hat den Standort bereits überholt und die Richtung der Beobachtung war damit die westliche Hemisphäre, muss dieser errechnete Wert von 360° abgezogen werden und wir erhalten ein Azimut von z2 = 246,71°. In der nachstehenden Tabelle sind die Daten zusammengefasst:

Damit kann jetzt die Zeichnung vervollständigt werden. Zuerst wird wieder rechtweisend Nord, durch den markierten Schätzort hindurch, der Azimutstrahl im Winkel von 246,7°, eingezeichnet. Danach werden 29 mm auf den Zirkel genommen, was 14,52 NM entspricht. Diese positive Höhendifferenz \Delta h_2 führt zu einer Verlängerung des Azimutstrahls über den Schätzort hinaus. Sie wird vom Schätzort ausgehend und vom Bildpunkt wegführend abgetragen. An der mit der Zirkelspanne markierten Stelle wird nun im rechten Winkel zum Azimutstrahl die zweite Standlinie SL2eingezeichnet. Beide Standlinien, SL1V und SL2, schneiden sich jetzt im Standort, an der Position P.

Bild 5: Der Standort muss aus dem Schnittpunkt von versegelter Standlinie 1 und Standlinie 2 herausgelesen werden.

Die Methode nach Hilaire ist eine grafische Methode und der Standort muss aus der Zeichnung herausgelesen bzw. herausgemessen werden. Es kommt also darauf an, dass sehr präzise und mit dünnen Linien gezeichnet wird. Zum Herausmessen werden Abschnitte zu ganzgradigen oder nächstgelegenen Gitterlinien gewählt.


Wir bekommen als senkrechten Abstand zwischen 38,0° und Standort eine Länge von 52,5 mm in den Zirkel. Der horizontale Maßstab von 10’/20 mm liefert dafür einen Zuschlag von 26,25′ auf 38° und damit eine Standortbreite von 38° 26,25′.

In der Länge messen wir eine Zirkelspanne von 34,8 mm Abstand als Zuschlag zur Länge von 1°. Der vertikale Maßstab auf 38° Breite beträgt 10’/15,76 mm (20 mm • cos 38° = 15,76 mm). Mit der Zirkelweite von 34,8 mm multipliziert ergeben sich daraus 22,08′ und damit eine Standortlänge von 1° 22,08′. Unsere Schiffsposition P lautet also  

38° 26,25’ N / 001° 22,08’ E.

Zum Vergleich erhalten wir nach der Gauß Methode einen Standort von

38° 26,40’ N / 001° 22,17’ E

Die Gauß-Methode kann als Referenzmethode gelten, da sie mit der Erde als ideale Kugel genau rechnet. Im Verleich liegt dann der Gauß-Standort 278 m nördlicher und 167 m östlicher. Das ist kein großer Unterschied und beruht nur auf der Rechenmethode. Abweichungen vom wahren Standort sind etwas völlig anderes, weil ihre Ursachen unvermeidbare Fehler bei der Messung von Zeit, Höhe und Vertsegelung sind.

Schlussfolgerung

Das alles und noch viel mehr wird in einem Lehrgang über astronomische Navigation vermittelt. Es ist keine höhere Mathematik, aber ein dickes Paket von Anweisungen und Rechenvorschriften. Die Werkzeugkiste, die zu dem Ganzen gebraucht wird enthält

  • einen Sextanten,
  • eine Stoppuhr,
  • eine Quarzuhr als Chronometer für die UTC,
  • ein Nautisches Jahrbuch,
  • einen möglichst programmierbaren Taschenrechner,
  • Papierseekarten,
  • Leerkarten oder Millimeterpapier und
  • Zirkel, Lineal, Winkelmesser oder Kursdreieck.

Ohne Übung oder besser Routine kann niemand auf diese Methode zurückgreifen, wenn das mal nötig sein sollte. Als Rückfallmethode für jeden Fahrtensegler, wie das mal angedacht war, ist sie deshalb vollkommen ungeeignet. Auch für den Hobbynavigator, der gern klassisch mit dem Sextanten unterwegs ist, dürfte diese Art der Standortermittlung eine Herausforderung sein. Sie passt einfach nicht mehr in unsere Zeit. Die vielen hundert Euro, die so mancher Leergang auch heute noch kostet, kann man sich sparen. In der Segelliteratur oder im Internet findet man unter dem Begriff Astronavigation auch immer nur diese Methode. Sie scheint ein Synonym für Astronavigation geworden zu sein. 

Als Rückfallmethode wird Astronavigation erhalten bleiben, jedoch nur unter der Bedingung, dass Rechnen, Zeichnen und Herumsuchen in Tabellen entfallen und auch keinerlei mathematische oder astronomische Kenntnisse erforderlich sind. Außerdem darf ein derartiges Backup nicht viel kosten. Ob man ein Navigations Backup tatsächlich braucht, darüber kann man streiten. Doch jedem sollte klar sein, dass kein System absolut sicher ist und Ausnahmesituationen nicht unmöglich sind.

Verwendung in einem Navigationsprogramm

Die Umsetzung der Hilaire Methode in einem Computerprogramm oder einer App ist immer noch sehr verbreitet. Wer die Entwicklung eines Navigationsprogramms plant, sollte allerdings nicht mehr auf diese grafische Methode zurückgreifen. Die Hilaire Methode wurde aus der Not heraus geboren, weil es damals keine Computer gab. Sie ist recht komplex und arbeitet mit Standlinien. Man braucht einen geschätzten Standort als Starthilfe. Höhen, über 70° führen bereits zu größeren Abweichungen und das Ergebnis ist nicht etwa der Standort, sondern ein Ort, der ein besserer Schätzort gewesen wäre. Diese Methode, obwohl sie vor drei Jahrzehnten weltweit die Standard-Navigationsmethode auf den Weltmeeren war, gehört endlich ins Museum. 

Viel besser geeignet sind analytische Methoden, die sie sich nicht nur einfacher programmieren lassen. Die Gauß Methode und die Berechnung des Standortes über die Polardreiecke rechnen nicht nur genauer, sondern vermeiden auch Fehler, wenn große Höhen beobachtet werden müssen. Dabei sind sie sogar wegen der vernachlässigbaren Refraktion besonders rechengenau. Ein großer Vorteil ist auch dadurch gegeben, dass kein Schätzort benötigt wird.

 

 

Navigieren mit Tafeln

Nicht zuletzt durch die aufkommende Fliegerei entstand die Notwendigkeit, den Rechenaufwand und damit die Rechenzeit mit den umständlichen Logarithmen zu reduzieren. So entstanden neben anderen die legendären Pub. No. 249 oder kurz HO 249. Diese gibt es in drei Bänden, jeweils in der Größe eines Telefonbuches. Der erste Band umfasst die Fixsterne. Die Bände 2 und 3 decken jeweils die  Breitenbereiche von 0° bis 40° bzw. von 39° bis 85° ab. Band 1 ist nicht mehr gültig, denn seit seiner letzten Ausgabe haben sich die Positionen der Fixsterne verändert. Die Bände 2 und 3 gelten immerwährend. Zur Navigation wird außerdem das Nautische Jahrbuch benötigt. Die Bücher werden nicht mehr verlegt, können aber aus dem Netz heruntergeladen werden.

Diese Methode ist die einzig Verwendbare, die ohne elektronische Hilfmittel mit vertretbarem Aufwand zu einem Ergebnis führt. Nachfolgend wird nur eine kurze Einführung gegeben, um das Prinzip aufzuzeigen. Wer sich entschließt tiefer einzusteigen der sei auf die zahlreiche Literatur darüber verwiesen. Verständlich geschrieben ist ein Buch von Bobby Schenk mit dem Titel “Astronavigation ohne Formeln-praxisnah“.

Grundlage des Navigierens mit Tafeln ist die Methode von Hilaire. Dreh- und Angelpunkt dieser Methode sind bekanntlich Höhe und Azimut am Koppelort. Sobald diese Größen bekannt sind, ist es einfach, den Schiffsstandort grafisch zu ermitteln. Wenn es also gelingt, Höhe und Azimut für jeden beliebigen Ort auf der Erde in einer Tabelle unterzubringen, dann muss nicht mehr gerechnet werden.

Leider ist es nicht möglich, im Abstand von Zehntelminuten alle möglichen Koppelorte auf der Welt in einer Tabelle unterzubringen. Der Umfang wäre riesig. So ist man auf ganzgradige Größen ausgewichen. Die Präzision ist dann zwar nicht übermäßig aber immehin noch gut brauchbar. Gegenüber der original Hilaire Methode mussten einige Begriffe auf die Verwendung mit den Tafeln angepasst werden.

Koppelortbreite φ: Beim Koppelort handelt es sich um eine bloße Vermutung. Damit ist auch die darin enthaltene gegisste Breite φ nur eine Annahme der tatsächlichen Schiffsbreite. Der geschätzte Wert wird deshalb auf den nächstgrößeren oder nächstkleineren ganzzahligen Breitengrad gerundet und mit LAT bezeichnet.

Ortsstundenwinkel t: Der Ortsstundenwinkel ist ebenfalls nur eine Vermutung. Er wird so abgeändert, dass sich ein ganzgradiger Ortsstundenwinkel ergibt. Dieser wird dann mit LHA bezeichnet. Dabei muss der LHA so gewählt werden, dass er möglicht nahe am ursprünglichen Koppelort liegt.

Deklination δ: Die Deklination wird auf den nächsten ganzzahligen Breitengrad gerundet und dann als DEKLINATION bezeichnet.

Koppelort KO: Durch die letztendlich nur möglichen ganzgradigen Werte von LAT und LHA wird der ursprüngliche Koppelort obsolet. Er beruht ohnehin nur auf einer Vermutung. An seine Stelle tritt ein Rechenort, von dem aus die Standlinienkonstruktion erfolgen wird.

4.1 Beispiel

An einem Beispiel soll jetzt mit zwei Standlinien ein Standort konstruiert werden. Dabei gehen wir klassisch zu Fuß vor.  Es ist der 29. April 2019 und der Unterrand der Sonne konnte um 9:42:20 UT1 mit einer Sextantenablesung von 54° 39,8′ gemessen werden. Die Augeshöhe betrug dabei 2,5 m. Wir koppeln unseren Standort an unseren letzten bekannten Standort und schätzen den Koppelort mit 38°46,50′ N und 004°47,00′ E.

Die Sextantenablesung muss beschickt werden. Dafür gibt es im NJ eine Beschickungstabelle. Die Zusatzbeschickung für den Monat April ist 0′.

Als beobachtete Höhe erhalten wir schließlich 56°23,9′. Im Weiteren muss für die Zeit der Höhenfeststellung der Bildpunktwinkel Grt aus dem Nautischen Jahrbuch herausgelesen werden. Auf der Tagesseite des 29. April lesen wir für 9:00 UT1 Grt = 315°38,7′. Die Schalttafel für 55 Minuten liefert bei 51 Sekunden einen Zusatz von 13°57,8′ Dieser wird dazu addiert und wir erhalten den Greenwichwinkel, die Bildpunktlänge des Koppelortes, mit Grt = 329°36,5′.

Wir befinden uns jetzt an der vermeintlich heikelsten Stelle der Navigation mit der Ho 249. Es muss eine Rechenortlänge gefunden werden, die mit dem Grt einen optimalen ganzzahligen LHA ergibt. Das geht in drei Schritten. Zuerst wird der Stundenwinkel t des Koppelortes ausgerechnet. Bekanntlich wird dazu vorzeichenrichtig die Koppelortlänge mit dem Greenwichwinkel addiert. Wir müssen addieren und erhalten:

    \begin{equation*}t=Grt + \lambda_K_O = 329^\circ 36,5'+004^\circ 47' =334^\circ 23,5'\end{equation}

Im zweiten Schritt wird das Ergebnis ganzgradig auf- oder abgerundet:

    \begin{equation*}LHA=\text{runden}\lbrace334^\circ 23,5'\rbrace = 334^\circ 00,0'}\end{equation}

Jetzt wird der Rechenort bestimmt. Dazu wird aus dem gerade gewonnenen ganzgradigen LHA der Grt entfernt. Als Ergebnis verbleibt ein Ho 249-gerechter Rechenort:

    \begin{equation*}\lambda_R_O = LHA-Grt = 334^\circ 00,0' - 329^\circ 36,5' = 004^\circ 23,5'\end{equation}

Bei westlichen Schiffslängen wird der Rechenort nicht als LHA – Grt berechnet, sondern als Grt – LHA. Wir fassen zusammen:

Jetzt kommen wir zur Deklination δ. Diese ist weit weniger zeitkritisch als die Stundenwinkel. Das NJ liefert für 9:00 UT1 eine Deklination von δ = 14°25,3′ N. Für die noch fehlenden 55 Minuten muss eine Verbesserung Vb berücksichtigt werden. Die Sekunden spielen bei der Deklination keine Rolle.

Unterhalb der Deklinationsspalte finden wir den Wert Unt mit 0,8′. Darunter versteht man die Änderung der Deklination pro Stunde. Wir sehen, dass um 10:00 UT1 der Deklinationswert 14°26,1′ beträgt und somit um 0,8′ angestiegen ist. Für Unt wird kein Vorzeichen angegeben. Das muss jeder selbst daran erkennen, ob der Wert nach unten in der Spalte steigt oder fällt. In unserem Falle ist es aber positiv, weil die Sonne in Richtung Norden unterwegs ist. In der Schalttafel für 55 min findet man für Unt = 0,8 keinen Vb Wert, auch nicht in der 56 min Spalte. Wir einigen uns deshalb auf Vb = 0,5. Die abgetrennten Minutenangaben in der Breite werden später als Höhenzugabe berücksichtigt.

Jetzt sind alle Vorbereitungen soweit abgeschlossen, dass man in die Tafel gehen kann Wir brauchen dazu die folgenden drei Eingangswerte:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 334
Seite 2 der Pub. No. 249

Noch ein Hinweis zu der Ho 249. Dort gibt es die Seiten SAME und CONTRARY. Wenn Breite und DECLINATION auf derselben Halbkugel der Erde liegen, dann sind die Seiten mit der Bezeichnung SAME zuständig. In unserem Beispiel ist das der Fall, denn Deklination und Breite sind beides nördliche Breiten. Im Band 3 suchen wir die Seiten für LAT 39° und dort nach DECLINATION (0° – 14°) SAME. Am linken oder rechten Rand muss in der Spalte LHA die Zahl 334 zu finden sein. Unser Beispiel ist gut gewählt und wir finden die richtige Seite gleich nach dem Deckblatt auf Seite 2.

LHA = 334 steht in der Spalte auf der rechten Seite. Wir gehen von dort in die Deklinationsspalte für 14°, die gleich links daneben zu finden ist und lesen die drei Werte aus:

Hc = 56°06′, d = 47 und Z = 130°

Links oberhalb und unterhalb der Tabelle sind Regeln zur Fallunterscheidung des Azimuts Z angegeben. Wir finden links oben N. LAT. {L.H.A greater then 180° ….. Zn = Z. Wir sind auf nördlicher Breite und der LHA ist größer als 180°. Damit ist das ausgelesene Z das richtige Azimut.

Als nächstes müssen wir die abgeschnittenen Minutenanteile der Deklination berücksichtigen. Dafür gibt es auf Seite 344 der Ho 249 die “TABLE 5. — Correction to Tabulated Altitude for Minutes of Declination”. Mit dem in dieser TABLE 5 gelisteten Wert wird Hc korrigiert. Dazu gehen wir in der oberen Reihe auf den ausgelesenen Wert d = 47 und lesen in der Zeile der abgeschnittenen Minutenanteile, es waren 25,8′ und gerundet 26′, den Wert 20′. Sollte das ausgelesene d negativ sein dann muss auch der aus Tabelle 5 entnommene Wert ein negatives Vorzeichen erhalten. Dieser Wert wird wird zur ausgelesenen Höhe Hc addiert und ergibt die korrigierte berechnete Höhe. Aus 56°06′ + 20′ erhalten wir eine Höhe von Hc = 56°26′.

Jetzt kann die Standlinie genau so konstruiert werden, wie das im Bild 3 gezeigt wurde, denn wir haben neben dem Rechenort:

  • Hc = 56°26,0′ (aus Tafel berechnete Höhe)
  • Hm= 56°23,9′ (mit Sextant gemessene Höhe)
  • ΔH = Hc – Hm = -2,1′ (Intercept in min bzw. nm)
  • Z = 130° (Azimut)

Die berechnete Höhe ist um 2,1′ größer als die gemessene Höhe. Der eigene Standort ist also weiter weg. Das ist für die nachfolgende grafischen Konstruktion sehr wichtig zu beachten. Die Differenz aus gemessener und berechneter Höhe von 2,1′ sind 2,1 nautische Meilen, die der Rechenort in Richtung des Azimutstrahls dichter am Bildpunkt der Sonne liegt. Das Resultat zeigt Bild 19 auf der linken Seite.

Ein Standort ergibt sich erst aus dem Schnittpunkt zweier Standlinien. Wir nehmen mal an, dass zwischen den zwei Sonnenschüssen nicht gesegelt wurde. Um 12:55:33 wird der Kimmabstand der Sonne zum zweiten Mal gemessen. Die folgende Tabelle fasst die in der gleichen Weise berechneten Werte zusammen.

Damit haben wir wieder alle Werte zusammen, mit denen man dann in die Tafel gehen kann:

  • LAT = 39°N
  • DECLINATION = 14°N
  • LHA = 19°

Dort lesen wir aus: Hc = 59°55′, d = 51, Z = 141. Der LHA ist kleiner als 180°, daraus folgt für das Azimut Z = 360° – 139° = 221°. TABLE 5 liefert mit d = 51 für die weggelassenen 28′ der Deklination einen Korrekturwert von 24′ zur Erhöhung von Hc. Wir haben jetzt:

  • Hc = 60°19′ (berechnete Höhe)
  • Hm= 60°37′ (gemessene Höhe)
  • ΔH = 18′ (Intercept in nm)
  • Z = 221° (Azimut)

Mit diesen Werten kann jetzt eine zweite Standlinie konstruiert werden. Der Standort ist der Schnittpunkt der beiden Standlinien. Als zweite Standlinie kann auch einfach die Mittagsbreite benutzt werden. Dadurch erspart man sich die Tafel. Wenn zwischen den zwei Kimmabstandsmessungen gesegelt wird, dann muss die erste Standlinie parallel um den versegelten Schlag verschoben werden. Ein nachfolgender grafischer Konstruktionsaufwand, wie im Bild 6 gezeigt, ist bei der Verwendung der Pub. Ho. 249 also zwingend.

Bild 6: Standlinienkonstruktion nach der Pub. Ho. 249 Methode; links die erste Standlinie nach der ersten Kimmabstabdsmessung und rechts nach Fertigstellung. Die Intercepte betragen 2,1 nm und 18 nm. Die blauen Markierungen kennzeichnen den Koppelort und den tatsächlichen Standort.

Im Bild sind RO1 und RO2 die beiden aus dem Koppelort erzeugten Rechenorte. Die Differenz zwischen dem ermittelten Standort und dem Standort, der sich nach den Eingaben aller Messdaten optimal errechnet beträgt etwa 1,7 nm.

Damit die Winkel der Azimute so wie berechnet eingezeichnet werden können, ist es erforderlich die Skalierung der Längengrade anzupassen. Der Abstand zwischen zwei ganzgradigen Längengraden ist das Produkt aus dem Abstand zwischen zwei ganzgradigen Breitengraden und dem Kosinus des Breitengrades LAT.

Schon früh kam man auf die Idee, die Azimute für möglichst viele Orte zu tabellieren. So entstanden in den frühen Jahren des 20 Jhd. die HO 120 und die HO 171. Die HO 249 wurden speziell für die Bombenflugzeuge im 2. Weltkrieg geschaffen. Es gab darüber hinaus auch spezielle Tafeln für die Seefahrt. Die Tafelmethode war in der Blauwasserszene recht verbreitet, weil darin keine Formeln mit den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus zur Anwendung kamen. Tafelmethoden werden heute nicht mehr benutzt.

 

 

Anfertigen von Leerkarten

Für beide Methoden, ob nach Hilaire klassisch oder mit Tafeln navigiert wird, sind Leerkarten hilfreich. Das schont die richtigen Seekarten, vor dem ständigen ausradieren der vielen Bleistiftlinien. 
Ihre Konstruktion ist einfach und im Bild 7 dargestellt. Bei der Konstruktionsart links zeichnet man zuerst die Achsen eines Koordinatensystems, wobei die senkrechte Achse rechts oder links angeordnet sein kann. Danach werden die Breiten eingezeichnet. Dabei startet man vielleicht 15’ südlich des Koppelortes. Beispielsweise liegt der gegisste Standort auf 38° 15’ N, dann startet man bei 38° und zeichnet alle 5’ eine neue Breite ein. Wenn 5 mm 1,0 Bogenminute bzw. 1,0 Seemeile sein soll, dann ist der einzuzeichnende Breitenabstand 25 mm. Man kann aber auch beliebig andere Maßstäbe wählen. Vom Ursprung aus wird jetzt eine Gerade im Anstiegswinkel der Breite eingezeichnet, für die das Mertcator-Netz gezeichnet werden soll. Im Bild ist das die blaue Linie. Jetzt wird ein Zirkel in den Koordinaten-Nullpunkt gestochen und damit die an der vertikalen Achse abgegriffene Breite in der jeweiligen Zirkelspanne auf die Schräge übertragen. Dort wo sich der Bogen mit der 38° Schräge kreuzt, wird eine senkrechte Linie eingezeichnet. Diese Linien sind Meridiane im Abstand von 5’. Auf einer Breite von 38° sind das aber nur 5 ⋅ cos 38° = 3,94 nm.

Bild 7: Konstruktion von Leerkarten


Bei der Konstruktionsart auf der rechten Seite zeichnet man ebenfalls zuerst die Achsen eines Koordinatensystems, wobei auch hier die senkrechte Achse rechts oder links angeordnet sein kann. Danach werden die Breiten eingezeichnet. Startpunkt und Abstand werden nach gleichen Gesichtspunkten vorgegeben wie auf der linken Seite. Jetzt wird die Länge der skalierten Breitenskala ausgemessen. Wenn ein Abstand von 2,5 cm pro 5’ zwischen den Linien vorgegeben ist und die Breitenskala von 38° bis 38° 30’ reicht, dann ist ihre Länge 15 cm. Jetzt wird auf der obersten Breitenlinie ein Abschnitt von B ⋅ cos 38° = 15 cm ⋅ 0,788 = 11,82 cm abgetragen. Vom Koordinatenursprung bis zu diesem Punkt wird jetzt eine Diagonale eingezeichnet. Im Bild ist das ebenfalls eine blaue Linie. An allen Stellen, wo jetzt diese Diagonale von den 5’ Breitenlinien geschnitten wird, entstehen Punkte, an denen die Meridianlinien im 5’ Abstand eingezeichnet werden.
 Beginn- oder Ende der Bemaßung der horizontalen Achse ist natürlich breitenunabhängig.


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